1、2.1 电阻电路分析2.2 2b法和支路法2.3 回路法和网孔法2.4 节点法2.5 齐次定理和叠加定理2.6 替代定理2.7 等效电源定理2.8 特勒根定理和互易定理2.9 电路的对偶性2.10 应用实例2.11 电路设计与故障诊断习题22.1.1 图图当仅研究电路中各元件的相互连接关系时，一个二端元件可用一条线段来表示，称为支路;各支路的连接点画为黑点，称为节点(或结点)。2.1 图与电路方程图与电路方程图G是节点和支路(图论中分别称为顶点和边)的集合。每条支路的两端都必须连接到相应的节点上。移去一条支路并不把它相应的节点移去;而移去一个节点，则应当把与该节点相连的全部支路都同时移去。因此
2、，图中不能有不与节点相连的支路，但可以有孤立的节点，如图2.1-1(a)所示。全部节点都被支路所连通的图称为连通图，否则称为非连通图。图2.1-1(a)是非连通图，它由相互分离的四个部分组成，称其分离度=4;图2.1-1(b)是连通图，其分离度=1。我们主要关心的是连通图。图 2.1-1 连通图与非连通图全部支路都标有方向的图称为有向图(如图2.1-1(b)，否则称为无向图。如果有一个图G，从图G中去掉某些支路和某些节点所形成的图H称为图G的子图。显然，子图H的所有支路和节点都包含在图G中。因此，子图可以这样定义:包含在图G内的图H称为图G的子图。例如，图2.1-2(b)和(c)都是2.1.2
3、(a)中图G的子图。图 2.1-2 图与子图能够画在一个平面上，并且除端点外所有支路都没有交叉的图称为平面图，否则称为非平面图。对于图2.1-3(a)，无论把支路伸缩或是把支路拉伸到外侧，要想把该图画在平面上，而各支路都不交叉是不可能的，因而它是非平面图。对于图2.1-3(b)，只要将支路2和3拉伸到图外侧，如图2.1-3(c)所示，则各支路都不交叉，因而图(b)是平面图。图 2.1-3 平面图与非平面图2.1.2 回路、割集、树回路、割集、树1.回路回路与某一节点相连的支路数称为该节点的次数或度数。节点b的次数为4。图中，从某一节点(可称为始点)出发，连续经过一些支路和节点，且各节点只经过一
4、次(显然，其所经支路也只经过一次)，最后到达另一节点(终点)的支路序列称为路径。图 2.1-4 图G2.割集割集在连通图G中，这样的支路集S称为割集:若从图G中移去(或割断)属于S的所有支路，则图G恰好被分成两个互相分离的部分，但只要少移去其中的一条支路，则图仍然是连通的。割集可以这样定义:把连通图分割为两个连通子图所需移去的最少支路集。图2.1-5中，支路集1，2，4、2，3，6，5、4，5，6，3，1、4，5，6，7等都是割集，如虚线所示。图 2.1-5 割集3.树树树是图论中一个非常重要的概念。包含连通图G中的所有节点，但不包含回路的连通子图，称为图G的树。图2.1-6中画出了图G(如图
5、2.1-6(a)所示)的几种树(如图2.1-6(b)所示)。可见，同一个图有许多种树。图 2.1-6 图G的树图G中，组成树的支路称为树支，不属于树的支路称为连支。例如图2.1-6中，若选树支为4，5，6，7，则支路1，2，3，8为连支。一个有n个节点、b条支路的连通图G，其任何一个树的树支数 T=n-1 (2.1-1)对应于任一棵树的连支数 L=b-T=b-n+1 (2.1-2)这是因为，若把图G的n个节点连接成一棵树时，第一条支路连接2个节点，此后每增加1条新支路就连接上1个新节点，直到把n个节点连接成树，所以树支数比节点数少1。4.基本回路和基本割集基本回路和基本割集在连通图G中，任意选
6、定一个树，由于树连接了图G的全部节点(但不包含回路)，因而在树上增加一条连支，此连支与其它树支就构成一个回路。仅包含一条连支(其余为树支)的回路称为单连支回路或基本回路。全部单连支回路组成了基本回路组。对于有n个节点、b条支路的连通图，一个基本回路组中有且仅有L=b-n+1 个基本回路。图2.1-7(a)中，选支路2，3，5，8是树，则回路1，3，2、2，5，4、5，6，8和3，7，8，5都是基本回路。图 2.1-7 基本回路和基本割集在连通图G中，任意选定一个树，由于树是连通的，因而移去一条树支，此树支与移去的其它连支就形成一个割集。仅包含一条树支(其余为连支)的割集称为单树支割集或基本割集
