1、下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-1 1 1 页页页4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念一、正弦交流电的三要素一、正弦交流电的三要素 二、二、相位差相位差 三、有效值三、有效值4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法一、复数的两种表示形式一、复数的两种表示形式 及及四则运算复习四则运算复习 二、相量代表正弦交流电二、相量代表正弦交流电 4.3 基本元件基本元件VCR的相量形式和的相量形式和KCL、KVL的相量形式的相量形式 一、一、R、L、C的电压、电的电压、电 流关系流关系的相量形式的相量形式 二、二、KCL、KVL相量形式相量形式 4.4 阻抗
2、与导纳阻抗与导纳一、阻抗与导纳概念一、阻抗与导纳概念 二、阻抗和导纳的串联与并联等效二、阻抗和导纳的串联与并联等效 三、阻抗串联模型和并联模型的等三、阻抗串联模型和并联模型的等效互换效互换4.5 正弦稳态电路相量法分析正弦稳态电路相量法分析 二、网孔、节点分析法用于正弦稳二、网孔、节点分析法用于正弦稳态电路的分析态电路的分析 一、串、并、混联电路的分析一、串、并、混联电路的分析三、等效电源定理用于正弦稳态电三、等效电源定理用于正弦稳态电路分析路分析第第4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析回本章目录回本章目录回本章目录(本章共本章共122页页)P59P3P14P24P38点击目录中各节后页码
3、即可打开该节点击目录中各节后页码即可打开该节下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-2 2 2 页页页第第4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4.6 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率一、基本元件的功率和能量一、基本元件的功率和能量二、一端口网络的功率二、一端口网络的功率三、功率因数的提高三、功率因数的提高4.7 正弦稳态电路中的功率传输正弦稳态电路中的功率传输一、减小损耗和高效传输问题一、减小损耗和高效传输问题二、最大功率传输问题二、最大功率传输问题 4.8 三相交流电路概述三相交流电路概述一、三相电源一、三相电源二、对称三相电路的计算二、对称三相电路的计算三、不对称三
4、相电路的计算三、不对称三相电路的计算回本章目录回本章目录回本章目录点击目录中各节后页码即可打开该节点击目录中各节后页码即可打开该节P70P95P104下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-3 3 3 页页页4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念一、正弦交流电的三要素一、正弦交流电的三要素 按正弦按正弦(余弦余弦)规律变化的电压、电流称为正弦电压、电流，统称为正弦量规律变化的电压、电流称为正弦电压、电流，统称为正弦量(正弦波或正弦交流电正弦波或正弦交流电)。这里采用。这里采用cos函数为表示正弦量的标准函数。函数为表示正弦量的标准函数。周期信号周期信号(函数函数)定义
5、：定义：每隔一定的时间每隔一定的时间T，信号完成一个循环的变化，信号完成一个循环的变化。用数学函数式表示为用数学函数式表示为)()(kTtftf(4.1-1)周期：周期：周期信号完成一个循环所需要的时间周期信号完成一个循环所需要的时间T称为周期称为周期。频率：频率：周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，用率，用f表示表示。频率的单位是赫兹。频率的单位是赫兹 (Hz)。频率与周期的关系为频率与周期的关系为 Tf1(4.1-2)正弦周期信号：正弦周期信号：正弦周期电流、电压是时间的函数，二者分别表示为正弦周期电流、电压是时间的函数，二者分别表示为)co
6、s()(imtIti(4.1-3)cos()(umtUtu(4.1-4)赫兹赫兹 由以上两式不难看出，不同的时刻，电流、电压的数值不同。所以，函数由以上两式不难看出，不同的时刻，电流、电压的数值不同。所以，函数表达式也称为瞬时值表示式。例如，表达式也称为瞬时值表示式。例如，t1时刻的电流值就是将时刻的电流值就是将tt1代入（代入（4.1-3）式求得的函数值式求得的函数值)cos()(11imtIti 由已知函数表达式可画出函数图形，图由已知函数表达式可画出函数图形，图4.1-1（a）就是式（）就是式（4.1-3）的函数）的函数图形，称为电流图形，称为电流i的波形。的波形。图图4.1-1正弦电流
