1、第7章 线性离散控制系统u7.1 离散控制系统概述离散控制系统概述u7.2 信号的采样与保持信号的采样与保持u 7.3 z变换变换u7.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型u 7.5 离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析第7章 线性离散控制系统u 7.6 离散系统的稳态误差分析离散系统的稳态误差分析u 7.7 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析u 7.8 离散系统的校正离散系统的校正u7.9 MATLAB在离散系统中的应用在离散系统中的应用u 本章小结本章小结u习题习题前几章讨论的连续控制系统，其系统中各处的信号都是时间的连续函数。这种在时间上连续、在幅值上也连续的信号，称为
2、连续信号，也称为模拟信号。若系统的一处或数处信号不是连续的模拟信号，而是脉冲序列，则称这种信号为离散信号。它通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而得到的，因此又称为采样信号。这样的系统称为离散系统或采样系统，如计算机控制的各种系统。随着数字计算机技术的迅速发展，离散控制系统得到了日益广泛的应用。离散控制系统是一种断续控制方式，最早出现于某些惯性很大或具有较大延迟特性的控制系统中。图7-1是工业用炉温自动控制系统的原理方框图。炉子是一个具有延迟特性的惯性环节，时间常数较大。炉温的误差信号经放大后驱动电动机去调整燃料阀门的开度以控制炉温。7.1 离散控制系统概述离散控制系统概述若系统的
3、开环放大倍数很大，系统对误差信号将非常敏感，当炉温较低时，电动机将迅速旋转，开大阀门，给炉子供应更多的燃料。由于炉子本身的时间常数较大，炉温上升很慢，当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开度，因此炉温继续上升，造成超调，电动机将反方向旋转。根据同样的道理，又会造成炉温的反方向超调，从而引起炉温大幅度的振荡，甚至使系统不稳定。若系统的开环放大倍数取得很小，系统则很迟钝，只有当误差较大时，产生的控制作用才能克服电动机的“死区”而推动阀门动作。这样虽不引起振荡，但控制作用不及时，调节时间很长且误差较大。图7-1 炉温自动控制系统原理方框图若采用离散控制系统，系统的原理方框图如图7-2所示，在误差
4、信号和电动机之间加一个采样开关，它周期性地闭合和断开。当炉温出现误差时，该信号只有在开关闭合时才能使电动机旋转，进行炉温调节。当开关断开时，电动机立刻停下来，阀门位置固定，让炉温自动变化，直到下一次采样开关闭合，再根据炉温的误差进行调节。由于电动机时转时停，炉温大幅度超调现象将受到抑制，即使采用较大的开环放大倍数，系统仍能保持稳定。图7-2 炉温离散控制系统原理方框图通过上例可以看出，在惯性很大或具有较大延迟特性的控制系统中，采用连续控制效果并不理想，而采用断续的离散控制方式反而可取得较好的控制效果。图7-3所示为一个典型的离散控制系统原理方框图。系统由采样开关、脉冲控制器、保持器和被控对象等
5、部分组成一个反馈控制系统。随着控制系统复杂性的增加，特别是随着数字计算机技术的发展，离散控制系统在控制精度、控制速度以及性价比等方面都比模拟控制系统表现出明显的优越性。图7-4所示为以数字计算机为核心组成的一个典型计算机控制系统原理方框图。图7-3 离散控制系统原理方框图图7-4 计算机控制系统原理方框图由于计算机内部参与运算的信号必须是二进制编码的数字信号，因此计算机控制系统也称做数字控制系统。通常需先将连续误差信号e(t)经模数转换装置A/D进行采样编码，转换成计算机能够识别的数字信号e*(t)，该信号经数字控制器处理后形成离散控制信号u*k(t)，再经过数模转换装置D/A恢复成连续控制信
6、号uk(t)，作用于被控对象。由以上分析可知，采样就是通过采样开关的作用将连续信号变成脉冲序列的过程，图75所示为周期采样方式。所谓周期采样，就是采样开关按一定的时间间隔开闭。该时间间隔称为采样周期，通常用T表示。图7-5 周期采样除了周期采样以外，还有其他采样形式：(1)等周期同步采样：多个采样开关等周期同时开闭。(2)等周期异步采样：多个采样开关等周期但不同时开闭。(3)多阶采样：各采样开关以不同的周期开闭。(4)随机采样：开关动作随机，没有周期性。本书只讨论采样开关周期采样的情况。将连续信号转变为脉冲信号需要使用采样器，也称采样开关；而为了控制连续式元部件，又需要使用保持器将脉冲信号转变
