1、圆基本性质与圆有关的位置关系与圆有关的计算圆的有关概念及性质圆的有关概念及性质圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论垂径定理及其推论垂径定理及其推论弦、弧、圆心角的关系弦、弧、圆心角的关系三角形的外接三角形的外接圆圆点与圆的位置关系点与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系切线的性质与判定切线的性质与判定切线长定理切线长定理圆内接四边形圆内接四边形正多边形和正多边形和圆圆与扇形有关的与扇形有关的计算计算与与圆锥有关的计算圆锥有关的计算阴影部分图形面积阴影部分图形面积计算计算三角形的内切三角形的内切圆圆圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形尺规尺规作图作图一题串讲重难点一题串讲重难
2、点2河河南南9年真题子母题年真题子母题31考点精讲考点精讲正多边形和圆与圆有关的概念圆周角定理及其推论与圆有关的性质垂径定理及其推论弦、弧、圆心角的关系圆的基本性质三角形的外接圆圆内接四边形的性质对称性旋转不变性定理推论定理推论定理推论定义圆心O性质角度关系外角周长中心角边心距内角面积圆周角、圆心角弦优弧、劣弧等弧考点精讲考点精讲与圆有关与圆有关的概念的概念(图图)如图如图，点，点A，B，C，D均在均在O上，线段上，线段AB经过圆心经过圆心O，且点，且点D为弧为弧AB的中点，连接的中点，连接AC，OC，OD.(任填一个符合要求的答案任填一个符合要求的答案)(1)图中图中_是圆周角，是圆周角，_
3、是圆心角是圆心角(写出小于写出小于180的角即可的角即可)；(2)图中图中_是弦，其中是弦，其中_是最长的弦；是最长的弦；(3)图中图中_是优弧，是优弧，_是劣弧；是劣弧；(4)图中图中 和和_，和和_，和和 是等弧是等弧.ADACBBADABD图图BACAOC(或或BOC或或AOD或或BOD或或COD)AC(或或AB)AB(或或 或或 或或 或或 )ABCABDBACBADCAD(或或 或或 或或 或或 )CDACBDADBCBDADB与圆有关与圆有关的性质的性质对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线
4、都是它的对称轴，线都是它的对称轴，_是它的对称中心是它的对称中心旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合弦、弧、弦、弧、圆心角圆心角的关系的关系定理：定理：在同圆或等圆中在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦也，所对的弦也_推论推论1.在同圆或等圆中在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_，所对的弦，所对的弦_2.在同圆或等圆中在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_，所对的优弧与劣弧分别，所对的优弧与劣弧分别_
5、【满分技法】在同圆或等圆中，若【满分技法】在同圆或等圆中，若 2 ，则，则 所对的圆心角所对的圆心角(或或圆周角圆周角)等于等于 所对的圆心角所对的圆心角(或圆周角或圆周角)的的2倍，但弦倍，但弦AB2CDABCDABCD圆心圆心相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等圆周角定理及圆周角定理及其推论其推论(图图)定理：定理：_，即，即BAC BOC12推论推论1._，即，即BACBDC2.半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角所对的圆周角是是_，90的圆周角的圆周角,所对的弦是所对的弦是_图图【满分技法】【满分技法】1.一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补；一条弦对着两条弧，这两条
6、弧所对的圆周角互补；2.一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等直角直角(或或90)直径直径垂径定垂径定理及其推理及其推论论(图图)定理：垂直于弦的直径定理：垂直于弦的直径_弦，并且弦，并且_弦所对的弧弦所对的弧(2022版课标版课标将探索并证明垂径定理调整为考查内容将探索并证明垂径定理调整为考查内容)推论：平分弦推论：平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径_于弦，并且于弦，并且_弦所对的弧弦所对的弧【满分技
7、法】根据圆的对称性，如图【满分技法】根据圆的对称性，如图所示，在以下五个结论中：所示，在以下五个结论中：(1)_；(2)_ ；(3)AE_；(4)ABCD；(5)CD是直径，是直径，只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立，即只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三知二推三”，若由，若由(3)(5)推其他推其他3个结论应满足个结论应满足AB不是直径不是直径DBAC图图平分平分平分平分垂直垂直平分平分BCADBE三角形三角形的外接的外接圆圆(图图)定义：经过三角形三个顶点的圆定义：经过三角形三个顶点的圆圆心圆心O：外心：外心(三角形外接圆圆心或三角形三条边的三角形外接圆圆心
