1、第第6章章 微波网络基础微波网络基础6.1 微波接头的等效网络微波接头的等效网络 6.2 一端口网络的阻抗特性一端口网络的阻抗特性 6.3 微波网络的阻抗和导纳矩阵微波网络的阻抗和导纳矩阵 6.4 微波网络的散射矩阵微波网络的散射矩阵 6.5 A B C D矩阵矩阵 6.6 传输散射矩阵传输散射矩阵 6.7 微波网络的信号流图微波网络的信号流图 本章提要本章提要 习题习题 6.1 微波接头的等效网络微波接头的等效网络1.等效电压和电流与阻抗概念等效电压和电流与阻抗概念(1)等效电压和电流在微波波段，电压和电流的测量是很困难的，或者说是不可能的，这是因为电压和电流的测量需要定义有效的端对(ter
2、minal pair)。这样的端对对TEM导行系统(如同轴线、带状线)可能存在；但对于非TEM导行系统(如矩形波导、圆波导或表面波导)就不存在。就任意的双导体TEM传输线而论，正导体相对于负导体的电压为(6.1-1)dlEV其积分路径是从正导体到负导体。根据两导体之间横向场的性质可知，式(6.1-1)定义是唯一的且与积分路径的形状无关。根据安培(Ampere)定律，正导体上总的电流为(6.1-2)式中的积分回路是包围正导体的任意闭合路径。对于行波便可定义特性阻抗为(6.1-3)这样，定义了电压V、电流I和特性阻抗Z0之后，若已知此线的传播常数，我们就可以应用传输线理论来研究此种线的特性。Cdl
3、HIIVZ 0然而，对于波导情况就遇到困难。例如矩形波导情况，其主模TE10模的横向场可以写成(6.1-4)代入式(6.1-1)便得到(6.1-5)zjxzjxzjyzjyeyxHHeaxHajzyxHeyxEHeaxHajzyxE),(sin),(),(sin),(0101001010yzjdyeaxHajVsin10可见电压取决于位置x与沿y方向的积分等高线长度。例如取x=a/2处，从y=0至b的积分所得到的电压，与取x=0处从y=0至b积分所得到的电压就不相同。那么，什么是正确的电压 回答是：不存在唯一的或对所有应用都适用的“正确”电压。电流和阻抗也存在类似的问题。但是，理论和实践都要求
4、对非TEM线定义有用的电压、电流和阻抗，即有必要定义其等效的电压、电流和阻抗。由于非TEM模的电压、电流和阻抗不是唯一的，所以对波导的等效电压、等效电流和等效阻抗有许多定义方法。下面的考虑通常可得出最有用的结果：电压和电流仅对特定波导模式定义，且定义电压与其横向电场成正比，电流与其横向磁场成正比。为了和电路理论中的电压和电流应用方式相似，等效电压和电流的乘积应当等于该模式的功率流。单一行波的电压和电流之比应等于此线的特性阻抗；此阻抗可任意选择，但通常选择等于此线的波阻抗，或归一化为1。对于具有正向和反向行波的任意波导模式，其横向场可以写成 (6.1-6)由于Et与Ht之比为波阻抗ZW，于是有(
5、6.1-7)(),()(,(),()(),()(,(),(200100zjzjtzjzjttzjzjtzjzjtteIeICyxHeAeAyxHzyxHeVeVCyxEeAeAyxEzyxEWttZyxEzyxH),(),(00由式(6.1-6)可得等效电压波和电流波的定义为(6.1-8)而V+/I+=V-/I-=Z0，比例常数C1=V+/A+=V-/A-和C2=I+/A+=I-/A-则可由功率和阻抗条件确定。zjzjzjzjeIeIzIeVeVzV)()(入射波的复功率流为 (6.1-9)此功率应等于V+I+*/2，因此得到(6.1-10)式中积分是对波导截面进行。由式(6.1-6)，V+=
6、C1A+，I+=C2A+，则得到特性阻抗(6.1-11)SttSttdszHECCIVdszHEAP2|2100*21*002SttdszHECC00*21210CCIVIVZ若要求Z0=ZW，则此模式的波阻抗(ZTE或ZTM)为(6.1-12a)若要求将特性阻抗归一化(Z0=1)，则得(6.1-12b)(TMTE21ZZZCCW或121CC至此，对于给定的波导模式，可由式(6.1-10)和式(6.1-12)求得C1和C2，进而定义等效电压和等效电流。对高次模可用同样的方法处理。这样，波导中的一般场便可表示成如下形式：(6.1-13)式中，是第n模式的等效电压和等效电流，C1n和C2n是每个模