7、为连续信号。为了定量研究采样系统，必须对信号的采样过程和保持(复现)过程用数学方法来加以描述。7.2 信号的采样与保持信号的采样与保持7.2.1 采样过程的数学描述采样过程的数学描述把连续信号变换成离散信号的过程，叫做采样过程。在理想的采样过程中，连续信号经采样开关的周期性采样后，得到的每个采样脉冲的强度等于连续信号在采样时刻的幅值。因此，理想采样开关可以视作一个脉冲调制器，采样过程可以看做一个单位脉冲序列T(t)被输入信号e(t)进行幅值调制的过程，如图7-6所示。其中，单位脉冲序列为载波信号，e(t)为调制信号。nnTtt)()(T图7-6 幅值调制过程当t0时，输出信号可表示为(7-1)
8、式(7-1)为理想采样过程的数学表达式。对于实际采样过程，将连续信号e(t)加到采样开关的输入端，采样开关每隔周期T秒闭合一次，每次闭合持续时间为，于是在采样开关的输出端得到宽度为的调幅脉冲序列e*(t)，如图7-7所示。0T*)()()()()(nnTttettete图7-7 实际采样过程由于采样开关闭合时间很小，远远小于采样周期T，故e(t)在时间内变化甚微，可以近似认为在该时间内采样值不变。所以e*(t)可近似视为一个宽度为，高度为e(nT)的矩形脉冲序列，即(7-2)(1)()1()(0*nTtnTtnTeten式中：1(tnT)1(tnT)为两个单位阶跃函数之差，表示在nT时刻，一个
9、高度为1、宽度为的矩形脉冲。当0时，该矩形窄脉冲可用nT时刻的一个冲量为的函数来近似表示：(7-3)将式(7-3)代入式(7-2)可得(7-4)()(1)(1nTtnTtnTt0*)()()(nnTtnTete针对具体的离散控制系统，对上式可作如下说明：如果采样信号e*(t)未经保持器直接加到后续系统中，则每个脉冲的强度，正比于闭合时间，故后面系统的放大倍数将扩大才符合实际情况。若使原系统的总增益在采样前后保持不变，则需增加一个增益为(1/)的放大器。如果采样信号e*(t)经保持器直接加到后续系统中，那就可以不考虑脉宽对系统增益的影响，则采样信号可直接按理想采样开关输出的信号来处理。由于大多数
10、的离散控制系统，特别是数字控制系统均属于这种情况，因此，通常将采样开关视作理想采样开关，而采样信号e*(t)用式(7-1)来描述。考虑到函数的特点，式(7-1)也可写作(7-5)00*)()()()()(nnnTtnTenTttete7.2.2 采样定理采样定理连续信号e(t)经采样后变为采样信号e*(t)，采样信号的信息不等于连续信号的全部信息。因此，采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。研究两类信号之间的相互联系，这需要用频谱分析的方法。所谓频谱，实质是一个时间函数所含不同频率谐波成分的分布情况。因为单位脉冲序列T(t)是一个周期函数，可以展开为傅立叶级数，并写成其复数形式，即
11、(7-6)ntnneCtsjT)(式中：s为采样角频率，s2/T；T为采样周期；Cn为傅立叶系数，即(7-7)由于在区间中，只在t0时T(t)才有值，且则(7-8)2/2/j)(1TTtnTndtetTCs2,2TT,1e0jsttnTttTC1d)(100Tn故有(7-9)由式(7-1)可得，采样信号为(7-10)ntneTtsjT1)(ntnteTttetesjT*e)(1)()()(上式两边各进行拉氏变换，得(7-11)又因为E(s)Le(t)，令sj，则E(j)为e(t)的频率特性，|E(j)|为e(t)的幅频特性或称频谱。一般说来，e(t)的频谱|E(j)|是一个单一的连续频谱，其谐
12、波分量中的最高频率max是无限大的，如图7-8(a)所示。但因为当较大时，|E(j)|将很小，故可认为max是有限值，e(t)的频谱|E(j)|可近似如图7-8(b)所示。nnsETsE)j(1)(s*图7-8 连续信号e(t)的频谱(a)实际频谱；(b)近似频谱E*(j)为e*(t)的频率特性，|E*(j)|为e*(t)的频谱。由式(7-11)可得(7-12)可见，采样后的信号频谱由无数条频谱叠加而成，每一条频谱曲线是采样前信号e(t)的频谱|E(j)|平移ns，幅值下降为原幅值的的结果。而且T1)j(1)j(j1)(jss*nETnETEnn)j(j1)(j1)j(j1)(j*sssssE
