1、一题串讲重难点一题串讲重难点2河南河南9年真题子母题年真题子母题31考点精讲考点精讲课标要求1.通过具体实例通过具体实例了解了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；对应点的连线被对称轴垂直平分；(2022年版课标将年版课标将“了解了解”调整为调整为“理解理解”)2.能画出简单平面图形能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形；关于给定对称轴的对称图形；3.了解了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称轴对称图形的概
2、念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质性质(2022年版课标将年版课标将“了解了解”调整为调整为“理解理解”)命题点命题点1折叠落点在特殊位置折叠落点在特殊位置(9年年4考考)考情及趋势分析考情分析考情分析年份年份题号题号题型题型分值分值图形背景图形背景折叠次数折叠次数折叠方式折叠方式结合知识点结合知识点设问设问202323解答题解答题10三角形三角形平行四边平行四边形形/平移，旋转，矩平移，旋转，矩形的判定与性质，形的判定与性质，等腰直角三角形等腰直角三角形的判定与性质，的判定与性质，平行四边形的性平行四边形的性质质(1)旋转角度，平旋转角度，平移距离；移距离；(2)判判断
3、两个角度的数量断两个角度的数量关系；两点间的关系；两点间的距离；距离；(3)平行四平行四边形存在求线段长边形存在求线段长202115填空题填空题3直角三角直角三角形形两次两次折痕一端过折痕一端过顶点，一端顶点，一端不固定不固定锐角三角函数锐角三角函数点落在直角三角形点落在直角三角形边上时求线段长边上时求线段长考情分析考情分析年份年份题号题号题型题型分值分值图形背景图形背景折叠次数折叠次数折叠方式折叠方式结合知识点结合知识点设问设问201915填空题填空题3矩形矩形(图图形不固定形不固定)一次一次折痕一端过折痕一端过顶点，一端顶点，一端不固定不固定相似，勾股定理相似，勾股定理点落在矩形边上求点落
4、在矩形边上求边长边长201615填空题填空题3图形不固图形不固定定一次一次折痕一端过折痕一端过顶点，一端顶点，一端不固定不固定相似，勾股定理相似，勾股定理点为线段的三等分点为线段的三等分点时求线段长点时求线段长课标要求1.通过具体实例通过具体实例了解了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；对应点的连线被对称轴垂直平分；(2022年版课标将年版课标将“了解了解”调整为调整为“理解理解”)2.能画出简单平面图形能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对
5、称图形；关于给定对称轴的对称图形；3.了解了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质性质(2022年版课标将年版课标将“了解了解”调整为调整为“理解理解”)命题点命题点2折叠过程中产生特殊图形折叠过程中产生特殊图形(9年年3考考)考情及趋势分析考情分析考情分析年份年份题号题号题型题型分值分值图形背景图形背景 折叠次数折叠次数折叠方式折叠方式设问设问结合知识点结合知识点201815填空题填空题3角角一次一次作对称作对称直角三角形直角三角形存在时求线存在时求线段长段长中位线的性质，中位线的性质，含含3
6、0直角三直角三角形的性质，角形的性质，正方形的性质正方形的性质201715填空题填空题3等腰直角等腰直角三角形三角形一次一次折痕过两边，折折痕过两边，折痕两端不固定痕两端不固定直角三角形直角三角形存在时求线存在时求线段长段长等腰直角三角等腰直角三角形的性质形的性质考情分析考情分析年份年份题号题号题型题型分值分值图形背景图形背景 折叠次数折叠次数折叠方式折叠方式设问设问结合知识点结合知识点201515填空题填空题3正正方形方形一次一次折痕过邻边两点，折痕过邻边两点，折痕一端不固定折痕一端不固定等腰三角形等腰三角形存在时求线存在时求线段长段长勾股定理勾股定理考点精讲考点精讲折叠折叠轴对称轴对称定义
7、定义将一个图形沿某一直线进行对将一个图形沿某一直线进行对折，这样的过程叫做折叠折，这样的过程叫做折叠把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴示意图示意图要素要素折痕折痕对称轴对称轴折叠折叠轴对称轴对称示意图示意图性质性质1.折叠的实质是轴对称，位于折痕两侧折叠的实质是轴对称，位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形的图形关于折痕成轴对称图形1.轴对称实质就是将对称轴一侧的轴对称实质就是将对称轴一侧的图形沿对称轴进行