7、。全部单树支割集组成基本割集组。对于有n个节点的连通图，一个基本割集组中有且仅有T=n-1个基本割集。图2.1-7(b)中，选支路集2，3，5，8是树，割集1，2，4、1，3，7、4，5，6，7和8，6，7都是基本割集。2.1.3 KCL和和KVL的独立方程的独立方程设某电路的拓扑图如图2.1-8(a)所示，对其各节点和支路分别编号，支路的参考方向(即支路电流的方向，支路电压取关联参考方向)如图所示。图 2.1-8 KCL与KVL的独立方程对于节点a、b、c、d可列出KCL方程(电流流出节点取“+”号，流入取“-”号):(2.1-3)0000654631532421iiiiiiiiiiii对于
8、图2.1-8(b)所示的连通图，若选树支为4，5，6，如图中实线所示，则支路1，2，3为连支(图中虚线所示)。于是有基本回路1，6，4、2，5，4、3，6，5，将它们分别编号为、，选基本回路方向与连支方向一致。由KVL可列出回路电压方程(支路电压与回路方向一致取“+”号，支路电压与回路方向相反取“-”号):(2.1-4)000653542641uuuuuuuuu对于n个节点、b条支路的连通图，有L=b-n+1个基本回路，根据KVL可列出L=b-n+1 个相互独立的电压方程。在电路分析中，对于平面图，也常根据KVL列写网孔方程。可以证明，平面电路中网孔数为b-n+1个，按KVL所列写的网孔电压方
9、程也是相互独立的。2.2 2b法和支路法法和支路法2.2.1 2b法法 对一个具有b条支路和n个节点的电路，当以支路电压和支路电流为变量列写方程时，共有2b个未知变量，根据KCL可列出n-1个独立方程，根据KVL可列出b-n+1个独立方程;根据元件的伏安关系，每条支路又可列出b个支路电压和电流关系方程。于是，共列出的2b个方程，足以用来求解b个支路电压和b个支路电流。这种选取未知变量列方程求解电路的方法称为2b法。图 2.2-1 2b法示例图2.2-1(b)的独立节点数为n-1=3。选节点a、b、c为独立节点，根据KCL可列得电流方程为(2.2-1)000631532421iiiiiiiii
10、图2.2-1(b)的独立回路数为b-n+1=3。现选网孔为独立回路，根据KVL可列得电压方程为(2.2-2)000563452231uuuuuuuuu各支路电流和电压的伏安关系方程(简称为支路方程)为(2.2-3)6666666655544443332222111)(SSSiRiRiiRuiRuuiRuiRuiRuriiRu2.2.2 支路法支路法 如果以支路电流(或支路电压)为电路变量列出方程，求解支路电流(或支路电压)，则称为支路电流(或支路电压)法。下面主要介绍支路电流法。以图2.2-1(a)为例。将式(2.2-3)的各支路电压代入式(2.2-2)，消去各电压变量得 0005566663
11、344455222233211iRiRiRiRuiRiRiRiRiRriiRSS整理后，可得 6S66655334S5544223322110)(iRiRiRiRuiRiRiRiRiRriR(2.2-4)支路电流法共有b个方程，能直接解得b个支路电流，这比2b法方便了许多。不过支路电流法要求每一条支路的电压都能用支路电流来表示，否则就难以写成式(2.2-5)的形式。譬如，若某一支路仅有电流源(或受控电流源)，我们把这种电流源称为无伴电流源，则该支路电压为未知量，而且不能用该支路电流表示。在这种情况下，就需要另行处理，而2b法就不受这种限制。支路电压法以支路电压为变量。以图2.2-1(a)为例，
12、将式(2.2-3)中各支路电流用支路电压表示，然后代入KCL方程式(2.2-1)，消去支路电流，将所得方程与式(2.2-2)联立求解，就可求得各支路电压。例例2.2-1 如图2.2-2所示的电路，求各支路电流。解解 图2.2-2的电路中，如将电压源(受控电压源)与电阻的串联组合看做是一条支路，则该电路共有2个节点，3条支路。用支路电流法可列出1个KCL方程，2个KVL方程。选节点a为独立节点，可列出KCL方程为 i1+i2+i3=0 (2.2-6a)图 2.2-2 例2.2-1图选网孔为独立回路，如图所示。可列出KVL方程为 3i1+i2=9(2.2-6b)-i2+2i3=-2.5i1(或2.
