1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 全等三角形 学生版知识清单梳理知识点一全等三角形的性质1.全等三角形的 相等， 相等.全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线、中位线）、周长、面积分别对应 .知识点二全等三角形的判定2.（1）SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等.（2）SAS（边角边）：两边和它们的 分别相等的两个三角形全等.（3）ASA（角边角）：两角和它们的 分别相等的两个三角形全等.（4）AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.（5）HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.【温馨提示】（1）全等三角形是一种
2、特殊的变换，即通过对称、平移或旋转能使两个图形重合的一对三角形就是全等三角形.（2）全等三角形有传递性.若ABCDEF，DEFMNP，则ABCMNP.高频考点过关考点全等三角形的判定与性质1.（2024济南）如图，已知ABCDEC，A60，B40，则DCE的度数为（ ）A.40B.60C.80D.1002.（2023济南）已知：如图，点O为ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DEBF.3.（2022济南）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，ADFCDE.求证：AECF.达标演练检测1.平面直角坐标系xOy中，点A的坐标
3、为（4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90，则点A的对应点A的坐标为（ ）A.（4，6）B.（6，4）C.（4，6）D.（6，4）2.（2024天桥一模）如图，点E在AB上，ACAD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形.我所添加条件为 .3.如图，ABCCDE，若D35，ACB45，则DCE的度数为 .4.如图，在RtABC中，BAC90， ABAC，D为BC上一点，连接AD.过点B作BEAD于点E，过点C作CFAD交AD的延长线于点F.若BE4，CF1，则EF的长度为 .5.如图，在矩形ABCD中，AB8 cm，AD12 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC边向点C运动，到
4、达点C停止，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当v为 时，ABP与PCQ全等.6.已知：如图，AB平分CAD，ACAD.求证：CD.7.如图，在ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DEBF.求证：12.8.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BECF.求证：AFDE.提分微专题6全等三角形的模型模型一平移型模型展示：模型特点：沿同一直线（BC）平移可得两三角形重合（BECF）.解题思路：证明三角形全等的关键：（1）加（减）共线部分CE，得BCEF；（2）利用平行线性质找对应角相等
5、.跟踪练习1.如图，点A，D，B，E在同一条直线上，ADBE，ACDF，BCEF.（1）求证：ABCDEF；（2）若A55，E45，求F的度数.模型二轴对称模型模型展示：（1）有公共边（2）有公共顶点模型特点：所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合.解题思路：证明三角形全等的关键：（1）找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件，得对应角相等；（2）找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件，得对应边相等.跟踪练习2.如图，AD，BC相交于点O，ADBC，CD90.（1）求证：ACBD；（2）若ABC35，求CAO的度数.模型三自旋转型模型展示：（1）共顶点（
6、2）不共顶点模型特点：此模型可看成将三角形绕某一个点旋转而成，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或者差中.解题思路：证明三角形全等的关键：（1）共顶点：加（减）共顶点的角的共角部分得一组对应角相等；（2）不共顶点：加（减）共线部分CF得BCEF；利用平行线性质找对应角相等.跟踪练习3.如图，在四边形ABCD中，ABAD，对角线BD平分ABC，ABC120，E为BD上一点，ECAB，连接AE并延长交DC于点F，连接BF.求证：AEDC.模型四“一线三等角”模型情形1：一线三垂直条件：如图，点A，B，P在同一条直线上，12390，CPPD（或APBD或ACBP）.结论：ACPBP
7、D.情形2：一线三等角（锐角、钝角）条件：如图，点A，B，P在同一条直线上，123，CPPD（或APBD或ACBP）.结论：ACPBPD.跟踪练习4.问题1：如图1，在四边形ABCD中，BC90，P是BC上一点，PAPD，APD90.已知AB1，CD3，则BC长为多少？问题2：如图2，在四边形ABCD中，BC45，P是BC上一点，PAPD，APD90.求ABCDBC的值.5.如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BECD，BAED C.（1）求证：EADEDA；（2）若C60，DE4时，求AED面积.模型五“半角”模型情形1：正方形中的45半角模型特点：共端点的等线段，共顶点的倍半角
8、.条件：如图，在正方形ABCD中，EAF45.辅助线作法：将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG，使AD与AB重合.（需证明G，B，C三点共线）结论：AFEAGE.情形2：等腰直角三角形中的45半角条件：如图，在等腰RtABC中，ABAC，BAC90，DAE45.辅助线作法：将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACF，使AB与AC重合，连接EF.结论：AEFAED.情形3：等边三角形中的30半角条件：如图，在等边ABC中，DAE30.辅助线作法：将ABD绕点A逆时针旋转60得到ACF，使AB与AC重合，连接EF.结论：ADEAFE.情形4：120的等腰三角形中的60半角条件：如图，在四边形ABDC
