1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的特殊三角形问题（二阶）学生版考法探究突破考法一等腰三角形问题1.问题：已知线段AB和直线l，在l上求点P，使PAB为等腰三角形.（1）找点：两圆一线若ABAP，以点A为圆心，AB长为半径画圆.若ABBP，以点B为圆心，AB长为半径画圆.若APBP，作AB的垂直平分线.（2）求点方法一：代数法分ABAP，ABBP，APBP三种情况讨论.分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，分别列方程求解即可.方法二：几何法作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系.考法二直角三角形问题2.问题：已知线段AB和直线l，
2、在l上求点P，使PAB为直角三角形.（1）找点：两线一圆若BAP90，过点A作AB的垂线.若ABP90，过点B作AB的垂线.若APB90，以AB为直径作圆.（2）求点方法一：代数法分AB2AP2BP2.AB2BP2AP2.AP2BP2AB2三种情况讨论.分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，AP，BP的长度，分别列方程求解即可.方法二：几何法作垂线，构造一线三垂直模型，用勾股定理或相似建立等量关系.题型分类过关类型一等腰三角形存在性问题1.（2024莱芜一模节选）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D.已知点B（4，0），C（0，4）.抛物线的对称轴是直线x32，P为抛
3、物线上一动点，点P的横坐标为mm32，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M.（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标.（2）当DMP是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长.类型二直角三角形存在性问题2.（2024商河清华园模拟节选）如图，抛物线yax2bx5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB4.抛物线的对称轴x3与经过点A的直线ykx1交于点D，与x轴交于点E.（1）求直线AD及抛物线的表达式.（2）在抛物线上是否存在点M，使得ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标.若不存在，请说明理由.3.（2024章丘一模节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2
4、bxc与x轴交于A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C.点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连接BE.（1）求抛物线的表达式.（2）当BDE为直角三角形时，求线段DE的长度.类型三等腰直角三角形存在性问题4.如图，抛物线yax22xc与x轴交于点A（2，0），B，与y轴交于点C（0，6），连接BC交抛物线的对称轴l于点E.M是线段 BE上的一点，N是对称轴l右侧抛物线上的一点.（1）求该抛物线的函数表达式.（2）若EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点 M 的坐标.达标演练检测1.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OAOC3，顶点为点
5、D.（1）求此抛物线的函数表达式.（2）判断ACD形状，并说明理由.2.已知抛物线yx2bxc与x轴交于A（1，0），对称轴为直线x1，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接AP，与y轴交于点D.（1）求b，c的值.（2）当ADM为以AM为底边的等腰三角形时，求点D的坐标.3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于B（4，0），C（2，0） 两点，与 y 轴交于点 A（0，2）.（1）求该抛物线的函数表达式.（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 MAB 是以 AB 为一条直角边的直角三角形.若存在，请求出点 M 的坐标.若不存在，请说明理由.
6、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的特殊三角形问题（二阶）教师版考法探究突破考法一等腰三角形问题1.问题：已知线段AB和直线l，在l上求点P，使PAB为等腰三角形.（1）找点：两圆一线若ABAP，以点A为圆心，AB长为半径画圆.若ABBP，以点B为圆心，AB长为半径画圆.若APBP，作AB的垂直平分线.（2）求点方法一：代数法分ABAP，ABBP，APBP三种情况讨论.分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，分别列方程求解即可.方法二：几何法作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系.考法二直角三角形问题2.问题：已知线段AB和直线l，
7、在l上求点P，使PAB为直角三角形.（1）找点：两线一圆若BAP90，过点A作AB的垂线.若ABP90，过点B作AB的垂线.若APB90，以AB为直径作圆.（2）求点方法一：代数法分AB2AP2BP2.AB2BP2AP2.AP2BP2AB2三种情况讨论.分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，AP，BP的长度，分别列方程求解即可.方法二：几何法作垂线，构造一线三垂直模型，用勾股定理或相似建立等量关系.题型分类过关类型一等腰三角形存在性问题1.（2024莱芜一模节选）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D.已知点B（4，0），C（0，4）.抛物线的对称轴是直线x32，P为抛
8、物线上一动点，点P的横坐标为mm32，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M.（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标.解：抛物线对称轴为直线x32，且过点B（4，0），A（1，0），设抛物线的表达式为ya（x1）（x4），将C（0，4）代入得a1，抛物线的表达式为y（x1）（x4），即yx23x4.把x32代入yx23x4，得y94924254，D32，254.（2）当DMP是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长.解：由（1）可设，过点D作DEMP，垂足为E.DMP是等边三角形，DPM60，xDxE32.设M（m，m23m4），则DEyDyE254（m23m4）m23m94m322，PExP
