1、函数微技能函数微技能一阶一阶微专题运动产生的角度问题微专题运动产生的角度问题例例1(1)如图，在平面直角坐标系中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线x1与与x轴交于点轴交于点B，点，点A是直线是直线x1上一点，当直线上一点，当直线OA与与x轴正半轴夹角为轴正半轴夹角为30时，点时，点A的纵坐的纵坐标为标为_；例1题图3333 或或(2)如图，点如图，点A(，1)，点，点C为为BA延长线上一点，若延长线上一点，若COB2AOB，则点则点C的坐标为的坐标为 _；例1题图33（，）3 (3)如图，在平面直角坐标系中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线yx2与与x轴交于点轴交于点A，与，与y轴交于点轴
2、交于点B，点，点P为为x轴上一点，若轴上一点，若PBA15，求点，求点P的坐标；的坐标；例1题图(3)直线直线yx2与与x轴交于点轴交于点A，与，与y轴交于点轴交于点B，A(2，0)，B(0，2)，OAOB2，OBA45.设点设点P的坐标为的坐标为(x，0)，如解图，当点如解图，当点P在点在点A左侧时，左侧时，P1BA15，OBP1OBAP1BA30，OP1OBtan30 ，2 33例1题解图点点P1的坐标为的坐标为(，0)；当点当点P在点在点A右侧时，右侧时，P2BA15，OBP2OBAP2BA60，OP2OBtan60 ，点点P2的坐标为的坐标为(，0)综上所述，点综上所述，点P的坐标为的
3、坐标为(，0)或或(，0)2 332 32 32 332 3例1题解图(4)如图，在平面直角坐标系中，已知点如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为的坐标为(2，3)，过点，过点A作作ABx轴于点轴于点B，点，点C为直线为直线AB上一点，当上一点，当OC平分平分AOB时，求点时，求点C的的坐标；坐标；例1题图(4)如解图，过点如解图，过点C作作CDOA于点于点D，OC平分平分AOB，DCOA，CBOB，DCBC.AA，ADCABO90，ADCABO.点点A(2，3)，OB2，AB3，在在RtABO中，中，OA .ACDCAOBO 22222313OBAB 例1题解图设点设点C的坐标为的坐标为
4、(2，m)(m0)，则，则CDBCm，解得解得m ，则点则点C的坐标为的坐标为(2，)3213mm 2 1343 2 1343 例1题解图(5)如图，在平面直角坐标系中，已知点如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，过点，过点A作作ABx轴于轴于点点B，C是是y轴上一动点，是否存在点轴上一动点，是否存在点C使得使得ACOAOB？若存在，？若存在，请你求出点请你求出点C坐标；若不存在，请说明理由坐标；若不存在，请说明理由例1题图(5)存在存在如解图，当点如解图，当点C在在y轴正半轴时，轴正半轴时，ABx轴，轴，ABy轴轴AOCOAB，ACOAOB，AOCBAO，.点点A(2，3)，OCAO
5、AOBA 例1题解图OB2，AB3，OA ，OC .点点C的坐标为的坐标为(0，)；如解图，当点如解图，当点C在在y轴负半轴上时，轴负半轴上时，ACOAOB，ACO与与AOB不可能相等不可能相等综上所述，符合条件的点综上所述，符合条件的点C坐标为坐标为(0，)1313313OC 133133133例1题解图若所求角度为若所求角度为90，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解；方程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解；若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化若所求角度为非特殊角，可通过相关角
6、的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解为特殊角，再结合锐角三角函数求解满 分 技 法满 分 技 法例例 2 如图，抛物线如图，抛物线y x2bxc与与x轴交于轴交于A(3，0)、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0，3 )，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为M，连接，连接AC，BC，抛物线的对称轴交，抛物线的对称轴交x轴于点轴于点E，交，交BC于点于点F.(1)求抛物线的表达式及顶点求抛物线的表达式及顶点M的坐标；的坐标；突破设问突破设问二阶二阶一题多设问一题多设问例2题图39 3例2题图解：解：(1)抛物线抛物线y x2bxc与与x轴交于点轴交于点A(3，0)、B，与，与
