1、微专题微专题5微专题微专题5半角模型半角模型(2023许昌模拟许昌模拟)一阶一阶 模型模型应用应用模 型 分 析模 型 分 析模型特点：共顶点，等线段模型特点：共顶点，等线段解题方法：遇见半角作旋转证全等解题方法：遇见半角作旋转证全等模型分类：模型分类：90含含45；120含含60；60含含30模型一模型一90含含45四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABAD，ABEADG90，1.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点E，F分别在分别在BC，CD上，连接上，连接AE，AF，EF，若，若EAF45，求证：，求证：EFBEDF.一题多解法一题多解法第第1题图题图方法一：方法一：证
2、明：证明：如图，延长如图，延长CD至点至点G，使得，使得DGBE，连接，连接AG，G在在ABE和和ADG中，中，ABEADG(SAS)，BAEDAG，AEAG.EAF45，BAD90，BAEFAD45，DAGFAD45，即即GAF45，EAFFAG，,ABADABEADGBEDG第第1题图题图G在在AFE和和AFG中，中，AFEAFG(SAS)，EFGFDGDFBEDF.,AFAFEAFGAFAEAG 第第1题图题图G方法二：方法二：证明：证明：如图，将如图，将ABE绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90，使，使AB与与AD边边重合，重合，得到得到ADE，EAF45，BAD90，BAEDAF45，
3、BAEDAE，FAE45，FAEFAE，第第1题图题图EADEADF90，ABAD，ADEADF180，E，D，F三点共线，三点共线，又又AFAF，AEAE，EAFEAF(SAS)，EFEF，EFDFDE，EDBE，EFBEDF.第第1题图题图E半角模型半角模型满 分 技 法满 分 技 法在正方形在正方形ABCD中，点中，点E，F分别在边分别在边BC，CD上，上，EAF45.辅助线作法：辅助线作法：作法一：补短法：延长作法一：补短法：延长CD至点至点G，使得，使得DGBE，连接，连接AG.作法二：旋转法：将作法二：旋转法：将ABE绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90得到得到ADG，使，使AB与与
4、AD重合重合(需证明需证明G，D，C三点共线三点共线)模型二模型二120含含602.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E，F分别为分别为BC，CD上的点，连接上的点，连接AE，AF，EF，ABAD，BD90，BAD120，EAF60，若，若BE3，DF5，求，求EF的长的长解：解：如图，将如图，将ABE绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转120，使，使AB与与AD重合，得到重合，得到ADM，第第2题图题图由旋转的性质，得由旋转的性质，得ADMB90，AEAM，BAEDAM.ADMADF90，ADMADF180，F，D，M三点共线，三点共线，MBAD120，EAF60，BAEDAF60DAM
5、DAF，MAF60EAF.在在EAF和和MAF中，中，EAFMAF(SAS)，EFMF，BE3，DF5，EFFMDFDMDFBE8.,AFAFEAFMAFAEAM 第第2题图题图M半角模型半角模型满 分 技 法满 分 技 法如图，如图，BDC120，A60，EDF60，BDCD.辅助线作法：将辅助线作法：将BDE绕点绕点D顺时针旋转顺时针旋转120得到得到CDG，使，使BD与与CD重合重合(需证明需证明F，C，G三点共线三点共线)模型三模型三60含含30由旋转的性质可知：由旋转的性质可知：ACFABD60，CAFBAD，AFAD，CFBD2.DAE30，BAC60，BADCAE30，CAFCA
6、E30，3.如图，在等边如图，在等边ABC中，点中，点D，E均在边均在边BC上，点上，点D在点在点E的左侧，的左侧，DAE30，若，若BD2，CE4，求，求DE的长的长第第3题图题图解：解：如如解解图，将图，将ABD绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转60得到得到ACF，连接，连接EF，过，过点点F作作FGBC交交BC的延长线于点的延长线于点G.第第3题题解解图图第第3题题解解图图即即EAF30，EAFEAD.在在DAE和和FAE中，中，DAEFAE(SAS)，EDEF.ACBACF60，FCG180ACBACF60.FGCG，CGFCcosFCG1，FGFCsinFCG ，EGECCG5，EF 2