8、折叠图形沿对称轴进行折叠2.折叠前后的两部分图形全等，对应边、折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积都分别相等角、线段、周长、面积都分别相等2.对称轴两侧的图形全等，对应边、对称轴两侧的图形全等，对应边、角、线段、周长、面积都角、线段、周长、面积都分别相等分别相等3.折叠后对应点的连线被折痕垂直平分折叠后对应点的连线被折痕垂直平分3.对应点所连接的线段被对称轴垂对应点所连接的线段被对称轴垂直平分直平分总结总结：折叠就是轴对称：折叠就是轴对称一题串讲重难点一题串讲重难点基础知识巩固基础知识巩固例例1(1)折叠问题的本质是全等和轴对称折叠问题的本质是全等和轴对称如图如图，已知，已知
9、ABC，作点，作点A关于关于BC的对称点的对称点D，连接，连接BD，CD，则，则图中相等的线段为图中相等的线段为ABDB，AC_；相等的角为；相等的角为ABCDBC，ACB_，BAC_；全等图形为全等图形为ABC_；连接连接AD，则，则ADBC，依据：，依据：_；例例1题图题图DCDCBBDCDBC 轴对称图形的对称轴，是任何一轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线对对应点所连线段的垂直平分线如图如图，在矩形，在矩形ABCD中，中，E为为BC边上一点，将边上一点，将ABE沿沿AE折叠得到折叠得到AFE，则图中折叠前的部分与折叠后的部分相等的线段为，则图中折叠前的部分与折叠后的
10、部分相等的线段为ABAF，BE_；相等的角为相等的角为ABE_；全等图形为全等图形为ABE_；连接连接BF交交AE于点于点O，发现还有以下结论：，发现还有以下结论：折痕可看作垂直平分线：折痕可看作垂直平分线：AE_，BO_，依据：依据：_；折痕垂直平分折叠前后两个对应点的连线折痕垂直平分折叠前后两个对应点的连线例例1题图题图FEAFEAFEBFFO折痕可看作角平分线：折痕可看作角平分线：BEA_，BAE_，依据：对称线段所在的依据：对称线段所在的直线与折痕的夹角相等；直线与折痕的夹角相等；例例1题图题图FEAFAE(2)通过上述对称和折叠变换，可总结出不同点为：通过上述对称和折叠变换，可总结出
11、不同点为：_；相同点为：相同点为：_ 表述方式不同，知识表述方式不同，知识点有所不同点有所不同 都是全等关系，对应线段、对应角等全都相都是全等关系，对应线段、对应角等全都相等等(答案不唯一答案不唯一)(3)原因：原因：点点O关于关于BC，AB边的对称点分别为边的对称点分别为P，Q，ABOABQ，OBBQ，CBOCBP，OBBP，四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，ABC90，ABOCBOABQCBP90，BQBP，QBP180，点点P，Q在一条直线上且在一条直线上且BPBQ，点点P和点和点Q关于点关于点B对称；对称；(3)如图如图，O为矩形为矩形ABCD内一点，分别作点内一点，分别作点O关于关
12、于BC，AB边的对称点边的对称点P，Q，连接，连接BO，BP，BQ，则发现点，则发现点P和点和点Q关于点关于点B对称，请说明原因；对称，请说明原因；例例1题图题图(4)如图如图，已知矩形，已知矩形ABCD，点，点O为为BC下方一点，作点下方一点，作点O关于直线关于直线BC的对的对称点称点O，再作点，再作点O关于直线关于直线AD的对称点的对称点O，发现，发现OO2AB，请证明，请证明例例1题图题图(4)证明：如解图，设证明：如解图，设OO与与BC交于点交于点E，OO与与AD交于点交于点F，例例1题解图题解图由对称的性质得，由对称的性质得，OEOE，OFOF，OOBC，OOAD，点点O，O，O在一
13、条直线上，在一条直线上，EFAB，OOOOOO2OE2OF2EF，OO2AB.重难考法突破重难考法突破一、一、“折叠落点在特殊位置折叠落点在特殊位置”类问题类问题(9年年3考考)例例2已知，在已知，在RtABC中，中，ACB90，AC2 ，BC2，点，点D，E分别为分别为AB，AC上一点，连接上一点，连接DE.(1)如图如图，将，将ABC折叠，使点折叠，使点A与点与点B重合，重合，3例例2题图题图4 33折痕为折痕为DE.则则AE的长为的长为_；(2)如图如图，将，将ABC沿沿DE折叠，使点折叠，使点A与与BC的中点的中点N重合，则线段重合，则线段CE的长为的长为_；例例2题图题图11 312
