1、 徐州徐州近近年真题及拓展年真题及拓展1 考点精讲考点精讲2 重难点分层练重难点分层练3与菱形有关的证明及计算与菱形有关的证明及计算(10年年6考考,常在几何证明常在几何证明题涉及考查题涉及考查)1.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形则该四边形一定是一定是()命题点命题点徐州近徐州近年真题及拓展年真题及拓展A.矩形矩形 B.等腰梯形等腰梯形C.对角线相等的四边形对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形对角线互相垂直的四边形C.2.如图如图,菱形菱形ABCD中中,对角线对角线AC、BD交于点交于点O,E为为AD边中点边中点,
2、菱形菱形ABCD的周长为的周长为28,则则OE的长等于的长等于()第2题图A.3.5 B.4 C.7 D.14A3.若菱形两条对角线的长分别是若菱形两条对角线的长分别是 6cm和和8cm,则其面积为则其面积为 cm2.244.如图如图,点点A,B,C,D 在同一条直线上在同一条直线上,点点E,F 分别在直分别在直 线线AD的两侧的两侧,且且 AE=DF,A=D,AB=DC.(1)求证求证:四边形四边形BFCE是平行四边形是平行四边形;第4题图(1)证明：证明：ABDC，ACDB，在在AEC和和DFB中，中，AECDFB(SAS)，(3分分)CEBF，ACEDBF，ECBF，四边形四边形BFCE
3、是平行四边形是平行四边形；(5分分),ABDBADAEDF=【解法提示】当【解法提示】当BECE时，平行四边形时，平行四边形BFCE是菱形，是菱形，AD10，DC3，ABCD，BC10334，EBD60，EBC为等边三角形，为等边三角形，BEBC4，当当BE4时，四边形时，四边形BFCE是菱形是菱形(8分分)(2)若若AD=10,DC=3,EBD=60,则则 BE=时时,四边形四边形BFCE是菱形是菱形.4第4题图考点精讲考点精讲【对接教材对接教材】苏科苏科：八下第八下第9章章P78P80菱形菱形性质性质判定判定边边四条边都四条边都 :AB=BC=CD=DA对边平行对边平行:ABCD,ADBC
4、对角线对角线角角:每组对角相等每组对角相等:DAB=DCB,ADC=ABC对称性对称性:既是中心对称图形既是中心对称图形,又是轴对称图形又是轴对称图形,有有 条对称轴条对称轴对角线互相对角线互相 且平分且平分每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角AC BDAO=CO,DO=BOAC平分平分DAB与与DCBBD平分平分ABC与与ADC有一组有一组 相等的平行四边形是菱形相等的平行四边形是菱形(定义定义)四边相等的四边形是菱形四边相等的四边形是菱形对角线对角线 的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形相等相等垂直垂直两两临边临边互相垂直互相垂直面积面积：S (m、n分别表示两条对角线的长分别表示
5、两条对角线的长)12mn重难点分层练重难点分层练回顾必备知识回顾必备知识一题多设问一题多设问例例1 如图如图,菱形菱形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交相交于点于点O.(1)若若ABC=110,则则ACD=;(2)若菱形若菱形ABCD的周长为的周长为4,BCD=60,那么菱形的对角线那么菱形的对角线BD的的长为长为 ;351例1题图(3)若若AC=24,BD=10,则菱形则菱形ABCD的周长为的周长为 ;(4)若若AB=3,BD=2,则菱形则菱形ABCD的面积为的面积为 ;(5)若若 ,则则sinDAB的值为的值为 .例1题图524 2242543ACBD=例例2一题多设问一题多设问 已知
6、四边形已知四边形ABCD为矩形为矩形.(1)如如图图,延长延长CD至点至点E,使使DE=CD,连接连接AC,AE,过点过点C作作CFAE交交AD的的延长线于点延长线于点F,连接连接EF.求证求证:四边形四边形ACFE是菱形是菱形;例2题图(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADC90，AFCE，CDDE，AEAC，EFCF，EADCAD，AECF，EADAFC，CADCFA，ACCF，AEEFACCF，四边形四边形ACFE是菱形；是菱形；(1)【判定依据】判定菱形的依据是【判定依据】判定菱形的依据是 四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形例2题图(2)如图如图,
7、E、F分别是分别是BC、AD边上的点边上的点,且且AE=CF,ACEF.求证求证:四边形四边形AECF是菱形是菱形;例2题图(2)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，BD90，ABCD，ADBC，ADBC，在在RtABE和和RtCDF中，中，RtABERtCDF(HL)，BEDF，BCAD，CEBCBE，AFADDF，CEAF，CEAF，四边形四边形AECF是平行四边形，是平行四边形，又又ACEF，四边形四边形AECF是菱形；是菱形；,AECFABCD(2)【判定依据判定菱形的依据是【判定依据判定菱形的依据是 .对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形(3)