13、5i1-i2+2i3=0)例例2.2-2 如图2.2-3(a)所示的电路，求电流i1、i5和电压u2、u4。解解 在图2.2-3(a)所示的电路中，我们把us与R1的串联组合看做是1条支路，把受控源和R5分别看做是2条支路。这样，共有5条支路，3个节点，因此可列出个KCL方程和个KVL方程。选节点a和b为独立节点，可列出KCL方程为i1-i2+i3=0i3+i4+i5=0图 2.2-3 例2.2-2图 考虑到i2=is，i4=-0.5i1，将它们代入上式得(2.2-7)05.053131iiiiiiS选网孔为独立回路，并设电流源和受控源的端电压u2、u4为未知量，根据KVL可列出回路、的电压方
14、程为 (2.2-8)005544332211iRuuiRuuuiRS将各已知量代入式(2.2-7)和(2.2-8)得(2.2-9)03021005.05544322153131iuuiuuiiiiii根据KCL，由图2.2-3(a)可直接看出，i3=i1+5，i5=i1+5+0.5i1=1.5i1+5，即式(2.2-7)的关系，如图2.2-3(b)所示。选us、R1、R3、R5的回路，根据KVL可得R1i1+R3i3+R5i5=us即i1+2(i1+5)+3(1.5i1+5)=10由上式可解得 i1=2Ai3=i1+5=3Ai5=1.5i1+5=2A由图2.2-3(a)，根据KVL，可得u2=
15、-us+R1i1=-12 Vu4=R5i5=6 V 2.3 回路法和网孔法回路法和网孔法 回路法是以平面电路或非平面电路的一组独立回路电流为电路变量，并对独立回路用KVL列出用回路电流表达有关支路电压的方程的求解方法。通常选择基本回路为独立回路，这时，回路电流就是相对应的连支电流。对于平面电路，常选网孔为独立回路。图 2.3-1 回路法示例选定回路电流后，对于节点1、2、3，根据KCL可得各树支电流分别为(2.3-1)326315214iiiiiiiii由图2.3-1(a)所示的电路，对选定的各独立回路，根据KVL，可列得方程为 0)()(0)()(0)()(31532633334124326
16、2223152144111iiRiiRiRiRuiiRiiRiRuiiRiiRuiRuSSSSs将上式整理后，得(2.3-2)3S3365326154S2S362642144S1S35241541)()()(iRiRRRiRiRuuiRiRRRiRuuiRiRiRRR式(2.3-2)就是回路法的方程，常称为回路方程。实际上，上述方程组可以凭直观由电路图直接写出，而不必经过以上步骤。为此，将上式写成典型的形式(2.3-3)33S33323211322S32322212111S313212111uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR或写成矩阵形式为(2.3-4)3322113213332312
17、32221131211.SSSuuuiiiRRRRRRRRRuskk是回路k中所有电压源电压的代数和。取和时，与回路电流方向相反的电压源(即回路电流从电压源的“-”极流入，“”极流出)前面取“”号，否则取“-”号，例如us11=us1-us4等。如有电流源与电阻相并联的组合，可将其变换为电压源，例如us33=R3is3。回路法的步骤归纳如下:(1)选定一组独立回路，并指定各回路电流的参考方向;(2)按式(2.3-3)或式(2.3-4)的形式列出回路方程(注意互电阻和电压源的符号);(3)由回路方程解出各回路电流，根据需要，求出其它待求量。例例 2.3-1 如图2.3-2所示的电路，求各支路电流
18、。图 2.3-2 例2.3-1图解解 图2.3-2是平面电路，可用网孔法求解。选定三个网孔，其网孔电流分别为i1、i2和i3，如图所示。按图列出网孔方程为 2)213(246)213(361623)321(321321321iiiiiiiii由以上方程可解得i1=3 A，i2=2 A，i3=1 A由图2.3-2可求得其它各支路电流为 26226310236321321321iiiiiiiii例例 2.3-2 图2.3-3(a)是测量电阻Rx的电桥。图中Rm是测量电表的内阻，当电桥平衡时，通过电表的电流im等于零。求电桥平衡的条件。图 2.3-3 例2.3-2图解解 对于图2.3-3(a)所示的