8、或三角形三条边的_的交点的交点)性质：三角形的外心到三角形的性质：三角形的外心到三角形的_的距离相等的距离相等角度关系：角度关系：BOC2A，BOC3602A图图垂直平分线垂直平分线三个顶点三个顶点图图圆内接四边圆内接四边形的性质形的性质(图图)1.圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角_，即，即BD_2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即DCE_互补互补180BAD正多正多边形边形和圆和圆名称名称公式公式图例图例内角内角正正n边形的每个内角为边形的每个内角为 180 R：半径：半径r：边心距：边心距a：边长：边长：中心角：中心角外角外角正正
9、n边形的每个外角为边形的每个外角为 中心角中心角正正n边形的每个中心角边形的每个中心角为为_边心距边心距 正正n边形的边心距边形的边心距r 周长周长正正n边形的周长边形的周长lna面积面积正正n边形的面积边形的面积S_rl(l为正为正n边形的周长边形的周长)nn 180(2)n360 n360 aR 22()2360n 12一题串讲重难点一题串讲重难点基础知识巩固基础知识巩固例例1 如如图，图，ABC是是O的内接三角形，的内接三角形，BC是是O的直径，点的直径，点D是是 上一点上一点(在点在点A异侧异侧)，连接，连接AD，BD，AO，AD与与BC交于点交于点E，已知，已知AB3.BC例例1题图
10、题图(1)BAC_；(2)若若AOC110，则，则ABC_，ACB_，D_；(3)若若ADBC，AD4，则，则BE_；905535355(4)若若AD平分平分BAC，AC2AB.求证：求证：BCD是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；例例1题图题图证明：证明：如图，连接如图，连接CD，BC为为O的直径，的直径，BACBDC90，AD平分平分BAC，BADBCD45，BCD为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；求求BD的长的长解：解：AB3，AC2AB，AC6，由勾股定理得由勾股定理得BC 3 ，BD BC .5ABAC 22223 102例例1题图题图解题有策略与圆有关的计算解题方法与圆有关的计算
11、解题方法(9年年4考考)第一步：先结合圆中的知识，在图中标注出相等的线段、存在倍数关系第一步：先结合圆中的知识，在图中标注出相等的线段、存在倍数关系的线段、相等的角、的线段、相等的角、2倍角、互补的角等；运用的知识点有：圆的基本性倍角、互补的角等；运用的知识点有：圆的基本性质，弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形性质，弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形性质等；质等；第二步：去圆第二步：去圆(擦掉圆擦掉圆)，解剩余的几何图形，解剩余的几何图形重难考法突破重难考法突破与圆周角、圆心角有关的计算与圆周角、圆心角有关的计算(9年年4考考)例例2 如图，如图，O
12、是是ABC的外接圆，的外接圆，AB是是O的直的直径，径，A的平分线与的平分线与O交于点交于点D，AC .3(1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作请用无刻度的直尺和圆规在图中作A的平分线；的平分线；(要求：不写作法，要求：不写作法，保留作图痕迹保留作图痕迹)解：解：(1)如解图如解图，AD即为所求；即为所求；例例2题解图题解图例例2题图题图(2)连接连接OD，当，当ODA30时，求时，求O的半径；的半径；(2)如图，连接如图，连接OD，ODOA，OADODA30，BAC60，BA是是O的直径，的直径，BCA90，在在RtBAC中，中，B30，AC ，BA2AC2 ，O的半径为的半径为 ；3例例2题
13、解图题解图33(3)在在(2)的条件下，的条件下，OD交交BC于于点点E，求，求DE的长度；的长度；(3)如图，连接如图，连接OC，OD交交BC于点于点E，由由(2)得得BODO ，B30，OCBB30，又又BODOADODA60，OEB90，E为为BC的中点，的中点，ODBC，在，在RtOBE中，中，OEOBsinB ，DEDOOE ；33232例例2题解图题解图E(4)连接连接OD，CD，当四边形，当四边形ACDO是菱形时，求是菱形时，求ODA的度数的度数(4)连接连接OD，CD，如图，连接，如图，连接OC，四边形四边形ACDO是菱形，是菱形，DCDO，OCAD.OCOD，OCODCD，O
