1、3.1 动态元件3.2 动态电路方程及其解3.3 电路的初始值3.4 动态电路的响应3.5 一阶电路的三要素公式3.6 阶跃函数和阶跃响应3.7 二阶电路分析3.8 正弦激励下一阶电路的响应3.9 应用实例3.10 电路设计与故障诊断习题33.1 动态元件动态元件3.1.1 电容电容电容是储存电能的元件，它是实际电容器的理想化模型。电容元件可定义为:一个二端元件，如果在任意时刻，其端电压u与其储存的电荷q之间的关系能用uq平面(或qu平面)上通过原点的一条曲线所确定，就称其为电容元件，简称电容。电容元件分为时变的和非时变的、线性的和非线性的，本书主要涉及线性非时变电容元件。线性非时变电容元件的
2、外特性(库伏特性)是qu平面上一条通过原点的直线，如图3.1-1(b)所示。在电容元件上电压与电荷的参考极性一致的条件下，在任一时刻，电荷量与其端电压的关系为 q(t)=Cu(t)t(3.1-1)图 3.1-1 线性非时变电容元件电路理论关心的是元件端电压与电流的关系。如果电容端电压u与其引线上的电流i参考方向一致(见图3.1-1(a)，则由i=，有(3.1-2)tqddtttuCttqti d)(dd)(d)(将式(3.1-2)写为 对上式从-到t进行积分(为避免积分上限t与积分变量t相混，将积分变量换为)，得 ttiCtud)(1)(dd)(1)(d)()(iCuttuu即 一般总可以认为
3、u(-)=0，亦即q(-)=0，于是得(3.1-3)d)(1)()(iCututd)(1)(iCtut如果只讨论tt0 的情况，式(3.1-3)可进一步写为 (3.1-4)d)(1)(d)(1d)(1)(0000iCtuiCiCtuttCttt式中(3.1-5)d)(1)(00iCtutC电容电压u(t)除有上述的记忆性质外，还有连续性质。为了仔细地研究连续性质，对于任意给定的时刻t0，将其前一瞬间记为t0-，而后一瞬间记为t0+，更准确地说，令(3.1-6)(lim)(lim000000tttt由式(3.1-4)可得在t=t0+时的电容电压 如果电容电流i(t)在无穷小区间 t0-，t0+为
4、有限值，或者说在t=t0处为有限值，则上式等号右端第二项积分为零，从而有 uC(t0+)=uC(t0-)(3.1-7)00d)(1)()(00ttCCiCtutu现在讨论电容的功率和能量。由式(1.2-4)，在电压电流参考方向一致的条件下，在任一时刻，电容元件吸收的功率(3.1-8)p(t)=u(t)i(t)=ttutCud)(d)(由式(1.2-6)，从-到t时间内，电容元件吸收的能量)()(22)(21)(21d dd)(d)(d)()(tuuttCutCuuuCuuCptw若设u(-)=0，则电容吸收能量(3.1-9)(21)(2tCutwC例例3.1-1 图3.1-2(a)中的电容C.
5、5 F，其电流 其波形如图3.1-2(b)所示，求电容电压u、功率p和储能wC。ststAstAtti2021210200)(图 3.1-2 例3.1-1图解解 由图3.1-2(a)可见，电压u与电流i为关联参考方向，由式(3.1-3)可知，由于在t0时电流i恒为零，故在-t0区间u(t)=0，显然u(0)=0。在0t1 s区间 tCutut4d21)0()(0在1t2 s区间 在t2 s区间 ttCCutu110)2(4d)2(1d21)0()(212100d01d)2(1d21)0()(tCCCutu即 s 20s 21V)()2(4s 10)V(400)(tttttttu根据式(3.1-
6、8)，电容C吸收的功率p=ui，可得 其波形如图3.1-3(b)中虚线所示。其余WtWttWttp0s 21)()2(8s 10)(8)(图 3.1-3 例3.1-1的解 根据式(3.1-9)，电容储能wC=Cu2，可得 其波形如图3.1-3(b)中实线所示。21其余JtJttJttwC0s 21)()2(4s 10)(4)(22 由图3.1-3(a)和(b)可见，在0t0，i0，因而p0，电容吸收功率，其储能逐渐增高，这是电容元件充电的过程。在区间1t0，i 0，因而pt0时的电感电流i(t)，利用iL(t0)对tt0时电压的记忆作用，可不必了解t0，且时，或者i0，电感吸收功率，储能wL增