19、电路，若选网孔为独立回路，则im是两个网孔电流的代数和，因而需要解出两个网孔电流。如果像图2.3-3(b)那样选基本回路(图中实线为树支，虚线为连支)，由图可见im=i1，因而只需解出i1即可。按图2.3-3(b)列出回路方程为(2.3-5)S33231333232113133231131)()(0)()()(0)()(uiRRRiRRiRiRRiRRRRiRRiRiRRiRRRSXXXXm由以上方程可解得 S3333213211)()(001RRRRRuRRRRRRRRRixxSxx式中，是由方程组系数组成的行列式。通过计算可知。因此，电流im=i1=0的条件是 0)(3321331xxSR
20、RRRRRRRRu由于us，所以i1=0的条件是(2.3-6)0)(1323321331xxxRRRRRRRRRRRRR式(2.3-6)就是电桥平衡，即im=i1=0的条件。电桥平衡时，被测电阻(2.3-7)132RRRRx例例 2.3-3 如图2.3-4(a)所示的电路，求电流ia和电压ub。解解 首先将图2.3-4(a)中的受控电流源与电阻的并联组合变换为电压源与电阻的串联组合，如图2.3-4(b)所示。选定独立回路(本题选网孔)，标明回路电流参考方向，如图2.3-4(b)所示。按图2.3-4(b)列出网孔方程为(2.3-8)abbiuiiuii62151042482121图 2.3-4
21、例2.3-3图由图可见，控制量ia、ub与回路电流的关系是(2.3-9)212iuiiiba将它们代入式(2.3-8)，并稍加整理，得 由上式解得 i1=1.5A，i2=2 A。将它们代入式(2.3-9)，得 i1-6i2=02i1+6i2 =15ia=i2 i1=0.5 A 例例2.3-4 如图2.3-5(a)所示的电路，求i1和u3。解法一解法一 一般而言，可以选电流源的端电压为变量，如图2.3-5(a)中的u2，并暂时把它当作未知电压源来处理。选定网孔电流i1、i2、i3为未知量，按图2.3-5(a)可列出网孔方程为052223622321232231iiiuiiuii(2.3-10)图
22、 2.3-5 例2.3-4图再补充一个电流源与有关回路电流的关系。由图2.3-5(a)，有 -i1+i2=3 A(2.3-11)解法二解法二 对于图2.3-5(a)所示的电路，若选择独立回路使电流源本身是回路电流之一，如图2.3-5(b)所示，将更为简便。按图2.3-5(b)，这时回路电流i2=3 A为已知，因而只需列出回路和回路的回路方程。按图2.3-5(b)，可列出方程为 05246435321321iiiiii将回路电流i2=3 A代入上式，得 由上式可解得i1=1 A，i3=2 A。电压u3=1(i1+i2)=4 V 6543453131iiii2.4 节节 点点 法法 任意选定电路中
23、某一节点为参考节点，其余节点与参考节点之间的电压称为节点电位或节点电压，各节点电压的参考极性均以参考节点为“-”极。例如，图2.4-1(a)所示的电路中，若选节点为参考节点，节点1、2、3的电压分别用un1、un2、un3表示。实际上，它们分别是节点1、2、3与参考节点0之间的电压，即un1=u10，un2=u20，un3=u30。节点法是以节点电压为电路变量，并对独立节点用KCL列出用节点电压表达有关支路电流的方程的求解方法。图 2.4-1 节点法示例在图2.4-1(a)所示的电路中，对于节点1、2、3，根据KCL(流出节点的电流取“+”号，否则取“-”号)有 (2.4-1)00065354
24、26411SSSiiiiiiiiii 图2.4-1(a)中支路3为电压源与电导的串联组合，将它等效变换为图2.4-1(b)所示的电流源与电导的并联组合。将各支路电流用有关的节点电压表示，有各支路方程 (2.4-2)()(3n2n552n1n443S33n332n221n11uuGiuuGiuGuGiuGiuGi将它们代入式(2.4-1)，整理后，得(2.4-3)6S3S33n532n51n3n52n5421n4S61S3n2n41n41)(00)(0)(iuGuGGuGuuGuGGGuGiiuuGuGG式(2.4-3)就是节点法的方程，通常称为节点方程。实际上，这个方程组可以凭直观由电路图直接
25、写出，而不必经过以上步骤。为此，将上式写成典型的形式为(2.4-4)33S3n332n321n3122S3n232n221n2111S3n132n121n11iuGuGuGiuGuGuGiuGuGuG或写成矩阵形式为(2.4-5)33S22S11S3n2n1n333231232221131211.iiiuuuGGGGGGGGGGkj(kj)称为节点k与节点j的互电导，它是节点k与节点j之间共有支路电导之和，恒取“-”号，例如G12=G21=-G4，G23=G32=-G5等。显然，当两节点无共有支路电导时，则相应的互电导为零。节点法中，只要选定了参考节点，其余各独立节点也就确定了。以独立节点电压