7、 ，DEEF2 .,ADAFEADEAFAEAE 322EGFG 77拓展研究：拓展研究：若第若第1，2题中题中ABAD或第或第3题中题中ABAC，以，以13题中的解题题中的解题方法还能适用吗？怎么证明；请尝试一下方法还能适用吗？怎么证明；请尝试一下半角模型半角模型满 分 技 法满 分 技 法如图，在等边如图，在等边ABC中，中，DAE30.辅助线作法：将辅助线作法：将ABD绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转60，使，使AB和和AC重合，得到重合，得到ACF.二阶二阶 综合综合提升提升1.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，M，N是边是边BC，CD上任意两点，上任意两点，MAN45，连接，
8、连接MN，过点，过点A作作AHMN于点于点H，且，且MH2，NH3，求，求AH的长的长解：解：如图，延长如图，延长CD到点到点E，使，使DEBM，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABAD，ADCABMADE90，在在ABM和和ADE中，中，第第1题图题图EABMADE(SAS)，BAMDAE，AMAE，AMBAED.MAN45，NAENADEADNADBAM45MAN.在在AMN和和AEN中，中，,ABADBADEBMDE ,ANANMANEANAMAE 第第1题图题图EAMNAEN(SAS)，AEDAMN，AMBAMN，MA平分平分BMH.ABBM，AHMN，ABAH.AMAM，Rt
9、ABMRtAHM(HL)，BMMH2，同理可得同理可得NHND3，设设BCABx，则，则CMx2，CNx3，在在RtMCN中，由勾股定理得，中，由勾股定理得，(x2)2(x3)252，解得解得x16，x21(舍去舍去)，AHAB6.第第1题图题图E2.如图，在等边如图，在等边ABC中，点中，点P，Q分别在边分别在边AB，AC上，上，D为为ABC外外一点，且一点，且PDQ60，BDC120，BDDC.(1)如如图，若图，若DPDQ，请直接写出，请直接写出BP，QC，PQ之间的数量关系；之间的数量关系；【解法提示】【解法提示】DPDQ，PDQ60，PDQ是等边三角形，是等边三角形，ABC是等边三角
10、形，是等边三角形，ABCACB60，BDCD，BDC120，DBCDCB30，PBDQCD90，在在RtBDP和和RtCDQ中，中，BDCD,DPDQ 第第2题图题图RtBDPRtCDQ(HL)，BDPCDQ30，BPCQ，DP2BP，DQ2CQ，PQ2BP2CQBPCQ.(1)解：解：BPQCPQ；第第2题图题图由旋转的性质，得由旋转的性质，得DPDM，MCBP，CDMBDP，PDQ60，BDC120，BDPCDQ60，CDMCDQMDQ60，PDQMDQ，由由(1)得得PBDQCD90，QCDMCD180，BDCD，Q，C，M三点共线三点共线(2)如图如图，若，若DPDQ，求证：，求证：P
11、QBPQC.(2)证明：证明：如图，将如图，将BDP绕点绕点D顺时针旋转顺时针旋转120，使得，使得BD与与CD重合，重合，得到得到CDM，第第2题图题图M在在PDQ和和MDQ中，中，PDQMDQ(SAS)，PQMQ，MQMCQCBPQC，PQBPQC.,PDMDPDQMDQDQDQ 第第2题图题图M3.在四边形在四边形ABCD中，中，ABAD，点，点E，F分别是边分别是边BC，CD上的点上的点(1)如图如图，若，若BD90，BAD60，EAF30，连接，连接EF，试判断，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由之间的数量关系，并说明理由；解：解：(1)EFBEDF.理由如下：如图，将
12、理由如下：如图，将ADF绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转60至至ABG的位置，使的位置，使AD与与AB重合，重合，则则ABGD90，GABFAD，AGAF，BGDF.ABE90，ABAD，ABEABG180，E，B，G三点共线三点共线第第3题图题图GBAD60，EAF30，GABBAEGAE30，GAEFAE.在在EAG和和EAF中，中，EAGEAF(SAS)，EGEF.EGBEBGBEDF，EFBEDF；,AGAFGAEFAEAEAE 第第3题图题图GABED180，ADAB，ABEABG180，E，B，G三点共线三点共线EAF BAD，BAEDAF BAD，1212(2)如图如图，若，若BD
13、180，EAF BAD，连接，连接EF.探究探究(1)中的结论是否成立，请说明理由中的结论是否成立，请说明理由12(2)成立理由如下：成立理由如下：如图，将如图，将ADF绕点绕点A顺时针旋转至顺时针旋转至ABG的位置，使的位置，使AD与与AB重合，重合，则则AGAF，BGDF，GABFAD，ABGD，第第3题图题图GGABBAE BADEAG，GAEFAE，在在EAG和和EAF中，中，EAGEAF(SAS)，EGEF.EGBEBGBEDF，EFBEDF.12,AGAFGAEFAEAEAE 第第3题图题图GPQDQAPABBP12416，设设DEn，则，则EQ16n，PQBC，ABFAPR，4.
