1、7.1 非线性元件7.2 非线性电阻的串联和并联7.3 二端口电路的连接7.4 非线性动态电路7.5 应用实例习题77.1 非非 线线 性性 元元 件件7.1.1 非线性电阻非线性电阻 电阻元件的特性是用u-i平面的伏安特性来描述的。线性电阻的伏安特性是u-i平面上通过原点的直线，它可表示为 u=Ri式中R为常数。不符合上述直线关系的电阻元件称为非线性电阻，其电路图符号如图7.1-1所示。图 7.1-1 非线性电阻如果通过电阻的电流是其端电压的单值函数，则称其为电压控制型电阻，其典型伏安特性如图7.1-2(a)所示。由图可见，在特性曲线上，对应于各电压值，有且仅有一个电流值与之相对应；但是，对
2、应于同一电流值，电压可能是多值的。隧道二极管就具有这种特性。图 7.1-2 非线性电阻的伏安特性如果电阻两端的电压是其电流的单值函数，则称其为电流控制型电阻，其典型伏安特性如图7.1-2(b)所示。由图可见，在特性曲线上对应于每一电流值，有且仅有一个电压值与之相对应；但是，对应于同一电压值，电流可能是多值的。充气二极管(氖灯)就具有这样的特性。另一类非线性电阻的伏安特性是单调增长或单调下降的，它既是电压控制型又是电流控制型，称为单调型电阻，其典型伏安特性如图7.1-2(c)所示。PN结二极管就具有这种特性。一般而言，压控电阻的伏安关系可表示为 i=f(u)(7.1-1)流控电阻的伏安关系可表示
3、为 u=h(i)(7.1-2)单调型电阻的伏安关系可用式(7.1-1)表示，也可用式(7.1-2)表示。例如，PN结二极管的伏安特性可表示为 i=IS(eu-1)(7.1-3)式中，IS称为反向饱和电流；是与温度有关的常数，在室温下40 V-1。由式(7.1-3)不难求得(7.1-4)1ln(1SIiu需要注意，线性电阻和有些非线性电阻，其伏安特性与其端电压的极性(或其电流的方向)无关，其特性曲线对称于原点，如图7.1-3所示，称为双向性。许多非线性电阻是单向性的，其伏安特性与其端电压或电流的方向有关，如图7.1-4所示。图 7.1-3 变阻管的符号及特性图 7.1-4 PN二极管的符号及特性
4、由于非线性电阻的伏安特性不是直线，因而不能像线性电阻那样用常数表示其电阻值。通常引用静态电阻R和动态电阻Rd的概念。非线性电阻元件在某一工作点的静态电阻(7.1-5)iuRdef例如图7.1-4中工作点P处的静态电阻R=U0/I0。在工作点P处的动态电阻(增量电阻)Rd定义为该点电压增量u与电流增量i之比的极限，即电压对电流的导数(7.1-6)iuRddddef动态电导(7.1-7)显然，静态电阻R和动态电阻Rd都与工作点P的位置有关，它们一般是电压或电流的函数。对于无源元件，在电压、电流参考方向一致的情况下，静态电阻为正值，而动态电阻则可能为负值。譬如，对图7.1-2(a)所示的特性曲线而言
5、，在曲线上升部分，动态电阻为正，而在曲线下降部分，动态电阻Rd和动态电导Gd(Gd=1/Rd)为负值。uiGddddef有不少电阻，其伏安特性受到某个物理量(如温度、光强度、压力等)控制，可称为受控电阻。图7.1-5(a)是温控电阻(热敏电阻)的伏安特性，其特性曲线随环境温度T而改变。当工作在原点附近，信号电压较小时，其特性曲线可看做是通过原点的直线。图7.1-5(b)是原点附近特性的放大。这时，该电阻可用线性温控电阻作为它的模型，其伏安关系可写为 u=R(T)i (7.1-8)式中，R(T)是不同温度T时的电阻值，电阻值随温度变化的关系如图7.1-5(c)所示。当温度升高时，其电阻值降低，因
6、而称其为负温度系数的热敏电阻。图 7.1-5 热敏电阻的特性例例7.1-1 设某非线性电阻的伏安特性为u=10i+i2。(1)如i1=1A，求其端电压u1；(2)如i2=ki1=kA，求其电压u2。u2=ku1吗？(3)如i3=i1+i2=1+k A，求电压u3。u3=u1+u2吗？(4)如i=cos(1t)+cos(2t)A，求电压u。解解(1)当i1=1A时，u1=101+12=11 V (2)当i2=k(A)时 u2=10k+k2V显然，u2ku1，即对于非线性电阻而言，齐次性不成立。(3)当i3=i1+i2=1+kA时u3=10(1+k)+(1+k)2=11+12k+k2V显然，u3