7、加，电感吸收的能量以磁场能量的形式储存于元件的磁场中；当|i|减小时(即i0，且时，或者i0，且时)，p0时，开关已闭合，由KCL有 uR+uC=Us由于i=iC=C，故uR=R i=RC，将它代入上式，并除以RC，得 tuCddtuCdd SCCURCuRCtu11dd(2)求齐次解uCh。式(3.2-7)的特征方程为 令=RC为时间常数，上式可写为 (3.2-7)SCCUutu11dd其特征根，故uC的齐次解 01s01ststKKueeCh(3)求特解uCp。由于激励Us为常数，故特解也是常数。令uCp=A，将它代入式(3.2-7),得故得uC的特解 uCp(t)=A=Us SUA11(
8、4)完全解。电容电压的完全解为 式中常数K由初始条件确定。当t=0时，由上式和给定的初始电压，得 StCUKtututue)()()(CpCht0 uC(0)=K+US =U0可解得K=U0-Us，故得完全解 在完全解式(3.2-8)中，其第一项(即齐次解)的函数形式仅由特征根确定，而与激励的函数形式无关(它的系数与激励有关)，称为固有响应或自由响应；式中第二项(即特解)与激励具有相同的函数形式，称为强迫响应。图3.2-4中画出了U0Us两种情况下uC的波形。图 3.2-4 例3.2-1电路的响应由以上讨论可见，固有响应的函数形式决定于特征根，它仅与电路的结构和元件的参数有关，与激励的函数形式
9、无关。固有响应以及特征根s反映了电路的固有特征，而强迫响应是外部激励作用的结果，它与激励有相同的函数形式。特征根s的倒数具有时间的量纲，常称其为电路的固有频率，它在电路理论中占有重要地位。按电路的工作情况，也常将完全响应分为暂态响应和稳态响应。式(3.2-8)中的第一项按指数规律衰减，当t趋近于无限大时，该项衰减为零，称为暂态响应；式中第二项在任何时刻都保持稳定，它是t趋近于无限大，暂态响应衰减为零时的响应，称为稳态响应。就图3.2-3的电路而言，在t0时，开关尚未闭合，电容电压为U0，电路处于稳定状态(也称为平衡状态)；当t=0时，开关闭合，假设U00)或者电路的固有频率s有实部为正的值，即
10、Res 0，则将完全响应区分为暂态响应和稳态响应将没有实际意义，或者说电路不存在稳态响应。譬如，若图3.2-3中的电阻R为负值(负电阻)，则其完全响应为 3.3 电路的初始值电路的初始值 描述线性非时变动态电路的方程是线性常系数微分方程。在求解微分方程时，需要根据给定的初始条件确定解中的待定常数。如果描述电路动态过程的微分方程是n阶的，就需要n个初始条件，它们是所求变量(电压或电流)及其1，2，(n-1)阶导数在t=0+时的值(设换路时刻t=t0=0)，也称为初始值。其中电容电压和电感电流的初始值uC(0+)和iL(0+)由初始储能决定，称为独立的初始值或初始状态，其余各变量(如iC、uL、i
11、R、uR等)的初始值称为非独立的初始值，它们将由激励(电压源或电流源)以及独立初始值uC(0+)和iL(0+)来确定。3.3.1 独立初始值独立初始值如前所述，电容电压和电感电流反映了电路储能的状况，它们都具有连续的性质。设换路时刻为t=0，那么由式(3.1-7)和(3.1-14)知，若电容电流iC和电感电压uL在t=0时为有限值，则换路前后瞬间电容电压uC和电感电流iL是连续的，即有(3.3-1)0()0()0()0(LLCCiiuu因而可根据换路前电路的具体情况确定独立初始值uC(0+)和iL(0+)。式(3.3-1)常称为换路定律。换路定律可以从能量的角度来理解。我们知道，电容和电感的储
12、能分别为wC(t)=和wL(t),如果uC或iL发生跃变，那么wC或wL也发生跃变。由于功率p=，因而能量的跃变意味着瞬时功率为无限大，这在实际电路中通常是不可能的。)(212tCuC)(212tLiLtwdd 不过在某些理想情况下，电容电流iC和电感电压uL 在某瞬时可能趋于无限，在这种情况下，电容电压uC和电感电流iL可能跃变(请参看例3.3-3)。需要强调指出，在接入激励或换路的瞬间，除了电容电压uC和电感电流iL外，其余各变量(如iC、uL、iR、uR等)都不受换路定律的约束。如果换路时刻为t=t0，则换路定律可写为(3.3-2)()()()(0000tititutuLLCC 顺便提及