7、波形与参考方向正弦电流波形与参考方向4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-4 4 4 页页页下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-5 5 5 页页页4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念 参考方向：参考方向：由波形图可以看出电流的瞬时值有时为正值，有时为负值。电流数值的由波形图可以看出电流的瞬时值有时为正值，有时为负值。电流数值的正与负在设定参考方向的条件下才有意义，因此对正弦电流也必须设定参考方向。正与负在设定参考方向的条件下才有意义，因此对正弦电流也必须设定参考方向。若设定了正弦电流的参考方向，如
8、图（若设定了正弦电流的参考方向，如图（4.1-1）（）（b）所示，就可根据正弦电流的表）所示，就可根据正弦电流的表示式或波形图来确定其实际方向：示式或波形图来确定其实际方向：例如图例如图4.1-1（a）中，在）中，在t0t1时间区间电流值为正时间区间电流值为正值，说明在这段时间区间电流的实际方向与图（值，说明在这段时间区间电流的实际方向与图（b）所设）所设i的参考方向一致；的参考方向一致；而在而在tt1t2时间区间电流值为负值，说明在该段时间区间电流的实际方向与所设参考方向相反。时间区间电流值为负值，说明在该段时间区间电流的实际方向与所设参考方向相反。观察式观察式(4.1-3)看看正弦交正弦交
9、流电三流电三要素要素1、振幅、振幅Im:正弦电流正弦电流i在整个变化过程中能达到的最大值。在整个变化过程中能达到的最大值。2、初相位、初相位i：（：（ti）称为电流）称为电流i的瞬时相位角，单位可用弧度的瞬时相位角，单位可用弧度（rad）或度（）或度（o）来表示。）来表示。t=0时的瞬时相位即是初始相位。时的瞬时相位即是初始相位。初相与所初相与所选的时间起点有关。如果用余弦函数表示的正弦量的正最大值选的时间起点有关。如果用余弦函数表示的正弦量的正最大值发生在时间起点（发生在时间起点（t0）之前，如图）之前，如图4.1-1（a）所示，则）所示，则i为正为正值；如果正最大值发生在时间起点之后，则值
10、；如果正最大值发生在时间起点之后，则i为负值。习惯规为负值。习惯规定初相角的绝对值在定初相角的绝对值在0之间，即之间，即irad或或i180o。3、角频率、角频率：单位时间正弦量变化的弧度数单位时间正弦量变化的弧度数。单位是弧度单位是弧度/秒秒(rad)。正弦量变化一周，瞬时相位变化正弦量变化一周，瞬时相位变化2弧度，有弧度，有2)()(iitTtfT22 (4.1-5)回本章目录回本章目录回本章目录下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-6 6 6 页页页4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念 综上所述，如果已知一个正弦信号的振幅、角频率（或频率）和初相，那综上所述
11、，如果已知一个正弦信号的振幅、角频率（或频率）和初相，那么它的数学表达式或波形图就可以完全确定下来。所以把么它的数学表达式或波形图就可以完全确定下来。所以把振幅、角频率（或频振幅、角频率（或频率）和初相称为正弦信号的三要素率）和初相称为正弦信号的三要素。例例 4.1-1 图图4.1-2(a)为正弦稳态二端电路，电流为正弦稳态二端电路，电流i(t)的参考方向如图中所标。的参考方向如图中所标。已知已知i(t)=100cos(2t-/4)mA，试绘出，试绘出i(t)的波形，求出的波形，求出t=0.5s,1.25s时电流的瞬时电流的瞬时值，并说明上述时刻电流的实际方向。时值，并说明上述时刻电流的实际方
12、向。图图4.1-2 例例4.1-1用图用图 解解 由已知的由已知的i(t)表达式求得：表达式求得：Im=100mA，=2rad/s,i=-/4。画画i(t)波形时，纵坐标是波形时，纵坐标是i，横，横坐标可以是坐标可以是t（单位为秒），（单位为秒），也也可以是可以是t(单位为弧度单位为弧度)。i(t)波形如图波形如图4.1-2(b)所示所示。将将t=0.5 s,1.25 s分别代入分别代入i(t)表达式中，表达式中，求得求得 mA7.70425.12cos10025.1mA7.7045.02cos1005.0）（）（ii4下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-7 7 7 页页页
