1、 1 “圆锥曲线起始课”教学设计“圆锥曲线起始课”教学设计 一一 【教学内容解析教学内容解析】 1圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容它是继学习了以直线和圆 为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形圆锥曲线能充分体现解析几 何研究方法 2圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是 运用代数的方法即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为 代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的 数形结合的思想 3圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它
2、的几何性质在日常生活，社会生产以及其 他科学中都有着重要而广泛的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等因此圆锥曲线的学习 对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值 本节课的内容是选自北师大出版社高中数学选修 2-1第三章知识的引言部分，属于策略性和 介绍性为主的起始课 二二 【教学目标设置教学目标设置】 1知识与技能目标 本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景通过用平面对圆锥面的不同的截法，产 生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情 境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆） 2过程与方
3、法目标 初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主学习以及相互 协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物 模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，体会 解析几何的研究方法 3情感、态度与价值观目标 通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发学习圆锥曲线的兴趣， 能够自主学习、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观 4重难点 重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义 难点：用 Dandelin 双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双
4、曲线定义 三三 【学生学情分析学生学情分析】 1这节课的授课对象是高中二年级的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达 的能力在知识层面上，高一阶段已学习了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象 能力， 学生还学习了解析几何中的直线和圆， 具有一定的用解析方法处理问题的能力 在方法的层面， 学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了数形结合的思想与类比与转化思想 2学生在学习过程中,也可能会遇到诸多困难：从空间的圆锥截出平面图形的转化问题，特别是 通过 Dandelin 双球发现椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及动态问题 四四 【教学策略分析教学策略分析】 1整
5、个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情 景，让学生很自然进入学习圆锥曲线的学习，为后面采用解析的方法学习埋下了伏笔 2由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操 2 作确认，避免过度抽象. 思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用 3在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生 在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表 达自己的见解 4从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力采用模型和软 件，使学生的想法能