13、，对于非线性电路或时变电路，电容电荷和电感磁链分别是uC(t)和iL(t)的函数，即q(t)=f uC(t)，(t)=f iL(t)，上述换路定律可表述为若iC和uL在t=t0处为有限值，则电容电荷和电感磁链在t=t0处是连续的，它们不能发生跃变，即(3.3-3)()()()(0000tttqtq3.3.2 非独立初始值非独立初始值除uC(t0+)、iL(t0+)以外的各电流、电压的初始值(即非独立初始值)可根据激励和已求得的独立初始值用下面介绍的方法求得。将给定的t0的电路中除全部激励源和所有储能元件以外的部分电路称为N0，各激励源和储能元件都接于N0的外部端口，如图3.3-1(a)所示。显
14、然，N0中通常只有线性电阻，有时还有受控源。图 3.3-1 非独立初始值求解由于欲求的各电流、电压的初始值是在t=0+时刻的值，而在t=0+时刻，各激励源均为常数，如us(0+)、is(0+)等；在此时刻(t=0+)各电容电压和电感电流也是常数，它们就是上面求得的uC(0+)、iL(0+)等。根据替代(置换)定理，电容支路可用电压源uC(0+)替代，电感支路可用电流源iL(0+)替代，于是得到如图3.3-1(b)所示的初始值(t=0+时)等效电路。显然，初始值等效电路是线性电阻电路，并且各电源均为常数，因而可用求解电阻电路的各种方法求解。如果初始时刻为t=t0，求法类似。例例3.3-1 如图3
15、.3-2(a)所示的电路，在t0时开关闭合在“1”，电路已处于稳态。当t=0时开关闭合到“2”，求初始值iC(0+)、uL(0+)、i1(0+)和u2(0+)。图 3.3-2 例3.3-1图解解(1)首先应求得初始状态uC(0+)和iL(0+)。为此就需要求出uC(0-)和iL(0-)。在t=0-时开关闭合于“1”，由于电路已达到稳态，各电流、电压不再随时间变化，从而有 =0和=0，也就是iC=0和uL=0。因而在t=0-时刻，电容可看做开路，电感可看做短路，于是得t=0-时的等效电路如图3.3-2(b)所示。由图3.3-2(b)不难求得 tuCddtiLddA 23366)0(Li uC(0
16、=3 iL(0)=6 V根据换路定律有 iL(0+)=iL(0)=2 A uC(0+)=uC(0)=6 V(2)求各电流电压的初始值。为此画出初始值(t=0+，这时开关闭合于“2”)等效电路，其中电容用电压源uC(0+)替代，电感用电流源iL(0+)替代，如图3.3-2(c)所示。将电流源iL(0+)与1 电阻的并联组合变换为电压源与电阻串联组合，如图3.3-2(d)所示。根据图3.3-2(d)不难求得 A 313210)0(A 22610)0(2iiC所以 u2(0+)=3i2(0+)=9 VuL(0+)=10u2(0+)=1 Vi1(0+)=iC(0+)+i2(0+)=5 A例例3.3-2
17、 如图3.3-3(a)所示的电路，已知uC(t)=10(1-e-t)V。当t=1 s时，开关S断开，求开关断开后的初始值i1(1+)、u2(1+)、i3(1+)和iC(1+)。图 3.3-3 例3.3-2图解解 本例中换路的瞬间为t=t0=1 s。首先求出初始状态uC(t=1-)的值。根据已知条件，当t=1-时，电容电压 uC(t=1-)=10(1-e-1)=6.32 V根据换路定律有 uC(1+)=uC(1-)=6.32 V 画出t=1+时的初始值等效电路，其中电容用电压源uC(1+)替代，如图3.3-3(b)所示，不难求得 例例3.3-3 这是一个电容电压跃变的例子。如图3.3-4所示的电
18、路，如已知在t0时，电容电压均为零，当t=0时，开关S闭合，求电容电压的初始值uC1(0+)和uC2(0+)。解解 由于在t=0-时(显然，t=0-0)，各电容电压均为零，因而在t=0-时各电容可看做短路。当开关在t=0闭合时，充电电流将为无限大，这时电容电压将发生“强迫跃变”，换路定律不再适用。在这种情况下，可根据电荷守恒的原理来确定各电容的初始电压。图 3.3-4 例3.3-3图设电容C1和C2的电压分别为uC1(t)和uC2(t)，电荷分别为q1(t)和q2(t)，则根据电容的定义有(3.3-4)()()()(222111tuCtqtuCtqCC由于在t=0-时各电容电压为零，因而电荷也