13、4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念因因t=0.5s时求得的电流值为负值，时求得的电流值为负值，故该时刻电流的实际方向与图中故该时刻电流的实际方向与图中所标所标i(t)的参考方向相反；的参考方向相反；在在t=1.25s时求得的电流值为正值，时求得的电流值为正值，显然该时刻电流的实际方向与参显然该时刻电流的实际方向与参考方向相同考方向相同。例例 4.1-2 已知正弦电压的波形如图已知正弦电压的波形如图4.1-3所示，试写出所示，试写出u(t)的函数表达式。的函数表达式。图图4.1-3 例例4.1-2用图用图解解 由已知的由已知的u(t)波形图求得三要素。波形图求得三要素。振幅：振幅：
14、Um=100V(波形峰值波形峰值)周期为周期为(两峰值之间的时间间隔两峰值之间的时间间隔)ms20)5.2(5.17T角频率为角频率为 rad/s1001020223-T初相初相的绝对值为的绝对值为(t1为距纵轴最近的最大值对应的时间为距纵轴最近的最大值对应的时间)1trad4105.21003下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-8 8 8 页页页4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念考虑波形距纵轴最近的最大值在坐标原点的左边，所以初相角为正，即考虑波形距纵轴最近的最大值在坐标原点的左边，所以初相角为正，即=/4 rad。将求得的振幅、角频率、初相代入式将求得的振
15、幅、角频率、初相代入式(4.1-4)得得V4100cos100)(ttu二、相位差二、相位差顾名思义，相位差就是二正弦量相位之差。顾名思义，相位差就是二正弦量相位之差。假设两个正弦假设两个正弦电压分别为电压分别为 11112222()cos()()cos()mmu tUtu tUt它们的相位之差称为相位差，用它们的相位之差称为相位差，用表示，即表示，即)()()()(21212211ttt(4.1-6)时间时间t的函数，的函数，称瞬时相位差。称瞬时相位差。正弦信号激励下的线性时不变渐近稳定电路中各处的稳态响应都是与激正弦信号激励下的线性时不变渐近稳定电路中各处的稳态响应都是与激励源具有相同角频
16、率的正弦函数。今后遇到的大量的相位差计算问题都是同励源具有相同角频率的正弦函数。今后遇到的大量的相位差计算问题都是同频率正弦量相位差的计算。频率正弦量相位差的计算。将将1=2=代入式代入式(4.1-6)，得此时的相位差为，得此时的相位差为下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-9 9 9 页页页4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念21(4.1-7)两个同频率正弦量两个同频率正弦量的相位差等于它们的相位差等于它们的初相之差。的初相之差。在同频率正弦量相位差计算中还经常遇到下列四种特殊情况：在同频率正弦量相位差计算中还经常遇到下列四种特殊情况：(1)若若=1-2=0，即
17、，即1=2,则称则称u1(t)与与u2(t)同相，如图同相，如图4.1-4(a)所示。这时所示。这时u1(t)与与u2(t)同时到达最大值，同时到达零值，同时到达最小值。同时到达最大值，同时到达零值，同时到达最小值。图图4.1-4 同频率相位差的四种情况同频率相位差的四种情况(2)若若=1-20，即，即12，则称，则称u1(t)超前超前u2(t)，或称或称u2(t)滞后滞后u1(t)。假设。假设10,20，u1(t)，u2(t)的波形如图的波形如图4.1-4(b)所示。所示。下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-101010 页页页4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本
18、概念(3)若若=1-2=，则称，则称u1(t)与与u2(t)反相。当反相。当u1(t)到达最大值时，到达最大值时，u2(t)到达最小到达最小值，波形如图值，波形如图4.1-4(c)所示。所示。(4)若若=1-2=/2，则称，则称u1(t)与与u2(t)正交，波形如图正交，波形如图4.1-4(d)所示。图中的波所示。图中的波形是取形是取=1-2=-/2时画出的。时画出的。例例 4.1-3 同频率的两个正弦电压分别为同频率的两个正弦电压分别为 V)30cos(8)(V)75cos(10)(21ttuttu试求它们的相位差试求它们的相位差，并说明两电压超前、滞后的情况。，并说明两电压超前、滞后的情况