6、够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性 五五 【教学过程教学过程】 环节环节 教学过程和教学过程和师生活动师生活动 意图意图，理念与备注，理念与备注 1 1课课 题 引题 引 入入 通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线 师生活动：让学生踊跃发言 1从实际生活出发，直 观感知各种圆锥曲线的 存在， 使学生在头脑中产 生各种曲线的初步印象， 为下一步的数学抽象做 准备 2 特别是 “愤怒的小鸟” 这个抛物线段片让学生 马上产生兴趣， 积极参与 发现与探索， 加深直观印 象 2 2复复 习 和习 和 准备准备 1.1.复习圆锥的形成复
7、习圆锥的形成 2.2.由圆锥的形成过由圆锥的形成过 程引入圆锥面程引入圆锥面 注：这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半 ,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出不同的曲线留下 知识. 师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。 1.对以前知识回顾， 教师 引导，学生回顾。 2.注意新旧知识的联系 与发展， 注重知识的系统 性， 使学生带着为什么要 复习这个知识的疑惑走 入课堂。 3 3新新 课 传课 传 授授 介绍介绍圆锥圆锥曲线的发展史曲线的发展史 1 1最初发现最初发现 PPT 播放结合教师的介绍： 本课以圆锥曲线的发展 史为主线， 在其中创设各 种情景， 引
8、导学生进入圆 锥曲线的学习 1由第一个环节“最初 发现” 中的古老问题的提 3 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 1最初发现最初发现 早在公元前5世纪-公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数 学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意 角”三大不可能尺规作图问题. 化圆为方问题作一个正方形使其具有给定圆的面积 立方倍积问题作一个立方体使其具有给定立方体两倍体积 三等分任意角问题把一个给定的角分为三个相等的角 欧几里得欧几里得（公元前330-公 元前275，古希腊数学家） 高斯高斯（1777年-1855年， 德国数学家，物理学家） 教师附加介绍： 这些问题在两千多年的时间里， 有多数学大师
9、研究 过，比如早到欧几里得，晚到高斯直至 19 世纪，这三个作图问 题才被最终证实为不可能只用圆规和直尺作出 不知什么缘故， 数 学的美不在乎它的答案而在于它的方法， “不可解”似乎像是一个 令人失望的答案，然而得到这一结论的思维过程却是极具魅力的， 人们屡遭失败之后， 一方面是从反面怀疑它是否可作； 另一方面就 很自然地考虑跳出尺规作图的框框， 而是借助于另外一些曲线， 是 不是可解决这些问题呢？我们今天学习的圆锥曲线， 就是从这里开 始被发现的。 公元前4世纪古希腊数学家梅内克缪斯在在研 究“立方倍积”问题 ，用平面截不同的圆锥，发 现了圆锥曲线 . 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史：
10、1最初发现最初发现 梅内克缪斯梅内克缪斯（公元前 375-公元前325，古 希腊数学家） 当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识， 上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得 到，这就是圆锥曲线的“雏形”. 教师附加介绍： 不同的圆锥是轴截面顶角分别为直角， 锐角和钝角， 但都是拿和母线垂直的平面截圆锥， 从而形成不同的曲线， 这就是 圆锥曲线的“雏形” 2 2奠基工作奠基工作 出来介绍圆锥曲线的发 现， 即增加了学生的兴趣 和探索欲望， 又能让学生 感受到数学发展过程中 的魅力 2引出圆锥曲线的“雏 形”为了让学生明白探 知的过程， 进一步激发学 生的好奇和兴趣 为下一 步的“圆锥曲线” 的定 义做好铺垫
11、 3.总结古希腊对圆锥曲 线的认识,说出不足,为 学生以后用解析的方法 进一步学习圆锥曲线的 理由顺理成章. 4 2奠基工作奠基工作 阿波罗尼的著作圆锥曲线论与欧几 里得的几何原本同被誉为古希腊几 何登峰造极之作 ，它将圆锥曲线的性 质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余 地. 总而言之，在古希腊对圆锥曲线的 研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由 于没有坐标系统，所以在表达形式上存 在着不容忽视的缺陷. 阿波罗尼阿波罗尼（约公元前 262190年，古希腊数 学家，与欧几里得、阿 基米德齐名.） 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 4 4创创 设 情设 情 景景, ,突突 破 概破 概 念念 ( (