14、(3)如图如图，将，将ABC沿沿DE折叠，使点折叠，使点A的对应点的对应点F落在落在BC边上，当点边上，当点F为为BC的三等分点时，线段的三等分点时，线段AE的长为的长为_例例2题图题图28 327或或31 327二、二、“折叠产生特殊图形折叠产生特殊图形”类问题类问题(9年年3考考)例例3已知，在矩形已知，在矩形ABCD中，中，AB3，AD4，E为为BC边上一点边上一点(1)如图如图，P为为CD边上一点，连接边上一点，连接PE，将，将PCE沿沿PE折叠得到折叠得到PCE，若点若点C恰好落在对角线恰好落在对角线BD上，且上，且PEBD，则，则CP的长为的长为_；例例3题图题图【解析】如解图，连
15、接【解析】如解图，连接CC交交EP于点于点Q，则则CQCQ，CCPE，PEBD，CCBD，PQ是是CCD的中位线，的中位线，CPDP CD，ABCD3，CP ；123232例例3题解图题解图【解析】【解析】ACD为等腰三角形，为等腰三角形，分三种情况：分三种情况：当当ADAC时，此时时，此时AC4；当当ACDC时，点时，点C在在AD的垂直平分线上，的垂直平分线上，如解图如解图，此时四边形，此时四边形CPCE为正方形，为正方形，ECEC2，延长，延长EC交交AD于点于点M，则则AMC90.如图如图，若点，若点E为为BC的中点，连接的中点，连接AC，DC，当，当ACD为等腰三角形为等腰三角形时，时
16、，AC的长为的长为_；例例3题图题图例例3题解图题解图在在RtAMC中，中，AM2，CMEMEC1，AC ；5当当DADC时，如解图时，如解图，当点，当点P与点与点D重合时，重合时，例例3题解图题解图根据折叠的性质得根据折叠的性质得PCPC3，DA4，DADC，此种情况不存在综上所述，此种情况不存在综上所述，AC的长为的长为4或或 .54或或 ；5解题关键点需分三种情况讨论：需分三种情况讨论：ACCD；ACAD；ADCD；(2)如图如图，点，点F为为BC边的中点，点边的中点，点P为为AD边上一点，连接边上一点，连接AF，PE，将，将矩形矩形ABCD沿直线沿直线PE折叠，点折叠，点C的对应点的对
17、应点C恰好落在恰好落在AF上，连接上，连接AD，当，当ACD为直角三角形时，为直角三角形时，CE的长为的长为_.例例3题图题图【解析】【解析】点点F为为BC的中点，的中点，BF2，当，当ACD为直角三角形时，分三种情况进行讨论：为直角三角形时，分三种情况进行讨论：当当ACD90时，如解图时，如解图，例例3题解图题解图四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，C90，由折叠性质得，由折叠性质得，ECDC90，A，C，E三点共线，三点共线，点点E与点与点F重合，重合，CECFBF2；当当ADC90时，如解图时，如解图，例例3题解图题解图四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，CDPD90，D在在AD上，上，
18、CDAD，CDBC，DCEC90，点点C与点与点F重合，重合，CE CF BF1；当当CAD90时此种情况不存在时此种情况不存在CE的长为的长为2或或1.1212(2)2或或1解题关键点需分三种情况讨论：需分三种情况讨论：ACD90；ADC90；CAD90.河南河南9年真题子母题年真题子母题1命题点命题点折叠落点在特殊位置折叠落点在特殊位置9年年3考考1.(2023河南河南15题题3分分)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB1，BCa，点，点E在边在边BC上，且上，且BE a.连接连接AE，将，将ABE沿沿AE折叠若点折叠若点B的对应点的对应点B落在落在矩形矩形ABCD的边上，则的边上
19、，则a的值为的值为_35第第1题图题图【解析】【解析】如解图如解图，当点当点B落在矩形落在矩形ABCD的边的边CD上时，上时，AB1，BCa，点，点E在边在边BC上，上，且且BE a，35第第1题解图题解图EC a，BEBE a，ABAB1，ADBCa，易得易得BECABD，则，则 ，BC a2.在在RtBEC中，利用勾股定理得中，利用勾股定理得BE2BC2EC2，(a)2(a2)2(a)2，由于由于a是正数，解得是正数，解得a (负值已舍去负值已舍去)；第第1题解图题解图2535BEBCABAD 351aBCa 3535352553如解图如解图，当点，当点B落在矩形落在矩形ABCD的边的边A