19、。解解 由由u1(t)、u2(t)的函数表达式可知：的函数表达式可知：1=75,2=-30 所以相位差所以相位差 =1-2=75-(-30)=105 说明：电压说明：电压u1(t)超前电压超前电压u2(t)105,或说或说u2(t)滞后滞后u1(t)的角度的角度为为105。例例 4.1-4 同频率正弦电压、电流分别为同频率正弦电压、电流分别为mV40sin5)(V3cos20)(ttittu试求相位差试求相位差，并说明两正弦量相位超前、滞后情况。，并说明两正弦量相位超前、滞后情况。下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-111111 页页页4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电
20、的基本概念解解 此例欲说明此例欲说明:(1)两正弦量的相位比较时，不仅两电压之间或两电流之间两正弦量的相位比较时，不仅两电压之间或两电流之间可以进行相位比较，正弦电压与电流之间亦可进行相位比较可以进行相位比较，正弦电压与电流之间亦可进行相位比较。(2)对于求相位差，要求两正弦量的函数形式应化为一致对于求相位差，要求两正弦量的函数形式应化为一致(例如统一化为本书选例如统一化为本书选用的余弦函数表示形式用的余弦函数表示形式)。(3)各正弦量的初相角要用统一的单位。各正弦量的初相角要用统一的单位。这样，本例中电流这样，本例中电流i(t)应改写为应改写为 i(t)=5cos(t+40-90)=5 co
21、s(t-50)mA 电压电压u(t)改写为改写为 u(t)=20 cos(t+60)V 显然显然 u=60,i=-50 所以相位差所以相位差 =u-i=60-(-50)=110o 由计算得到的由计算得到的值可以判值可以判定定：电压电压u(t)超前电流超前电流i(t)的角度为的角度为110，或说电，或说电流流i(t)滞后电压滞后电压u(t)的角度的角度为为110。三、有效值三、有效值 在电路分析中，不仅需要了解正弦信号各瞬时在电路分析中，不仅需要了解正弦信号各瞬时的数值，而且更关注它们的平均效果。业内人士的数值，而且更关注它们的平均效果。业内人士用称做有效值的物理量来表征这种效果。用称做有效值的
22、物理量来表征这种效果。正弦信号的有效值是从能量等效的角度定义的。正弦信号的有效值是从能量等效的角度定义的。如图如图4.1-5(a)、(b)所示，令正弦电流所示，令正弦电流i和直流电流和直流电流I分别通过两个阻值相等的分别通过两个阻值相等的电阻电阻R，如果在相同的时间，如果在相同的时间T(T为正弦信号的周期为正弦信号的周期)内，两个电阻消耗的能量相内，两个电阻消耗的能量相等，那么定义该直流电流的值为正弦电流等，那么定义该直流电流的值为正弦电流i的有效值，记为的有效值，记为I。下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-121212 页页页4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概
23、念图图4.1-5 定义有效值用图定义有效值用图由图由图4.1-5(a)可知，电阻可知，电阻R消耗消耗的功率为的功率为)()(2tRitpT时间内消耗的能量为时间内消耗的能量为 ttRittpWTTd)(d)(002(4.1-8)由图由图4.1-5(b)可知，可知，电阻电阻R消耗的功率为消耗的功率为2RIP T时间内消耗的能量为时间内消耗的能量为 TRIW2(4.1-9)令式令式(4.1-8)与式与式(4.1-9)相等，相等，即即 ttRiTRITd)(022解得解得 TttiTI02d)(1(4.1-10)正弦电流的正弦电流的有效值有效值I是正是正弦电流函数弦电流函数i(t)的平方在的平方在一
24、个周期内一个周期内的平均值再的平均值再取平方根，取平方根，所以有效值所以有效值也称为方均也称为方均根值。根值。下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-131313 页页页4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念类似地，类似地，可得正弦电压的有效值为可得正弦电压的有效值为 TttuTU02d)(1(4.1-11)说明说明:(1)式式(4.1-10)和式和式(4.1-11)不仅适用于正弦信号，而且也适用于任何波形不仅适用于正弦信号，而且也适用于任何波形的周期电流和周期电压。的周期电流和周期电压。(2)若将正弦电流的表达式若将正弦电流的表达式)cos()(imtIti代入代入
25、(4.1-10)式，得式，得mm02022707.021)(2cos1 21)(cos1IIdttITdttITITimTim同理，可得正弦电压的有效值与振同理，可得正弦电压的有效值与振幅值的关系为幅值的关系为mmUUU707.021(4.1-12)(4.1-13)只适用于正弦交流只适用于正弦交流电流、电压！电流、电压！下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-141414 页页页4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法 在分析线性时不变电路的正弦稳态响应时，经常遇到正弦信号的代数运算在分析线性时不变电路的正弦稳态响应时，经常遇到正弦信号的代数运算和微分、积分运算，利
