1、微专题微专题 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用【测量目的】运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活【测量目的】运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程动的完整过程【测量对象】学校内的旗杆高度【测量对象】学校内的旗杆高度【测量工具】测角仪、皮尺、无人机【测量工具】测角仪、皮尺、无人机【小组交流】【小组交流】(1)小组探讨交流测量方法和设计测小组探讨交流测量方法和设计测量方案；量方案；(2)明确责任，测量、记录数据，计算求解人员明确责任，测量、记录数据，计算求解人员【测量方案一】【测量方案一】如图如图，在旗杆，在旗杆AB前的平地上选择一点前的平地上选择一
2、点C，用测角仪测得旗杆顶端，用测角仪测得旗杆顶端A的的仰角为仰角为48，已知测角仪的高度为，已知测角仪的高度为1 m，用皮尺测得，用皮尺测得BC之间的距离为之间的距离为11.5 m，求旗杆，求旗杆AB的高度的高度(结果精确到结果精确到0.1，参考数据：，参考数据：sin480.74，cos480.67，tan481.11)题图解：如解图解：如解图，过点，过点D作作DEAB交交AB于点于点E，E由题意可知由题意可知DEBC11.5，BEDC1，在在RtADE中，中，ADE48，tan48 ，即，即1.11 ，解得解得AE12.8，ABAEBE12.8113.8.答：旗杆答：旗杆AB的高度约为的高
3、度约为13.8 m.题图EAEDE11.5AE【测量方案二】【测量方案二】如图如图，在旗杆，在旗杆AB前的平地上选择一点前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部，测得旗杆顶部A的仰角为的仰角为32，在，在CB之间选择一点之间选择一点D(点点C、D、B在同一条直线上在同一条直线上)，测得旗杆顶，测得旗杆顶部部A的仰角为的仰角为45，用皮尺测得，用皮尺测得C、D之间的距离为之间的距离为8.45 m，求旗杆，求旗杆AB的高度的高度(结果精确到结果精确到0.1，参考数据：，参考数据：sin320.53，cos320.85，tan320.62)题图解：设旗杆解：设旗杆AB的高度为的高度为x，在在RtABD中，
4、中，ADB45，BDx.在在RtABC中，中，ACB32，tan32 ，即即0.62 ，解得，解得x13.8.答：旗杆答：旗杆AB的高度约为的高度约为13.8 m.ABBC8.45xx 题图模 型 总 结模 型 总 结模型一母子型模型一母子型【模型展示】【模型展示】在三角形外部作高：在三角形外部作高：【模型分析】通过在三角形外作高【模型分析】通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，构造出两个直角三角形求解，其中公共边其中公共边BC是解题的关键是解题的关键【测量方案三】【测量方案三】如图如图，用皮尺测得看台顶端，用皮尺测得看台顶端C到地面的垂直距离到地面的垂直距离CD为为4.28 m，
5、看台所，看台所在斜坡在斜坡CE的坡比为的坡比为1 2，在点，在点C处测得旗杆顶端处测得旗杆顶端A的仰角为的仰角为30，在点，在点E处测得旗杆顶端处测得旗杆顶端A的仰角为的仰角为60(点点B、E、D在同一条直线上在同一条直线上)，求旗杆，求旗杆AB的高度的高度(结果精确到结果精确到0.1，参考数据：，参考数据：1.73)3题图题图解：如解图，过点解：如解图，过点C作作CFAB交交AB于点于点F，F由题意可知由题意可知CD4.28，tanCED ，ED8.56.设设BEx，BDx8.56.AEB60，BAE30，AB x.312由题意可知四边形由题意可知四边形BDCF为矩形，为矩形，BFCD4.2