8、如图如图，延长，延长CD到点到点E，使，使DECD，连接，连接BD、AE，且点且点F，G分别分别是是BD，AE的中点，连接的中点，连接AF，DG.求证：四边形求证：四边形AFDG是菱形是菱形例2题图(3)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ABCD，ABCD，CDDE，DEAB，DEAB，四边形四边形ABDE是平行四边形，是平行四边形，AEBD，AEBD，1212点点F、G分别是分别是BD、AE的中点，的中点，AGEG AE，BFDF BD，AGDF，四边形四边形AFDG是平行四边形，是平行四边形，ADE90，G为为AE的中点，的中点，AGDG，四边形四边形AFDG是菱形是菱形例2
9、题图(3)【判定依据】判定菱形的依据【判定依据】判定菱形的依据是是 .有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形例例3一题多设问一题多设问 如图如图,在菱形在菱形ABCD中中,E、F分别是分别是AB、BC上的上的点点,连接连接DE,DF,EF.(1)如图如图,若若BE=BF,求证求证:DE=DF;例3题图(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABBCADCD，AC.BEBF，AECF.在在ADE和和CDF中，中，ADECDF(SAS)，DEDF；,ADCDACAECF 解法二：如图，连接解法二：如图，连接BD.例3题图四边形四边形ABCD是是菱形，菱形，A
10、BDCBD.在在DEB和和DFB中，中，DEBDFB(SAS)，DEDF；,BEBFDBEDBFBDBD(2)如图如图,若若AB=6,A=60,EDF=60.求证求证:DE=DF;例3题图证明：如图，连接证明：如图，连接BD，12四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，A60，ABD是等边三角形，是等边三角形，DBC ABC60，ADB60，ADAB.EDF60，ADEBDF，ADEBDF，DEDF；求求DEF 周长的最小值周长的最小值;解解：DEDF，EDF60，DEF是等边三角形，是等边三角形，DEF的周长的最小值为的周长的最小值为3DE，当，当DEAB时，时，DE取得最小值，取得最小值，此时
11、此时DEADsin603 ，DEF的周长的最小值为的周长的最小值为3DE9 ；33例3题图如图如图,当点当点E为为AB的中点时的中点时,连接连接AC,点点P是是AC上一点上一点,求求PE+PF的的最小值最小值.例3题图解：连接解：连接BD，四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ADDC，AC.ABD与与BCD是等边三角形，是等边三角形，又又EDF为等边三角形，为等边三角形，EDF60，EDBFDBADEEDBBDFFDC60，又又E为为AB的中点，的中点，ADEEDB，ADECDF，在在AED与与CFD中，中，,DAEDCFADDCADECDFAEDCFD(ASA)，AECF，ABAEBCFC.
12、EBBF.点点F是是BC的中点的中点例3题图则则PFPF，PEPFPEPF，由两点之间线段最短可知，当点由两点之间线段最短可知，当点E，P，F三点共线时，三点共线时，PEPF取得最小取得最小值，即值，即PEPF取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为EF的长的长四边形四边形ABCD是菱形，点是菱形，点F是是BC的中点，的中点，点点F是是CD的中点，的中点，点点E是是AB的中点，的中点，EFAD6，PEPF的最小值为的最小值为6.如图，作点如图，作点F关于关于AC的对称点的对称点F，连接，连接PF，EF，例3题图F 如图如图,ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O,E是是OB的中点
13、的中点,连接连接CE,过点过点B作作AC的平行线的平行线,交交CE的延长线于点的延长线于点F,连接连接AF.(1)判断四边形判断四边形AOBF的形状的形状,并说明理由并说明理由;体验徐州考法体验徐州考法例例1第1题图解：解：(1)四边形四边形AOBF是平行四边形是平行四边形理由如下：理由如下：ACBF，E是是OB的中点，的中点，OCEBFE，OEBE.又又OECBEF，OCEBFE，BFOC.四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AOOC，AOBF.又又AOBF，四边形四边形AOBF是平行四边形；是平行四边形；第1题图(2)若四边形若四边形ABCD为菱形为菱形,AB=5,AC=6,求四边形求四边形AOBF的面积的面积.(2)由由(1)知四边形知四边形AOBF是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形ABCD为菱形，为菱形，ACBD，四边形四边形AOBF是矩形是矩形AC6，OA 3，AB5，OB 4，四边形四边形AOBF的面积为的面积为OAOB3412.2AC22ABOA 第1题图