13、TETETE令s代入式(7-12)，展开得更为一般地有(7-13)故E*(j)是以s为周期的周期函数，其频谱|E(j)|也是以s为周期的周期函数，如图7-9所示。)(j )j(j1)(j1)j(j1)j(j*ssssss*EETETETE,2,1,0 )(j)j()j(j*s*s*nEnEnE特别地，当n0时，|E*(j)|的频谱分量|E(j)|/T称为主频谱，它就是连续信号e(t)频谱|E(j)|的1/T。从图7-9可以看出，当时，各个频谱分量不重叠，通过滤波可以滤除E*(j)中高于max的频谱，剩下的频谱与E(j)形状相同，即可从采样信号e*(t)中复现出原来的连续信号e(t)；否则，E*
14、(j)中各个频谱波形互相搭接，E*(j)就无法通过滤波得到E(j)，也就无法从e*(t)中复现出e(t)。maxs2图7-9 采样信号e*(t)的频谱由以上分析可以得到如下结论：可以从采样信号e*(t)中完全复现连续信号e(t)的条件是采样频率s必须大于或等于输入采样开关的连续信号e(t)频谱中的最高频率max的2倍，即(7-14)这就是著名的香农(Shannon)采样定理。maxs27.2.3 零阶保持器零阶保持器由图7-9可知，当采样信号的频谱中各波形互不重叠时，可以用一个具有图7-10所示的幅频特性的理想低通滤波器无畸变地复现连续信号的频谱，只是各频谱分量都是原来的1/T。然而，这样的理
15、想低通滤波器在实际中是无法实现的。工程中最常用、最简单的低通滤波器是零阶保持器。零阶保持器将采样信号在每个采样时刻的采样值e(nT)一直保持到下一个采样时刻，从而使采样信号e*(t)变成阶梯信号eh(t)，如图7-11所示。因为这种保持器的输出信号eh(t)在每一个采样周期内的值为常数，其导数为零，所以称之为零阶保持器。图7-10 理想低通滤波器的幅频特性图7-11 零阶保持器的输入输出信号当零阶保持器输入信号为单位脉冲(t)时，其输出是幅值为1、持续时间为T的一个矩形脉冲h(t)，即(7-15)对零阶保持器的单位脉冲响应gh(t)进行拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为 (7-16)(1)(
16、1)(hTtttg)()(hhsgLsGseessTsTs111令sj，得到零阶保持器的频率特性为(7-17)式中：T为采样周期；s为采样角频率，零阶保持器的幅频特性为(7-18)2/j2/j2/j2/jjhe2/)2/sin(j)e(eeje1)(jTTTTTTTTG。Ts22/)2/sin()(jhTTTG零阶保持器的相频特性为(7-19)可见，当0时，当s时，而jh(s)。零阶保持器的幅频特性和相频特性如图7-12所示。2)(Thj；0)0(,2/2/sinlim)0(jh0jTTTTGh,0sin)(jhTG图7-12 零阶保持器的幅频特性和相频特性从幅频特性上看，零阶保持器具有低通滤
17、波特性，但不是理想的低通滤波器。零阶保持器除了允许采样信号的主频分量通过外，还允许部分高频分量通过。因此，零阶保持器复现出的连续信号eh(t)与原信号e(t)是有差别的。同时，由于离散控制系统的连续部分也具有低通滤波特性，可将通过零阶保持器的绝大部分高频频谱滤掉，而且零阶保持器结构简单，在实际中得到了广泛的应用。但应注意到，从相频特性上看，零阶保持器产生正比于频率的相位滞后。因此零阶保持器的引入，将造成系统稳定性下降。若将零阶保持器传递函数按幂级数展开，则有 若取级数的前两项，得实现它的方法很多，可采用放大器和RC网络或有源网络来实现，如图7-13所示。)(!21111 1)11(11)(2h
18、TsTssessesGTsTsTsTTsssG1)111(1)(h图7-13 零阶保持器的实现(a)RC网络方式；(b)运算放大器方式线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性能。而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用z变换来分析它的暂态性能及稳态性能。z变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换引导出来的，实际上就是离散信号的拉普拉斯变换。7.3 z 变变 换换7.3.1 z变换的定义变换的定义连续信号f(t)的拉普拉斯变换为连续信号f(t)经过采样后的离散信号f*(t)为(7-20)它的拉普拉斯变换为 (7-21)0de)()(
19、)(ttftfLsFst0*)()()(nnTtnTftf0*e)()()(nnTsnTftfLsF可见上式含有s的超越函数enTs，不便于计算，故引入一个新的复变量z。令(7-22)或(7-23)则有(7-24)Tsez zTsln10ln1*)()()(nnzTsznTfsFzF如果式(7-24)所示的级数收敛，则定义F(z)为f*(t)的z变换，记作Zf*(t)F(z)。T需要指出的是，F(z)是f*(t)的z变换，它只考虑了采样时刻的信号值f(nT)。同时，对一个连续信号f(t)而言，由于在采样时刻f(t)的值就是f(nT)，所以也称F(z)是f(t)的z变换，即 (7-25)0*)(