9、中，AEDF60，BDC120，BDCD.辅助线作法：将BDE绕点D顺时针旋转120得到CDG，使BD与CD重合.结论：DEFDGF；EFBECF.跟踪练习6.如图，在ABC中，BAC90，ABAC，点D，E均在边BC上，且DAE45，若BD2，CE4，则DE的长为 .7.如图，ABC是正三角形，BDC是等腰三角形，BDC120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB，AC边于点M，N，连接MN.若ABC的边长为2，求AMN的周长.8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且FDE45，连接DE，DF，EF，试探究EF，AF，CE之间的数量关系.模型六“手拉手”模型条件：如
10、图，ADAE，ABAC，BACDAE.结论：BADCAE；BDCE；BFCBAC.跟踪练习9.已知ABC，ADE如图摆放，点B，C，D在同一条直线上，BACDAE90，ABCADE45.连接BE，过点A作AFBD，垂足为F，直线AF交BE于点G.求证：BGEG.2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 全等三角形 教师版知识清单梳理知识点一全等三角形的性质1.全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线、中位线）、周长、面积分别对应 相等.知识点二全等三角形的判定2.（1）SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等.（2）SAS（边角边）：两边和它们
11、的夹角分别相等的两个三角形全等.（3）ASA（角边角）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.（4）AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.（5）HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.【温馨提示】（1）全等三角形是一种特殊的变换，即通过对称、平移或旋转能使两个图形重合的一对三角形就是全等三角形.（2）全等三角形有传递性.若ABCDEF，DEFMNP，则ABCMNP.高频考点过关考点全等三角形的判定与性质1.（2024济南）如图，已知ABCDEC，A60，B40，则DCE的度数为（C）A.40B.60C.80D.1002.（2023济南
12、）已知：如图，点O为ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DEBF.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC， EAOFCO，OEAOFC.点O为对角线AC的中点，AOCO，AOECOF（AAS），AECF，ADAEBCCF，DEBF.3.（2022济南）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，ADFCDE.求证：AECF.证明：四边形ABCD是菱形，DADC，DACDCA.ADFCDE，ADFEDFCDEEDF，ADECDF，DAEDCF（ASA），AECF.达标演练检测1.平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为
13、（4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90，则点A的对应点A的坐标为（B）A.（4，6）B.（6，4）C.（4，6）D.（6，4）2.（2024天桥一模）如图，点E在AB上，ACAD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形.我所添加条件为 CEDE（答案不唯一）.3.如图，ABCCDE，若D35，ACB45，则DCE的度数为100.4.如图，在RtABC中，BAC90， ABAC，D为BC上一点，连接AD.过点B作BEAD于点E，过点C作CFAD交AD的延长线于点F.若BE4，CF1，则EF的长度为3.5.如图，在矩形ABCD中，AB8 cm，AD12 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速
14、度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当v为2或83时，ABP与PCQ全等.6.已知：如图，AB平分CAD，ACAD.求证：CD.证明：AB平分CAD，CABDAB，在CAB和DAB中，ACAD，CABDAB，ABAB，CABDAB（SAS），CD.7.如图，在ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DEBF.求证：12.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADCB，ADCB，ADECBF，又DEBF，ADECBF（SAS），12.8.如图，四边形ABCD是矩形，点E和
15、点F在边BC上，且BECF.求证：AFDE.证明：四边形ABCD是矩形，ABDC，BC90，BECF，BEEFCFEF，即BFCE，ABFDCE（SAS），AFDE.提分微专题6全等三角形的模型模型一平移型模型展示：模型特点：沿同一直线（BC）平移可得两三角形重合（BECF）.解题思路：证明三角形全等的关键：（1）加（减）共线部分CE，得BCEF；（2）利用平行线性质找对应角相等.跟踪练习1.如图，点A，D，B，E在同一条直线上，ADBE，ACDF，BCEF.（1）求证：ABCDEF；（2）若A55，E45，求F的度数.（1）证明：ADBE，ADDBBEDB，即ABDE.ACDF，BCEF，A
16、BCDEF（SSS）.（2）解：ABCDEF，A55，AFDE55.E45，F180FDEE80.模型二轴对称模型模型展示：（1）有公共边（2）有公共顶点模型特点：所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合.解题思路：证明三角形全等的关键：（1）找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件，得对应角相等；（2）找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件，得对应边相等.跟踪练习2.如图，AD，BC相交于点O，ADBC，CD90.（1）求证：ACBD；（2）若ABC35，求CAO的度数.（1）证明：CD90，ACB和BDA都是直角三角形.在RtACB和RtBDA中，BC