26、用三角函数关系进行正弦信号的这些运算相当麻烦。为和微分、积分运算，利用三角函数关系进行正弦信号的这些运算相当麻烦。为此，借用复数表示正弦信号，从而使正弦稳态电路的分析和计算得到简化。此，借用复数表示正弦信号，从而使正弦稳态电路的分析和计算得到简化。一、复数的两种表示形式及四则运算复习一、复数的两种表示形式及四则运算复习1、复、复数数 的的两种两种表示表示 12jeA ajaA代数型代数型 指数型指数型 2、复、复数的数的四则四则运算运算 图图4.2-1 复数的几何表示复数的几何表示对复数进行加、减运算时使用对复数进行加、减运算时使用复数的代数型，实部加、减实复数的代数型，实部加、减实部，虚部加
27、、减虚部。部，虚部加、减虚部。对复数进行乘、除运算时使用对复数进行乘、除运算时使用复数的指数型，模值相乘、除，复数的指数型，模值相乘、除，辐角相加、减。辐角相加、减。提醒！提醒！若遇两指数型表示的复若遇两指数型表示的复数相加、减，应先将两复数由数相加、减，应先将两复数由指数型化为代数型，然后再进指数型化为代数型，然后再进行加、减运算。若遇代数型表行加、减运算。若遇代数型表示的两复数相乘、除，应先将示的两复数相乘、除，应先将两复数由代数型化为指数型，两复数由代数型化为指数型，然后再进行乘、除运算。然后再进行乘、除运算。221221Aaaaarctga(4.2-1)12cossinaAaA(4.2
28、-2)下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-151515 页页页4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法二、相量代表正弦交流电二、相量代表正弦交流电 欧拉公式欧拉公式 jesincosjejRecosje令令it代入欧拉公式，有代入欧拉公式，有)sin()cos()(iitjjtjteei则复值函数则复值函数Imej(t+i)亦可应用欧拉公式展开，即亦可应用欧拉公式展开，即)sin(j)cos(emm)j(miittItIIi(4.2-3)显然，上式的左端即是复值函数的指数函数形式，右端即是复值函数的代数显然，上式的左端即是复值函数的指数函数形式，右端即是复值函数
29、的代数函数形式。函数形式。一个复数可几何表示一个复数可几何表示为复平面上的一个静为复平面上的一个静矢量矢量(不随时间动不随时间动)，如，如图图4.2-1中的复数中的复数A。一个复值函数在复一个复值函数在复平面上可以用一个平面上可以用一个旋转矢量表示，如旋转矢量表示，如图图4.2-2所示。所示。假设某正弦电流为假设某正弦电流为)cos(eRe)(m)(jmittIItii(4.2-4)下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-161616 页页页4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法由上式可看出电流由上式可看出电流i(t)与复值函数与复值函数Imej(t+i)存在着对
30、应关系，换句话说，存在着对应关系，换句话说，能找到能找到Imej(t+i)，取实部就得，取实部就得i(t)。虽然它们二者不是相等的关系，但虽然它们二者不是相等的关系，但却有着确定的对应关系，在各种运却有着确定的对应关系，在各种运算中可以用算中可以用Imej(t+i)作为作为i(t)的的“全全权权”代表。代表。考虑同频率的旋转矢量它们逆时针旋转考虑同频率的旋转矢量它们逆时针旋转的角速度是一样的，所以无论何时，各的角速度是一样的，所以无论何时，各旋转矢量的相对位置不变，旋转矢量的相对位置不变，再联系再联系36节给出的重要结论，今节给出的重要结论，今后我们遇到的大都是同频率正弦电后我们遇到的大都是同
31、频率正弦电流、电压的计算问题，这种情况可流、电压的计算问题，这种情况可以把以把“全权代表全权代表”简化，即简化，即“大家大家”都不必旋转了就用各自开始时刻的都不必旋转了就用各自开始时刻的位置位置(t=0)的矢量作为各自的的矢量作为各自的“全全权权”代表参予各种运算，即代表参予各种运算，即()0iijtjmtmI eI e将式将式(4.2-4)进一步改写为进一步改写为)eRe(eeReeRe)(jmjjm)(mtttjIIItiii(4.2-5)式中式中 iIIIimjmme(4.2-6)为了把这样一个代表正弦量的复数与为了把这样一个代表正弦量的复数与一般的复数相区别，将它称作相量，一般的复数相