20、D上时，直接得出四边形上时，直接得出四边形ABEB是正方形，是正方形，a1，则，则a ，显然点显然点B只能落在矩形只能落在矩形ABCD的边的边CD或或AD上，上，不可能在边不可能在边AB或或BC上上(点点B与与B，E两点不可能在同一条直线上两点不可能在同一条直线上)，综上所述，综上所述，a的值为的值为 或或 .第第1题解图题解图35535353【答案答案】或或53531.1 变折叠方式变折叠方式过顶点过顶点A折叠变为过顶点折叠变为过顶点D折叠折叠如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB1，BCa，点，点E在边在边AB上，且上，且AE AB.连接连接DE，将，将DAE沿沿DE折叠若点折叠若点
21、A的对应点的对应点A落落在矩形在矩形ABCD的边上，的边上，则则a的值为的值为_35子题子题1.1图图【解析】如解图【解析】如解图，点点A落在矩形落在矩形ABCD的边的边BC上，上，子题子题1.1解图解图AB1，BCa，点，点E在边在边AB上，上，AE AB ，3535BEABAE ，由折叠可知，由折叠可知，AEAE ，在在RtABE中，中，AB ，易得，易得EBAACD，即，即 ，a ；如解图如解图，点，点A落在落在CD边上时，可得四边形边上时，可得四边形AEAD为正方形，为正方形，ADAE，即，即a ，a的值为的值为 或或 .25352255A EBE AEABDADC 35551a 3
22、55353 5535【答案答案】或或3 5535子题子题1.1解图解图2.如图，已知如图，已知ADBC，ABBC，AB3.点点E为射线为射线BC上一个动点，连上一个动点，连接接AE，将，将ABE沿沿AE折叠，点折叠，点B落在点落在点B处，过点处，过点B作作AD的垂线，分别的垂线，分别交交AD，BC于点于点M，N，当点，当点B为线段为线段MN的三等分点时，的三等分点时，BE的长为的长为_第第2题图题图【解析】当点【解析】当点B为线段为线段MN的三等分点时，的三等分点时，需要分两种情况讨论：需要分两种情况讨论：如解图如解图，当当BM MN时，时，13第第2题解图题解图ADBC，ABBC,MNBC，
23、四边形四边形ABNM为矩形，为矩形，BM MN AB1,BN2,BNAM.由折叠的性质可得由折叠的性质可得ABAB3，ABEABCAMBBNE90.在在RtABM中，中，AM ，EBNMAB，BNEAMB，即，即 ，解得，解得 EN ，第第2题解图题解图13132222312 2ABB MENBNBMAM 212 2EN 22BEBNEN ；如解图如解图，当，当BM MN时，时，ADBC，ABBC,MNBC，四边形四边形ABNM为矩形，为矩形，BM MN AB2,BN1,BNAM，ABAB，在在RtAMB中，中，AM ，由折叠的性质可得由折叠的性质可得ABEABCAMBBNE90，EBNMAB
24、，BNEAMB，23 22 222 23第第2题解图题解图23232222325ABB M ，即即 ，解得，解得EN ，BEBNEN .综上所述，综上所述，BE的长为的长为 或或 .ENBNBMAM 125EN 2 552 53 5555 3 223 55【答案答案】或或 3 223 55第第2题解图题解图21 变已知变已知将不定图形转化为定图形将不定图形转化为定图形(矩形矩形)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB3，AD6，点，点E是线段是线段BC上一动点，连接上一动点，连接AE，将，将ABE沿沿AE折叠得到折叠得到ABE，延长，延长AB交交CD于点于点F，若点，若点F为为DC的三等
25、分点，则的三等分点，则BE的长为的长为_子题子题2.1图图【解析】当【解析】当CF DC时，如图，连接时，如图，连接EF，13由折叠可知，由折叠可知，BEBE，ABAB，ABEABE90，四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，AB3，AD6，BC6，DC3，CF DC，DF2，CF1.在在RtAFD中，根据勾股定理可得中，根据勾股定理可得AF2AD2DF2，即，即AF2 ，BF2 3.在在RtBEF中，中，根据勾股定理可得根据勾股定理可得EF2BE2BF2，在在RtCEF中，中，根据勾股定理可得根据勾股定理可得EF2CE2CF2，131010子题子题2.1图图则则EF2BE2BF2CE2CF2，
26、即即BE2BF2CE2CF2，BE2(2 3)2(6BE)21，解得，解得BE 1；当当DF DC时，时，如解图，连接如解图，连接EF，由折叠可知，由折叠可知，BEBE，ABAB，ABEABE90，四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，AB3，AD6，BC6，DC3，子题子题2.1解图解图101013DF DC，CF2，DF1，在在RtAFD中，根据勾股定理可得中，根据勾股定理可得AF2AD2DF2，即即AF ，BF 3，在在RtBEF中，根据勾股定理可得中，根据勾股定理可得EF2BE2BF2，在在RtCEF中，根据勾股定理可得中，根据勾股定理可得EF2CE2CF2，则则EF2BE2BF2CE2