26、为变量，按式(2.4-4)的形式列出节点方程。方程中的自电导恒取正值，互电导恒取负值，这是由于任一支路电压都是其端节点电压之差的缘故。对于仅含独立源和线性电导的电路，恒有Gkj=Gjk，即式(2.4-5)中的电导矩阵是对称矩阵。例例 2.4-1 如图2.4-2(a)所示的电路，求各节点电压。解解 选节点0为参考节点，其余各节点电压分别设为un1、un2和un3。图 2.4-2 例2.4-1图图2.4-2(a)电路中各支路给出的是电阻值，而在节点方程中采用电导，这应特别注意。图2.4-2(b)简略地标出了各支路电导值及注入或流出各节点的电流源。图2.4-2(a)中3 和1 A电流源相串联的支路，
27、按电流源与电阻相串联的规则仍等效为1A的电流源，该支路电导为零。根据图2.4-2(a)或(b)列出节点电压方程为 5.35.1)5.05.01(5.05.05.115.0)5.01(5.35.15.0)5.015.0(3n2n1n3n2n1n3n2n1nuuuuuuuuu整理后，得 445324243n2n1n3n2n1n3n2n1nuuuuuuuuu例例 2.4-2 如图2.4-3所示的电路，求i1和i2。解解 选定参考点，令独立节点电压为un1和un2，如图所示。图 2.4-3 例2.4-2图按图2.4-3，列出节点方程为(2.4-6)445.0)214141(415.0241)4141(
28、122n1n22n1niiuuiuu由图可见，控制变量i1、i2与节点电压的关系为(2.4-7)242n22n1n1uiuui将它们代入式(2.4-6)，得 44414241212n1n2n2n1n2n2n1nuuuuuuuu整理后，可得 0342n1n2n1nuuuu例例2.4-3 如图2.4-4所示的电路，求电流源端电压u和电流i。解法一解法一 一般而言，可以选电压源的电流为变量，如图中的ia，并暂时把它当未知电流源来处理。以0为参考点，设定独立节点电压为un1、un2和un3，可列出节点电压方程为(2.4-8)aaiuuuuuiuu3n2n3n2n1n2n1n)211(21421)212
29、1(2121)211(图 2.4-4 例2.4-3图再补充理想电压源与节点电压的关系，由图2.4-4，有(2.4-9)un1 un3=2 V 由式(2.4-8)和(2.4-9)可解得un1=3 V，un2=6 V，un3=1 V。因此，电流源端电压 u=un2=6 V 解法二解法二 对于图2.4-4这样的电路，若选电压源的“-”极为参考节点，将更为简便。选节点3为参考节点，设节点0、1、2到参考点的电压为u03、u13和u23。这时u13=2 V为已知。因而只需列出节点0和2的节点电压方程。按图2.4-4，可列得方程为 44)2121(21)11(23130313uuuu将u13=2 V代入上
30、式，得 414222303uu可解得 u03=-1 V，u23=5 V。于是可得电流源端电压 电流 u=u20=u23 u03=6 VA 311031310uuui2.5 齐次定理和叠加定理齐次定理和叠加定理 2.5.1 齐次定理齐次定理 齐次定理描述了线性电路的齐次性或比例性。其内容如下:对于具有唯一解的线性电路，当只有一个激励源(独立电压源或独立电流源)作用时，其响应(电路任一处的电压或电流)与激励成正比。譬如，若激励是电压源us，响应是某支路电流i，则 i=aus (2.5-1)例例 2.5-1 如图2.5-1所示的电路，求i1、i2与激励源us的关系式。解解 如图所示电路共有3个网孔，
31、选受控源的电流为网孔电流之一，其余网孔电流为i1和i2，如图2.5-1所示。由图可列出回路方程为(2.5-2)0)()(24321213S22121iRRRiRiRuiRiRR图 2.5-1 例2.5-1图由上式可解得(2.5-3)S322S4321uRRiuRRRi式中 43232221)(RRRRRRRR=R1R2+(R1+R2)(R3+R4)R2 R3根据线性代数理论，当0时，式(2.5-2)有唯一解，即式(2.5-3)。这就是齐次定理表述中“具有唯一解的”线性电路的含义。式(2.5-3)表明，对于线性电路，由于各电阻Rk的值和线性受控源的系数等均为常数，因而i1、i2均与激励源us成正