20、)()()(nnznTfzFtftfZZ7.3.2 z变换的求法变换的求法1.级数求和法对于式(7-20)形式的离散信号f*(t)，将其展开得对其进行拉氏变换得0*)()()(nnTtnTftf)2()2()()()()0(TtTfTtTftf)()(nTtnTfnTsTsTsnTfTfTffsFe)(e)2(e)(1)0()(2*令可得f*(t)的z变换为 (7-26)上式是离散信号f*(t)的z变换展开形式，只要知道f(t)在各个采样时刻的数值，即可求得其z变换。这种级数展开式是开放形式，有无穷多项，应用少，通常写成闭合形式。zTsln1nznTfzTfzTffzF)()2()(1)0()
21、(21【例例7-1】求单位阶跃函数1(t)的z变换。解解 由于1(t)在任何采样点的值均为1，则1(nT)1。上式可看做一个等比数列，公比为z1。若满足|z1|1，则有nzzzzt210)(1 Z)1(111)(11zzzztZ【例例7-2】求指数函数 f(t)eat(a0)的z变换。解解 在各采样时刻f(nT)eanT，则由式(7-26)得上式可看做一个等比数列，公比为(eaTz)1；若满足|eaTz|1，则有221ee1)(zzzFaTaTaTaTzzzzFe)(e11)(12.部分分式法部分分式法一般地，连续函数的拉氏变化具有如下形式：将其展开为部分分式和的形式为(7-27)()()(s
22、NsMsFkiiissAsF1)(对于上式中的每个分量其拉氏反变换为而对于其z变换为则F(s)的z变换为(7-28),iissA。tsiieA，tsiieATsiiezzAkiTsiizzAzF1e)(【例例7-3】已知试求其z变换F(z)。解解 对F(s)进行部分分式展开得则)()(assasF)()(assasFass11atsFtfe1)()(1aTaTaTaTzzzzzzztfZzFe)e1()e1(e1)()(2L【例例7-4】求f(t)sint的z变换F(z)。解解 f(t)的拉氏变换为则其z变换为j1j21j1j21)(22ssssFTTzzzzzFjjej21ej21)(1)c
23、os2(sin 1)e(e j2)e(e2jj2jjzTzTzzzzTTTT3.留数计算法留数计算法若已知f(t)的F(s)及其全部极点si，则f(t)的z变换(7-29)式中：为在ssi时的留数。当F(s)具有一阶极点ssi时，其留数Ri为(7-30)kiikiTsiRezzsFtfzFi11*)(Res)()()(ResTsiiiezzsFRsTezzsF)()()(limTsiissiiiezzsFssRL当F(s)具有q阶重极点ssi时，则(7-31)TsqiqqssiiizzsFsssqRe)()(ddlim)!1(111【例例7-5】已知试求其z变换F(z)。解解 F(s)具有两个
24、一阶极点s11，s22，则)2)(1(3)(ssssFe)(Res)(21TsiiizzsFzFTTsTssTszzzzzzsszzss221ee2e13e23TTTTTzzzz3222e)e(ee2e 【例例7-6】求f(t)t的z变换F(z)。已知t0时，f(t)0。解解 f(t)的拉氏变换为在s0处有两重极点，所以F(s)在s0处的留数为由式(7-29)可得 常用函数的z变换及相应拉普拉斯变换如附录A和附录C所示。21)(ssF2020)1()e(e)1(ddzzTzzTezzsRsTsTssTs2)1()(zzTzF7.3.3 z变换的基本定理变换的基本定理1.线性定理线性定理若Zf1
25、(t)F1(z)，Zf2(t)F2(z)，且a1，a2均为常数，则F(z)Za1f1(t)a2f2(t)a1F1(z)a2F2(z)(7-32)2.延迟定理延迟定理(负偏移定理负偏移定理)设Zf(t)F(z)，且t0时，f(t)0，f(t)在时间上产生kT时间的延迟后得f(tkT)，则有Zf(tkT)zkF(z)(7-33)上式说明，原函数f(t)在时域中延迟k个周期T后，其z变换为原函数f(t)的z变换F(z)乘以算子zk。因此，可将zk算子视作一个延迟环节，它把采样信号f(nT)延迟了k个周期T，如图7-14所示。图7-14 延迟定理示意图3.超前定理超前定理(正偏移定理正偏移定理)若Zf