7、式的比例常数。nnIV 和),(),(),(),(01220111yxHeCIeCIzyxHyxEeCVeCVzyxEtNnzjnnzjnnttNnzjnnzjnntnnnn例例 6.1-1 求矩形波导TE10模的等效电压和等效电流。解解 TE10模矩形波导模式的横向场分量和功率流与此模的等效传输线模型如表6.1-1所示。由入射功率相等得到若选择Z0=ZW=ZTE，则有由此求得*212*TE2|21214|CCAIVZAabTE21ZCCIV21,2TE21abZCabC故等效电压和等效电流为zjzjzjzjeAabZeAabZIeAabeAabV212122TETE(2)阻抗概念迄今我们已涉
8、及三种阻抗形式：媒质的固有阻抗 。它仅决定于媒质的材料参数，且等于平面波的波阻抗。波阻抗ZW=Et/Ht=1/YW。它是特定导行波的特性参数，TEM、TM和TE导行波具有不同的波阻抗(ZTEM、ZTM和ZTE)。它们与导行系统(传输线或波导)的类型、材料和工作频率有关。/特性阻抗 。它是行波的电压与电流之比。由于TEM导波的电压和电流定义有唯一性，所以TEM导波的特性阻抗是唯一的；但TE和TM导波无唯一定义的电压和电流，所以这种导波的特性阻抗可用不同方法定义，例如在3.1节中我们讨论过矩形波导TE10模的三种特性阻抗定义。1100/1CLYZ2.均匀波导的等效电路均匀波导的等效电路为简单起见，
9、以矩形波导为例讨论。对于传输某TMmn模的矩形波导，由于其Hz=0，则有这表明电场在xy平面内无旋度，因此在此平面内，E可以表示成该模式的模式电压的负梯度：(6.1-14)0)(zztBEyVExVEyz和将Hz=0代入，得到(6.1-15)此式左边以纵向场关系代入，右边以式(6.1-14)代入，得到由此得到(6.1-16)yytBH)/()(xyEjzHxVjxEkjzzc2VjEkjzzc2又由，得到因而 (6.1-17)yytBE)/()(xEkHjxEzEzcyzx22zcczcEkjjkjEkzV22221量jEz为纵向位移电流密度，具有面积量纲,故jEz/表示z向电流，代表该模式的
10、模式电流，用Iz表示之。因此式(6.1-16)和式(6.1-17)变成等效传输线方程：(6.1-18)据此可得到TM模波导的传输线等效电路，如图6.1-1(a)所示，其单位长度串联阻抗和并联导纳分别为(6.1-19)2/1ck2ckVjzIIjkjzVzzc2jYjkjZc121和对于传输某TEmn模的矩形波导，用同样方法可以得其传输线等效电路，如图6.1-1(b)所示；其单位长度串联阻抗和并联导纳则为(6.1-20)由图6.1-1可见，波导的传输线电路具有高通滤波器特性。事实上，由图6.1-1(a)可知，当ffc(c)时，串联支路呈电容性；由图6.1-1(b)可知,当ffc时，并联支路呈电感
11、性。结果，等效电路变成由无数节二端口网络级联而成的电容或电感分压器，不能无衰减地传输导行波。图6.1-1(a)传输线的截止频率出现在串联阻抗等于零时；图6.1-1(b)传输线的截止频率则出现在并联导纳为零时。结果都要求 (6.1-21)此结果与第一章场分析的结果一致。jkjYjZc211和22cck 图 6.1-1 矩形波导的传输线等效电路(a)传输TMmn模；(b)传输TEmn模由图6.1-1所示的等效电路，可以求得相应等效传输线的特性阻抗和传播常数为(6.1-22)(6.1-23)(6.1-24)这些结果亦和第一章场分析的结果一致。波导的等效传输线概念是波导问题求解很有用的工具，这样便可借
12、助于低频电路理论和传输线理论来解决波导问题。但应记住：上述等效与模式有关，且仅适用于传输单一的TMmn模或TEmn模的波导；当波导传输n模时，根据模式正交性，则应等效为n对传输线。222211TE,02211TM,0 )/(1)/(1)/(ccccckjjffjkjjYZZffjjkjYZZ3.不均匀性的等效网络不均匀性的等效网络实用的微波元件和系统都含有各种各样的不均匀性(亦称不连续性)，包括：截面形状或材料性能在波导某处突然改变；截面形状或材料性能在一定距离内连续改变；均匀波导系统中的障碍物或孔缝；波导分支，等等。在各种各样的不均匀性附近将激励起高次模。根据截止模的特性可知，这些高次模在波
13、导接头内产生储能，可用电抗元件L和C来等效。图6.1-2示出三种最简单的不均匀性例子。图6.1-2(a)的容性膜片的边垂直于TE10模的电场，其作用相当于并联电容，等效电路如图6.1-3(a)所示。图6.1-2(b)的感性膜片的边平行于TE10模的电场，作用相当于并联电感，其等效电路如图6.1-3(b)所示。图6.1-2(c)的波导尺寸突变也相当于并联电容、等效电路如图6.1-3(c)所示。图 6.1-2(a)容性膜片；(b)感性膜片；(c)窄边尺寸突变图 6.1-3 波导不连续性的等效电路由上述分析可知，不均匀性可用集总元件网络来等效。这样，任一含不均匀性的波导接头(waveguide ju