6、8，CFBDx8.56，AFx4.28.在在RtACF中，中，ACF30，tan30 ，即，即 ，解得，解得x7.99，AB x1.737.9913.8.答：旗杆答：旗杆AB的高度约为的高度约为13.8 m.AFCF3334.288.56xx 3题图F【测量方案四】【测量方案四】如图如图，无人机在距离地面，无人机在距离地面4.6 m处的点处的点C处测得旗杆底端处测得旗杆底端B的俯角为的俯角为53，无人机垂直上升，无人机垂直上升4.1 m到达点到达点D处，测得旗杆顶端处，测得旗杆顶端A的仰角为的仰角为40，求旗杆求旗杆AB的高度的高度(结果精确到结果精确到0.1 m，参考数据：，参考数据：sin
7、530.80，cos530.60，tan531.33，sin400.64，cos400.77，tan400.84)题图解：如解图，过点解：如解图，过点C作作CEAB交交AB于点于点E，过点，过点D作作DFAB交交AB于点于点F，题图EF由题意可知，由题意可知，BE4.6，CD4.1，CBE53，ADF40，EFCD4.1.在在RtBEC中，中，CBE53，tan53 ，即，即1.33 ，解得，解得CE6.12，DFCE6.12.CEBE4.6CE在在RtAFD中，中，ADF40，tan40 ，即即0.84 ，解得，解得AF5.14，ABAFEFBE5.144.14.613.8.答：旗杆答：旗杆
8、AB的高度约为的高度约为13.8 m.AFDF6.12AF题图EF模 型 总 结模 型 总 结模型二背靠背型模型二背靠背型【模型展示】【模型展示】在三角形内部作高：在三角形内部作高：【模型分析】如图【模型分析】如图，在三角形内作高，在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求，构造出两个直角三角形求解，其中公共边解，其中公共边CD是解题的关键如图是解题的关键如图，过较短的底边作梯形的高，过较短的底边作梯形的高，构造矩形和直角三角形，其中构造矩形和直角三角形，其中CDEF是解题关键是解题关键图图【测量方案五】【测量方案五】如图如图，某一时刻，旗杆，某一时刻，旗杆AB的影子有一部分落在距离旗杆的影子
9、有一部分落在距离旗杆5.3 m处的教处的教学楼上，此时在点学楼上，此时在点B处测得影子最高点处测得影子最高点C的仰角为的仰角为33，同一时刻，测，同一时刻，测得站在点得站在点F处身高为处身高为1.76 m的小华的影长的小华的影长FG0.9 m，求旗杆，求旗杆AB的高的高度度(结果精确到结果精确到0.1，参考数据：，参考数据：sin330.54，cos330.84，tan330.65)题图解：如解图解：如解图，过点，过点C作作CHAB交交AB于点于点H，题图H由题意可知由题意可知BD5.3，EF1.76，FG0.9，tanEGF 1.96，tanACH1.96，由题意易得四边形由题意易得四边形B
10、DCH为矩形，为矩形，CHBD5.3，EFFG1.760.9在在RtBCH中，中，BCH33，tan33 ，即，即0.65 ，解得，解得BH3.45.在在RtACH中，中，tanACH1.96，tanACH ，即，即1.96 ，解得，解得AH10.39，ABAHBH10.393.4513.8413.8.答：旗杆答：旗杆AB的高度约为的高度约为13.8 m.BHCH5.3BHAHCH5.3AHH题图【测量方案六】【测量方案六】如图如图，小明在点，小明在点C处测得旗杆顶端处测得旗杆顶端A的仰角为的仰角为45，再用一架无人机，再用一架无人机从点从点C处起飞，沿直线处起飞，沿直线CD以以1.9 m/s
11、的速度匀速垂直上升，的速度匀速垂直上升，4 s后无人机飞后无人机飞行至点行至点D，在此处测得旗杆底端，在此处测得旗杆底端B的俯角为的俯角为29，求旗杆，求旗杆AB的高度的高度(结结果精确到果精确到0.1，参考数据：，参考数据：sin290.48，cos290.87，tan290.55)题图解：由题意可知解：由题意可知CD1.947.6，在在RtDCB中，中，DBC29，tan29 ，即，即0.55 ，解得，解得CB13.82.在在RtABC中，中，ACB45，tan45 ，即，即1 ，解得，解得AB13.8.答：旗杆答：旗杆AB的高度约为的高度约为13.8 m.CDCB7.6CBABBC13.82AB题图模 型 总 结模 型 总 结模型三拥抱型模型三拥抱型【模型展示】【模型展示】【模型分析】分别解两个直角三角形，图【模型分析】分别解两个直角三角形，图中公共边中公共边BC是解题的关是解题的关键键图图