26、(t)F(z)，则有(7-34)超前定理示意图如图7-15所示。特别地，若满足m0，1，k1时，f(mT)0，则有Zf(tkT)zkF(z)(7-35)10)()()(kmmkzmTfzFzkTtfL图7-15 超前定理示意图4.复位移定理复位移定理若Zf(t)F(z)，则Zf(t)e atF(zeaT)(7-36)5.初值定理初值定理若Zf(t)F(z)，且存在，则有(7-37)(lim)0(zFfz)(limzFz6.终值定理终值定理若Zf(t)F(z)，且F(z)在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有(7-38)()1(lim)(lim)(1zFznTffzn7.复微分定理复微分定
27、理若Zf(t)F(z)，则(7-39)或(7-40)(dd)(zFzzTttfL)(dd)(zFzzkkfL8.卷积定理卷积定理离散函数序列的卷积定义为卷积和的形式。设f(kT)和g(kT)为两个离散函数序列，则它们的卷积为(7-41)其z变换为(7-42)knknnTkTfnTgnTkTgnTfkTgkTfkTc00)()()()()()()()()()()()()()()(zFzGkTgkTfkTgkTfkTczCZZZZ式中：(7-43)(7-44)卷积定理指出，两个离散函数序列卷积的z变换等于它们各自z变换的乘积。0)()(kkzkTgzG0)()(kkzkTfzF7.3.4 z反变换
28、反变换从z变换函数求出原来的采样函数称为z反变换，记作Z 1F(z)f*(t)(7-45)因为z变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不反映采样时刻之间的特性，所以z反变换只能求出采样函数 f*(t)或 f(nT)，而不能求出连续函数 f(t)。例如，两个不同的连续函数f1(t)，f2(t)，但每次采样，两个函数却具有相同的数值，即f*1(t)f*2(t)，如图7-16所示。因此，它们的z变换F1(z)F2(z)。这说明，F(z)对应的f*(t)是惟一的，而与F(z)对应的f(t)不是惟一的，可以有无穷多个。图7-16 不同的连续信号具有相同的采样信号以下介绍几种常用的z反变换的方法。1.长除
29、法长除法用F(z)的分母去除分子，可以求出按zn降幂排列的级数展开式，然后用z反变换求出相应的离散函数的脉冲序列f*(t)。【例例7-7】设 求其z反变换f*(t)。)2)(1(10)(zzzzF解解 令f(0)0，f(T)10，f(2T)30，f(3T)70，则F(z)f(0)z0f(T)z1f(2T)z2f(3T)z3对上式求z反变换有f*(t)10(tT)30(t2T)70(t3T)需指出的是，长除法可以以序列形式给出连续函数在各采样时刻的值f(0)，f(T)，f(2T)，但不易得出f(nT)的一般项表达式。2310)(2zzzzF432101507030100zzzzz2.部分分式法部
30、分分式法部分分式法主要是将F(z)展开成若干个z变换表中具有的简单分式的形式，然后通过查z变换表(见附录C)得到相应的f*(t)或f(nT)。具体方法是，由已知的象函数F(z)求出其极点zi，再将F(z)/z展开成部分分式和的形式，即(7-46)niiizzAzzF1)(由上式可得F(z)的表达式为(7-47)对上式逐项进行z反变换可得到F(z)对应的原函数f*(t)，即(7-48)niiizzzAzF1)()()(11*nTtzzzAtfniiiZ【例例7-8】题目同例7-7。解解 对F(z)/z进行部分分式展开得则查z变换表(见附录C)得则210110)2)(1(10)(zzzzzzF11
31、0210)(zzzzzF,111zznzz221ZZ或者写为f(nT)1012n (n0，1，2，)可见，f(0)0，f(T)10，f(2T)30，f(3T)70，f(4T)150，与例7-7结论相同，但求出了f(nT)的一般项表达式。)()21(10)(0*nTttfnin),2,1,0(n3.留数法留数法根据z变换定义，有用zn1乘以上式两边得0)()(nnznTfzFnznTfzTfzTfzTff)()3()2()()0(3213211)2()()0()(nnnnzTfzTfzfzzF21)1()()1(zTnfznTfTnf由复变函数理论可知(7-49)式中：RiResF(zi)zin