14、nction)便可按其端口波导数等效为一端口、二端口、多端口微波网络。需要指出的是：与低频网络不同，微波网络的形式与模式有关，若传输单一模式，则等效为一个N端口网络；若每个波导中可能传输m个模式，则应等效为Nm端口微波网络。微波网络形式与参考面的选取有关。参考面的选择原则上是任意的，但必须垂直于各端口波导的轴线，并且应远离不均匀区，使其上没有高次模，只有相应的传输模。6.2 一端口网络的阻抗特性一端口网络的阻抗特性一端口网络就是功率既能进去又能出来的单个端口波导或传输线的电路。本节讨论其策动点阻抗(driving point impedance)的基本特性。如图6.2-1所示为任意一端口网络，
15、传送给此网络的复功率为(6.2-1)式中，Pl为实功率，代表此网络耗散的平均功率，Wm和We分别代表磁场和电场的储能。)(221*emiSWWjPdsEP图 6.2-1 任意一端口网络 此网络端口平面上的场可以写成 (6.2-2)且有关系则式(6.2-1)可用端电压和端电流表示成(6.2-3)zjttzjtteyxHzIzyxHeyxEzVzyxE),()(),(),()(),(001),(),(00SttdsyxHyxE*00*2121VIdsHEVIPStt于是输入阻抗为(6.2-4)由此可见，输入阻抗的实部Rin与耗散功率有关，而虚部Xin则与网络中的净储能有关。假如网络无耗，则Pl=0
16、，Rin=0，Zin为纯虚数。其电抗为 (6.2-5)对于电感性负载(WmWe)，Xin为正；对于电容性负载(WeWm)，Xin为负。222*ininin|)2/1()(2|)2/1(|IWWjPIPIVIIVjXRZeml2in|)(4IWWXem1.福斯特电抗定理福斯特电抗定理现在假定图6.2-1所示一端口网络无耗，考虑频率变化的影响。电路内的电场和磁场满足如下麦克斯韦方程：将这两个方程的复数共轭对求导数，得到EjHHjE*jEEjHjHHjE计及关系(6.2-6)|(|22*2*2*HEjEEjHjHHjEjEEjHHjHEEHEEEHHEEE对此式左边应用散度定理，并使之与右边的电磁储
17、能项相等，得到 (6.2-7)以式(6.2-2)代入，得到 (6.2-8)(4*mesWWjdsHEHE)(400*00*00*00*mesttttttttWWjdsHEVIHEIVHIEVHEIV由于，则有。这表明E0t和H0t的关系相同。因为无耗电抗终端的V=jXI，故式(6.2-8)简化为(6.2-9)式中V和I是端面上的等效电压和等效电流。再次应用V=jXI，得到即得到(6.2-10)WttZEzH/00ttttHEHE0000)/()/(*)(4IVIVWWjmeXIjIIjXIXjIjXIWWjme2*2*|)(42|)(4IWWXme此式右边总是正的，因此，对于一个无耗网络，电抗
18、对频率的斜率必然总是正的。另一方面，若用I=jBV代入式(6.2-9)，则得到(6.2-11)这表明一个无耗网络的电纳也具有对频率为正的斜率。这些结果即构成福斯特(Foster)电抗定理。应用此定理可以证明，物理可实现的电抗或电纳函数的极点和零点，必定在轴上交替出现。2|)(4VWWBme2.Z()和和()的奇偶特性的奇偶特性考虑一端口网络输入端的策动点阻抗Z()，在该点的电压和电流关系为V()=Z()I()。对于任意的频率关系，取V()的逆富里衰变换可得时域电压为(6.2-12)由于v(t)必定为实数，所以有v(t)=v*(t)，或者deVtvtj)(21)(deVdeVdeVtjtjtj)
19、()()(*这表明V()必定满足关系V(-)=V*()(6.2-13)即说明ReV()是的偶函数，而ImV()是的奇函数。类似的结果对I()和Z()也成立，因为有V*(-)=Z*(-)I*(-)=Z*(-)I()=V()=Z()I()因此，如果Z()=R()+jX()，则R()是的偶函数，而X()是的奇函数。现在考虑输入端反射系数:(6.2-14)则(6.2-15)结果表明，()的实部和虚部分别是的偶函数和奇函数。最后，考虑反射系数的幅值：(6.2-16)可见()2和()都是的偶函数。此结果意味着只有形如a+b2+c4+的偶函数才能代表()或者()2。)()()()()()()(0000jXZ
