1、微专题辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用模型一模型一 点圆最值点圆最值模 型 分 析模 型 分 析一、圆中最值问题一、圆中最值问题例例1如图，如图，O的半径为的半径为2，点，点E为为O上的动点，点上的动点，点D为为O外一定点，外一定点，且且DO4，在图中画出，在图中画出DE最大及最小时点最大及最小时点E的位置，并求出的位置，并求出DE的最大的最大值及最小值值及最小值【思维教练】点【思维教练】点D在在O外，当点外，当点E位于位于DO的延长的延长线上时，线上时，DE取得最大值，当点取得最大值，当点E位于线段位于线段DO上时，上时，DE取得最小值取得最小值例1题图当点当点E位于点位于点E
2、1时，时，DE1DOr426，DE的最大值为的最大值为6，当点当点E位于点位于点E2时，时，DE2DOr422，DE的最小值为的最小值为2.解：如解图，连接解：如解图，连接DO并延长交并延长交O于点于点E1，此时，此时DE取得最大值；取得最大值；设线段设线段DO与与O的交点为的交点为E2，此时，此时DE取得最小值取得最小值例1题图E1E2例例2如图，如图，O的半径为的半径为6，点，点E为圆上的动点，点为圆上的动点，点D为圆内一定点，且为圆内一定点，且DO3，在图中画出，在图中画出DE最大及最小时点最大及最小时点E的位置，并求出的位置，并求出DE的最大值的最大值及最小值及最小值例2题图【思维教练
3、】点【思维教练】点D在在O内，当点内，当点E在在DO延长线上时延长线上时DE取得最大值，当取得最大值，当点点E在在OD的延长线上时，的延长线上时，DE取得最小值取得最小值当点当点E位于点位于点E1时，时，DE1DOr639，DE的最大值为的最大值为9，当点当点E位于点位于点E2时，时，DE2rDO633，DE的最小值为的最小值为3.解：如解图，连接解：如解图，连接DO并延长交并延长交O于点于点E1，此时，此时DE取得最大值；取得最大值；作作OD的延长线交的延长线交O于点于点E2，此时，此时DE取得最小值；取得最小值；E1E2例2题图模 型 应 用模 型 应 用1.如图，在如图，在RtABC中，
4、中，ABC90，D是边是边BC的中点，以点的中点，以点D为圆为圆心，心，BD长为半径作长为半径作D，E是是D上一点，若上一点，若AB8，BC6，则线段，则线段AE长的最小值为长的最小值为_，AE长的最大值为长的最大值为_第1题图733 733 2.已知已知PA、PB分别与分别与O相切于点相切于点A、B，O的半径为的半径为3，APB60，点，点C在在O上运动，则上运动，则PC长的最大值为长的最大值为_第2题图9模型二线圆最值模型二线圆最值模 型 分 析模 型 分 析例例3如图，如图，O的半径为的半径为3，点，点P为圆上的动点，直线为圆上的动点，直线l与与O相离，且相离，且圆心圆心O到直线到直线l
5、的距离为的距离为5，在图中画出点，在图中画出点P到直线到直线l的距离最大及最小时的距离最大及最小时点点P的位置，并求出该最大值及最小值的位置，并求出该最大值及最小值例3题图【思维教练】直线【思维教练】直线l与与O相离，过圆心相离，过圆心O向直线向直线l作垂线，且当点作垂线，且当点P位于该垂线段上时，点位于该垂线段上时，点P到直线到直线l的距离取得最小值，当点的距离取得最小值，当点P位于垂线段的反向延位于垂线段的反向延长线上时取得最大值长线上时取得最大值.【解法提示】过点【解法提示】过点O作直线作直线l的垂线于点的垂线于点N，延长，延长NO交交O于点于点P1，此时，此时点点P到直线到直线l的距离
6、最大；的距离最大；设线段设线段NO交交O于点于点P2，此时点，此时点P到直线到直线l的距离最小；的距离最小；当点当点P位于点位于点P1时，时，NP1rON358，点点P到直线到直线l的最大距离为的最大距离为8；当点当点P位于点位于点P2时，时，NP2ONr532，点点P到直线到直线l的最小距离为的最小距离为2.解解：5，画出点画出点P如解图如解图NP2P1例3题图例例4已知已知O的半径为的半径为3，AB为为O的一条弦，点的一条弦，点C为圆上的动点，且为圆上的动点，且圆心圆心O到直线到直线AB的距离为的距离为2.(1)如图如图，当点，当点P在优弧在优弧AB上时，在图中画出点上时，在图中画出点P到