7、u1+u2，即对于非线性电阻而言，可加性也不成立。(4)当i=cos(1t)+cos(2t)A时 u=10cos(1t)+cos(2t)+cos(1t)+cos(2t)2 =10cos(1t)+cos(2t)+cos2(1t)+cos2(2t)+2 cos(1t)cos(2t)=1 +10 cos(1t)+cos(2t)+0.5cos(21t)+cos(22t)+直流 基频 二倍频 cos(1+2)t)+cos(12)t)和频 差频 7.1.2 非线性电容非线性电容电容元件的特性是用q-u平面的库伏特性来描述的。线性电容的库伏特性是 q-u平面上通过原点的直线，它可表示为 q=Cu 图 7.1
8、-6 非线性电容式中C为常数。不符合上述直线关系的电容元件称为非线性电容。其电路图符号如图7.1-6所示。如果电容的电荷是电压的单值函数，则称其为电压控制型电容，其电荷、电压关系可表示为 q=f(u)(7.1-9)如果电容端电压是电荷的单值函数，则称其为电荷控制型电容，其电容、电压关系可表示为 u=h(q)(7.1-10)如果q-u特性曲线是单调上升或单调下降的，称其为单调型电容，其库伏特性既可表示为式(7.1-9)，也可表示为(7.1-10)。在电压、电流参考方向一致的条件下，电容电流 (7.1-11)式中 (7.1-12)tuuCtuuqtqiddd)(dddddduquCCdddd)(称
9、为非线性电容元件的动态电容或增量电容。显然，动态电容Cd的值是电容端电压u的函数，它是库伏特性曲线上工作点处的斜率。而在工作点处的静态电容C定义为该点的电荷值q与电压值u之比，即 C=q/u。以铁电物质为介质的电容器属于非线性电容。图7.1-7给出了非线性平板电容的库伏特性和动态电容Cd随电压u变化的关系。图 7.1-7 非线性平板电容的特性7.1.3 非线性电感非线性电感电感元件的特性是用-i平面的韦安特性来描述的。线性电感的韦安特性是-i平面上通过原点的直线，它可表示为 =Li 图 7.1-8 非线性电感式中L为常数。不符合上述直线关系的电感元件称为非线性电感，其电路图符号如图7.1-8所
10、示。如果电感的磁链是电流i 的单值函数，则称其为电流控制型电感，其磁链、电流关系可表示为 =f(i)(7.1-13)如果电感电流是磁链的单值函数，则其称为磁链控制型电感，其磁链、电流关系可表示为 i=h()(7.1-14)如果-i特性曲线是单调上升或单调下降的，则称其为单调型电感。(7.1-16)在电压、电流参考方向一致的条件下，电感端电压(7.1-15)式中 tiiLtiituddd)(ddddddiiLLdddd)(图 7.1-9 磁铁材料的-i特性称为非线性电感元件的动态电感或增量电感。显然，它是电流i的函数，是-i特性曲线上工作点处的斜率。在工作点处的静态电感L定义为该点的磁链值与电流
11、值i之比，即 L=/i。在电子技术中使用铁芯或磁芯的电感元件，其特性曲线是磁滞回线，如图7.1-9所示。这种电感既非电流控制的，又非磁链控制的。以上讨论的非线性元件的特性曲线都不随时间而改变，可称为非时变的非线性元件。如果其特性曲线随时间而改变，则称为时变元件。本书只讨论非时变元件。7.2 非线性电阻的串联和并联非线性电阻的串联和并联7.2.1 非线性电阻的串联非线性电阻的串联图7.2-1(a)是两个非线性电阻的串联电路，根据KCL和KVL，有(7.2-1)2121uuuiii图 7.2-1 非线性电阻的串联设两个电阻为流控电阻或单调增长型电阻，其伏安特性可表示为(7.2-2)按式(7.2-1
12、)，两个电阻串联后应满足 u=u1+u2=f1(i1)+f2(i2)=f1(i)+f2(i)(7.2-3)()(222111ifuifu 如果把串联电路看成是一个一端口电路，如图7.2-1(b)所示，其端口电压电流关系(伏安特性)称为该一端口的驱动点特性。于是，图7.2-1(b)的一端口特性可写为u=f(i)(7.2-4)而对于所有的i，有 f(i)=f1(i)+f2(i)(7.2-5)图 7.2-2 非线性电阻串联的图解就是说，两个流控型电阻或单调增长型电阻相串联，等效于一个流控型或单调增长型电阻。也可用图解的方法分析非线性电阻串联电路。设图7.2-1(a)的两个非线性电阻的伏安特性如图7.