20、RjXZRZZZZ)()()()()()(*00jXZRjXZR2*2|)(|)()()()(|)(|6.3 微波网络的阻抗和导纳矩阵微波网络的阻抗和导纳矩阵1.阻抗和导纳矩阵阻抗和导纳矩阵考虑如图6.3-1所示任意N端口微波网络，图中的各端口可以是任意型式的传输线或单模波导的等效传输线；若网络的某端口是传输多个模的波导，则在该端口应为多对等效传输线。定义第i端口参考面ti处的等效入射波电压和电流为，反射波电压和电流为，则由式(6.1-8)，令z=0，得到第i端的总电压和总电流为 (6.3-1)ii、IVii、IViiiiiiIIIVVV,图 6.3-1 任意N端口微波网络此N端口微波网络的阻
21、抗矩阵方程则为(6.3-2a)或者V=ZI (6.3-2b)NNNNNNIIIZZZZZZVVV211211121121 同样可以得到导纳矩阵方程为(6.3-3a)或者I=YV (6.3-3b)Z和Y矩阵互为逆矩阵：Y=Z-1 (6.3-4)NNNNNNVVVYYYYYYIII211211121121 由式(6.3-2a)可见，阻抗参数Zij为 (6.3-5)式(6.3-5)说明，Zij是所有其它端口都开路时(因此Ik=0，kj)用电流Ij激励端口j，测量端口i的开路电压而求得。因此，Zii是其它所有端口都开路时向端口i看去的输入阻抗，Zij则是其它所有端口都开路时端口j和端口i之间的转移阻抗
22、。jkIjiijkIVZ,0类似地，由式(6.3-3a)可得 (6.3-6)可见Yij是其它所有端口都短路时(因此Vk=0，若kj)，用电压Vj激励端口j，测量端口i的短路电流来求得。jkVjiijkVIY,0一般情况下，阻抗矩阵元素Zij或导纳矩阵元素Yij为复数，因而对于N端口网络，阻抗和导纳矩阵为NN方矩阵，存在2N2个独立变量。不过实用的许多网络是互易或无耗的，或既互易又无耗。下面将证明，假如网络是互易的(不含任何非互易媒质，如铁氧体或等离子体或有源器件)，则阻抗和导纳矩阵是对称的，因而Zij=Zji，Yij=Yji；假如网络是无耗的，则所有Zij或Yij元素都是纯虚数。这些特殊情况将
23、使N端口微波网络的独立变量大为减少。2.互易网络互易网络考虑图6.3-1所示任意网络是互易的，假定端口1和2以外的所有端口参考面短路，Ea、Ha和Eb、Hb是网络内某处的两个独立源a和b在网络内任一点所产生的场，则由电磁场互易定理，有 (6.3-7)SabSbadsHEdsHE式中积分限S是沿网络边界并通过各端口参考面的封闭表面。假若网络的边界壁和传输线均为金属，则在这些壁上Etan=0(假设为理想导体)；假若网络或传输线为开放结构，象微带线那样，则网络的边界可任意取得远离这些线，使Etan可以忽略不计。这样，式(6.3-7)中积分的非零值仅由端口1和2的横截面提供。由6.1节的讨论可知，源a
24、和b产生的场可以参考面t1和t2来计算：E1a=V1aE0t1 H1a=I1aH0t1E1b=V1bE0t1H1b=I1bH0t1 (6.3-8)E2a=V2aE0t2H2a=I2aH0t2E2b=V2bE0t2H2b=I2bH0t2以式(6.3-8)代入式(6.3-7)，得到(6.3-9)式中S1和S2是参考面t1和t2的横截面积。0)()(212020222210101111SttabbaSttabbadsHEIVIVdsHEIVIV将式(6.3-8)与式(6.1-6)比较可见，对每个端口则有C1=C2=1，因此(6.3-10)于是式(6.3-9)简化为V1aI1b-V1bI1a+V2aI
25、2b-V2bI2a=0(6.3-11)而对于二端口网络，导纳矩阵方程为I1=Y11V1+Y12V2I2=Y21V1+Y22V212120201010SttSttdsHEdsHE代入式(6.3-11)，得到(V1aV2b-V1bV2a)(Y12-Y21)=0 (6.3-12)由于源a和b是独立的，所以电压V1a、V1b、V2a和V2b可取任意值，因此为使式(6.3-12)对任意源都满足，必须有Y12=Y21；又由于端口1和2是任意选择的，故有一般结果Yij=Yji (6.3-13)即Y矩阵是对称矩阵；其逆矩阵Z也一定是对称矩阵。3.无耗网络无耗网络现在考虑一互易无耗N端口接头，我们可以证明其阻抗