27、CF2，即即BE2BF2CE2CF2，BE2(3)2(6BE)24，133737子题子题2.1解图解图37 解得解得BE .综上所述，综上所述，BE的长为的长为 1或或 .子题子题2.1解图解图3712 103712【答案答案】1或或103712 2命题点命题点折叠过程中产生特殊图形折叠过程中产生特殊图形9年年3考考3.如图，如图，MAN90，点，点C在边在边AM上，上，AC4，点，点B为为AN上一动点，上一动点，连接连接BC，ABC与与ABC关于关于BC所在直线对称，点所在直线对称，点D，E分别为分别为AC，BC的中点，连接的中点，连接DE并延长交并延长交AB所在直线于点所在直线于点F，连接
28、，连接AE.当当AEF为为直角三角形时，直角三角形时，AB的长为的长为_第第3题图题图【解析】当【解析】当AEF为直角三角形时，为直角三角形时，需分两种情况讨论：需分两种情况讨论：当当AEF是直角时，如解图是直角时，如解图，延长延长AE交交AB于点于点H，则，则AHAB.第第3题解图题解图点点E是是BC中点，中点，EHAB，ACAB，BH AB AB，EH AC2，BAH30.在在RtABC中，中，点点E是是BC的中点，的中点，AEBE，EBABAH30，BEH60，BH2 ，AB2BH4 ；121212第第3题解图题解图33当当AFE是直角时，如解图是直角时，如解图，则，则AFEF，CAB9
29、0，ACDF，DFAB，ABAB，四边形四边形ABAC为矩形，为矩形，ABCABC45，四边形四边形ABAC为正方形，为正方形，ABAC4；EAFCAB，EAF始终是锐角，不可能为直角始终是锐角，不可能为直角综上所述，综上所述，AB的长为的长为4 或或4.第第3题解图题解图3【答案答案】4 或或434.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长是的边长是16，点，点E在边在边AB上，上，AE3，点，点F是边是边BC上不与点上不与点B，C重合的一个动点，把重合的一个动点，把EBF沿沿EF折叠，点折叠，点B落在落在B处若处若CDB恰为等腰三角形，则恰为等腰三角形，则DB的长为的长为_第第4题图题图【解
30、析】根据题意，若【解析】根据题意，若CDB恰为等腰三角形，需分恰为等腰三角形，需分三种情况讨论：三种情况讨论：当当DBDC时，则时，则DB16(易知点易知点F在在BC上且不与点上且不与点C，B重合重合)；当当CBCD时，时，EBEB，FBFB，点点E，F在在BB的垂直平分线上，的垂直平分线上，ABCD，BHCD，CBDB，DH CD8，AGDH8，GEAGAE5，BEBEBGEG13，EF垂直平分垂直平分BB，由折叠性质可知点，由折叠性质可知点F与点与点C重合，不符合题意，舍去；重合，不符合题意，舍去；如解图，当如解图，当CBDB时，作时，作BGAB于点于点G，延长，延长GB交交CD于点于点H
31、.第第4题图题图第第4题解图题解图12在在RtBEG中，由勾股定理得中，由勾股定理得BG 12，BHGHBG4，在在RtBDH中，由勾股定理得中，由勾股定理得DB .综上所述，综上所述，DB的长为的长为16或或4 .2222135B EGE 224 5DHB H 5【答案答案】16或或45第第4题解图题解图4.1变设问变设问等腰三角形存在性改为直角三角形存在性等腰三角形存在性改为直角三角形存在性如图，正方形如图，正方形ABCD的边长是的边长是6，点，点E在边在边AB上，上，AE2，点，点F是是BC上不上不与点与点B，C重合的一个动点，把重合的一个动点，把EBF沿沿EF折叠，点折叠，点B落在落在
32、B处若处若DEB恰为直角三角形，则恰为直角三角形，则 DB的长为的长为_子题子题4.1图图【解析】若【解析】若DEB恰为直角三角形，恰为直角三角形，需分以下两种情况：需分以下两种情况：当当DEB90时，时，如解图如解图，子题子题4.1解图解图四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABAD6，A90，EB4，由折叠的性质得，由折叠的性质得EBEB4，在在RtADE中，中，DE ，DB ；当当DBE90时，如解图时，如解图，由由知，知，DE2 ，EB4，DB .综上所述，综上所述，DB的长为的长为2 或或2 .子题子题4.1解图解图222 10AEAD 222 14DEB E 10222 6DEB E 146【答案答案】2 或或2146请完成精练本习题请完成精练本习题