32、区别，将它称作相量，并在符号上方加一点以示区别并在符号上方加一点以示区别。下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-171717 页页页4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法 是复数，它的模正好是正弦电流的振幅，是复数，它的模正好是正弦电流的振幅，辐角是正弦电流的初相位辐角是正弦电流的初相位,这正是我们感兴趣的正这正是我们感兴趣的正弦信号的两个要素。把它几何表示在复平面上，弦信号的两个要素。把它几何表示在复平面上，称为相量图，称为相量图，如图如图4.2-3所示。所示。mImImI)(itjmtjmeIeI对于任意时刻对于任意时刻t，旋转相量与实轴的，旋转相量与实轴的
33、夹角为夹角为(t+i)，它在实轴上的投影，它在实轴上的投影正好是正弦电流正好是正弦电流i(t)=Imcos(t+i)在在这一瞬间的值。这一瞬间的值。式式(4.2-5)中的中的ejt称为旋转因子，它的模值为称为旋转因子，它的模值为1，辐，辐角角t随时间成正比增加。随时间成正比增加。乘以乘以 ejt 表示式表示式 是一个随时间是一个随时间t旋转的相量。旋转的相量。如果把这个旋转相量在实轴上的投影按照如果把这个旋转相量在实轴上的投影按照时间逐点描绘出来，就得到一条余弦曲线，时间逐点描绘出来，就得到一条余弦曲线，如图如图4.2-4所示。所示。下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-18
34、1818 页页页4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法上述几何意义用公式表示，就是取旋转相量的实部得到正弦电流，即上述几何意义用公式表示，就是取旋转相量的实部得到正弦电流，即 eRe)(jmtIti 当旋转相量旋转一周时，余弦曲线正好变化一周。也就是说，旋转相量逆当旋转相量旋转一周时，余弦曲线正好变化一周。也就是说，旋转相量逆时针旋转的角速度时针旋转的角速度就是正弦信号的角频率。用类似方法可以说明旋转相量在就是正弦信号的角频率。用类似方法可以说明旋转相量在虚轴上的投影为正弦曲线。虚轴上的投影为正弦曲线。同样地，同样地，正弦电压可表示为正弦电压可表示为 eReeeReeRe)cos
35、(jj)(jtmtjmtmumUUUtUuuu式中式中 umjmmUUUue(4.2-7)称为电压称为电压相量。相量。说明说明:(1)今后，只要已知正弦信号就可以直接写出它的相量。今后，只要已知正弦信号就可以直接写出它的相量。反之，若已知代反之，若已知代表正弦信号的相量，也可直接写出它的时间函数表达式，其中取实部的过程可表正弦信号的相量，也可直接写出它的时间函数表达式，其中取实部的过程可以省去。例如，已知角频率为以省去。例如，已知角频率为的电流相量写电流时间函数的电流相量写电流时间函数 AttiAeIojm)30cos(5)(530这里用双向箭这里用双向箭头符号，不能头符号，不能写等号写等号！
36、下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-191919 页页页4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法再如，已知电压时间函数写相量再如，已知电压时间函数写相量Vttu4510UV)45cos(10)(m(2)相量与正弦信号之间只能说是存在对应关系，或变换关系，不能说相量等于相量与正弦信号之间只能说是存在对应关系，或变换关系，不能说相量等于正弦量。相量必须乘以旋转因子正弦量。相量必须乘以旋转因子ejt并取实部后才等于所对应的正弦信号。并取实部后才等于所对应的正弦信号。(3)相量与物理学中的向量是两个不同的概念。相量是用来代表时间域中的正弦相量与物理学中的向量是两个不同的
37、概念。相量是用来代表时间域中的正弦量，而向量是表示空间内具有大小和方向的物理量量，而向量是表示空间内具有大小和方向的物理量(如力、如力、电场强度等电场强度等)。(4)相量也可用正弦量有效值与初相构成的复数来表示，相量也可用正弦量有效值与初相构成的复数来表示，即即 mmjmmj2121e2121eUUUUUIIIIIuuiiui(4.2-9)例例 4.2-1 试写出下列各电流的相量，并画出相量图：试写出下列各电流的相量，并画出相量图：(1)i1(t)=5cos(100t+60)A(2)i2(t)=10sin(100t+30)A(3)i3(t)=-4cos(100t+45)A 下一页下一页下一页前