32、1为F(z)zn1在zzi处的留数。niicniniinRzzFzzzFnTf1111)(Resd)(j21)(若zzi为F(z)的一阶极点，则有(7-50)若zzi为F(z)的q阶极点，则有(7-51)()(lim1nizzizzFzzRi)()(ddlim)!1(1111nqiqqzzizzFzzzqRi【例例7-9】题目同例7-7。解解 F(z)具有两个单极点z11，z22，则其中21211)(Re)(iiiniiRzzFsnTf10)2)(1(10)1(11znzzzzRnznzzzzR210)2)(1(10)2(22由式(7-49)，可得f(nT)R1R210(12n)与上例结论相同
33、。【例7-10】求的z反变换。解 F(z)在z1处有单极点，在z0.5处有二重极点，由式(7-50)可得由式(7-51)可得由式(7-49)可得f(nT)2(0.5)n1(n1)2)5.0(5.0)()1(12111znznzzzzFzR)1()5.0(15.0dd)()5.0(dd15.05.0122nzzzzzFzzRnznzn2)5.0)(1(5.0)(zzzzF为研究分析离散系统，需建立其数学模型。离散系统有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种数学模型，本章只介绍前两种。7.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型7.4.1 线性常系数差分方程线性常系数差分方程设离散控制系统
34、的输入脉冲序列为r(nT)，通常也可简记为r(n)，输出序列为c(n)，则系统的输入输出关系可写为c(n)fr(n)(7-52)若上式满足叠加原理，则称系统为线性离散系统，否则为非线性离散系统。输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统称为线性定常离散系统，本章主要讨论线性定常离散系统。线性定常离散系统输入与输出关系可以用线性定常差分方程来描述。1.差分差分设连续函数为y(t)，其采样函数为y(k)，其一阶前向差分为y(k)y(k1)y(k)(7-53)其二阶前向差分为(7-54)()1()()(2kykykyky)()1(2)2()()1(kykykykyky其一阶后向差分为(7-55)其二
35、阶后向差分为(7-56)1()()(kykyky)1()()()(2kykykyky)2()1(2)()1()(kykykykyky2.差分方程差分方程作为一个动力学系统，离散控制系统在n时刻的输出c(n)不仅与n时刻的输入r(n)有关，而且与n时刻以前的输入r(n1)，r(n2)及输出c(n1)，c(n2)有关。为此，可用n阶前向差分方程来描述离散控制系统的输入输出关系，即(7-57)()1()1()(11kcakcankcankcnn)()1()1()(110krbkrbmkrbmkrbmm也可用n阶后向差分方程描述，即(7-58)()1()1()(11nkcankcakcakcnn)()
36、1()1()(110mkrbmkrbkrbkrbmm图7-17 控制系统结构图【例例7-11】求如图7-17所示系统的差分方程。解解 上式可整理为在tkT时的值可用一阶前向差分来近似，即所以系统的一阶差分方程为c(k1)(KT1)c(k)KTr(k)()()()(tKctKrtKetc)()()(tKrtKctcttctcd)(d)(TkckcTkckcT)()1()()1(lim03.差分方程的求解差分方程的求解1)迭代法若已知线性离散控制系统的差分方程为式(7-57)或式(7-58)所示的形式，则由式(7-57)可得输出序列的递推关系为(7-59)mjjniijmkrbinkcankc01
37、)()()(由式(7-58)可得输出序列的递推关系为(7-60)当已知输出序列的初值时，利用上述递推关系，可以逐步求出系统在给定输入序列作用下的输出序列。mjjniijkrbikcakc01)()()(【例例7-12】已知差分方程为c(k)r(k)5c(k1)6c(k2)输入序列r(k)1，初始条件为c(0)0，c(1)1，试用迭代法求输出序列c(k)(k0，1，10)。解解 根据初始条件及递推关系得0)0(c1)1(c6)0(6)1(5)2()2(ccrc25)1(6)3(5)3()3(ccrc90)2(6)3(5)4()4(ccrc301)3(6)4(5)5()5(ccrc966)4(6)
38、5(5)6()6(ccrc3025)5(6)6(5)7()7(ccrc9330)6(6)7(5)8()8(ccrc28501)7(6)8(5)9()9(ccrc86526)8(6)9(5)10()10(ccrc2)z变换法若已知线性定常离散控制系统的差分方程描述，可根据z变换的正、负偏移定理，对差分方程两边求z变换。再根据初始条件和给定输入信号的z变换R(z)，求出系统输出的z变换表达式C(z)。对C(z)进行z反变换可求得系统的输出序列c(k)。【例例7-13】已知描述某离散控制系统的差分方程为c(t2T)3c(tT)2c(t)0且c(0)0c(1)1，求差分方程的解。解解 利用z变换的超前