7、直线到直线l的距离最大时的距离最大时点点P的位置，通过计算可知该最大值为的位置，通过计算可知该最大值为_；图图例4题图【思维教练】直线【思维教练】直线l与与O相交，过圆心相交，过圆心O向直线向直线l作垂线若点作垂线若点P在优弧在优弧上时，垂线与优弧的交点即使得点上时，垂线与优弧的交点即使得点P到直线到直线l的距离最大；若点的距离最大；若点P在劣弧在劣弧上时，垂线与劣弧的交点即使得点上时，垂线与劣弧的交点即使得点P到直线到直线l的距离最大的距离最大图图例4题图当点当点P位于点位于点P1时，点时，点P到直线到直线l的距离最大，最大值为的距离最大，最大值为dr235；【解法提示】过点【解法提示】过点
8、O作直线作直线AB的垂线于点的垂线于点N，延长，延长NO交优弧交优弧AB于点于点P1，NP1答案：答案：5例4题图(2)如图如图，当点，当点P在劣弧在劣弧AB上时，在图中画出点上时，在图中画出点P到直线到直线l的距离最大时的距离最大时点点P的位置，通过计算可知该最大值为的位置，通过计算可知该最大值为_【思维教练】直线【思维教练】直线l与与O相交，过圆心相交，过圆心O向直线向直线l作垂作垂线若点线若点P在优弧上时，垂线与优弧的交点即使得点在优弧上时，垂线与优弧的交点即使得点P到直线到直线l的距离最大；若点的距离最大；若点P在劣弧上时，垂线与劣弧在劣弧上时，垂线与劣弧的交点即使得点的交点即使得点P
9、到直线到直线l的距离最大的距离最大1当点当点P位于点位于点P2时，点时，点P到直线到直线l的距离最大，的距离最大，最大值为最大值为rd321.【解法提示】延长【解法提示】延长ON交劣弧交劣弧AB于点于点P2，NP2例4题图模 型 应 用模 型 应 用3.如图，已知如图，已知BOA30，M为为OB边上一点，边上一点，OM5，以，以M为圆心，为圆心，2为半径作为半径作M，则，则M上的点到直线上的点到直线OA的最大距离为的最大距离为_，最小，最小距离为距离为_第3题图9212拓展：求圆中三角形面积最值问题时，若高经过圆心或者高所在的延长拓展：求圆中三角形面积最值问题时，若高经过圆心或者高所在的延长线
10、经过圆心时，面积往往取最大值线经过圆心时，面积往往取最大值4.已知已知AB为为O的直径，点的直径，点P为为O上一点，上一点，AB4，则，则APB的最大面积为的最大面积为_.第4题图4二、构造辅助圆二、构造辅助圆模型一定点定长模型模型一定点定长模型模 型 分 析模 型 分 析已知平面内一定点已知平面内一定点A和一动点和一动点B，若，若AB长度固定，则动点长度固定，则动点B的轨迹是以的轨迹是以点点A为圆心，为圆心，AB长为半径的圆长为半径的圆(如图如图)(依据：圆的定义，圆是平面内所依据：圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合有到定点的距离等于定长的点的集合)图模 型 应 用模 型
11、 应 用5.如图，如图，AC、BD是四边形是四边形ABCD的两条对角线，的两条对角线，ABACAD，CBD2BDC，且，且BAC40.(1)定点定点(圆心圆心)为点为点_，定长，定长(半径半径)为线段为线段_的的长；画出辅助圆草图；长；画出辅助圆草图；第5题图AC(或或AB或或AD)A(2)求求CAD的度数的度数第5题图CBD2BDC，BAC2BDC40，CBDBAC40，CAD2CBD80.(2)ABACAD，点点B、C、D在以点在以点A为圆心，为圆心，AB长为半径的圆上长为半径的圆上如解图，如解图，6.如图，在等腰如图，在等腰ABC中，中，ABAC6，BAC120，AD是是ABC的角平分线
12、，将线段的角平分线，将线段AD绕点绕点A逆时针旋转，点逆时针旋转，点D的对应点为的对应点为D.(1)定点定点(圆心圆心)为点为点_，定长，定长(半径半径)为线段为线段_的长；画出辅的长；画出辅助圆草图；助圆草图；第6题图ADAD(2)当旋转角为当旋转角为120时，求点时，求点D运动的路径长；运动的路径长；第6题图D(2)由题意可知，点由题意可知，点D的运动轨迹为的运动轨迹为 ，如解图，如解图，DDABC为等腰三角形，为等腰三角形，AD是是BAC的平分线，的平分线，ADBC，BAD60，ABD30.AB6，AD AB3，由题意知由题意知DAD120，点点D的运动的路径长为的运动的路径长为 2；1