12、一一) ) 1.1.实验实验: :利用手机中的闪光灯,绕线筒和纸板,把光线投影到纸板, 观察影子的变化 师生活动:让学生参与,看到现象,探究原因. 这里学生很容易认识到这个模型,把圆和椭圆说出,但是对于抛物 线和双曲线的形成和位置的判别不太清楚.这没有关系,等下还有 定性分析. 2.2.探讨探讨 问题 1：用过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？ 师生活动:学生很容易回答 “点”,容易忽视“两条相交直线” 问题 2：用不过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？ 师生活动:学生也很容易回答出“圆” 思考：当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时， 还能得到哪些不 同的截线？ 师生活动:通过学生上台来
13、控制动画,直观认识不同平面截圆锥 得出的曲线 1.学生对手机和绕线筒 非常熟悉,这个试验马上 能引起学生注意,也定会 感叹设计的巧妙和数学 的无处不在. 2.利用身边的实物来做 个试验,揭示三种曲线的 形成,但对抛物线和双曲 线的显示不足,这为我们 下面的定性分析做了铺 垫 3.从特殊位置考虑， 培养 学生分类讨论的思想， 提 高数学的严密性. 4.学生先有直观感受， 让 学生动手实验， 通过自主 探索活动， 让学生参与到 教学活动的全过程中来， 体现学生参与的主体地 位，使学生手，脑，口并 用， 主动地获取知识， 培 养学生自主探究学习的 能力 5 3.3.定性的分析总结定性的分析总结: :
14、 圆锥圆锥曲线曲线的定义的定义 （1 1 1 1）椭圆）椭圆）椭圆）椭圆（2 2 2 2）双曲线）双曲线）双曲线）双曲线（3 3 3 3）抛物线）抛物线）抛物线）抛物线 2 = 探讨探讨 0 用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个圆锥面，用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个圆锥面，当平当平 面与圆锥面的所成角面与圆锥面的所成角与轴截面顶角的半角与轴截面顶角的半角大小关系不大小关系不 同时，截线的不同情况如下：同时，截线的不同情况如下： 椭圆、双曲线及抛物线统称为椭圆、双曲线及抛物线统称为圆锥曲线圆锥曲线. . 师生互动：这里对学生而言理解会有一定的困难,教师的讲解要清 晰,细致,不要着急. 5.重点
15、的突破在这里显 得很自然,但是对于学生 理解上还是有一定难度, 教师要注意好这个环节. 5 5创创 设 情设 情 景景, ,突突 破 概破 概 念念 ( (二二) ) 1.1.回到圆锥曲线的发展史回到圆锥曲线的发展史, ,阐述阿波罗尼对椭圆的研究发现阐述阿波罗尼对椭圆的研究发现 阿波罗尼阿波罗尼（约公元前 262190年，古希腊数 学家，与欧几里得、阿 基米德齐名.） 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： ）后人称为焦点，常数 为定点，常数，（ 有椭圆上任意一点 | ,| | 21 212 1 FF FFMF MFM 椭圆: 2.2.联系中国古代的事物和数学家的介绍联系中国古代的事物和数学家的
16、介绍, ,用一个刘徽传授椭圆画用一个刘徽传授椭圆画 法的传说故事和自述法的传说故事和自述的“木工师傅做椭圆镜框”一小故事来引出的“木工师傅做椭圆镜框”一小故事来引出 椭圆的画法椭圆的画法. . 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 椭圆: 刘徽刘徽（约公元225295, 魏晋期间伟大的数学家， 他的杰作九章算术和 海岛算经，是中国最 宝贵的数学遗产.） 3.3.画椭圆画椭圆 学生分组利用纸板,钉子和绳子来动手自己画椭圆. 引导学生在画的过程中要注意的细节,如绳子要绷直,两个钉子要 1.利用史料和传说小故 事,引出椭圆的画法,能 提高学生学习的兴趣和 积极性,又能普及数学史 培养正确的价值观.
17、2. 在处理画椭圆的环 节， 创造条件让学生亲自 动手画出椭圆， 并安排了 一系列情节引导学生在 操作过程中注意细节， 鼓 励学生通过动手实验、 独 立思考、 相互讨论等手段 得出结论， 鼓励学生表达 自己的见解 3.有意安排画出不同的 椭圆为随后的椭圆的性 质研究累计素材.还安排 6 稳定等细节. 安排其中一个组领到的纸板上两个钉子的绳子已经是绷直的. 在教师展示其他组画的不同形状的椭圆时,这个组的成员会提出问 题:老师,我们组的画不出椭圆,而是画出了一条线段. 借此教师那那组的纸板加以解释,当绳子的长度和两个定点距离相 等时,画出的只是一条线段, 继续提问,当绳子的长度小于两个定点的距离呢