26、和导纳矩阵的元素必定为纯虚数。事实上，假如网络无耗，则传送给该网络的净功率必定为零。因此RePav=0，这里(6.3-14)*11*1212*2121*1111*av21 )(21 21)(2121nmnmNmNntttIZIIZIIZIIZIIZIIIZIVP式中上标“t”表示转置，且(AB)t=BtAt。由于各In是独立的，所以我们可以让除第n端口电流以外的所有端口电流为零，于是每项(InZnnI*n)的实部必须等于零，因此得到或者Re Znn=0 (6.3-15)0Re|Re2*nnnnnnnZIIZI今令Im和In以外的所有端口电流均为零，则式(6.3-14)简化为Re(InI*m+I
27、mI*n)Zmn=0这是由于Zmn=Znm。但(InI*m+ImI*n)为纯实数量，一般为非零。因此必然有Re Zmn=0 (6.3-16)式(6.3-15)和式(6.3-16)即意味着，对于任意的m、n，ReZmn=0。同样可导得Y矩阵亦为虚数矩阵。例例 6.3-1 求图6.3-2所示二端口T形网络的Z参数。图 6.3-2 二端口T形网络解解 由式(6.3-5)，端口2开路时端口1的输入阻抗为根据分压原理，可得可以证明Z21=Z12，表示电路是互易的。最后，Z22可求得为CAIZZIVZ011112CCBCIZZZZIVIVZ22021121CBIZZIVZ0222216.4 微波网络的散射
28、矩阵微波网络的散射矩阵前面讲到，难以对非TEM线定义电压和电流，而上述Z、Y矩阵是用电压和电流来表示网络特性的。电压和电流在微波频率已失去明确物理意义，且难以直接测量，因而Z参数和Y参数也难以测量，其测量所需参考面的开路和短路条件在微波频率下难以实现。为了研究微波电路和系统的特性，设计微波电路的结构，就需要一种在微波频率能用直接测量方法确定的网络矩阵参数。这样的参数便是散射参数，简称S参数。散射参数有行波散射参数和功率波散射参数之分，即普通散射参数和广义散射参数。前者的物理内涵是以特性阻抗Z0匹配(恒等匹配)为核心，它在测量技术上的外在表现形态是电压驻波比VSWR；后者的物理内涵是以共轭匹配(
29、最大功率匹配)为核心，它在测量技术上的外在表现形态是失配因子M。1.普通散射参数的定义普通散射参数的定义普通散射矩阵(ordinary scattering matrix)是用网络各端口的入射电压波和出射电压波来描述网络特性的波矩阵。如图6.4-1所示N端口网络，设Vi(z)、Ii(z)为第i端口参考面z处的电压和电流，则由式(2.1-14)可知(6.4-1)由此可得(6.4-2)()()()()()(00000zIzIZeVeVzIzVzVeVeVzViiiziziiiizizii)()(21)()(210000zIZzVeVzIZzVeViiiiziiizi图 6.4-1 与N端口网络相联
30、系的行波两边除以 ，定义如下归一化入射波和归一化出射波：6.4-3)显然(6.4-4)是第i端口z处的电压行波反射系数。iZ0)()(21)()()(21)(00000000zIZZzVZeVzbzIZZzVZeVzaiiiiiziiiiiiizii)()()()()(0000zZzZZzZeVeVzazbiiiiiziziii由式(6.4-3)解得(6.4-5)或者得到归一化电压和归一化电流(6.4-6)()(1)()()()(00zbzaZzIzbzaZzViiiiiiii)()()()()()()()(00zbzaZzIzIzbzaZzVzViiiiiiiiii通过第i端口z处的功率则为
31、(6.4-7)表示z处的净功率为入射波功率与出射波功率之差。这里Z0i是第i端口传输线的特性阻抗，一般为实数；若Z0i为复数(例如当传输线的损耗不可忽略时)，则上述关系不成立。22*|)(|)(|)()(RezbzazIzVPiiiii以归一化入射波振幅ai为自变量，归一化出射波振幅bi为因变量的线性N端口微波网络的行波散射矩阵方程为(6.4-8a)或者b=Sa (6.4-8b)NNNNNNaaaSSSSSSbbb211211121121 散射矩阵元素的定义为(6.4-9)此定义式说明，Sij可由在端口j用入射电压波aj激励，测量端口i的出射波振幅bi来求得，条件是除端口j以外的所有其它端口上