19、为零，即有q1(0-)=q2(0-)=0。由图3.3-4可见,C1的负极和C2的正极接于节点A。在t=0-时，节点A处的总电荷-q1(0-)+q2(0-)=0开关闭合后，在t=0+时，根据电荷守恒原理，对于节点A而言，也应有-q1(0+)+q2(0+)=0 考虑到式(3.3-4)，上式可以写为-C1uC1(0+)+C2uC2(0+)=0(3.3-5)另一方面，在t=0+时，根据KVL有 uC1(0+)+uC2(0+)=Us(3.3-6)由式(3.3-5)和(3.3-6)可解得 SCUCCCu2121)0(SCUCCCu2112)0(一般而言，强迫跃变发生于两种情况:如果电路中存在有全部由电容组
20、成的回路或由电容与理想电压源组成的回路，如图3.3-5(a)所示，那么，当激励接入或发生换路时，电容电压可能发生跃变；如果电路中存在有全部由含电感支路组成的割集或由含电感支路与理想电流源组成的割集，如图3.3-5(b)所示，那么，当激励接入或电路发生换路时，电感电流可能发生跃变。在发生强迫跃变的情况下，可根据电荷守恒和磁链守恒的原理确定有关初始值。图 3.3-5 产生强迫跃变的电路3.4 动态电路的响应动态电路的响应在动态电路中，电路的响应(电流、电压)不仅与激励源有关，而且与各动态元件的初始储能有关。如果从产生电路响应的原因着眼，电路的完全响应(即微分方程的全解)可分为零输入响应和零状态响应
21、。零输入响应是外加激励均为零(即所有独立源均为零)时，仅由初始状态所引起的响应，即由初始时刻电容或/和电感中储能所引起的响应。零状态响应是初始状态均为零(即所有电容电感储能均为零)时，仅由施加于电路的激励所引起的响应。如令零输入响应为yzi(t)，零状态响应为yzs(t)，那么线性动态电路的完全响应 y(t)=yzi(t)+yzs(t)3.4.1 零输入响应零输入响应一阶电路仅有一个动态元件(电容或电感)，如果在换路的瞬间动态元件已储存有能量(电能或磁能)，那么即使电路中无外加激励电源，换路后，电路中的动态元件将通过电路放电，在电路中也会产生响应(电流或电压)，即零输入响应。图3.4-1(a)
22、所示的RC电路中，如在开关S闭合前已被充电，设t=0-时电容电压uC(0-)=U0。当t=0时开关闭合，现在研究它的零输入响应。对于t0，根据KVL可得-uR+uC=0其中uR=Ri，i=(式中负号是由于电流i与uC参考方向相反)，将它们代入上式，得描述图3.4-1(a)电路的一阶微分方程为 (3.4-2a)(3.4-2b)tuCCdd0ddCCutuRC01ddCCutu 式中=为时间常数。根据换路定律，电容电压的初始值uC(0+)=uC(0-)=U0。式(3.4-2b)的特征方程为=0，特征根，故得式(3.4-2b)的解为 RC101s1stCAtue)(图 3.4-1 RC电路的零输入响
23、应初始值uC(0+)=U0，将它代入上式，可求得常数A=U0，最后得满足初始值的微分方程解为(3.4-3)tCUtue)(0t0 式中=。电路中的电流 RC1tCRUtuCtiedd)(0 t0 (3.4-4)按式(3.4-3)和(3.4-4)画出uC(uR=uC)和i的波形如图3.4-1(b)和(c)所示。由图可见，在换路后，电容电压uC(t)和电流i(t)分别由各自的初始值uC(0+)=U0和i(0+)=U0/R，随时间t的增大按指数衰减，当t时，它们衰减到零，达到稳定状态(uC()=0,i()=0)。这一变化过程称为过渡过程或暂态过程。在换路瞬间电容电压是连续的，即uC(0-)=uC(0
24、+)=U0，而电流i(0-)=0，i(0+)=U0/R，它在换路瞬间由零突跳为U0/R，发生了跃变。图3.4-2(a)是一阶RL电路，在t0)所消耗转化为热能，因而对于具有正电阻的电路，其零输入响应总是按指数衰减的。如零输入响应用yzi(t)表示，其初始值为yzi(0+)，则由式(3.4-3)、(3.4-4)和(3.4-6)、(3.4-7)可见，一阶电路零输入响应的一般形式可表示为(3.4-8),e)0()(tziziytyt0 它随着时间t的增大，由初始值yzi(0+)逐渐衰减到零。时间常数反映了零输入响应衰减的速率。图3.4-3(a)画出了随时间变化的情况。由图可见，时间常数反映了一阶动态