38、一页前一页前一页第第第 4-4-4-202020 页页页4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法 解解 (1)A6025.26025A6051m1II(2)由于本书规定由于本书规定10代表代表cos(t)作参考相量，所以决定初相角时应先把正作参考相量，所以决定初相角时应先把正弦函数弦函数(sin)变为余弦函数变为余弦函数(cos)后再确定。后再确定。故本例故本例i2(t)应改写为应改写为 i2(t)=10cos(100t+30-90)=10cos(100t-60)A A6025601021A60102m2II(3)先把先把i3(t)改写为改写为 i3(t)=4cos(100t+45
39、-180)=4cos(100t-135)A A13522135421A13543m3II下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-212121 页页页4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法 画相量图首先应该画出参考坐标系。这个坐标系画相量图首先应该画出参考坐标系。这个坐标系可以用相互垂直的实轴和虚轴来表示，可以用相互垂直的实轴和虚轴来表示，也可以只画出也可以只画出原点和一个表示参考相量的射线。前者实轴的方向即原点和一个表示参考相量的射线。前者实轴的方向即为参考相量的方向。本例中三个电流的代表相量的相为参考相量的方向。本例中三个电流的代表相量的相量图如图量图如图4.2
40、-5所示。所示。图图4.2-5 例例4.2-1的相量图的相量图例例 4.2-2 求下列各电压相量代表的电压瞬时求下列各电压相量代表的电压瞬时值表达式值表达式(已知已知=10 rad/s)：V120100)2(V3050)1(2m1UU解解(1)因是振幅相量，故因是振幅相量，故 U1m=50 V，u1=-30 Vttu)3010cos(50)(1(2)因因 是有效值相量，故是有效值相量，故 2U120V,2100222muUUV)12010cos(2100)(2ttu下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-222222 页页页4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法例
41、例 4.2-3 正弦稳态电路如图正弦稳态电路如图4.2-6(a)所示，已知电流所示，已知电流i1和和i2分别为分别为A)1.53cos(10)(A)9.36cos(5)(21ttitti图图4.2-6 例例4.2-3用图用图试求电流试求电流i(t)。解解 由由i1、i2时域函数写二者各自的相量时域函数写二者各自的相量eRe)(eRe)(j2m2j1m1ttItiIti正弦电流正弦电流i1和和i2可表示为可表示为 AeIAeIjmjm1.5329.36110,5eReeRej2mj1m21ttIIiii由此可得由此可得 jj1m2mmRe()e=ReettiIII式中式中 2m1mmIII电流电
42、流i的相量的相量i的角频率也是的角频率也是下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-232323 页页页4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法同频率的正弦信号相加，其结果仍是频率相同的正弦信号。同频率的正弦信号相加，其结果仍是频率相同的正弦信号。Ae18.11)510()8 j6()3 j4()e10e5(j26.6-j53.1j36.52m1mmjAIII计算计算mI(借助计算器借助计算器)由由 可写得对应电流的时间函数为可写得对应电流的时间函数为 mIi(t)=11.18 cos(t-26.6)A 由于相量由于相量 和和 代表频率相同的正弦电流，因此可以把它们画
43、在同一个复代表频率相同的正弦电流，因此可以把它们画在同一个复平面上，如图平面上，如图4.2-5(b)所示。所示。mI1mI2mmmIII21是两个复数相加，故在复平面上可按照平行四边形法则求得相量是两个复数相加，故在复平面上可按照平行四边形法则求得相量 。mI考虑考虑 利用作图的方法求相量利用作图的方法求相量 的缺点是精度低，但它的优点是各相量之间的的缺点是精度低，但它的优点是各相量之间的相位关系在图上表示得十分清楚。相位关系在图上表示得十分清楚。mI下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-242424 页页页4.3 基本元件基本元件VCR的相量形式和的相量形式和KCL、KVL