14、如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB12，AD16，点，点E，F分别在射线分别在射线DC，CB上，连接上，连接AE，AF，EAF45，BF4.(1)若点若点E在线段在线段DC上时，求上时，求DE的长；的长；第第4题图题图解：解：(1)如解图如解图，延长，延长AB至点至点P，使，使BPBF4，过点，过点P作作BC的平的平行线交行线交DC的延长线于点的延长线于点Q，延长，延长AF交交PQ于点于点R，连接，连接RE，则四边形，则四边形APQD是正方形，是正方形，第第4题题解解图图 ，PR BF ，RQPQPR16 ，将将APR绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90，使，使AP与与AD重合，得到重
15、合，得到ADM，则则ARAM，PARDAM，EAF45，PARDAE45，DAMDAE45，即，即MAE45，ADMAPR90，ADAP，ADMADE180，M，D，E三点共线，三点共线，163323第第4题题解解图图BFPRABAP12163443163在在ARE和和AME中，中，AREAME(SAS)，REME，即，即PRDERE n，在在RtQRE中，中，由勾股定理得由勾股定理得()2(16n)2(n)2，解得解得n8，即，即DE的长为的长为8；,ARAMRAEMAEAEAE 163323163第第4题题解解图图解题关键点“补补”矩形为正方形，证得矩形为正方形，证得ABFAPR，AREA
16、ME，在，在RtQRE中用勾股定理求中用勾股定理求解解(2)若点若点E在在DC的延长线上时，求的延长线上时，求DE的长的长同同(1)可得可得PR BF ，RQPQPR16 ，设设DEn，则，则EQn16，过点过点A作作AGAF交交CD于点于点G，则，则RAG90，RAPPAGPAGDAG，RAPDAG，43163163643(2)如解图如解图，延长，延长AB至点至点P，使，使BPBF4，过点，过点P作作BC的平行线的平行线RQ，交，交DC的延长线于点的延长线于点Q，延长，延长AF交交QP的延长线于点的延长线于点R，连接，连接RE，则四边形，则四边形APQD是正方形，是正方形，第第4题题解解图图
17、第第4题图题图在在ARP和和AGD中，中，ARPAGD(ASA)，PRDG，ARAG，EAF45，GAR90，GAE904545，第第4题题解解图图,RAPGADAPADAPRADG 在在ARE和和AGE中，中，AREAGE(SAS)，REDEPRn ，在在RtQRE中，由勾股定理得中，由勾股定理得()2(n16)2(n )2，解得解得n32，即，即DE的长为的长为32.,ARAGRAEGAEAEAE 163643163第第4题题解解图图由折叠可得由折叠可得AFDABD，AFAB，FDDB，FADBAD，AFDABD.又又ABAC，AFAC，5.(1)如图如图，在，在RtABC中，中，BAC9
18、0，ABAC，当点，当点E在线段在线段BC上，点上，点D在线段在线段CB的延长线上，且的延长线上，且DAE45时，求证：时，求证：DE2BD2EC2；第第5题图题图(1)证明：证明：如解图如解图，将，将ADB沿直线沿直线AD折叠，得到折叠，得到ADF，连接连接FE，BF，第第5题题解解图图FAEFADDAEFAD45，EACBACBAE90(DAEDAB)45DAB，FAEEAC.又又AEAE，AFEACE(SAS)，FECE，AFEC45.AFDABD180ABC135，DFEAFDAFE1354590，在在RtDFE中，中，DF2 FE2DE2，即即DE2BD2EC2；第第5题题解解图图解
19、题关键点AFEACE，DFE90，结合勾股定理证明；，结合勾股定理证明；DAEBAE，AEAE，DEBE,ADEABE，EAEBAD.(2)如图如图，在四边形，在四边形ABCD中，中，ABAD，ABCD180，点，点E，F分别在边分别在边CB，DC的延长线上，且的延长线上，且EAF BAD，连接，连接EF，试猜想，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明之间的数量关系，并给出证明12(2)解：解：EFDFBE.证明：如解图证明：如解图，将，将ABE绕点绕点A逆时针旋转，使逆时针旋转，使AB与与AD重合，得到重合，得到ADE，则，则ABEADE，第第5题图题图第第5题解题解图图ABCADC180，ABCABE180，ADCABE，ADEADC，即，即E，D，F三点共线三点共线又又EAF BAD EAE，EAFEAF，在在AEF和和AEF中，中，AEFAEF(SAS)，FEFE.又又FEDF DE，EFDF BE.1212,AEAEEAFEAFAFAF 第第5题解题解图图解题关键点将将ABE绕点绕点A逆时针旋转，逆时针旋转，证得证得AEFAEF.