18、? 学生马上反应过来,这时应该画不出任何图形. 4.4.总结总结: : 椭圆的定义椭圆的定义: : 一般地，平面内到两个定点F1 ，F2 的距离的和等于常数（大于 F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1 ，F2 叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 用数学表达式体现:)2(2 2121 FFaaMFMF 对为什么用a2的表示常数,我们后面会知道它的作用(为求标准 方程打下基础) 5.5.论证论证: : 论证在圆锥截出的椭圆就是我们画出来的椭圆论证在圆锥截出的椭圆就是我们画出来的椭圆 在圆锥曲线的众多研究者中， 19 世纪的法国数学家 Dandelin 是非 常著名的一位.19
19、 世纪初，法国数学家 Dandelin 利用与圆锥面和截面均相切的 两个球（Dandelin 双球） ，给出了研究椭 圆定义的一种巧妙的方法. Dandelin 在截面的两侧分别放置一个球， 使它们都与截面相切（切点分别为 F1 ， F2），且与圆锥面相切，两球与圆锥面的 公共点分别构成圆 O1和圆 O2. 设点M是平面与圆锥面的截线上任一点， 过 M 点作圆锥面的一条母线分别交圆 O1 和圆 O2于 P，Q 两点. 问题 1:图中所示线段之间的长度有什么关系？ 学生:因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以 MF1=MP， MF2=MQ， 故 MF1+MF2=MP+MQ=PQ 问题 2:PQ
20、长有什么特点. （学生思考，教师展示M点在截线上运动时的动画.） 学生:PQ 是常数. 总结:截线上任意一点到两个定点F1 ，F2的距离的和等于常数. 就是我们刚刚画的椭圆就是我们刚刚画的椭圆的定义的定义. . 例例.已知已知ABC 中，中，B（-3，0） ，） ，C（3，0） ，且） ，且 AB，BC，AC 成等成等 差数列差数列.试问：点试问：点 A 在一个什么样的圆锥曲线上运动？说明理由在一个什么样的圆锥曲线上运动？说明理由 教师巡视学生作答情况，并要学生作答，注意答题细节教师巡视学生作答情况，并要学生作答，注意答题细节 一种特殊情况让学生自 己发现并提出问题,加深 学生的印象,培养学生
21、思 维的严密性. 4.学会有数学语言来描 述定义. 5.这个环节对学生而言 有一定难度,对空间立体 几何的认知要求颇高,是 本节课的一个难点. 6.这个环节能让学生体 会到从空间事物抽象到 平面的一个过程,有利于 培养学生的转化能力. 小试牛刀，熟悉定义 7 6.6.类比类比学习学习 思考思考: 将是什么样的轨迹呢？ 时，为平面上的两个定点），（ 常数满足当平面上的点 M FF MFMFM 21 21 引入拉链和双曲线引入拉链和双曲线 继续以动画为载体继续以动画为载体, ,演示拉拉链这个实验演示拉拉链这个实验, ,在这个过程在这个过程让学生发现让学生发现 问题问题, ,并加以总结并加以总结.
22、. 引导学生从实验抽象出数学性质引导学生从实验抽象出数学性质 7.7.由学生类比总结出双曲线定义由学生类比总结出双曲线定义: : 一般地，平面内到两个定点一般地，平面内到两个定点F F1 1 ，F F2 2 的距离的差的绝对值等于常的距离的差的绝对值等于常 数（小于数（小于F F1 1 F F2 2 的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F F1 1 ， F F2 2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. . 用数学表达式体现:)20(2| 2121 FFaaMFMF 提示学生同样要注意这个定义
23、成立的条件提示学生同样要注意这个定义成立的条件 8.这里安排利用拉链实 验类比推理出双曲线的 定义,不但加深了椭圆定 义的理解和记忆,也为以 后由椭圆类比学习其他 曲线埋下伏笔和打下基 础. 9.再次利用动态事物帮 助学生理解轨迹的形成. 10.注意双曲线的两支. 培养学生的学习能力， 让 他们学会归纳，学会学 习。 6 6回回 归 数归 数 学史学史 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： PPTPPT 展示结合教师的讲评展示结合教师的讲评 3 3长期停滞长期停滞 又经过了 500 年，到了 3 世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作汇 篇中，才完善了关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了 证明