9、xEm32.在RtPED中，tan 60DEPEm322m32m323，m332，PM2PE23，边长为23.类型二直角三角形存在性问题2.（2024商河清华园模拟节选）如图，抛物线yax2bx5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB4.抛物线的对称轴x3与经过点A的直线ykx1交于点D，与x轴交于点E.（1）求直线AD及抛物线的表达式.（2）在抛物线上是否存在点M，使得ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标.若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线的对称轴x3，AB4，A（1，0），B（5，0）.将A（1，0）代入直线ykx1，得k10，解得k1，直线AD的表达式为
10、yx1.将A（1，0），B（5，0）代入yax2bx5，得ab+5=0，25a+5b+5=0，解得a=1，b6，抛物线的表达式为yx26x5.（2）存在点M，直线AD的表达式为yx1，抛物线对称轴x3与x轴交于点E.当x3时，yx12，D（3，2）.当DAM90时，设直线AM的表达式为yxc，将点A坐标代入，得1c0，解得c1，直线AM的表达式为yx1，解方程组yx+1，yx26x+5，解得x=1，y=0或x=4，y3，点M的坐标为（4，3）.当ADM90时，设直线DM的表达式为yxd，将D（3，2）代入，得3d2，解得d5，直线DM的表达式为yx5，解方程组yx+5，yx26x+5，解得x=
11、0，y=5或x=5，y=0，点M的坐标为（0，5）或（5，0）.综上，点M的坐标为（4，3）或（0，5）或（5，0）.3.（2024章丘一模节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与x轴交于A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C.点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连接BE.（1）求抛物线的表达式.（2）当BDE为直角三角形时，求线段DE的长度.解：（1）抛物线yx2bxc与x轴交于A（1，0）和B（3，0），1+bc=0，9+3bc=0，解得b=4，c3，抛物线的表达式为yx24x3.（2）令x0，则y3，C（0，3）.设直线BC的表达式为ykxn，
12、3kn=0，n3，解得k=1，n3，直线BC的表达式为yx3.点D为线段BC上一点，设D（m，m3），则点E（m，m24m3），DE（m24m3）（m3）m23m.B（3，0），C（0，3），OBOC3，OBCOCB45.DEy轴，EDBOCB45，点D不可能是直角的顶点.当点B为直角的顶点时，设DE交x轴于点F.BDE45，EBD90，DEB45，BED为等腰直角三角形.EFDF12DE.DF3m，3m12（m23m），解得m2或3（m3不合题意，舍去）.m2，DE2232462.当点E为直角顶点时，此时边EB在x轴上，点E与点A重合，m1.DE1231132.综上，当BDE为直角三角形时，
13、线段DE的长度为2.类型三等腰直角三角形存在性问题4.如图，抛物线yax22xc与x轴交于点A（2，0），B，与y轴交于点C（0，6），连接BC交抛物线的对称轴l于点E.M是线段 BE上的一点，N是对称轴l右侧抛物线上的一点.（1）求该抛物线的函数表达式.（2）若EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点 M 的坐标.解：（1）将点A（2，0）和点C（0，6）的坐标代入yax22xc中，得4a4+c=0，c=6，解得a12，c=6，故该抛物线的表达式为y12x22x6.（2）抛物线y12x22x6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，令y0，即12x22x60，解得x2或x6，令x0，解得y6
14、，A（2，0），B（6，0），C（0，6），直线BC的表达式为yx6，OBOC，OBCOCB45.对称轴为直线x2，当x2时，yx64，E（2，4）.设M（m，m6），2m6，当MEN90，EMEN时，如图1，过点E作EHMN于点H.MN2EH，EMNENM45，OBCOCB45，NMEOCB，MNy轴，Nm,12m2+2m+6，MN12m22m6m612m23m，EHm2，12m23m2（m2），解得m4或m2（不符合题意，舍去），M（4，2）.当EMN90，EMMN时，如图2，过点M作MQEN于点Q.EQNQMQ12EN，MENENM45，OBCOCB45，MENOBC，ENx轴，点N的纵
15、坐标为4.当y4时，12x22x64，解得x222或x222（不符合题意，舍去），N（222，4），EN222222，EQMQ12EN2，m22，M（22，42）.综上所述，点M的坐标为（4，2）或（22，42）.达标演练检测1.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OAOC3，顶点为点D.（1）求此抛物线的函数表达式.（2）判断ACD形状，并说明理由.解：（1）OAOC3，点A坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）.抛物线yx2bxc经过点A，C，93bc=0，c3，解得b=2，c3，抛物线表达式为yx22x3.（2）如图，连接AD，CD，AC，作DEx轴于点E，DF
16、y轴于点F.由抛物线的性质得抛物线yx22x3（x1）24的顶点D坐标为（1，4），在RtAOC中，AC2AO2CO2323218.在RtDCF中，DC2DF2CF2（43）2122.在RtADE中，AD2AE2DE2（31）24220.AC2DC2AD2，ACD是直角三角形.2.已知抛物线yx2bxc与x轴交于A（1，0），对称轴为直线x1，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接AP，与y轴交于点D.（1）求b，c的值.（2）当ADM为以AM为底边的等腰三角形时，求点D的坐标.解：（1）对称轴为直线x1，A（1，0）在抛物线yx2bxc上，1bc=0，b2(1）=1，解得b
17、=2，c=3.解：（2）抛物线yx22x3（x1）24，顶点M（1，4）.设ODx，根据题意，得ADM90，ADM为等腰三角形，ADDM，AD212x2，DM212（4x）2，12x212（4x）2，解得x2，D（0，2）.3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于B（4，0），C（2，0） 两点，与 y 轴交于点 A（0，2）.（1）求该抛物线的函数表达式.（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 MAB 是以 AB 为一条直角边的直角三角形.若存在，请求出点 M 的坐标.若不存在，请说明理由.解：（1）将A（0，2），B（4，0），C（2，0）代入yax2bxc中，得c2，16a+4bc=0，4a2bc=0，解得a14，b12，c2，抛物线的函数表达式为y14x212x2.（2）存在.抛物线的对称轴为直线x1.设M（1，t），则AB2422220，AM212（t2）2t24t5，BM2（41）2t29t2.当ABM90时，AM2AB2BM2，t24t5209t2，t6，M（1，6）.当BAM90时，BM2AB2AM2，9t220t24t5，t4，M（1，4）.综上所述，点M的坐标为（1，6）或（1，4）.