32、比。显然，非线性电路一般不具有齐次性。梯形电路是应用比较广泛的电路之一，用齐次定理分析梯形电路是方便的。例例 2.5-2 如图2.5-2的电路，若us=13 V，求i5和ubd。解解 根据齐次定理，电流i5、电压ubd均与us成正比。设 i5=aus，ubd=bus，只要设法求出比例系数a和b，依给定的us就可求出所需各未知量。图 2.5-2 例2.5-2图设=1 A。根据图2.5-2，得5iV 62A 8A 5V 01A 3A 2V 45)(1132122335434465cescececececeuiRuiiiRuiuiRuiiiRuiiRRu2.5.2 叠加定理叠加定理叠加定理描述了线性
33、电路的可加性或叠加性，其内容是:对于具有唯一解的线性电路，多个激励源共同作用时引起的响应(电路中各处的电流、电压)等于各个激励源单独作用(其它激励源置为零)时所引起的响应之和。图2.5-3(a)是含有两个独立电源的电路。用回路法分析，选网孔为独立回路，其回路方程为(2.5-4)SSSIRUIRRRIRUIRIRR424321222121)()(图2.5-3(b)是电压源Us单独作用而电流源Is置为零(即开路)时的电路，其回路方程为(2.5-5)SSUIRRRIRUIRIRR)1(2432)1(12)1(22)1(121)()(同理可列出图2.5-3(c)所示由电流源Is单独作用而电压源Us置为
34、零(即短路)时电路的回路方程(2.5-6)SIRIRRRIRIRIRR4)2(2432)2(12)2(22)2(121)(0)(将(2.5-5)与(2.5-6)两式相加，得 (2.5-7)SSSIRUIIRRRIIRUIIRIIRR4)2(2)1(2432)2(1)1(12)2(2)1(22)2(1)1(121)()()()(比较(2.5-4)与(2.5-7)两式可知它们左边各项系数相同，右边也都相同。如果图2.5-3(a)、(b)、(c)三个电路都具有唯一解，即 05432221RRRRRRR则有 I1=I1（1）+I1（2）I2=I2（1）+I2（2）图 2.5-3 叠加定理的说明叠加定理
35、反映了线性电路的基本性质。应用叠加定理时，可以分别计算各个独立电压源和电流源单独作用时的电流或电压，然后把它们相叠加;也可以将电路中的所有独立源分为几组，按组计算所需的电流或电压，再相叠加。例例2.5-3 如图2.5-4(a)所示的电路，求ix和ux。解解 我们用叠加定理求解。当独立电压源单独作用时，将独立电流源置为零，受控源保留，如图2.5-4(b)所示。由于这时控制变量为，故受控电压源的端电压为2。由图2.5-4(b)可得)1(xi)1(xi12210)1()1(xxii图 2.5-4 例2.5-3图V 6210,A 2)1()1()1(xxxiui可解得 当独立电流源单独作用时，将独立电
36、压源置为零，受控源保留，如图2.5-4(c)所示。这时控制变量为，故受控电压源的端电压为。由图2.5-4(c)，根据KVL有02)5(12)2()2()2(xxxiii)2(2xi)2(xi可解得 V 22A 1)2()2()1(xxxiui例例 2.5-4 如图2.5-5所示的电路N是含有独立源的线性电阻电路。已知:当us=6 V，is=0时，开路端电压ux=4 V;当us=0 V，is=4 A时，ux=0V;当us=-3 V，is=-2 A时,ux=2 V。求当us=3 V，is=3 A时的ux。图 2.5-5 例2.5-4图解解 按线性电路的性质，将激励源分为三组:电压源us、电流源is
37、、N内的全部独立源。设当电路N中所有独立源均置为零时，仅由电压源us引起的响应(这时is=0)为，根据齐次性，令=aus;仅由is引起的响应(这时us=0)为，令=bis。)2(xu)2(xu)1(xu)1(xu设当us=0，is=0时，仅由电路N内部所有独立源引起的响应为，由于N内独立源没有变化，令=c(a、b、c均为常数)。于是，由叠加定理，图2.5-5电路中 ux=aus+bis+c (2.5-8)3(xu)3(xu将已知条件代入，得 解上式得 6a +c=4 4b +c=03a2b+c=22,21,31cba将它们代入式(2.5-8)，得 因此，当us=3 V，is=3 A时 2213
