1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 一次方程（组）及其应用 学生版知识清单梳理知识点一等式的性质1.性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.即如果ab，那么ac .2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.即如果ab，那么 bc，ac （c0）.知识点二一元一次方程3.一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有 个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是 ，这样的方程叫作一元一次方程.4.解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1.知识点三
2、二元一次方程（组）5.二元一次方程：含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的方程叫作二元一次方程.6.二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫作二元一次方程组.7.二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.8.二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.（2）加减消元法：通过两式相加（减）消去其中一个未知数.知识点四一次方程（组）的实际应用9.一般解题步骤：审、设、列、解、验、答.10.常见类型及关
3、系（1）利润问题：售价标价折扣；销售额 销量；利润 成本；利润率利润成本100.（2）行程问题相遇问题：全路程甲走的路程 乙走的路程.追及问题a.同地不同时出发：前者走的路程 追者走的路程.b.同时不同地出发：前者走的路程两地间距离 追者走的路程.（3）工程问题：工作量工作效率 .高频考点过关考点一一元一次方程的解法1.（2024商河二模）若x5是关于x的方程a3x16的解，则a的值是（ ）A.1B.1C.5D.312.关于x的方程3x2m1的解为正数，则m的取值范围是（ ）A.m12B.m12C.m12D.m123.关于x的一元一次方程2xm5的解为x1，则m的值为（ ）A.3B.3C.7D
4、.74.代数式 2x13与代数式32x的和为4，则x .5.（2024天桥二模）若一元一次方程3xa0的解为x1，则a .考点二二元一次方程组的解法6.解方程组：3xy=8，2xy=7.7.解方程组：x2y=3，12x34y134.考点三一次方程（组）的应用8.九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）A.y8x=3，y7x=4 B.y8x=3，7xy=4 C.
5、8xy=3，y7x=4 D.8xy=3，7xy=4 9.算学启蒙是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）A.240x150x15012B.240x150x24012C.240x150x24012D.240x150x1501210.（2024天桥二模）某景区为落实关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务.已知购买A种帐篷2顶和
6、B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元.（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？（2）若该景区要购买A，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的13，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？达标演练检测1.（2024天桥一模）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）A.3种B.4种C.5种 D.6种2.一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含
7、量共30 g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（ ）A.52xy30B.x52y30C.32xy30D.x32y303.孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）A.yx=4.5，2xy=1B.xy=4.5，2xy=1C.xy=4.5，y2x=1D.yx=4.5，xy2=14.关于x的一元一次方程x2m5的解为x1
8、，则m的值为（ ）A.2B.2C.3D.35.若x=2，y=1和x=0，y3都是关于x，y的二元一次方程ax2yb的解，则ba的值为 .6.解方程：（1）x32x1；（2）yy1212y13.7.解方程组：3xy=5，x+3y=7.8.小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价.9.大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台M型平板电脑和300元现金.（1）这台M型平板电
9、脑价值多少元？（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 一次方程（组）及其应用 教师版知识清单梳理知识点一等式的性质1.性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.即如果ab，那么acbc.2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.即如果ab，那么acbc，acbc（c0）.知识点二一元一次方程3.一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.4.解一元
10、一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1.知识点三二元一次方程（组）5.二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程.6.二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫作二元一次方程组.7.二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.8.二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.（2）加减消元法：通过两式相加（减）
11、消去其中一个未知数.知识点四一次方程（组）的实际应用9.一般解题步骤：审、设、列、解、验、答.10.常见类型及关系（1）利润问题：售价标价折扣；销售额售价销量；利润售价成本；利润率利润成本100.（2）行程问题相遇问题：全路程甲走的路程乙走的路程.追及问题a.同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程.b.同时不同地出发：前者走的路程两地间距离追者走的路程.（3）工程问题：工作量工作效率工作时间.高频考点过关考点一一元一次方程的解法1.（2024商河二模）若x5是关于x的方程a3x16的解，则a的值是（A）A.1B.1C.5D.312.关于x的方程3x2m1的解为正数，则m的取值范围是（B）A.
12、m12B.m12C.m12D.m123.关于x的一元一次方程2xm5的解为x1，则m的值为（A）A.3B.3C.7D.74.代数式 2x13与代数式32x的和为4，则x1.5.（2024天桥二模）若一元一次方程3xa0的解为x1，则a3.考点二二元一次方程组的解法6.解方程组：3xy=8，2xy=7.解：3xy=8，2xy=7，得5x15，解得x3，将x3代入得33y8，解得y1，故原方程组的解为x=3，y1.7.解方程组：x2y=3，12x34y134.解：x2y=3，12x34y134，2得72y72，解得y1.将y1代入得x23，解得x5， 原方程组的解为x=5，y=1.考点三一次方程（
13、组）的应用8.九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（C）A.y8x=3，y7x=4 B.y8x=3，7xy=4 C.8xy=3，y7x=4 D.8xy=3，7xy=4 9.算学启蒙是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12
14、天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（D）A.240x150x15012B.240x150x24012C.240x150x24012D.240x150x1501210.（2024天桥二模）某景区为落实关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务.已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元.（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？（2）若该景区要购买A，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的13，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A
15、种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？解：（1）设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，根据题意，得2m+4n=5200，3mn=2800，解得m=600，n=1000.答：A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元.（2）设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，则购买B种帐篷（20x）顶.B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的13，20x13x，解得x15.根据题意，得y600x1000（20x）400x20000.4000，y随x的增大而减小，当x15时，y最小值400152000014000，此时20x20155.答：购买A种帐篷15顶，购买B种帐篷5顶，
16、总费用最低为14000元.达标演练检测1.（2024天桥一模）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（B）A.3种B.4种C.5种 D.6种2.一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（A）A.52xy30B.x52y30C.32xy30D.x32y303.孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”
17、意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（D）A.yx=4.5，2xy=1B.xy=4.5，2xy=1C.xy=4.5，y2x=1D.yx=4.5，xy2=14.关于x的一元一次方程x2m5的解为x1，则m的值为（A）A.2B.2C.3D.35.若x=2，y=1和x=0，y3都是关于x，y的二元一次方程ax2yb的解，则ba的值为2.6.解方程：（1）x32x1；解：移项得x2x13，合并同类项得x4，系数化为1得x4.（2）yy1212y13.解：去分母得6y3y364y
18、2，移项得6y3y4y623，合并同类项得13y11，系数化为1得y1113.7.解方程组：3xy=5，x+3y=7.解：记方程组3xy=5，x+3y=7，3，得8x8，解得x1，把x1代入，得3y5，解得y2，故原方程组的解为x=1，y=2.8.小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价.解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x3）元.根据题意，得4x6（x3）62，解得x8.答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元.9.大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台M型平板电脑和300元现金.（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？解：（1）设这台M型平板电脑价值x元.由题意得x+1 50030x+30020，解得x2 100.答：这台M型平板电脑价值2 100元.（2）由题意得m2 100+1 50030120m.答：她应获得120m元的报酬.