14、CD是等边三角形，是等边三角形，ODCCOD60，ODA906030.例例2题解图题解图拓 展 探 索拓 展 探 索探究：直径所对的角探究：直径所对的角例例3已知已知AB是是O的直径，点的直径，点C为直线为直线AB外一点，连接外一点，连接AC，BC.例例3题图题图(1)如图如图，当点，当点C在在O上时，上时，C为直角，依据是为直角，依据是_；(2)如图如图，当点，当点C在在O内时，请证明：内时，请证明：C是钝角；是钝角；直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角(2)证明：证明：如图，延长如图，延长AC交交O于点于点D，连接连接BD，DAB为为O的直径，的直径，D90，DCB为锐角，为锐角，
15、ACB180DCB，ACB为钝角；为钝角；例例3题图题图D(3)如图如图，当点，当点C在在O外时，请证明：外时，请证明：C是锐角是锐角例例3题图题图(3)证明：证明：如图，设如图，设O与与BC交于点交于点D，连接，连接AD，AB为为O的直径，的直径，ADB90，ADC90，C180CADADC，C为锐角为锐角D新考法拓展1.(2023江西江西14题题)如图是如图是44的正方形网格，请仅用的正方形网格，请仅用无刻度的直尺无刻度的直尺按要求按要求完成以下作图完成以下作图(保留作图痕迹保留作图痕迹).(1)在图在图中作锐角中作锐角ABC，使点，使点C在格点上；在格点上；(2)在图在图中的线段中的线段
16、AB上作点上作点Q，使，使PQ最短最短新考法拓展解：解：(1)如解图如解图，ABC即为所求作即为所求作(答案不唯一，作出其中一个即可答案不唯一，作出其中一个即可)；(2)如解图如解图，点，点Q即为所求作即为所求作河河南南9年真题子母题年真题子母题与圆周角、圆心角有关的计算与圆周角、圆心角有关的计算9年年4考考命题点命题点1.(2023河南河南6题题3分分)如图，点如图，点A，B，C在在O上，若上，若C55，则，则AOB的度数为的度数为()第第1题图题图A.95B.100C.105D.110D回归教材回归教材1.1变设问变设问将求角度变为证明圆周角定理将求角度变为证明圆周角定理如图，点如图，点A
17、，B，C在在O上，上，求证：求证：C AOB.12子题子题1.1图图证明：证明：如图，连接如图，连接CO并延长交并延长交O于点于点D，OCOBOA，OCAOAC，OCBOBC.OCAOACDOA，OCBOBCBOD，AOBDOABOD2OCA2OCB2BCA，BCA AOB.12D2.(2021河南河南17题改编题改编)如图，在如图，在ABC中，中，BABC，ABC90，以，以AB为直径的半圆为直径的半圆O交交AC于点于点D，点，点E是是 上不与点上不与点B，D重合的任意一点，重合的任意一点，连接连接AE交交BD于点于点F，连接，连接BE并延长交并延长交AC于点于点G.(1)求证：求证：ADF
18、BDG；BD第第2题图题图(1)证明：证明：BABC，ABC90，BAC45，AB为半圆为半圆O的直径，的直径，ADFBDG90，DBADAB45，ADBD.(3分分)DAF和和DBG都是都是 所对的圆周角，所对的圆周角，DAFDBG，ADFBDG(ASA)；(5分分)DE(2)若若AB4，且点，且点E是是 的中点，求的中点，求DF的长；的长；BD第第2题图题图(2)解：解：点点E是是 的中点，的中点，DAEBAE，AB是半圆是半圆O的直径，的直径，AEB90，AEG90，又又AEAE，AEBAEG，AGAB4，ABBC，ABC90，AB是半圆是半圆O的直径，的直径，DAB45，ADABcos
19、452 ，DGAGAD42 ，由由(1)知知DFDG，DF42 ；(7分分)BD222(3)取取 的中点的中点H，当四边形，当四边形OBEH为菱形时，求为菱形时，求EAB的度数的度数AE第第2题图题图(3)解：解：四边形四边形OBEH是菱形，是菱形，BEOB，OEOB，OEB为等边三角形，为等边三角形，EOB60，EAB30.(9分分)3.(2022河南河南18题改编题改编)如图，在如图，在RtABC中，中，ABC90，点，点M是是AC的中点，以的中点，以AB为直径作为直径作O分别交分别交AC，BM于点于点D，E.(1)求证：求证：MDME；第第3题图题图(1)证明：证明：如图，连接如图，连接
20、 ED，在在RtABC 中，中，ABC90，点，点M是是 AC的中点，的中点，MA MB，AMBA，(2分分)四边形四边形ABED是圆内接四边形，是圆内接四边形，ADEABE180，又又ADEMDE180，MDEMBA，同理可证，同理可证MEDA，(4分分)MDEMED，MDME；(5分分)第第3题图题图(2)若若AB6，当，当AD2DM时，求时，求DE的长度；的长度；第第3题图题图(2)解：解：如图，连接如图，连接DE，由由(1)可知，可知，AMDE，DEAB，AD2DM，DE AB 62；(7分分)131313DEABMDMADMMA连接连接OD，OE，当四边形，当四边形ODME是菱形时，求是菱形时，求A的度数的度数第第3题图题图连接连接OD、OE，如图，连接，如图，连接DE，四边形四边形ODME是菱形，是菱形，ODME，ADOAMB，AODO，AADO，AAMB，由由(1)得得AMBA，AABMAMB，ABM为等边三角形，为等边三角形，A60.(9分分)请完成精练本习题请完成精练本习题