38、1SSxiuuV 5.12321331xu2.6 替替 代代 定定 理理 替代定理也叫置换定理，它可表述为:在具有唯一解的线性或非线性电路中，若某一支路的电压u或/和电流i已知(如图2.6-1(a)所示)，那么该支路可以用us=u 的电压源替代(如图2.6-1(b)所示)，或者用is=i的电流源替代(如图2.6-1(c)所示)。替代后电路其它各处的电压、电流均保持原来的值。图 2.6-1 替代定理图 2.6-2 替代定理的说明例例 2.6-1 如图2.6-3(a)所示的电路，当改变电阻R时，电路中各处电流都将改变。已知当i3=4 A时，i1=5 A;当i3=2A时，i1=3.5 A。求当i3=
39、4/3 A时的i1。图 2.6-3 例2.6-1图解解 我们把除i1和R支路外的部分看做是电路N，如图2.6-3(a)中虚线所示。根据替代定理，将支路R用电流源is(is=i3)来替代，如图2.6-3(b)所示。解解 我们把除i1和R支路外的部分看做是电路N，如图2.6-3(a)中虚线所示。根据替代定理，将支路R用电流源is(is=i3)来替代，如图2.6-3(b)所示。根据齐次性和叠加性，由电流源单独作用(电路N中的独立源置为零)产生的电流令为ais(is=i3);当is=0时，由电路N中独立源产生的令为b。于是电流 i1=ais+b=ai3+b)1(xi)2(xi由已知条件可得 4a+b=
40、5 2a+b=3.5可解得 a=3/4，b=2。于是有24331ii例例 2.6-2 图2.6-4所示电路中，已知，电路N0中不含独立源。当22端开路时，11端的输入电阻为5;当11端接1A电流源时，如图2.6-4(a)所示，测得22端的端口电压u2=1V。求当11端接10 V电压源和5 电阻串联支路时(如图2.6-4(b)所示)，22端的端口电压。2u图 2.6-4 例2.6-2图 =u2=1 V解法一解法一 由题可知，当电路N0的22端开路时，11端的输入电阻为5，因此图2.6-4(b)中的电压源与电阻串联支路上的电流为根据替代定理，将图2.6-4(b)中的串联支路用1A的电流源替代，端口
41、电压保持不变，而替代后的电路与图2.6-4(a)相同，故由A 155101i1i2u2u解法二解法二 因N0内不含独立源，故可把N0看做二端口电阻，其电阻参数矩阵令为 22211211RRRRR对于图2.6-4(a)所示的电路，有u1=R11i1+R12i2u2=R21i1+R22i2其中，已知i1=1A，i2=0，u2=1 V，u1=5i1=5 V代入上式，得 R11=5，R21=1。对于图2.6-4(b)所示的电路，有 22212122121111iRiRuiRiRu0105211iiu2.7 等效电源定理等效电源定理2.7.1 等效电源定理等效电源定理 等效电源定理是电路理论中非常重要的
42、定理，它包括戴维南定理和诺顿定理。图 2.7-1 等效电源定理这里所说的线性一端口电路，其中可包含线性电阻、独立源和受控源。由图2.7-1(b)和图2.7-1(c)可见，线性一端口的戴维南等效电路与其诺顿等效电路也满足电源模型的等效变换关系，即 uOC=R0iSC (2.7-1)(2.7-2)SCOC0iuR 戴维南定理可用替代定理和叠加定理来证明。如图2.7-2(a)所示，N为线性一端口电路，接外电路后，N的端口电压为u，电流为i。根据替代定理，外电路可用电流源is=i来替代，如图2.7-2(b)所示。图 2.7-2 等效电源定理的证明由图2.7-2(c)可见，u(1)等于端口ab开路时的电
43、压，即开路电压uOC;由图2.7-2(d)可见，如果N中独立源均置为零，则端口ab的等效电阻为R0，那么u(2)=-R0is。考虑到is=i,故得 u=uOC-R0i (2.7-3)式(2.7-3)的电路模型就是戴维南等效电路，如图2.7-2(e)所示，因此，线性一端口电路N可用电压源uOC与电阻R0的串联组合来等效。用类似的方法也可证明诺顿定理，它的伏安方程为 i=iSC-G0u (2.7-4)图 2.7-3 等效电源的参考方向例例 2.7-1 如图2.7-4(a)所示的电路，求当RL分别为2、4 及16时，该电阻上的电流i。解法一解法一利用戴维南定理。如将ab端以左的电路看成是一端口电路，
44、根据戴维南定理，它可等效为电压源与电阻相串联，如图2.7-4(b)所示。首先求等效电阻R0。将一端口电路内部独立源置为零，如图2.7-4(c)所示，可求得812612640R其次求端口ab的开路电压uOC，如图2.7-4(d)所示。对图2.7-4(d)列网孔方程，有 (6+12)i2-60.5=12解得 i2=A。由KVL，可得 uOC=40.5+12i2=2+10=12 V即戴维南等效电路中 uOC=12V，R0=8。65由图2.7-4(b)可求得电流 LL0OC812RRRui图 2.7-4 例2.7-1图（用戴维南定理求解）解法二解法二利用诺顿定理。根据诺顿定理，ab端以左的一端口电路可