32、的入射波为零。这意味着所有其它端口应以其匹配负载端接，以避免反射。可见散射参数有明确的物理意义：Sii是当所有其它端口端接匹配负载时端口i的反射系数，Sij是当所有其它端口端接匹配负载时从端口j至端口i的传输系数。这种散射参数可用熟知的方法和测量系统加以测量。jkajiijkabS,0对于常见的二端口网络，式(6.4-8)简化为b1=S11a1+S12a2b2=S12a1+S22a2(6.4-10)式中，a1和b1分别为输入端口的入射波和出射波；a2和b2分别为输出端口的入射波和反射波。若输出端口不匹配，设其负载阻抗的反射系数为L，则在式(6.4-10)中令a2=Lb2，得到b1=S11a1+
33、S12Lb2b2=S21a1+S22Lb2由此求得输入端口的反射系数为(6.4-11)LLSSSSab2221121111in1若网络互易，S21=S12，则此线性互易二端口网络的散射参数只有三个是独立的，且有关系(6.4-12)据此关系，线性互易二端口网络的散射参数可以用三点法测定：当输出端口短路(L=-1)、开路(L=1)和接匹配负载(L=0)时，据式(6.4-12)有关系式:(6.4-13)分别将输出端口短路、开路和接匹配负载，测出in，sc、in，oc和in，mat，便可由式(6.4-13)决定S11、S12和S22。LLSSS2221211in111matin,2221211ocin
34、,2221211scin,11SSSSSSS2.S矩阵与矩阵与Z、Y矩阵的关系矩阵的关系由式(6.3-2a)，有(6.4-14)代入式(6.4-3)，得到 (6.4-15)式中，当i=j时，ij=1；当ij时，ij=0。NjjijiijiiNjjijiijiiIZZYbIZZYa1001002121NiIZVNjjiji,2,1 1引入对角矩阵：(6.4-16)NNNYYYYZZZZZZZZ00201000201000201000000,00000,00000则式(6.4-15)可以表示成矩阵形式:(6.4-17)由式(6.4-17)第一式，得到代入式(6.4-17)第二式，得到(6.4-18
35、)比较式(6.4-8)和式(6.4-18)便得到S矩阵与Z矩阵的关系式为(6.4-19)(21)(210000IZZYbIZZYa)(2010aZZZI )(01000aZZZZZYb )(01000ZZZZZYS同样可求得S矩阵与Y矩阵的关系式为 (6.4-20)由式(6.4-8)，有(6.4-21)代入式(6.4-5)，用类似方法可求得Z、Y矩阵与S矩阵的关系式为(6.4-22)(6.4-23)NiaSbNjjiji,2,1 1 )(01000YYYYYZS )(010ZSUSUZZ )(010YSUSUYY式中U为单位矩阵，其定义为(6.4-24)对于一端口网络，由式(6.4-19)求得
36、 (6.4-25)此结果与传输线理论的结果一致。10010001U00in11ZZZZS3.级联二端口网络的散射矩阵级联二端口网络的散射矩阵用单个二端口网络的散射参数表示级联二端口网络的散射矩阵，在网络分析和CAD中十分有用，这样可以避免散射矩阵与其它矩阵之间的换算。如图6.4-2所示元件A和元件B相级联，其散射矩阵分别为SA和SB，则有(6.4-26)和(6.4-27)AAAAAAAAAAaSaSbaSaSb22212122121111,BBBBBBBBBBaSaSbaSaSb22212122121111,图 6.4-2 元件A和B的级联假如元件A的输出端口与元件B的输入端口的归一化阻抗相同
37、，则b2A=a1B，b1B=a2A，由式(6.4-26)和式(6.4-27)消除b2A、b1B、a1B和a2A，便可得到两级联二端口网络的散射矩阵为 (6.4-28)重复运用此关系，便可求得由许多元件组成的级联二端口网络总的散射矩阵。表6.6-1给出了一些常用二端口网络的S矩阵。BABABBBABABABABAABAAABSSSSSSSSSSSSSSSSSSSsS112212222122112221211122121211222111121111114.散射矩阵的特性散射矩阵的特性散射矩阵有几个很重要的特性。这些特性在微波电路特性的分析中有着重要的应用。(1)互易网络散射矩阵的对称性在6.3节
38、中讲到，对于互易网络，阻抗和导纳矩阵是对称的。同样，对于互易网络，散射矩阵也是对称的。事实上，由式(6.3-2b)和式(6.4-5)，得到即得到 )()(00baZVbaYZIZ)()(0000bZYZaZYZ由此得到(6.4-29)取式(6.4-29)的转置，考虑到Z0、为对角矩阵，则有Z0t=Z0 ，；若网络是互易的，Z为对称矩阵，Zt=Z，则得 (6.4-30)此式等价为式(6.4-19)。故知，对于互易网络，散射矩阵是对称的，即有S=St (6.4-31)00YZ和0000YY、ZZtt)()(00100ZZZZZYS)(01000ZZZZZYSt(2)无耗网络散射矩阵的幺正性对于一个