25、电路过渡过程的情况。tziziyty e)0()(换路并经过t=的时间后，零输入响应的值yzi()衰减到初始值yzi(0+)的36.8%。经过3的时间后，yzi(3)=0.05yzi(0+)；经过5的时间后，yzi(5)=0.007yzi(0+)，即经过35的时间，零输入响应已衰减到初始值的5%0.7%，因此，工程上一般认为经过3 5的时间后，暂态响应已基本结束。图3.4-3(b)画出了取不同值时，零输入响应衰减的情况，值越小，响应衰减越快，暂态过程所经历的时间越短。图 3.4-3 零输入响应与时常数由式(3.4-3)、(3.4-4)和(3.4-6)、(3.4-7)还可看出，如果初始状态 uC
26、(0+)=U0或iL(0+)=I0增大a倍，则零输入响应也增大a倍，这表明零输入响应与初始状态满足齐次性。实际上，对于二阶以上的电路，它有多个初始状态，零输入响应与各初始状态间也满足可加性。这种性质称为零输入响应的线性性质。3.4.2 零状态响应零状态响应当动态电路的初始储能为零时(即初始状态为零)，仅由外加激励产生的响应是零状态响应。图3.4-4(a)所示的一阶RC电路，在开关S断开前(t0)，直流电流源Is的电流全部流经短路线，电容的初始电压uC(0-)=0，即电容的初始储能为零。当t=0时，开关断开，根据换路定律，电容电压的初始值uC(0+)=uC(0-)=0。故电路响应为零状态响应。按
27、t0时的电路，根据KCL有 iC+iR=Is由于，将它们代入上式，得RuituCiCRCC,ddSCCIuRtuC1dd或写为 式中=RC。电容电压的初始值uC(0+)=0。式(3.4-9)为一阶非齐次方程，其解由方程的齐次解uCh和特解uCp组成，即 uC(t)=uCh(t)+uCp(t)(3.4-10)SCCICutu11dd(3.4-9)对应的齐次方程的通解为 式中K为待定常数。式(3.4-9)中的激励为常数，其特解也为常数，令uCp=A，将它代入到式(3.4-9)得 SCpICARCu111故特解 uCp=RIs 将齐次解和特解代入到式(3.4-10)，得 StCRIKtue)(令t=
28、0+，将初始值代入上式，得uC(0+)=K+RIs=0 解得K=-RIs。于是得图3.4-4(a)电路的零状态响应(3.4-11)e1()(tSCRItut0 式中=RC为时间常数。电容电流(3.4-12)电阻电流(3.4-13)tSCCItuCtiedd)(t0)e1()()(tSCRIRtutit0 图 3.4-4 RC电路的零状态响应由图3.4-4(b)可见，开关断开后，电容充电，uC按指数规律上升，当t时达到稳定状态，其稳态值uC()=RIs。由图3.4-4(c)可见，电容电流iC按指数规律衰减，当达到稳态时，电容电压为常数，故iC()=0。图3.4-5(a)所示为一阶RL电路，Us为
29、直流电压源，在开关S闭合前(t0，0的情形。当时间常数0时，由式(3.5-5)有)()(limytyAt其中y()为稳态(直流稳态)值。于是由式(3.5-5)得激励为直流且0时一阶电路的响应(3.5-6a)tyyytye)()0()()(t0 强迫响应 固有响应 (稳态响应)(暂态响应)这时电路的强迫响应是常数，它就是稳态响应；固有响应就是暂态响应，它随着t的增大按指数衰减到零。图3.5-2(a)画出了0时，y(0+)y()和y(0+)y()两种情况的波形。图 3.5-2 一阶电路的响应(2)0的情形。在分析含有受控源的动态电路时，有时会遇到0的情况，这时固有响应随时间t的增长而无限增大，电路
30、不存在稳态响应，电路是不稳定的。这时A是方程式(3.5-1)的特解。由式(3.5-5)可见，当0时)()(limytyAt它可称为虚平衡值。于是得激励为直流且0时一阶电路的响应(3.5-6b)tyyytye)()0()()(t0 由于我们研究的是t0时电路的响应，这里y(-)只是个符号，它是方程式(3.5-1)在时的特解。3.5-2(b)画出了y(-)和y(0+)y(-)两种情况的波形。式(3.5-6a)和式(3.5-6b)中，只要求得初始值y(0+)、稳态值y()(或虚平衡值y(-)以及时间常数三个要素，就能按式(3.5-6a)或式(3.5-6b)写出一阶电路的响应，该式称为三要素公式。0d