13、2-2所示。把同一电流值下的u1和u2相加即可得到u。取不同的i值，就可逐点求得等效一端口的伏安特性，如图7.2-2所示。如果两个非线性电阻中有一个是电压控制的，在电流值的某范围内电压是多值的，这时将写不出如式(7.2-3)或式(7.2-4)的解析形式，但用图解法仍可求得等效非线性电阻的伏安特性。用图解法逐点描绘等效一端口电路的驱动点伏安特性是烦琐的，在大多数实用场合，常可用一些直线段来近似实际的伏安特性，从而简化这一工作。在计算精度要求较低的情况下，可将二极管看做是理想二极管，其伏安特性如图7.2-3(b)所示。在uD0 时，uD=0，即当理想二极管导通时，它相当于短路。图 7.2-3 二极
14、管伏安特性的近似在分析非线性电路问题时，要注意电压、电流的参考方向，特别要注意多数非线性电阻是单向性的，不同的接法，其结果也不相同。例例 7.2-1(1)图7.2-4(a)是理想二极管VD与线性电阻相串联的电路，画出其u-i 特性。(2)如二极管反接，其u-i 特性如何？图 7.2-4 理想二极管与线性电阻串联情况之一解解(1)画出理想二极管的伏安特性如图7.2-4(b)中实线所示，线性电阻R的伏安特性为通过原点的直线，如图7.2-4(b)中虚线所示。当电压u0时，电流i0，这时理想二极管相当于短路，故在上半平面(即i0的半平面)只需将二者u-i特性上的电压相加即可；当 u0 时，理想二极管相
15、当于短路，其端电压u恒为零；当u0时，理想二极管相当于开路，故在左半平面(即u 0的半平面)只需将特性曲线上相应电流相加，就得到VD与R相并联时的伏安特性，如图7.2-8(c)所示。(2)当理想二极管反接时(见图7.2-9(a)，其u-i特性如图7.2-9(b)中实线所示，于是得图7.2-9(a)并联电路的伏安特性如图7.2-9(c)所示。图 7.2-9 理想二极管与线性电阻并联情况之二 7.3 非线性电阻电路分析非线性电阻电路分析7.3.1 电路方程电路方程 分析非线性电路的基本依据是KCL、KVL和元件的伏安关系。基尔霍夫定律所反映的是节点与支路的连接方式对支路变量的约束，而与元件本身特性
16、无关，因此，无论是线性电路还是非线性电路，按KCL和KVL所列方程都是线性代数方程。例如，对图7.3-1所示电路，对于节点a和b可列出KCL方程为 i1+i2+i4=Is-i2+i3-i4=0对于回路和，按KVL可列得方程-u1+u2+u3=0-u2+u4=Us它们都是线性代数方程。图 7.3-1 非线性电阻电路表征元件特性的伏安方程，对于线性电阻而言是线性代数方程，对于非线性电阻来说则是非线性函数。例如图7.3-1中，对于线性电阻R1、R4有 u1=R1i1，u4=R4i4 对于非线性电阻R2(设其为压控型的)和R3(设其为流控型的)有 i2=f2(u2)，u3=h3(i3)7.3.2 图解
17、法图解法图7.3-2(a)所示的电路由直流电压源Us、线性电阻R和非线性电阻Rn组成。如果把Us与R的串联组合看做是一端口电路，按图示的电压、电流参考方向有u=Us-Ri(7.3-1)设非线性电阻Rn的伏安特性为 i=f(u)(7.3-2)如图7.3-2(b)所示。式(7.3-1)和式(7.3-2)是非线性方程组，一般而言用解析法求解是困难的。在用图解法时，式(7.3-1)和式(7.3-2)分别为u-i平面的两条曲线，而这两条曲线的交点就是该方程组的解。对于式(7.3-2)，即非线性电阻的伏安特性如图7.3-2(b)所示，而式(7.3-1)是一条直线，它在纵轴的截距为Us/R，在横轴的截距为U
18、s，如图7.3-2(b)所示。这两条曲线的交点(U0，I0)同时满足方程式(7.3-1)和(7.3-2)，因而是上述方程组的解，交点P(U0，I0)称为电路的工作点。在电子线路中，线性电阻R常表示负载，该直线常称为负载线。图 7.3-2 图解法如果电路较为复杂，例如图7.3-3(a)所示的电路，可以将ab的左侧部分等效为戴维南等效电路，将ab的右侧部分用串并联的方法求得其等效非线性电阻Rn，如图7.3-3(b)所示。在求得其工作点电压U0和电流I0后，应用替代定理，用已求得的电压(或电流)来代替图7.3-3(a)中的右侧部分(见图7.3-3(c)或左侧部分(见图7.3-3(d)，求解所需的支路