24、。这时，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了. 在这之后的 13 个世纪里， 整个数学界对圆锥曲线的研究几乎没有 什么进展. 4 4有所突破有所突破 有两件事促使人们对圆锥曲线的进一步研究 1感受数学发展的漫长 和艰辛 8 4有所突破有所突破 开普勒开普勒 (1571-1630,德国天文 学家、数学家 ) 德国数学家开普勒继承了哥白尼 的日心说，揭示出行星按椭圆轨道绕 太阳运行，是圆锥曲线摆脱圆锥而成 为自然界中物体运动的普遍形式. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 4有所突破有所突破 伽利略伽利略（1564-1642, 意大利数学家、物理 学家、天文学家） 伽利略得出斜抛运动的轨道
25、是抛物线， 突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古 希腊人的证明方法太缺乏一般性，几乎每个 定理都是要想出一个特殊的证明方法.于是， 对圆锥曲线的处理方法开始有了变化. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 5 5别别开生面开生面 5别开生面别开生面 笛卡尔笛卡尔（1596-1650，法国数学家、 物理学家，解析几何创始人） 解析几何的创立，使人们对圆锥曲线的 研究方法不同于以前，而是朝着解析方法的 方向发展.即建立坐标系，得出圆锥曲线的方 程，再利用方程研究圆锥曲线的性质，以摆 脱几何直观而达到抽象化的目标，也可以求 得对圆锥曲线研究的高度概括与统一.在这方 面，笛卡儿等解析几何的鼻祖作出
26、了巨大的 贡献. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 2鼓励学生敢于探索， 敢于突破 4.由“别开生面”这个阶 段， 介绍我们为什么学习 解析几何，了解其由来， 为后面建立坐标系到求 标准方程， 再来研究其性 质这个过程做了个很好 的铺垫. 9 6 6系统总结系统总结 6系统总结系统总结 牛顿牛顿（1643- 1727，英国物理学 家，数学家） 伯努利伯努利（1623- 1708，瑞士数学 家） 18世纪，牛顿、伯努力和等先后提出不同的坐标系，尤其影 响深刻的是极坐标系，随着坐标系的系统化，关于圆锥曲线性质 研究逐渐系统化起来. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 6系统总结系统总结 欧拉
27、欧拉（1707-1783，瑞士 数学家、自然科学家） 欧拉1745年发表的分析引 论，被誉为解析几何发展史 上的重要著作，系统地研究了 圆锥曲线的各种情形，并证明 通过坐标变换，一定可以把任 何圆锥曲线化为某种标准形式. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 欧拉之后，三维解析几何的研究 蓬勃开展，由圆锥曲线导出了圆 锥曲面.至此，关于圆锥曲线的理 论被广泛应用，直至今天. “嫦娥一号嫦娥一号”探月变轨轨道图探月变轨轨道图 火电厂及核电站的冷却塔 冷却塔冷却塔的轴截面是的轴截面是双曲线双曲线，从底部到中部直径变小，是将，从底部到中部直径变小，是将 蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可
28、以降蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可以降 低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽 可能的留在塔内，提高冷却可能的留在塔内，提高冷却回收率回收率. 5.这个是离我们实际最 近的一个阶段,也是和我 们生活最紧密的一个阶 段,再次拿出一些我们现 实生活中的圆锥曲线,让 学生再次体会数学的实 际应用. 6.这里还讲了个关于欧 拉的小故事,培养学生学 习数学的意志品质. 7 7小小 结结 小结小结: : 和学生一起小结和学生一起小结通过本节课的学习通过本节课的学习, ,你你了解到了解到什么什么? ? 8.8. 作作 业业 1.1
29、. 在在ABC中，中，BC= =2，| 1ABAC，那么点，那么点A在怎样的曲线在怎样的曲线 上运动？上运动？ 2. 2. 已知已知ABC中，中，BCBC长为长为 6 6，周长为，周长为 1616，那么顶点，那么顶点A A怎样的曲怎样的曲 线上运动？线上运动？ 3. 3. 如图，圆如图，圆 1 F在圆在圆 2 F的内部，且点的内部，且点 1 F， 2 F 不重合不重合. . 求证：与圆求证：与圆 1 F外切，且与圆外切，且与圆 2 F内切的圆的圆内切的圆的圆 心心C的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆. . 4.4.（探究题）将一个半径为（探究题）将一个半径为R的篮球放在地的篮球放在地 面上，被阳光斜照留下的影子是椭圆面上，被阳光斜照留下的影子是椭圆. . 如果将光源换成电光源，如果将光源换成电光源， 那么影子可能是抛物线吗？那么影子可能是抛物线吗？ 进一步巩固课题的重， 难 点。 让学生在作业中中发 现不足、 弥补不足， 加深 对知识理解， 真正把学到 的知识转化成能力。