39、定理对差分方程两边求z变换，得由于c(0)0，c(1)1，上式可整理为z2C(z)3zC(z)2C(z)z0)(2)0(3)(3)1()0()(22zCzCzzCzCCzzCz输出的z变换表达式为对上式进行z反变换，可得输出序列为21)2)(1(23)(2zzzzzzzzzzzCkkkc)2()1()(,2,1,0k7.4.2 脉冲传递函数脉冲传递函数线性连续系统中，将初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比定义为传递函数。对于线性离散系统，可类似定义一种脉冲传递函数。1.定义定义设开环离散控制系统如图7-18所示，初始条件为零时，系统输出信号的z变换与输入信号的z变换之
40、比，定义为离散控制系统的脉冲传递函数，或称为z传递函数，并用G(z)表示，即(7-61)()()(zRzCzG图7-18 开环离散系统方框图 所谓零初始条件，是指在t0时，输入脉冲序列的各采样值r(T)，r(2T)，以及输出脉冲序列的各采样值c(T)，c(2T)均为零。由式(7-61)可以求得线性离散控制系统的输出采样信号为(7-62)()()()(11*zRzGzCtcLL实际上，多数离散控制系统的输出都是连续信号c(t)，而不是离散的采样信号c*(t)。在此情况下，可以在系统的输出端虚设一个理想采样开关，如图7-18所示，它与输入采样开关同步动作，而且采样周期相同。必须指出，在这种情况下，
41、虚设的采样开关是不存在的，它只表明脉冲传递函数所能描述的只是输出连续信号c(t)的采样信号c*(t)。对于线性连续系统，当其输入为单位脉冲函数时，即r(t)(t)，其输出为单位脉冲响应g(t)。对于如图7-17所示的离散控制系统，设其输入的采样信号为根据叠加原理，系统的输出响应为0*)()()(nnTtnTrtr)()()()0()(TtgTrtgrtc0)()()()(nnTtgnTrnTtgnTr当tkT时，可得(7-63)由单位脉冲函数的特点可知，当t0时，g(t)0。所以，当nk时，上式中的g(kn)T0，即kT时刻以后的输入脉冲r(k1)T，r(k2)T不会对kT时刻的输出信号产生影
42、响。所以有(7-64)0)()()(nTnkgnTrkTcknnTnkgnTrTnkgnTrkTc00)()()()()(上式说明，c(kT)是两个离散函数序列r(kT)和g(kT)的卷积。根据z变换的卷积定理，即C(z)G(z)R(z)R(z)G(z)式中：即为单位脉冲响应的采样信号g*(t)的z变换。又由于在各采样时刻g(t)g*(t)，对应式(7-61)，可以得到脉冲传递函数的求法为(7-65)0)()(nnznTgzG)()()(*tgtgzGZZ由第3章内容可知，g(t)L 1G(s)，所以式(7-65)可进一步写为G(z)Z L1G(s)(7-66)上式通常可以简记作G(z)ZG(
43、s)(7-67)需要强调的是，G(s)表示某一线性系统本身的传递函数，而G(z)表示线性系统与采样开关两者组合体的脉冲传递函数，即描述了两者组合体的动态特性。同时，还应特别注意G(z)G(s)|sz。【例例7-14】对于如图7-18所示的离散控制系统，求系统的脉冲传递函数G(z)。解解 对G(s)展开得(7-68)(7-69)asssG11)(atsGtge1)()(1L系统的脉冲传递函数为(7-70)由于拉氏变换和z变换均为线性变换，所以G(s)、g(t)与G(z)之间存在一一对应关系，故也可以由G(s)直接查表求得G(z)。)(1()1(1)()(atatatezzezezzzztgzGZ
44、2.开环离散系统的脉冲传递函数开环离散系统的脉冲传递函数当开环离散系统由多个环节串联组成时，其脉冲传递函数可根据采样开关的数目和位置的不同而得到不同的结果。1)串联环节之间有采样开关两个串联环节之间有采样开关分隔，结构如图7-19所示。由脉冲传递函数的定义可知D(z)G1(z)R(z)，C(z)G2(z)D(z)图7-19 串联环节之间有采样开关其中，G1(z)、G2(z)分别是环节G1(s)、G2(s)的脉冲传递函数。于是有C(z)G1(z)G2(z)R(z)所以该系统的脉冲传递函数为G(z)G1(z)G2(z)(7-71)式(7-71)说明，有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函