19、电压或电流。图 7.3-3 复杂电路的化简如果在作上述等效中，ab的左侧部分也是非线性的，这时其等效电路如图7.3-4(a)所示。设非线性电阻Rn1和Rn2的伏安特性为 i1=f1(u1)(7.3-3)i2=f2(u2)(7.3-4)其特性曲线如图7.3-4(b)和(c)所示。图 7.3-4 复杂电路的图解由图7.3-4(a)可见，两个非线性电阻的电压、电流的关系为 u1=u2 和 i2=-i1于是，式(7.3-3)可写为 i2=-i1=-f1(u2)(7.3-5)其图形如图7.3-4(d)所示。这样，两个非线性电阻的特性曲线就变为具有相同未知量u2、i2的曲线。将式(7.3-4)和(7.3-
20、5)的曲线画在同一u-i平面上，如图7.3-4(e)所示，二者的交点(U0，I0)就是方程组(7.3-4)和(7.3-5)的解，也就是式(7.3-3)和(7.3-4)的解，即u1=u2=U0 -i1=i2=I07.3.3 分段线性化法分段线性化法要对非线性电路进行全面的分析计算，一般需将各非线性元件的特性曲线用函数表示出来，这常常是很困难的。即使能表示出来，也由于引用的函数较复杂，使电路方程求解遇到困难。分段线性化法(分段线性近似法)也称折线法，它将非线性元件的特性曲线用若干直线段来近似表示，这些直线段都可写为线性代数方程，这样就可以逐段地对电路作定量计算。例如，我们可将某非线性电阻的伏安特性
21、(见图7.3-5(a)中的虚线)分为三段，用、三条直线段来代替。这样，在每一个区段，就可用一线性电路来等效。在区间0uu1，如果线段的斜率为G1，则其方程可写为(7.3-6)iRiGu1110 u u1 就是说，在0uu1的区间，该非线性电阻可等效为线性电阻R1，如图7.3-5(b)所示。类似地，若线段的斜率为G2(显然有 G20)，它在电压轴的截距为Us2，则其方程为 u=R2i+Us2 u1uu2 (7.3-8)式中R3=1/G3，其等效电路如图7.3-5(d)所示。当然，各区段的等效电路也可用诺顿电路。图 7.3-5 分段线性化例例 7.3-1 如图7.3-6(a)所示的电路，非线性电阻
22、r1和r2的伏安特性如图7.3-6(b)和(c)所示，求电流i1和i2。解解 首先根据非线性电阻r1和r2的伏安特性曲线，求出各线段的等效电路。对于r1，按图7.3-6(b)可得各线段的方程为 0,2,20,2,221111111111iVuiiVuiUiruS图 7.3-6 例7.3-1图其相应的等效电路如图7.3-7所示。对于r2，按图7.3-6(c)可得 0,0,20,0,22222iuiuru2=r2 i2，图 7.3-7 r1的等效电路其相应的等效电路如图7.3-8所示。于是可画出图7.3-6(a)电路的分段线性等效电路如图7.3-9所示。不难求得电流i1和i2的表达式分别为(7.3
23、-10)7)4(31122111rrrUiS(7.3-9)12273iri图 7.3-8 r2的等效电路图 7.3-9 图7.3-6(a)的等效电路在u12 V，i10；u20，i2=0区间，将r1=2，Us1=2V，r2=代入式(7.3-9)，得i1=1.8 A。根据r1的伏安特性，这与u12V，i10矛盾，故它不是电路的解。在u12V，i10，i20区间，将r1=2，Us1=2V，r2=2 代入式(7.3-9)，得i1=2.25 A，显然它也不是电路的解。在u12V，i10；u20，i2=0区间，将r1=1，Us1=2 V，r2=代入式(7.3-9)和(7.3-10)，得i1=2.25 A
24、，i2=0。我们注意到，按图7.3-6(a)所示的电路，当i2=0 时，u2=3i1=6.75 V根据r2的伏安特性，这一结果与u22V，i10；u20，i20区间，将r1=1，Us1=2V，r2=2 代入式(7.3-9)和(7.3-10)，得 i1=3A，i2=1 A不难验证，这是图7.3-6(a)电路的唯一解。7.3.4 小信号分析法小信号分析法小信号分析法是电子线路中分析非线性电路的重要方法。图7.3-10(a)所示的电路中，Us为直流电压源(常称为偏置)；us(t)为时变电压源(信号源)，并且设对于所有的时间t，|us(t)|Us；R为线性电阻；非线性电阻为压控型的，设其伏安特性可表示
25、为i=f(u)(见图7.3-10(b)。图 7.3-10 小信号分析法对图7.3-10(a)所示的电路，按KVL有 Us+us(t)-Ri(t)=u(t)t(7.3-11)其中 i(t)=fu(t)t(7.3-12)首先设us(t)=0，即信号电压为零。这时可用图解法作出负载线L，求得工作点(U0，I0)如图7.3-10(b)所示。当us(t)0时，对任一时刻t，满足方程式(7.3-11)的所有点u(t)，i(t)的轨迹是图7.3-10(b)中u-i平面的一条平行于L的直线(如虚线所示)。由图可见，当us(t)0 时，该直线位于L的上方；当us(t)0 时，该直线位于L的下方。满足式(7.3-