17、AD，ABBA，RtACBRtBDA（HL），ACBD.（2）解：ABC35，CAB903555.由（1）可知ACBBDA，BADABC35，CAOCABBAD553520.模型三自旋转型模型展示：（1）共顶点（2）不共顶点模型特点：此模型可看成将三角形绕某一个点旋转而成，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或者差中.解题思路：证明三角形全等的关键：（1）共顶点：加（减）共顶点的角的共角部分得一组对应角相等；（2）不共顶点：加（减）共线部分CF得BCEF；利用平行线性质找对应角相等.跟踪练习3.如图，在四边形ABCD中，ABAD，对角线BD平分ABC，ABC120，E为BD上一
18、点，ECAB，连接AE并延长交DC于点F，连接BF.求证：AEDC.证明：BD平分ABC，ABC120，ABDCBE12ABC60，ABAD，ABD是等边三角形，ABDB，ECAB，CEBABDCBE60，CBE是等边三角形，EBCB，在EBA与CBD中，ABDB，EBACBD，EBCB，EBACBD（SAS），AEDC.模型四“一线三等角”模型情形1：一线三垂直条件：如图，点A，B，P在同一条直线上，12390，CPPD（或APBD或ACBP）.结论：ACPBPD.情形2：一线三等角（锐角、钝角）条件：如图，点A，B，P在同一条直线上，123，CPPD（或APBD或ACBP）.结论：ACPB
19、PD.跟踪练习4.问题1：如图1，在四边形ABCD中，BC90，P是BC上一点，PAPD，APD90.已知AB1，CD3，则BC长为多少？问题2：如图2，在四边形ABCD中，BC45，P是BC上一点，PAPD，APD90.求ABCDBC的值.解：问题1：BAPD90，BAPAPB90，APBDPC90，BAPDPC，又PAPD，BC90，BAPCPD（AAS），BPCD，ABPC，BCBPPCABCD，AB1，CD3，BCABCD4.问题2：如图，过点A作AEBC于点E，过点D作DFBC于点F.由（1）可知，EFAEDF，BC45，AEBC，DFBC，BBAE45，CCDF45，BEAE，CF
20、DF，AB2AE，CD2DF，BCBEEFCF2（AEDF），ABCDBC2（AEDF）2（AEDF）22.5.如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BECD，BAED C.（1）求证：EADEDA；（2）若C60，DE4时，求AED面积.（1）证明：BAED，BEABAEBEACED，BAECED，在BAE和CED中，BAECED，BC，BECD，BAECED（AAS），EAED，EADEDA.（2）解：过点E作EFAD于点F.由（1）知EAED，AEDC60，AEFDEF30，DE4，DF12DE2，AD2DF4，EFDE2DF2422223，SAED12ADEF1242343.
21、模型五“半角”模型情形1：正方形中的45半角模型特点：共端点的等线段，共顶点的倍半角.条件：如图，在正方形ABCD中，EAF45.辅助线作法：将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG，使AD与AB重合.（需证明G，B，C三点共线）结论：AFEAGE.情形2：等腰直角三角形中的45半角条件：如图，在等腰RtABC中，ABAC，BAC90，DAE45.辅助线作法：将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACF，使AB与AC重合，连接EF.结论：AEFAED.情形3：等边三角形中的30半角条件：如图，在等边ABC中，DAE30.辅助线作法：将ABD绕点A逆时针旋转60得到ACF，使AB与AC重合，连接EF.结
22、论：ADEAFE.情形4：120的等腰三角形中的60半角条件：如图，在四边形ABDC中，AEDF60，BDC120，BDCD.辅助线作法：将BDE绕点D顺时针旋转120得到CDG，使BD与CD重合.结论：DEFDGF；EFBECF.跟踪练习6.如图，在ABC中，BAC90，ABAC，点D，E均在边BC上，且DAE45，若BD2，CE4，则DE的长为25.7.如图，ABC是正三角形，BDC是等腰三角形，BDC120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB，AC边于点M，N，连接MN.若ABC的边长为2，求AMN的周长.解：如图，延长AC至点E，使得CEBM，连接DE.BDC为等腰三角形，BD
23、C120，BDCD，DBCDCB30.ABC为正三角形，ABCACB60，ABCDBCACBDCB603090，MBDECD90.在MBD与ECD中，MBDECD（SAS），MDED，BDMCDE，MDN60，BDC120，BDMCDN60，CDECDN60，即EDN60，EDNMDN.在DEN和DMN中，NDND，EDNMDN，EDMD，DENDMN（SAS），MNENNCCENCBM，等边ABC的边长为2，AMN的周长为AMMNAN（AMBM）（NCAN）ABAC224.8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且FDE45，连接DE，DF，EF，试探究EF，AF，CE之间
24、的数量关系.解：如图，将DCE绕着点D顺时针旋转90得到DAG.DAGDCE90，DAGDAF180，G，A，F三点共线.EDCADFFDE90，FDE45，EDCADF45.又将DCE绕着点D顺时针旋转90得到DAG，DEDG，GDAEDC，GDAADFGDFFDE45.在DGF和DEF中，DFDF，GDFEDF，DGDE，DGFDEF（SAS），EFGFGAAF.又GACE，EFAFCE.模型六“手拉手”模型条件：如图，ADAE，ABAC，BACDAE.结论：BADCAE；BDCE；BFCBAC.跟踪练习9.已知ABC，ADE如图摆放，点B，C，D在同一条直线上，BACDAE90，ABCADE45.连接BE，过点A作AFBD，垂足为F，直线AF交BE于点G.求证：BGEG.证明：如图，连接EC.由题意知，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABAC，AEAD.又BACCADCADDAE，BADCAE.在BAD和CAE中，ABAC，BADCAE，ADAE，BADCAE（SAS），ACEABC45，BCEACBACE90.又AFBC，GFEC，且BFCF，GF是BCE的中位线，即G是BE的中点，BGEG.