45、等效为电流源与电阻相并联，如图2.7-5(d)所示。图 2.7-5 例2.7-1图(用诺顿定理求解)现在求端口ab间短路时的电流iSC，如图2.7-5(a)所示。这里用叠加定理求解。根据叠加定理，iSC等于电压源单独作用时的短路电流(如图2.7-5(b)所示)与电流源单独作用时的短路电流(如图2.7-5(c)所示)之和。)1(SCi)2(SCi由图2.7-5(b)可求得 由图2.7-5(c)可得=0.5 A)2(SCiA 141212124124612)1(SCi故 iOC=+=1.5 A于是得图2.7-5(d)中iSC=1.5A，R0=8。可求得电流)1(OCi)2(OCi5.188LSCL
46、00RiRRRi例例2.7-2 如图2.7-6(a)所示的电路，已知电阻R消耗的功率为12 W，求电阻R。图 2.7-6 例2.7-2图(解法一)解法一解法一 利用戴维南定理。把除R以外的一端口电路化为戴维南等效电路。首先求开路电压uOC。将端口ab开路，如图2.7-6(b)所示。由于i1=0，因而受控电流源也等于零，由图2.7-6(b)得开路电压 uOC=2(2+2)+4=12 V 将一端口内独立源置为零，求端口等效电阻R0。由于有受控源，因而不能用串并联法求等效电阻，这时可用外施电源法。将一端口内的独立源置为零(受控源保留)，外接电流源i，如图2.7-6(c)所示。根据等效电阻的定义，R0
47、=uab/i。由图2.7-6(c)可得 uab=2(i+0.5i1)+2i=4i+i1而 i1=-i，故由图2.7-6(d)可得，电阻消耗的功率为 30iuRabRRRRRuP220OC)312()(12解法二解法二 一个线性一端口电路，如果我们能求得其端口电压与电流的关系，也就能得到它的等效电路。将图2.7-6(a)中的一端口电路(ab端以左的电路)重画于图2.7-7(a)。在端口ab接入一电流源i，如图2.7-7(a)所示。图 2.7-7 例2.7-2图(解法二)现在求端口电压u与电流i的关系。根据KCL，有关支路电流已标明在图2.7-7(a)中，根据KVL有 u=2(2+i+0.5i1)
48、+2(2+i)+4考虑到i1=-i，得 u=12+3i=uOC+R0i(2.7-5)例例2.7-3 用PSpice求上例图2.7-7(a)中ab端以左电路的戴维南等效电路。解解(1)首先利用附录二给出的方法绘出电路原理图，如图2.7-8(a)所示。具体过程如下:在ANALOG库中取出电阻分别放置在R1、R2处;在ANALOG库中取出F(CCCS)放置在F1处(旋转3次);在SOURCE库中取出直流电压源Vdc置于V1处;在SOURCE库中取出直流电流源Idc置于I1、I2处;按图2.7-8(a)连接各元件，并设置除I2之外的各元件参数。注意:双击受控源，将受控源的属性参数Gain设置为0.5;
49、从绘图专用工具栏点击PlaceGround按钮设置参考点，设置其名称(Name)为“0”。按快捷按钮，将电压探头放到如图所示位置。图 2.7-8 PSpice仿真(2)设置DC Sweep分析类型。在Sweep Variable下面，选中Current Source，在其Name框中输入I2，其起始值、终值和增量分别取0 A、1 A和0.1 A，然后点击OK键(此时I2将从0 A到1 A按0.1 A的步长进行扫描)。(3)点击Run按钮，启动PSpice开始仿真。显示结果如图2.7-8(b)所示。由图2.7-8(b)得结果与例2.7-2一致。3112150曲线斜率RV 21OC电压轴截矩U例例
50、2.7-3 如图2.7-9(a)所示的电路中，NR是不含独立源的线性电阻电路，其中R1可变。已知:当us=12 V，R1=0 时，i1=5 A，iR=4 A;当us=18 V，R1开路时，u1=15 V，iR=1A。求当us=6V，R1=3 时的iR。解解 由题意，当R1改变时，u1也改变。根据替代定理，我们用电压源u1替代R1支路，如图2.7-9(b)所示。这样，电路有两个独立源us和u1。根据线性性质，设 iR=aus+bu1 (2.7-6)将已知条件us=12 V，R1=0(即u1=0)时，iR=4A和 us=18 V，u1=15 V时，iR=1 A代入上式，得 12a=418a+15b