26、12)的所有点u(t)，i(t)的轨迹，仍然是该非线性电阻的特性曲线，它不随时间变化。因此，所有位于各直线与特性曲线的交点的值u(t)，i(t)，就是不同时刻方程组(7.3-11)和(7.3-12)的解。由于us(t)足够小，所以解u(t)，i(t)必定位于工作点(U0，I0)附近。我们把解u(t)、i(t)各分成两部分，写成 (7.3-13)式中U0和I0是工作点的电压和电流，而u(t)和i(t)是小信号us(t)引起的增量。考虑到非线性电阻的特性，将式(7.3-13)代入式(7.3-12)，得 I0+i(t)=fU0+u(t)(7.3-14)()()()(00tiItituUtu由于u(t
27、)也足够小，将上式等号右端用泰勒级数展开，取其前两项作为近似值，得(7.3-15)由于I0=f(U0)，故得(7.3-16)(dd)()(000tuufUftiIU)(dd)(0tuuftiU由式(7.1-7)可知(7.3-17)ddUURGuiuf1dddd00即非线性电阻在工作点(U0，I0)处的动态电导(Rd为动态电阻)。这样，式(7.3-16)可写为 i(t)=Gdu(t)(7.3-18a)或 u(t)=Rdi(t)(7.3-18b)由于Gd=1/Rd是常数，所以上式表明，由小信号电压us(t)引起的电压u(t)与电流i(t)之间是线性关系。将式(7.3-13)代入式(7.3-11)得
28、 Us+us(t)-RI0+i(t)=U0+u(t)考虑到Us-RI0=U0，故得 us(t)-Ri(t)=u(t)(7.3-19a)在工作点(U0，I0)处，有u(t)=Rdi(t)，故上式也可写为 us(t)-Ri(t)=Rdi(t)(7.3-19b)图 7.3-11 小信号等效电路上式是一个线性代数方程，据此可以作出非线性电阻在工作点(U0，I0)处的小信号等效电路，如图7.3-11所示。于是，可以求得 这样，在小信号情况下(|us(t)|Us)可以把非线性电路问题归结为线性电路问题来求解。d)()(RRtutiS例例 7.3-2 如图7.3-12(a)所示电路，设非线性电阻的伏安特性为
29、如图7.3-12(b)所示。已知直流电流源Is=120 mA，小信号电流源is(t)=10 cost(mA)，电阻R=100，求端电压u。0),(01.00,0)(5.1uAuuAufi图 7.3-12 例7.3-2图解解 首先求电路的工作点，令is(t)=0，按图7.3-12(a)所示的电路，非线性电阻左侧的方程(即负载线方程)为即 RuIis10012.0ui可求得负载线在电流轴的截距为(0V，0.12A)，在电压轴的截距为(12 V，0A)。在图7.3-12(b)的u-i平面上画出负载线L，可求得工作点为 U0=4V，I0=80 mA=0.08 A如用解析法，可将i=f(u)代入上式，得
30、 10012.001.05.1uu上式的解就是工作点电压u=U0。上式的求解是不容易的，不过我们可以用它验证图解法所得结果的正确性。工作点处的动态电导 S03.0)01.0(dddd45.1d00 VUUuuuiG于是可画出小信号等效电路如图7.3-12(c)所示。由图7.3-12(c)得 uGRuGRuti)1()(ddS所以，小信号电压 最后，得图7.3-12(a)所示电路的端电压 Vcos25.0cos03.001.010101)()(3dSttGRtitu u(t)=U0+u(t)=4+0.25 cost V7.4 非线性动态电路非线性动态电路7.4.1 电路方程电路方程 包含有储能元
31、件(电容、电感)的电路称为动态电路。如果电路中的电阻元件或/和电容(电感)元件是非线性的，就称该电路为非线性动态电路。如图7.4-1(a)所示的电路，设非线性电阻是压控型的，其u-i特性为 iR=fR(uR)(7.4-1)非线性电容是电压控制的，其电荷与电压的关系为 q=fC(uC)(7.4-2)由式(7.1-11)可知，电容电流与电压的关系为(7.4-3)tuCtqiCCddddd式中，Cd=是非线性电容的动态电容。上式可以写为(7.4-4)CuqdddCCCitudd按图7.4-1(a)，考虑到式(7.4-1)以及uR=uC，根据KCL有 iC=is(t)-iR=is(t)-fR(uC)将