31、)(dtty需要说明，式(3.5-6)虽然是由uC或iL为变量的微分方程解得的，但它也同样适用于求解一阶动态电路(在直流电源作用下)其它各处的电流和电压。这可解释如下:一阶电路只包含一个动态元件(C或L)，根据替代定理，若把电容元件用电压等于uC(t)的电压源替代(或者电感元件用电流等于iL(t)的电流源替代)，那么，电路就等效为包含两种电源的线性电阻电路，其中原有激励源为常数，用以替代电容(或电感)的电源具有式(3.5-5)的形式。根据电路的线性性质，电路中任意支路电流或电压是两种电源单独作用的叠加，因而也具有式(3.5-6)的形式，当然，其初始值和稳态值将各不相同。这样，对于在直流电源作用
32、下的一阶电路，只需求得三要素，就可按式(3.5-6)直接写出电路的响应，从而避免了列写和求解微分方程的过程，给工程运算带来方便。需要指出，式(3.5-6)是在假设初始时刻为t=0的条件下得出的，如果初始时刻为t=t0,则三要素公式应改为(3.5-7)0e)()()()(0ttytyytyt t0 3.5.2 三要素的计算三要素的计算关于三要素的求法，前面已作了讨论，这里作归纳性的简要说明。1.初始值初始值y(t0+)设初始时刻为t=t0(常可令t0=0)，设法求得uC(t0-)或iL(t0)，根据换路定律得出独立初始值uC(t0+)=uC(t0-)或者iL(t0+)=iL(t0-)。将电容用电
33、压源uC(t0+)替代，或者电感用电流源iL(t0+)替代，得出初始值等效电路(它是电阻电路)，按电路可求得所需的非独立初始值。2.稳态值稳态值y()(或虚平衡值或虚平衡值y(-)由于电路达到稳态(或平衡)时有，即iC=0，或，即uL=0，所以在稳态(或平衡)时，电容可用开路替代，电感可用短路替代。这样可作出稳态值(平衡值)等效电路。显然它也是电阻电路，按电路可求得所需的各稳态值(或平衡值)。0ddtuC0ddtiL3.时间常数时间常数由图3.5-1可见，对于RC电路 =R0C (3.5-8a)对于RL电路(3.5-8b)LGRL00式中电阻R0是一端口电路N的戴维南(或诺顿)等效电路中的等效
34、电阻，也就是说，电阻R0等于电路中独立源置零时，从动态元件两端向电路N看去的等效电阻。例例3.5-1 如图3.5-3(a)所示的电路，在t0时，开关S位于“1”，电路已达到稳定状态。在t=0时开关由“1”闭合到“2”。求t0时的电感电流iL、电感电压uL以及i1和i2。图 3.5-3 例3.5-1图解解 由图3.5-3(a)可见，开关S闭合到“2”后，即t0时，电路没有激励源，电路中的响应由电感初始储能所产生，故为零输入响应。下面用三要素公式求t0时电路的响应。首先求初始值。为此要先求得iL(0-)。在t0-的瞬间，开关S尚位于“”；由于这时已处于稳态，故有，即uL=0，电感可用短路替代，于是
35、得t=0-时的等效电路如图3.5-3(b)所示。由图(b)不难求得iL(0-)=9/3=3 A。0ddtiL根据换路定律可知iL(0+)=iL(0-)=3 A。这样，在t0的电路中，用电流源iL(0+)替代电感元件，得t=0+时的初始值等效电路如图3.5-3(c)所示。由图3.5-3(c)可求得 V 6)0()0(2121LLiRRRRuA 2)0()0(2121LiRRRiA1)0()0(2112LiRRRi 现在求稳态值。当电路达到稳态值，diL/dt=0，即uL=0。在t0时的电路中，电感用短路线替代，这样就得到稳态值等效电路，如图3.5-3(d)所示。显然，各变量的稳态值均为零，即 i
36、L()=0，uL()=0，i1()=i2()=0 在t0时的电路中，可得时常数 将初始值、稳态值和时常数分别代入式(3.5-6a)，可得电路的各响应为 s21/21RRLiL(t)=iL()+iL(0+)iL()te ttLi2e3e)0(A)，t0 uL(t)=uL()+uL(0+)uL()te ttLu2e6e)0(V)，t0 i1(t)=i1()+i1(0+)i1()te tti21e2e)0(A)，t0 i2(t)=i2()+i2(0+)i2()te tti22ee)0(A)，t0 图3.5-4画出了iL和uL的波形，电阻电流i1和i2的波形也相类似，这里从略。例例3.5-2 如图3.