39、N端口无耗无源网络，如前面所述，传入系统的功率为，由系统出射的功率则为。由于系统无耗无源，所以这两种功率应相等，因此用矩阵形式表示，则为ata*-btb*=0Niia12|21Niib12|210)|(|21122Niiiba由定义式(6.4-8b)，上式变成ata*-atStS*a*=0或者atU-StS*a*=0娪纱说玫剑跾矩阵的幺正性：StS*=U (6.4-32)对于互易无耗微波网络，幺正性为SS*=U (6.4-33)式(6.4-32)可以写成求和形式：(6.4-34)式中，若i=j，则ij=1；若ij，则ij=0。因此，若i=j，则式(6.4-29)简化为 (6.4-35a)而若i
40、j，则式(6.4-34)简化为 (6.4-35b)式(6.4-35a)说明S矩阵的任一列与该列的共轭值的点乘积等于1；式(6.4-35b)说明任一列与不同列的共轭值的点乘积等于零(正交)。假若网络是互易的，则S是对称的，式(6.4-35)也可对各行描述同样的特性。ijNkkjkiSS1*11*NkkikiSSjiSSNkkiki 01*(3)传输线无耗条件下，参考面移动S参数幅值的不变性由于S参数表示微波网络的出射波振幅(包括幅值和相位)与入射波振幅的关系，因此必须规定网络各端口的相位参考面。当参考面移动时，散射参数的幅值不改变，只有相位改变。如图6.4-1所示N端口网络，设参考面位于zi=0
41、处(i=1，2，N)网络的散射矩阵为S，参考面向外移至zi=li处(i=1，2，N)，网络的散射矩阵为S。由于参考面移动后，各端口出射波的相位要滞后i=2li/gi，而入射波的相位要超前j=2lj/gj(j=1，2，N)，因此新的散射参数Sij为 (6.4-36)/()/(2giigjjlljijjiijeSabS新的S矩阵与S矩阵的关系则为S=PSP (6.4-37)其中(6.4-38)为对角矩阵。NjjjeeeP000000215.广义散射矩阵广义散射矩阵如图6.4-3所示为各端口直接接以信源或负载的N端口网络，定义网络各端口的电压和电流为(6.4-39)式中Zi是端口i的外接阻抗(一般为
42、复数)。由此式得到入射功率波和出射功率波分别为 (6.4-40)而(6.4-41)称为功率波反射系数，式中ZL为参考面z点向网络视入的阻抗。iiiiiiiiiiZbaIZZbZaVRe,Re*iiiliiiiiiZIZVbZIZVaRe2Re2*和ililiiiiiiiiiZZZZIZVIZVab*图 6.4-3 与N端口网络相联系的功率波式(6.4-40)定义的ai和bi之所以称为功率波，是由于通过它们可以建立微波电路中功率的确定关系。若ai=0，表示端口i无外接源，而当ai0，bi=0时，则表示该处实现了共轭匹配。由图6.4-3可知,负载ZL两端的电压Vi与流入ZL的电流Ii之间的关系为V
43、i=EGi-ZiIi (6.4-42)将此式代入式(6.4-40)，得到(6.4-43)式中PA表示信源的资用功率。另一方面，由式(6.4-40)和式(6.4-42)可得 ai2-bi2=Re ViI*=PL (6.4-44)式(6.4-38)和式(6.4-39)说明：信源EGi向负载传输功率ai2与负载阻抗ZL无关;而当信源不满足共轭匹配条件时，一部分入射功率将被反射回信源,其反射功率为bi2,因此,负载吸收的净功率为ai2-bi2。AiGiiPZEaRe4|22由式(6.4-35)定义的功率波，相对于N个阻抗Z1，Z2，,ZN归一化的N端口网络的广义散射矩阵(generalized sca
44、ttering matrix)S，可用线性矩阵方程定义为b=Sa (6.4-45)其中散射矩阵的元素可由下式计算：(6.4-46)条件ak=0，ki意味着除端口i以外的所有端口都用其各自的归一化阻抗端接，即所有其它端口都是匹配的。式(6.4-46)表示，Sii和Ski分别是除端口i以外网络其它各端口均无外接源时，端口i的功率波反射系数和自端口i向端口k的功率波传输系数。ikaikkiikaiiiikkabSabS,0,0,6.二端口网络的功率增益二端口网络的功率增益换能器功率增益(transducer power gain)可用散射参数表示为(6.4-47)式中PL和PA分别表示负载吸收功率和