32、它代入式(7.4-4)得)()(1ddSddCCRCuftiCCitu(7.4-5)图 7.4-1 一阶非线性动态电路对于图7.4-1(b)所示的电路，设非线性电阻是电流控制的，其u-i特性为 uR=h(iR)(7.4-6)非线性电感是电流控制的，其磁链与电流的关系为 =fL(iL)(7.4-7)由式(7.1-17)可知(7.4-8)式中，是非线性电感的动态电感。上式可写为(7.4-9)tiLtuddddLdLLdiLdddLLddLuti按图7.4-1(b)，考虑到式(7.4-6)以及iR=iL，根据KVL有 uL=us(t)-uR=us(t)-h(iL)将它代入式(7.4-9)得(7.4-
33、10)()(1ddLSdLihtuLti式(7.4-10)是描述图7.4-1(b)电路的一阶非线性微分方程。一般而言，描述一阶非线性动态电路的非线性微分方程的形式可写为(7.4-11),(ddtxFtx式中，x为电路的基本变量电容电压uC或电感电流iL，有时也可能是电荷或磁链。图7.4-2是二阶非线性动态电路，设非线性电阻R1是电流控制的，R2是电压控制的，它们的u-i特性分别为 u1=h(i1)，i2=f(u2)图 7.4-2 二阶非线性动态电路而电容、电感是线性的。对节点a列KCL方程，对回路A列KVL方程，并考虑到i1=iL，u2=uC，可得(7.4-12)()(1dd)()(1ddLL
34、LihutuLtiufitiCtuCSCSC若令x1=uC，x2=iL，则上式可以写为(7.4-13),(dd),(dd21222111txxFtxtxxFtx当电路中含有一个或多个时变电源(如正弦激励)时，在上述方程的等号右边常会出现独立的时间变量t，这样的方程称为非自治方程，相应的电路称为非自治电路(nonautonomous circuit);如果电路中不包含时变电源(譬如上述各电路中us、is为直流电源或零)，那么上述各方程的右端不会出现独立时间变量t，这样的方程称为自治方程，相应的电路称为自治电路(autonomous circuit)。对于一阶自治电路，其描述方程可写为(7.4-1
35、4)(ddxFtx对于二阶自治电路，其描述方程为(7.4-15),(dd),(dd21222111xxFtxxxFtx7.4.2 平衡点平衡点直观地说，如一个物理系统的运动状态(即方程式(7.4-14)或(7.4-15)的解)是不随时间变化的，就称该系统处于平衡状态。对于式(7.4-15)所描述的非线性动态电路，如有解x1=x10，x2=x20使(7.4-16)0),(d0),(d20102,220101,120102010 xxFdtxxxFdtxxxxx就称方程的解(x10，x20)是式(7.4-15)的一个平衡点。对于一阶方程(7.4-14)，F(x)=0的解x0为平衡点。如果取电容电压
36、uC或/和电感电流iL为描述方程的变量，则式(7.4-16)的条件可具体化为(7.4-17)0dd0ddtituLC由于 ，故上式又可写为(7.4-18)tuCiCdCddtiLuLdLdd00LCuiiC=0意味着电容处开路，uL=0意味着电感处短路。因此，非线性动态电路的平衡点可以这样求得，即将电路中的电容开路，电感用短路线代替，由此形成的电阻电路中，电容处的开路电压uCOC、电感支路的短路电流iLSC就是该自治电路的平衡点。以上结论虽然是从一个具体电路得出的，但它也适用于其它各种自治电路。动态电路理论中的一个基本问题是判断平衡点是否稳定。这个问题有重要的理论和实践意义。在动态电路的实际运
37、用中，常要求设计一个稳定的电路，因为不稳定的电路不仅不能正常工作，有时还会出现事故。譬如在电子线路中，某个元件只要超过其最大额定值，它就会损坏。直观地说，一个非线性动态电路从它的平衡点偏离，如果最后仍回到原来的平衡点，则称该平衡点是稳定的，否则就称之为不稳定的。对于图7.4-3(a)所示的系统，只有1个平衡点Q1(x=0，vx=0)；对于图7.4-3(b)，有4个平衡点，即Q2(x=x2，vx=0)、Q3(x=x3，vx=0)、Q4(x=x4，vx=0)和Q5(x=x5，vx=0)。图 7.4-3 说明平衡点稳定性要领的物理系统例例 7.4-1 如图7.4-4(a)所示的动态电路，其中非线性电