37、5-5所示的电路，当t0时，开关S位于“1”，已达到稳定状态。图 3.5-4 例3.5-1中解的波形图 3.5-5 例3.5-2图(1)如在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，求t0时电压uC和u1的零输入响应、零状态响应以及全响应。(2)如在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，经过1.5 s后，开关又由“2”闭合到“3”，求t0时的电压uC和u1。解解(1)由图3.5-5可见，开关S闭合到“2”后，即t0的电路如图3.5-6(a)所示。图 3.5-6 例3.5-2的0+等效电路我们首先求uC(0-)。在t=0-时，开关位于“1”，由于电路已达到稳态，电容可看做是开路，于是得到t=0-时的
38、等效电路，如图3.5-6(b)所示。不难求得，uC(0-)=-4 V。可见，这时既有外加激励，又有电容的初始电压，因而电路响应为完全响应。现在求初始值。根据换路定律有uC(0+)=uC(0-)=-4 V，用uC(0+)替代图3.5-6(a)中的电容，得t=0+时的初始值等效电路如图3.5-6(c)所示。图中既有外部激励is，又有初始状态uC(0+)。为了区分零输入响应与零状态响应，设uC和u1的零输入响应的初始值分别为uCzi(0+)和u1zi(0+)，其零状态响应的初始值分别为uCzs(0+)和u1zs(0+)。零输入响应是输入为零时仅由初始状态引起的响应。将图3.5-6(c)中的is置零(
39、is开路)，可求得 uCzi(0+)=uC(0+)=-4 V V 2)0(222)0(1ziCuu 零状态响应是初始状态为零时仅由输入引起的响应。将图3.5-6(c)中的uC(0+)置零(电容短路)，可求得 uCzs(0+)=0V 4216131)0(zs1Siu 当电路达到稳态时，电容可看做开路。将图3.5-6(a)中的电容开路，得稳态等效电路如图3.5-6(d)所示。设uC和u1的零输入响应和零状态响应的稳态值分别为uCzi()、uCzs()和u1zi()、u1zs()。在图3.5-6(d)所示的电路中将输入is置零，显然有uCzi()=0 和 u1zi()=在图3.5-6(d)中由输入产
40、生的零状态响应的稳态值为 V 86363)()(zszs1sCiuu 最后求时常数。在图3.5-6(a)所示的电路中，将is置零，从电容两端向左看的等效电阻 故时常数=R0C=1 s。4636320R将以上所求的各值分别代入(3.5-6a)，得uC和u1的零输入响应为uCzi()=u1zi()=0Ve4e)0()(zizittCCutuVe2e)0()(1zi1ttziutu，t0，t0 uC和u1的零状态响应为 uCzs(t)=uCzs()+uCzs(0+)uCzs()te=8(1 e t)(V)，t0 u1zs(t)=u1zs()+u1zs(0+)u1zs()te=8 4et (V)，t0
41、 uC和u1的完全响应为(3.5-9)图3.5-7分别画出了uC和u1的波形。uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)=812e t(V)，t0 u1(t)=u1zi(t)+u1zs(t)=86et (V)，t0 图 3.5-7 例3.5-2(1)波形(2)在0t1.5 s区间，开关位于“2”，根据图3.5-5可得0t1.5 s的电路如图3.5-8(a)所示。它与图3.5-6(a)相同，只是这里仅适用于0t1.5 s的区间。在此区间，电路响应也相同。由式(3.5-9)得 uC(t)=8-12e-tV 0t1.5 s (3.5-10)u1(t)=8-6e-tV 0t0时的电感电压uL和电感电流
42、iL。图 3.5-14 例3.5-4用图解解 PSpice中没有即打开又闭合的开关，但可以用如图3.5-15所示的两个开关模拟这种开关。开关在EVAL库中，部件名分别为Sw_tclose和Sw_topen。双击电感符号设置初始条件(IC)为0 A。点击New Simulation Profile按钮，键入模拟类型组的名称TR1，点击Create进入特性分析类型和参数设置对话框。点击Analysis标签，在Analysis type下拉列表中选Time Domain(Transient)；设置瞬态的运行持续时间为0.5 s，点击“确定”按钮。将电压探头(Voltage Marker)放于如图3.