7、y轴轴交于点交于点C(0，3)，将点，将点A、C两点坐标代入得，两点坐标代入得，解得解得 ，抛物线的表达式为抛物线的表达式为y x2 x ，化为顶点式得化为顶点式得y (x3)2 ，顶点顶点M的坐标为的坐标为(3，)；23(3)3093 3bcc 2 333 3bc 392 333 3394 34 339(2)如图，已知点如图，已知点R是是y轴上一点，连接轴上一点，连接AR，若，若AR恰好平分恰好平分OAC，求点求点R的坐标；的坐标；例2题图【思维教练】要求点【思维教练】要求点R的坐标，先设出点的坐标，先设出点R的坐标，结合的坐标，结合AR平分平分OAC，且且ORAO，故可考虑过点，故可考虑过
8、点R作作RDAC于点于点D，利用角平分线性质得到，利用角平分线性质得到RDRO，再结合，再结合RCDACO，RDCAOC得得CRDCAO，列比例式求解即可列比例式求解即可(2)如解图，过点如解图，过点R作作RDAC于点于点D，设点，设点R的坐标为的坐标为(0，r)，AR平分平分CAO，ROAO，DRROr，CDRAOC90，在在CDR与与COA中，中，RCDACO，CDRCOACDRCOA，又又点点A(3，0)，C(0，3 )，OA3，OC3 ，CRDRCAOA 33例2题解图在在RtAOC中，由勾股定理得中，由勾股定理得AC=，解得，解得r ，点点R的坐标为的坐标为(0，)；2222+3(3
9、 3)6OAOC 3 363rr 33例2题解图(3)如图，抛物线上是否存在点如图，抛物线上是否存在点H，使得，使得HCBHBC，若存在，若存在，请你求出点请你求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】要求满足【思维教练】要求满足HCBHBC的点的点H坐标，则由等角对等边坐标，则由等角对等边可知可知HCHB，即点即点H在线段在线段BC的垂直平分线上，从而取的垂直平分线上，从而取BC的中点的中点S，过过S作作SLBC，交交x轴于点轴于点L，交抛物线于点交抛物线于点H，则点则点H即为所求即为所求先求点先求点L的坐标，从而得到直线的坐标，从而得到直线SL
10、的函数表达式，的函数表达式，再与抛物线联立得方程组，求解即可得到点再与抛物线联立得方程组，求解即可得到点H的坐标的坐标(3)存在存在如解图，取如解图，取BC的中点的中点S，过点，过点S作作SLBC，交，交x轴于点轴于点L，交抛物线于，交抛物线于点点H，此时点，此时点H即为所求即为所求令令y x2 x3 0，解得，解得x13，x29，A(3，0)，B(9，0)C(0，3 )，BC的中点的中点S的坐标为的坐标为(，)OC3 ，OB9，BC6 ，又又OA3，AC6，ACOCBO30，BS BC3 ，39 33923 323123例2题解图2 333BL ，OLOBBL963，此时点，此时点L与点与点
11、E重合，则点重合，则点L的坐标为的坐标为(3，0)设直线设直线SL的表达式为的表达式为ykxt(k0)，将点，将点L，S的坐标代入得，的坐标代入得，解得解得直线的解析式为直线的解析式为y x3 ，与抛物线表达式联立得方程组与抛物线表达式联立得方程组3 3=6COSCOS30BSSBL 。3093 322ktkt =33 3kt 33例2题解图232 33 39333 3yxxyx 解得解得满足条件的点满足条件的点H有两个，坐标为有两个，坐标为(6，3 )或或(9，12 )；1212=6=9,3 312 3xxyy 33例2题解图(4)如图，在抛物线的对称轴上，是否存在点如图，在抛物线的对称轴上
12、，是否存在点P，使得，使得CPB90，若存在，请你求出点若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图(4)存在存在如解图，过点如解图，过点C作作CTME于点于点T，设点，设点P的坐标为的坐标为(3，e)，则则CT3，BE6，PT|e3|，PE|e|，CPB90，CPTEPB90，CTP90，TCPCPT90，EPBTCP，CTPPEB，3例2题解图CTPPEB，即，即 ，整理得整理得e23 e18 或或e23 e18，解方程得解方程得e1 ，e2 ，方程中，方程中，b24ac0，方程无解方程无解综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点P有两个，坐标为有两个，坐标为(3，)或或(3，)CTPTPEBE 3 336ee 333 33 112 3 33 112 3 33 112 3 33 112 例2题解图