38、阻的u-i特性如图7.4-4(b)所示。解解 首先列出电路方程，取电容电压为变量，考虑到i=-iC，得(7.4-19)(11ddCCCufCiCCitu图 7.4-4 例7.4-1图根据平衡点的定义，即 i=f(u)=f(uC)=0 由图7.4-4(b)可得i=0的解，即电路的平衡点为Q1(uC=0)和Q2(uC=U0)。显然，在图7.4-4(a)的电路中将电容开路也会得到同样的结果。0ddtuC设方程式(7.4-19)的解为uC，由于u=uC，所以在任何时刻，图7.4-4(a)电路中的电压u和电流i都将位于非线性电阻的u-i特性上。在u-i平面上的点(u，i)称为动态点，动态点(u，i)将随
39、时间沿着伏安特性曲线i=f(u)=f(uC)移动，其移动方向由式(7.4-19)确定。动态点的移动路径(包括移动方向)称为动态路径。只要找到移动路径，那么方程式(7.4-19)的解uC在平衡点附近运动的情况也就清楚了。设电容电压偏离平衡点Q1(uC=0)到uC=u1，相应的动态点为P1，由图7.4-4(b)的特性曲线可知，这时i=i10。根据电路方程式(7.4-19)iCtuC1dd可知，当i0时，。也就是说，当i0时，电压uC总是随时间增大的，因而动态点P1将沿着u-i特性曲线向右上方移动，如图7.4-4(b)所示。类似地，若动态点偏离到P4，在这里也有i0，根据电路方程有。就是说，当i0时
40、，电压uC应随时间增大而减小，因而动态点P2(P3)将沿u-i特性向左下(左上)方移动，如图7.4-4(b)所示。0ddtuC由图7.4-4(b)中的动态路径可以看出，当动态点偏离平衡点Q1时，随着时间的增长，动态点(P1，P2)仍将回到Q1，因此平衡点Q1时稳定的。平衡点Q2则不同，当动态点偏离Q2时，例如P3、P4，随着时间的增长，它将更加远离平衡点Q2，因此平衡点Q2是不稳定的。7.4.3 分段线性化法分段线性化法如果非线性动态电路中的非线性元件能用分段线性的特性曲线来表征，那么，在每一时刻，电路工作的动态点将位于特性曲线的某一段直线上，并且在一定时间区间，动态点将在该直线上运动直到离开
41、此直线。这样，在一定时间区间，非线性动态电路可看做是线性电路，从而可用求解线性动态电路的方法，求得非线性动态电路在此时间区间内的解。这里我们讨论一阶非线性动态电路的求解，并设动态元件是线性的。一阶非线性动态电路只有一个动态元件，我们可以把除动态元件以外的部分电路看做是一个一端口非线性电阻电路，如图7.4-5(a)所示。如果该一端口电路中除线性电阻外，其中的非线性电阻都是分段线性的，那么该一端口非线性电阻电路的端口伏安特性也将是分段线性的。下面通过实例说明一阶非线性动态电路的分段线性化方法。例例 7.4-2 如图7.4-5(a)所示的一阶非线性动态电路，其中电容是线性的，C=0.5 F;一端口非
42、线性电阻电路NR的伏安特性是分段线性的，如图7.4-5(b)所示。设电容的初始电压uC(0+)=2V，求t0时的电容电压uC(t)和电流i(t)。图 7.4-5 例7.4-2图解解 首先将分段线性的特性曲线各直线段编号。由图7.4-5(a)知u=uC，故初始电压uC(0+)=2 V所对应的动态点为P0，如图7.4-5(b)所示。由图可见P0点的坐标为u=2V，i=5 mA。其次，设法确定t0时动态点的路径。由图7.4-5(a)有u=uC，i=-iC，可得电路的方程为(7.4-20)iCtuC1dd当i0时，0，所以P0点应向uC减小的方向运动，如图7.4-5(b)中的箭头方向所示。现在求方程式
43、(7.4-20)的解。设动态点到达伏安特性的转折点P1(1V，10mA)的时刻为t1。在区间0tt1，动态点将由P0移动到P1。由P1(1 V，10mA)和P0(2V，5mA)可求得线段的方程为 u=-200i+3=R2i+Us2 式中R2=-200，Us2=3V，电流的单位是A。根据上式可作出在0tt1时，动态点沿线段由P1向原点移动(显然，原点是平衡点)。线段的方程为 u=100i=R1i其等效电路如图7.4-6(b)所示，其中R1=100，电容的初始电压(即P1点的电压)为Vee)()(11111ttCRttCCtutu电流 式中1=R1C=50s。其电压、电流波形如图7.4-7所示。A
44、e1001e1dd)(11111ttCRttCRtuCti图 7.4-7 uC和i的波形7.5 应应 用用 实实 例例 7.5.1 全波整流滤波电路全波整流滤波电路 整流电路的工作原理如下:当正弦交流电压u1(t)0时，二极管VD1和VD3导通，VD2和VD4截止，此时整流输出u2(t)=u1(t)；当u1(t)0，U20。当ui(t)U1时，二极管VD1导通，VD2截止，uo(t)=U1；当ui(t)-U2时，二极管VD2导通，VD1截止，uo(t)=-U2；当-U2ui(t)uref，则输出 uo=Usat(Usat为运放的饱和电压)；当ui10V时，输出Uo为高电平，红灯VD4亮，压电蜂