45、信源资用功率。由式(6.4-47)可见，GT与ZG和ZL均有关；当信源和负载都匹配时，L=G=0，则得到匹配的换能器功率增益：GTm=S212 (6.4-48)若器件的S12=0，则可得单向换能器功率增益：(6.4-49)2in22222221|1|1|)|1)(|1(|GLLGALTSSPPG22221122221|1|1|)|1)(|1(|LGLGTuSSSG功率增益(power gain)定义为负载吸收功率与二端口网络输入功率之比：(6.4-50)式中in是二端口网络的输入端反射系数。可见G与信源内阻抗无关，因此对于与ZG有关的微波电路的设计就不宜采用。2in2222221in|1|1|
46、)|1(|LLLSSPPG资用功率增益(available power gain)定义为负载从二端口网络得到的有用功率与负载直接从信源得到的有用功率之比：(6.4-51)式中out是二端口网络的输出端反射系数。可见GA与ZG有关，而与ZL无关。2out2112221avsavn|1|1|)|1(|GGASSPPG6.5 ABCD矩矩 阵阵1.ABCD矩阵矩阵ABCD矩阵是用来描述二端口网络输入端口的总电压和总电流与输出端口的总电压和总电流的关系，如图6.5-1(a)所示，即有V1=AV2+BI2I1=CV2+DI2写成矩阵形式为 (6.5-1)注意：I2的方向是流出端口2,以便于研究二端口网络
47、的级联。2211IVDCBAIV图 6.5-1(a)二端口网络；(b)N个二端口网络级联ABCD矩阵元素无明确物理意义，但它特别适用于分析二端口网络的级联。如图6.5-1(b)所示，我们有113322222222111111 NNNNNNNNIVDCBAIVIVDCBAIVIVDCBAIV于是得到11111112222111111 NNNNNiiiiiNNNNNNIVDCBAIVDCBAIVDCBADCBADCBAIV级联因此得到(6.5-3)即是说，级联二端口网络总的ABCD矩阵等于各单个二端口网络ABCD矩阵之积。需要指出注意的是，矩阵乘法不满足交换律，因此在求矩阵乘积时，矩阵的前后次序必
48、须与级联网络的排列次序完全一致。表6.6-1给出了一些常用二端口电路的ABCD矩阵。NiiiiiDCBADCBA1 级联例例 6.5-1 求表6.6-1中串联阻抗Z、并联导纳Y和理想变压器的ABCD矩阵。解解 可以写出串联阻抗Z的方程和矩阵表示式为并联导纳Y的输入和输出端的电压、电流关系为理想变压器输入和输出端的电压、电流 关系为:101 022122221ZIIIZIVVZIV101 022221221YIYVYVIIVVV101)/1(022221221YIYVYVInIVVV对于输入和输出端口传输线的特性阻抗Z0相同的二端口网络，用Z0除B和乘C进行归一化处理，便可得到归一化ABCD矩阵
49、：(6.5-4)若干二端口元件级联时，只要所有元件都具有相同的参考阻抗Z0，就可以直接从各元件的归一化ABCD矩阵相乘得到总的归一化ABCD矩阵。DCZZBAdcba00/2.ABCD矩阵与矩阵与S矩阵的关系矩阵的关系S参数有明确物理意义，但它不便于分析级联网络。因此，为了分析级联网络，需采用ABCD矩阵求级联网络的ABCD矩阵，然后转换成S矩阵，以研究级联网络的特性。因此有必要熟悉S矩阵与ABCD矩阵之间的转换关系。以式(6.4-6)代入式(6.5-1)，得到a1+b1=A(a2+b2)+B(a2-b2)/Z0a1-b1=CZ0(a2+b2)+D(a2-b2)即b1-(A-B/Z0)b2=-
50、a1+(A+B/Z0)a2-b1-(CZ0-D)b2=-a1+(CZ0+D)a2或者由此得到21002100)(1)/(1)(1)/(1 aaDCZZBAbbDCZZBA210010021)(1)/(1)(1)/(1 aaDCZZBADCZZBAbb与S矩阵方程(6.4-8)比较，得到S矩阵与ABCD矩阵的转换关系为 (6.5-5)DCZZBABCADDCZZBADCZZBADCZZBADCZZBAS00000000100/2)(2/1)(1)/(1)(1)/(1 同样可求得ABCD矩阵与S矩阵的关系为 (6.5-6)可见，当S21=0时，ABCD参数将是不确定的。S21表示正向传输系数，在微