13、21203180 (3)在线段在线段AD旋转的过程中，求旋转的过程中，求CD的最大值的最大值第6题图D(3)当当C、A、D三点共线且三点共线且C、D在点在点A的两侧时，的两侧时，CD取得最大值，取得最大值，由由(2)知，知，AD3，ADAD3，CD的最大值为的最大值为ACAD639.7.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB4，AD2 ，E是是AB的中点，的中点，F是是AD边上的一个动点，将边上的一个动点，将AEF沿沿EF折叠，得到折叠，得到GEF，点，点A的对应点为点的对应点为点G，点，点F沿沿AD边从点边从点A运动到点运动到点D停止运动停止运动(1)画出辅助圆草图；画出辅助圆草图；3
14、第7题图 解：解：(1)辅助圆草图如解图所示辅助圆草图如解图所示第7题解图(2)在这一过程中，求点在这一过程中，求点G运动的路径长；运动的路径长；12(2)AB4，E是是AB的中点，的中点，AE AB2，由折叠的性质得由折叠的性质得GEAE2，GEFAEF，点点G在以点在以点E为圆心，为圆心，AE长为半径的圆弧上运动，长为半径的圆弧上运动，如解图，当点如解图，当点F与点与点D重合时，重合时，AD ，tanAED ，AED60，AEG2AED120，点点G运动路径长为运动路径长为2 32 332ADAE=120241803 第7题解图(3)求求DG的最小值的最小值(3)当当D、G、E在同一直线上
15、时，在同一直线上时，DG取得最小值，取得最小值，DGDEEG，在在DAE中，中，DE ，DG的最小值为的最小值为422.2222 34 第7题解图模型二定弦对定角模型模型二定弦对定角模型(黔西南州黔西南州2017.26)模 型 分 析模 型 分 析若已知角为定角，且该角所对的线为定长时，则构造若已知角为定角，且该角所对的线为定长时，则构造ACB的外接圆的外接圆当当C90时，如图时，如图,C90时，如图时，如图,当当C90时，如图时，如图.图图图模 型 应 用模 型 应 用8.如图，已知如图，已知AB6，ACB90.(1)定弦为定弦为_，定角为，定角为_，画出辅助圆草图及面积最大时点，画出辅助圆
16、草图及面积最大时点C的位置；的位置；(2)ABC的面积的最大值为的面积的最大值为_第8题图解：解：(1)以以AB为直径构造辅助圆，如解图，为直径构造辅助圆，如解图，当当OCAB时，时，ABC的面积最大的面积最大ABACBO99.如图，如图，AOB45，在边，在边OA，OB上分别有两个动点上分别有两个动点C、D.连接连接CD，以以CD为直角边作等腰直角为直角边作等腰直角CDE，已知，已知CD2.(1)定弦为定弦为_，定角为，定角为_，画出辅助圆草图及线段，画出辅助圆草图及线段OE最大最大时点时点E的位置；的位置；第9题图CDAOB解：解：(1)辅助圆草图及线段辅助圆草图及线段OE最大时点最大时点
17、E的位置如解图的位置如解图第9题解图(2)OE的最大值是的最大值是_210 第9题解图10.如图，如图，ABC为等边三角形，为等边三角形，AB2，点，点P为为ABC内一动点，且满内一动点，且满足足PABACP.(1)定弦为定弦为_，定角为，定角为_，画出辅助圆草图及线段，画出辅助圆草图及线段PB最小最小时点时点P的位置；的位置；第10题图ACAPC解：解：(1)辅助圆草图及线段辅助圆草图及线段PB最小时点最小时点P的位置如解图的位置如解图第10题解图(2)线段线段PB的最小值的最小值_2 33第10题解图11.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为4，点，点E是是AB边上的一个动点，边上的一个动点，点点F是是CD边上的一个动点，且边上的一个动点，且AECF，过点，过点B作作BGEF于点于点G，连接，连接AG，则，则AG长的最小值为长的最小值为_第11题图102