45、数等于两个环节各自的脉冲传递函数之积。这一结论可推广到有采样开关分隔的n个线性环节串联的情况。2)串联环节之间没有采样开关两个串联环节之间没有采样开关分隔，结构如图7-20所示。当G(s)G1(s)G2(s)时，对应图7-20，可得系统的脉冲传递函数为G(z)ZG2(s)G1(s)G1G2(z)(7-72)式(7-72)说明，没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于两个环节的传递函数之积所对应的z变换，这一结论可推广到没有采样开关分隔的n个线性环节串联的情况。比较式(7-71)和式(7-72)可知，G1G2(z)G1(z)G2(z)。从这个意义上说，z变换无串联性。图7-20
46、串联环节之间没有采样开关【例例7-15】对于如图7-19和图7-20所示结构的两个离散控制系统，设分别求解系统的脉冲传递函数G(z)。解解 若系统结构如图7-19所示，由式(7-71)可知，系统的脉冲传递函数为,1)(1ssG1010)(2ssG)(1(10101)()()(1021021TTezzzezzzzzGzGzG若系统结构如图7-20所示，由式(7-72)可知，系统的脉冲传递函数为1011)10(10)(sssszGTzzzz10e1)e)(1()e1(1010TTzzzLL3)有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数有零阶保持器的开环离散控制系统如图7-21(a)所示。为便于分析，可将图
47、721(a)改画为图7-21(b)所示的形式。设G1(s)1eTs，则ssGsG)()(02)()(21sGsG)(e)()()e1(222sGsGsGTsTs图7-21 有零阶保持器的开环离散控制系统由式(7-72)可得系统的脉冲传递函数为所以，有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数为(7-73)(1)()1()()(221212zGzzzGzzGzzG)(e)()(e)(2222sGsGsGsGTsTs)()()()(2121sGsGzGGzGZZZZ)(1)(0ssGzzzGZ【例例7-16】对于如图7-21(a)所示的离散控制系统，设T1 s，求解系统的脉冲传递函数G(z)。解解 则,)1
48、(1)(0sssG1111)1(122sssss)(0ssGTzzzzzTze1)1(2ssG)(0Z系统的脉冲传递函数为(7-74)当T1 s时，有1)1(1)(2TezzzzzTzzzzG11zTTzze1)e)(1()1()e)(1(2TTzzzzzT367.0367.1266.0367.0)(2zzzzG对该例作进一步分析，当系统中没用零阶保持器时，可求得系统的脉冲传递函数为(7-75)比较式(7-74)和式(7-75)，两式的分母相同，分子不相同。可见，加入零阶保持器不影响离散控制系统的极点，只影响其零点。)e)(1()e1()(TTzzzzG3.离散控制系统的闭环脉冲传递函数离散控
49、制系统的闭环脉冲传递函数在离散控制系统中，由于采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能性，因而对于离散控制系统而言，会有多种闭环结构形式，这就使得闭环离散控制系统的脉冲传递函数没有一般的计算公式，只能根据系统的实际结构具体分析。图7-22所示为最常见的一类闭环离散控制系统结构图。在给定输入r(t)作用下，系统的误差为e(t)r(t)b(t)，对其进行z变换得E(z)R(z)B(z)。输出信号C(z)G(z)E(z),反馈信号B(z)E(z)GH(z)，且GH(z)ZG(s)H(s)。因此，有E(z)R(z)B(z)R(z)E(z)GH(z)C(z)G(z)R(z)GH(z)C(z)图7-22 闭
50、环离散控制系统的典型结构图整理得，给定输入作用下系统的闭环脉冲传递函数为(7-76)给定输入作用下系统的闭环误差脉冲传递函数为(7-77)比较式(7-76)和式(7-77)，两式分母均为1GH(z)，称为闭环离散控制系统的特征多项式。方程1GH(z)0，称为闭环离散控制系统的特征方程。)(1)()()()(zGHzGzRzCz)(11)()()(ezGHzRzEz【例例7-17】对如图7-22所示的闭环离散控制系统，若T1(s)，求其闭环脉冲传递函数(z)和闭环误差脉冲传递函数e(z)。解解,1.01)(ssG,55)(ssH502.11.002.1)5)(1.0(5)()(sssssHsG9
