1、微专题圆的综合题微专题圆的综合题1.(2023安徽安徽)已知四边形已知四边形ABCD内接于内接于O，对角线，对角线BD是是O的直径的直径(1)如图如图，连接，连接OA，CA，若，若OABD，求证：，求证：CA平分平分BCD；第第1题图题图(1)证明：证明：OABD，且，且OBOD，AO垂直平分垂直平分BD，ABAD，ABDADB.ACDABD，ADBACB，ACDACB，CA平分平分BCD；微专题圆的综合题微专题圆的综合题(2)如图如图，E为为O内一点，满足内一点，满足AEBC，CEAB.若若BD3 ，AE3，求弦，求弦BC的长的长第第1题图题图(2)解：解：BD为为O的直径，的直径，BCD9
2、0，CDBC.AEBC，AECD，同理同理ADCE，四边形四边形ADCE为平行四为平行四边形，边形，CDAE.AE3，CD3，BC .BDCD2222(3 3)33 2 微专题圆的综合题微专题圆的综合题2.如图，以矩形如图，以矩形ABCD(ABBC)的对角线的对角线AC为直径作为直径作O，过点过点B作作AC的垂线，垂足为的垂线，垂足为P，交，交CD于点于点E，交，交AD的延长线于点的延长线于点F，取，取EF的中点的中点H，连接，连接DH.(1)求证：求证：DH是是O的切线；的切线；第第2题图题图(1)证明：证明：如图，连接如图，连接BD，四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，BCDADC90，B
3、D为为O的直径的直径BFAC，ECPCEP90.微专题圆的综合题微专题圆的综合题在在RtFDE中，中，H为为EF的中点，的中点，DHEH，DEFEDHCEP.ECPODC，ODHEDHODC90，ODDH.又又OD是是O的半径，的半径，DH是是O的切线；的切线；第第2题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题(2)若若AC4，EF ，求，求CE的长的长8 33第第2题图题图(2)解：解：AC4，EF ，BDAC4，DHEH .BDH90，tan DBH ，DBH30，DHE60，DHE是等边三角形，是等边三角形，HDE60，DEDH ，BDC90HDE30，CDBDcos 302 ，CECDDE
4、 .8 334 33DHBD33 4 3332 33微专题圆的综合题微专题圆的综合题3.(2023葫芦岛葫芦岛)如图，如图，ABC内接于内接于O，AB是是O的直径，的直径，CE平分平分ACB交交O于点于点E，过点，过点E作作EFAB，交，交CA的延长线于点的延长线于点F.(1)求证：求证：EF与与O相切；相切；第第3题图题图(1)证明：证明：如图，连接如图，连接OE.AB是是O的直径，的直径，ACB90.CE平分平分ACB，BCE45，BOE2BCE90.微专题圆的综合题微专题圆的综合题EFAB，OEFBOE90，OEEF.OE是是O的半径，的半径，EF与与O相切；相切；第第3题图题图微专题圆
5、的综合题微专题圆的综合题(2)若若CAB30，AB8，过点，过点E作作EGAC于点于点M，交，交O于点于点G，交，交AB于点于点N，求，求 的长的长AG第第3题图题图(2)解：解：如图，连接如图，连接GO，GB.EGAC，EMF90.ACB90，ACBEMF，EGBC，CEGBCE45，微专题圆的综合题微专题圆的综合题CBGCEG45.ACB90，CAB30，ABC60，ABGABCCBG15，AOG2ABG30，的长为的长为 .第第3题图题图AC30421803 微专题圆的综合题微专题圆的综合题4.如图，如图，ABC内接于内接于O，ABAC，弦，弦BD与与AC相交于点相交于点E，连接，连接A
6、D，CD，BAD3CBD，连接，连接AO并延长交并延长交BD于点于点F.(1)求证：求证：AFAD；第第4题图题图(1)证明：证明：如图，连接如图，连接OB，OC，ABAC，OBOC，OAOA，ABOACO，ABOACO.，CBDCAD.CDCD微专题圆的综合题微专题圆的综合题BAD3CBD，BAFCAFCADCBD.，ABFACD，ABFACD，AFAD；第第4题图题图ADAD微专题圆的综合题微专题圆的综合题(2)若若CB2CD24，求，求BDCD的值的值(2)解：解：由由(1)知知ABFACD，BFCD.设设CADx，则，则BAFCAFx.由由(1)知知AFAD，ADE 90 x，AED1
7、80ADEEAD 180(90 x)x90，即即ACBD.FADx180180222 第第4题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题又又AFAD，DEEF.在在RtBCE和和RtCDE中，中，CB2BE2CE2，CD2DE2CE2，CB2CD2BE2CE2(DE2CE2)BE2DE2 (BEDE)(BEDE)BD(BEEF)BDBFBDCD.BDCD4.第第4题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题5.如图，如图，AB是是O的直径，的直径，BC是是O的弦，点的弦，点D是是O上一上一点，连接点，连接CD，AD，且，且DAB2B，过点，过点C作作O的切线交的切线交DA的延长的延长线于点线于点E.(
8、1)求证：求证：CEAD；第第5题图题图(1)证明：证明：如图，连接如图，连接OC，DAB2B，AOC2B，DABAOC，OCAD.CE是是O的切线，的切线，OCCE，CEAD；微专题圆的综合题微专题圆的综合题(2)若若OA5，tan D ，求，求CE的长的长12第第5题图题图(2)解：解：如图，连接如图，连接AC，AB是是O的直径，的直径，ACB90，tan Btan D ，BC2AC.AB2OA10，在在RtABC中，中，AC2BC2AB2，AC2(2AC)2102，ACBC12 微专题圆的综合题微专题圆的综合题AC2 (负值已舍去负值已舍去)，BC4 ，cos B .OAOC，ACOCA
9、O.ACEACO90，CAOB90，ACEB，cos ACEcos B，CEACcos ACEACcos B4.第第5题图题图55BCAB4 52 5105微专题圆的综合题微专题圆的综合题6.(2023德阳德阳)如图，已知如图，已知AB是是O的直径，点的直径，点C，E在在O上，上，EC的延长的延长线与线与AB的延长线相交于点的延长线相交于点D，且，且CDOA，AEOC.(1)求证：求证：AC是是EAD的平分线；的平分线；第第6题图题图(1)证明：证明：AEOC，EACACO.OAOC，CAOACO，EACCAO，AC是是EAD的平分线；的平分线；微专题圆的综合题微专题圆的综合题(2)求求ACD
10、的度数；的度数；第第6题图题图(2)解：解：如图，连接如图，连接CB.设设CAO.根据根据(1)可知可知EACCAOACO，EAOEACCAO2，COBCAOACO2.CDOA，CDOC.COBD2.微专题圆的综合题微专题圆的综合题CBOBCDD4.OBOC，CBOOCB4，CBOOCBCOB44210180，18，ACDACBBCD902 9036126；第第6题图题图微专题圆的综合题微专题圆的综合题(3)求求 的值的值ODAD第第6题图题图(3)解：解：设设O的半径为的半径为r，BDa，则，则CDr.EACCAO，ECBC.又又DBCD236，ECBCBDa.AEOC，DOCDAE，即，即 ，解得，解得a r，.ODCDADDE rarrara2 512 ODraADra5122