45、鸣器HA发声。当Ui=8V时，输出为低电平，绿灯VD3亮，表示运行正常。设发光二极管VD3和VD4的额定电流为10mA，正向压降为2.5V，运放的饱和电压Usat=8.67V，请选取电路中各电阻的阻值。图 7.5-6 过压报警电路解解(1)选取R1、R2、R3 的阻值。当Ui10 V时，VD1截止，VD2导通，为使Uo为高电平，U+0，由电路可列出 010)10(103213RRRRU整理得 R3R1+R2 当Ui=8V时，有VD1与VD2均导通，为使Uo为低电平，U+0.8R3 取R3=50.5 k(E192系列标准阻值)，则R20.8R3=0.850.5 k=40.4 k，取R2=46.4
46、 k。由R110V时，0317.0105.504.461205.5010)10(103213RRRRUUi=8 V时，0619.0 105.504.46185.50 10)10(8323RRRU(2)选取R4的阻值。R4为发光二极管的限流电阻。由于发光二极管VD3和VD4的额定电流为10 mA，正向压降为2.5 V，运放的饱和电压Usat=8.67 V，故有取标准电阻R4=620。61710105.267.810105.233sat4UR7.5.5 非线性电路中的混沌现象非线性电路中的混沌现象在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中就存在着混沌现象。这类动态电路方程是二阶或三阶非线性常
47、微分方程，根据经典理论，在初始条件确定之后，它的解是确定的。但经过深入研究发现，在取某些参数值的条件下，电路的响应一直出现类似随机的振荡，状态轨迹在一个区域内永不重复地运动着，并且对初始条件非常敏感。这一现象被称为混沌(chaos)。例例7.5-3 如图7.5-7(a)所示三阶非线性自治电路是美籍菲律宾华裔科学家蔡少棠(L.O.chua)在1985年提出的混沌电路。已知C1=11nF，C2=100nF，L=18 mH，R=1.636 k，图7.5-7(b)是用运放实现的分段非线性电阻Rn。(1)试用PSpice绘制出非线性电阻Rn的伏安特性。(2)用MATLAB绘制出uC2与uC1的关系曲线。
48、图 7.5-7 产生混沌的蔡氏电路解解(1)首先，利用附录二介绍的方法绘制出电路原理图，如图7.5-8(a)所示。然后，设置DC Sweep分析类型，在Sweep Variable下，选中Voltage Source，在其Name框中输入V1；在Sweep Type下选中Linear，并分别在Start、End和Increment框内输入-15 V、15 V和0.1 V，之后点击确定按钮(此时设置电压源V1从-15 V到15 V按0.1 V的步长进行扫描)；再点击Current Marker(电流探头)，并将其放到图7.5-8(a)所示的位置。最后点击Run按钮启动PSpice，屏幕上出现伏安
49、特性曲线，如图7.5-8(b)所示。图 7.5-8 非线性电阻的实现及其特性(2)由图7.5-7(a)所示电路可列出非线性动态方程(7.5-1)iCuuRCtuCCC112111)(1ddLCCCiCuuRCtu212221)(1dd21ddCLuLti其中非线性电阻上的电流i可由图7.5-8(b)所示的伏安特性曲线写出(7.5-2)6.13)15(46.46.13)15(46.426.13 )mA(,5.1)2(41.06.132,5.1)2(41.022,75.01111111111CCCCCCCCCCuuuuuuuuuui用MATLAB编制程序求解式(7.5-1)。主程序如下:%利用四级
50、五阶 Runge-Kutta 变步长算法求解状态方程并绘图 t_final=40e-3;x0=0.5;0;0;%设定初始状态 t,X=ode45(chaos,0:1e-6:t_final,x0);%调用龙格一库塔算法解动态方 程，步长为 1us。SUBPLOT(2,1,1),plot(X(:,1),grid;%,X(:,2);%显示 uc1(t)波形如图 7.5-9(a)所示。SUBPLOT(2,1,2),plot(X(:,1),X(:,2);%显示 uC2与 uC1的关系曲线如图 7.5-9(b)所示。子程序chaos.m如下：function xdot=chaos(t,X)%式(7.5-1