43、5-15中V所示的位置。点击Run按钮，开始电路分析。分析结果如图3.5-16所示。图 3.5-15 例3.5-4仿真电路图 3.5-16 例3.5-4电路分析结果3.6 阶跃函数和阶跃响应阶跃函数和阶跃响应3.6.1 单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数用(t)表示，其定义为(3.6-1)0,10,0)(defttt图 3.6-1 单位阶跃函数其波形如图3.6-1所示。在不连续点t=0处的函数值一般可不定义，或者定义为其左、右极限的平均值。这里我们采用式(3.6-1)的定义。单位阶跃函数可以用来描述1 V或1 A的直流电源在t=0时接入电路的情况，如图3.6-2所示。对于图3.6-2(a)所
44、示的电路，若开关S在t=0时闭合到“2”，则一端口电路N的端口电压可写为 u(t)=(t)V 21对于图3.6-2(b)所示的电路，若t=0时开关闭合到“2”，则电路N的端口电流可写为i(t)=(t)A如果在t=0时接入电路的直流源(幅度为A)，则可表示为A(t)，其波形如图3.6-3(a)所示，称为阶跃函数。如果单位直流源接入的瞬时为t0，则可写为(3.6-2)称其为延时阶跃函数，其波形如图3.6-3(b)所示。000,1,0)(tttttt图 3.6-2 单位阶跃电压和电流图 3.6-3 阶跃函数和延时阶跃函数利用阶跃函数和延时阶跃函数可以方便地表示某些信号。图3.6-4(a)所示的矩形脉
45、冲信号可以看做是图3.6-4(b)和图3.6-4(c)所示的两个阶跃信号之和，即 f(t)=(t)-(t-t0)(3.6-3)图 3.6-4 矩形脉冲信号 图3.6-5(a)所示的信号可表示为 f(t)=(t)-2(t-1)+(t-2)(3.6-4)而图3.6-5(b)所示的信号可表示为 f(t)=(t)+(t-1)-(t-2)-(t-3)(3.6-5)图 3.6-5 用阶跃函数表示的信号 图3.6-6(a)是任意信号f(t)，如果想使其在t 0时为零，则可乘以(t)，写作f(t)(t),如图3.6-6(b)所示。如果要使其在tt0时为零，则可乘以(t-t0)，写为f(t)(t-t0),如图3
46、.6-6(c)所示。图 3.6-6 任意信号f(t)的截取3.6.2 阶跃响应阶跃响应当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。由于单位阶跃函数作用于电路时，相当于单位直流源接入电路，所以求阶跃响应就是求单位直流源(1 V或1 A)接入电路时的零状态响应。对于一阶动态电路，可用三要素法。利用阶跃函数和阶跃响应，根据线性电路的线性性质和非时变电路的时延不变性，可以分析在任意激励作用下电路的零状态响应。大家知道，线性性质是指对于线性电路而言，如果激励f1(t)作用于电路产生的零状态响应为yzs1(t)，f2(t)作用于电路产生的零状态响应为yzs
47、2(t)，简记作 f1(t)yzs1(t)f2(t)yzs2(t)线性性质表明，如有常数a1、a2，则 a1f1(t)+a2f2(t)a1yzs1(t)+a2yzs2(t)(3.6-6)即a1f1(t)+a2f2(t)共同作用于电路产生的零状态响应应等于a1倍的yzs1(t)与a2倍的yzs2(t)之和。对于非时变电路，其元件参数不随时间变化，因而电路的零状态响应与激励接入的时间无关，即若 f(t)yzs(t)则 f(t-t0)yzs(t-t0)(3.6-7)也就是说，若激励f(t)延迟了t0时间接入，那么其零状态响应也延迟t0时间，且波形保持不变，如图3.6-7所示。这可称为延时不变性。图
48、3.6-7 延时不变性例例3.6-1 如图3.6-8(a)所示的电路，其激励is的波形如图(b)所示，若以iL为输出，求其零状态响应。解解 激励is可表示为 is(t)=3(t)-3(t-2)A现在用三要素公式求阶跃响应。由图3.6-8(a)不难求得，当is(t)=(t)时，有A321244)(Lis21423RL图 3.6-8 例3.6-1图初始值iL(0+)=0，故以iL为输出的阶跃响应 根据电路的线性和延时不变性，在is的作用下，其零状态响应 iL(t)=3g(t)-3g(t-2)=2(1-e-2t)(t)-2(1-e-2(t-2)(t-2)g(t)=)()e1(322tt 或写为 st
49、AstAttittL2)(e96.120 )()e1(200)()2(22如果激励f(t)是t=0时接入的任意信号，即t0时f(t)=0，那么f(t)可近似地看做是每隔时间接入一个阶跃信号，如图3.6-9所示。例如在t=0，接入f(0)(t)；在t=，接入f()-f(0)(t-)；在t=k，接入f(k)-f(k-1)(t-k)；。任意信号f(t)可分解为一系列阶跃函数之和，即 (3.6-8)时间间隔取得越小，式(3.6-8)的和式越接近f(t)。1)()1()()()0()(kktkfkftftf图 3.6-9 信号的分解如果电路的阶跃响应为g(t)，即(t)作用下的零状态响应为g(t)，那么
50、，根据延时不变性，阶跃信号f(k)-f(k-1)(t-k)作用下产生的零状态响应为f(k)-f(k-1)g(t-k)。于是根据线性性质可得，在式(3.6-8)的f(t)作用下，电路的零状态响应近似为(3.6-9)1)()1()()()0()(kzsktgkfkftgfty式(3.6-9)表明，在任意信号f(t)的作用下，电路的零状态响应可看做是一系列幅度和延时不同的阶跃响应之和。这为计算电路的零状态响应提供了一个十分有用的方法。式(3.6-9)更适合于数值计算，特别是信号f(t)不能写为解析表达式时更为适用。式(3.6-9)可改写为(3.6-10)1)()1()()()0()(kfktgkfk