44、的相量形式的相量形式 为了利用相量的概念来简化正弦稳态分析，这里我们先讨论为了利用相量的概念来简化正弦稳态分析，这里我们先讨论R、L、C三种三种基本元件的电压与电流关系的相量形式和基本元件的电压与电流关系的相量形式和KCL、KVL两个定律的相量形式。两个定律的相量形式。一、一、R、L、C的电压、电流关系的相量形式的电压、电流关系的相量形式 1.电阻元件电阻元件假设电阻假设电阻R两端的电压与电流采用关联参考方向，如图两端的电压与电流采用关联参考方向，如图4.3-1(a)所示。并设通过电阻的正弦电流所示。并设通过电阻的正弦电流)cos()(mitIti 图图 4.3-1 电阻元件电阻元件(4.3-
45、1)由欧姆定律由欧姆定律 得得)cos()cos()()(umimtUtRItRitu（4.3-2）上式表明：电阻两端电压上式表明：电阻两端电压u和电和电流流i的频率相同，电压的振幅的频率相同，电压的振幅Um=RIm,而且电压与电流同相位，而且电压与电流同相位，即即 iummRIU(4.3-3)由式由式(4.3-1)、(4.3-2)分别写相量为分别写相量为 iIIjmme(4.3-4)uUUjmme(4.3-5)下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-252525 页页页4.3 基本元件基本元件VCR的相量形式和的相量形式和KCL、KVL的相量形式的相量形式 将式将式(4.3-
46、3)代入式代入式(4.3-5)并并考虑式考虑式(4.3-4)，得电阻元件电，得电阻元件电压、电流关系的相量形式为压、电流关系的相量形式为 IRUIRUmm(4.3-6a)(4.3-6b)由式由式(4.3-6)可画可画出电阻元件的相量出电阻元件的相量模型，如图模型，如图4.3-1(b)所示。所示。电阻元件上的电流、电阻元件上的电流、电压波形和相量图如图电压波形和相量图如图4.3-2(a)和和(b)所示。所示。u，i“步调步调”一一致，同时达最致，同时达最大值、最小值！大值、最小值！电阻上电压、电阻上电压、电流相量处电流相量处于同一射线于同一射线上！上！4.3 基本元件基本元件VCR的相量形式和的
47、相量形式和KCL、KVL的相量形式的相量形式 下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-262626 页页页 2.电感元件电感元件 设图设图4.3-3(a)中电感元件上电压、电流参考方向关联，中电感元件上电压、电流参考方向关联，则有则有 ttiLtud)(d)(4.3-7)设正弦稳态时电感电流为设正弦稳态时电感电流为)cos()(imtIti(4.3-8)将式将式(4.3-8)代入式代入式(4.3-7)，得得 mmmmd()cos()sin()dcoscos()2iiiuu tLItLIttLItUt(4.3-9)式中式中 2mmiuLIU(4.3-10)正弦稳态电正弦稳态电路中
48、，电感元件的电路中，电感元件的电压与电流是同频率的压与电流是同频率的正弦量正弦量。参考方向关参考方向关联，联，u超前超前i90。！下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-272727 页页页4.3 基本元件基本元件VCR的相量形式和的相量形式和KCL、KVL的相量形式的相量形式 电感上电压、电流振电感上电压、电流振幅幅(或有效值或有效值)之间的之间的关系为关系为mLmUULXII (4.3-11)式中式中XL=L=2fL具有电阻的量纲，称为感抗。具有电阻的量纲，称为感抗。它隨频率变化的关系，如图它隨频率变化的关系，如图4.3-4所示。所示。由式由式(4.3-8)、(4.3-9)
49、分别写得电流、电压相量为分别写得电流、电压相量为iIIjmme(4.3-12)uUUjmme(4.3-13)将式将式(4.3-10)代入式代入式(4.3-13)，得，得 2jjm2jmmeeeiiLILIU再将式再将式(4.3-12)代入上式并考虑代入上式并考虑 ，得电感元件电压、电流相量关系式为，得电感元件电压、电流相量关系式为 jej2mmmjjIXILUL(4.3-14)下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-282828 页页页4.3 基本元件基本元件VCR的相量形式和的相量形式和KCL、KVL的相量形式的相量形式 或或IXILULjj(4.3-15)电感元件上电压、电
50、电感元件上电压、电流波形及相量关系图流波形及相量关系图如图如图4.3-5所示。所示。图图4.3-5 电感元件上电压、电流波形及相量关系图电感元件上电压、电流波形及相量关系图u、i参考方向参考方向关联条件下，关联条件下，从波形图到相从波形图到相量图均显示为量图均显示为电压电压u超前电流超前电流i(/2)弧度。弧度。3.电容元件电容元件 设图设图4.3-6(a)中电容元件的电压、电中电容元件的电压、电流参考方向关联，流参考方向关联，则有则有 图图4.3-6 电容元件电容元件 ttuCtid)(d)(4.3-16)下一页下一页下一页前一页前一页前一页第第第 4-4-4-292929 页页页4.3 基
