1、第第4章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 4.1 引言引言 4.2 插值型求积公式及其性质插值型求积公式及其性质 4.3 等距节点的牛顿等距节点的牛顿柯特斯求积公式及余项估计柯特斯求积公式及余项估计 4.4 复化求积法复化求积法 4.5 龙贝格积分法龙贝格积分法 4.6 高斯型求积公式高斯型求积公式 4.7 数值微分数值微分 4.8 数字图像的导数与梯度数字图像的导数与梯度 4.1 引言引言 工程应用中常需要计算定积分。()对于定积分，baf x dx(),设在区间上连续，f xa b()()()则由公式有baNewtonLf x dxF beiizFban()()是的原函数，F xf
2、 x)1(（）的原函数不是初等函数，f x21113000sin,1如；xxedxdxx dxx()2（）的原函数的表达式相当复杂性，求值困难，f x43 11如dxx)3(（）不连续，甚至没有解析表达式，f x 而只有通过实验或测量得出的一组离散数据；00()()nniiiiiifxA fx00()lim()nbiiaif x dxfx0()()()()nbiinaiI ff x dxA f xIf记作(),用在积分区间上某些点处函数值f xa b()的线性组合来近似代替定积分，即baf x dx0()()()()nbiinaiI ff x dxA f xIf求积公式:()()()nnEfI
3、 fIf求积余项:,ixa b求积节点:求积系数:iA(相当于权,与 有关,与的具体表达式无关)ixf(x)000()()(0()例如：时，baf x dxA f xba f xn0011()()()()()=12时，babaf x dxA f xA f xf af bn 矩形公式 梯形公式0()()()()nbiinaiI ff x dxA f xIf求积公式:()()()nnEfI fIf求积余项:,ixa b求积节点:求积系数:iA(相当于权,与 有关,与的具体表达式无关)ixf(x)000()()(0()例如：时，baf x dxA f xba f xn0011()()()()()=1
4、2时，babaf x dxA f xA f xf af bn 矩形公式 梯形公式一般的，在工程应用中，常加权常要计算的定积分baI fx f x dx()()()0niiniA f xIf()()“”“”1（）衡量求积公式 好 与 坏 的标准；2（）如何构造求积公式，即 与 的确定；iiAx3（）误差估计；4（）求积公式的稳定性:定义()(0,1,)kf xxkm如果当时，求积公式准确成立；1()而当时，求积公式不准确成立，mf xx那么称求积公式具有。次代数精度m()(0,1,)kf xxkm 定义中注：可换为 通过误差分析，可以确定用代数精度能够衡量求积公式()次数不超过 的多项式（等价义
5、是定）；xmf()的精确性。且 越大，求积公式的误差的绝对值nEfm也越小。0()(0:)()()()将分别代入求积公式得：nikbiaix f x dxAxffxx km(0:)若求积节点给定，方程组ixin00011101111nmmmnnmCAxxxACxxxAC11有个方程，个未知数。mn01(0:,)且互异时，存在唯一解。inA AxAin当，mnl:解2()1,将分别代入公式使其准确成立，f xx x10111223112023则有AAAhhAhAh Ah Ah11014,33AAh Ah()()(04)()333故求积公式hhf x dxfhhfhfhh 公式Simpson34(
6、)()验证知：代入准确成立，代入不准确成立。f xxf xx3次代因而该公式有数精度具。4.2 插值插值型求积公式及其性质型求积公式及其性质基本思想：(0:)()(),1根据在上个相异节点的值，iixianfxxfbn2012()构造一个 次插值多项式，nnnL xaa xa xa xn()()(0:)使其满足。niiiLxf xyin()()并用近似代替，nxf xL由此构造的求积公式1()()()()()nbbniiaaix f x dxx Lx dxA f x插值型求称积公式。()nLxnLagrange构造 次插值多项式 0011220nnnniiiL xl x yl x yl x y
7、lx yl x f x()()()()()()()10iijjil xl xjLagr n eia g,()(),其中满足，称为插值基函数，1010 1njnijijinij ixxxl xinxxxxx()()(,)()()101nnxxxxxxx()()()()其中00nnjijjjiL xl xf xf xjn()()()(),()验证得：故插值型求积公式为baabnx Lxx dxdfxx()()()()00ninbiiaiiix l x dx f xA f x()()()()0 1)biiaAx l xidnx(,()(),其中0121344112xxx,例 已知三点11200112
8、x dxdxx（）用所求公式计算及，并与精确值相比较。101（）推导在，区间上以这三点作为求积节点的插值型求积公式；20011221L xl x yl x yl x y()()()()（）插值多项式解11201200212333f x dxL x dxf xf xf x()()()()()插值型求积公式1201(2)3x dx1018280.692063492115921dxx ln2 0.69314718,(1)设在上具有直到阶的导数，则插值余项naf xb101nnnniifRxf xLxxxxn()()()()()()()!（关）与 有1nf xCa b(),当时，插值型求积公式的误差b
9、bnnaaExx f x dxx Lx dx()()()()()101nnbiaifxxxdxn()()()()()!21nf xx xx(),当时，101nnbniaifExxxxdxn()()()()()()!0f(),(n+1)0nEx()故这说明插值型求积公式0nbiiaix f x dxA f x()()()n至少具有 次代数精度。,设求积公式至少具有 次代数精度n),(njkjkjj kxxlxxx0精确成立()()nbki kiailx dxAlx0即有()kikilx 由于，故bkkalx dxA结论总结为如下定理。0()().求积公式至少有 次代数精充分度的条件是，它是插值型
10、的定理必要nniiiIfA f xn：充分性显然，现证证明必要性。n则它对于 次多项式因而求积公式是插值型的.（4 4）求积公式的稳定性）求积公式的稳定性kkf x()在求积公式中，由于计算或测量数据可能产生误差，kf实际得到，kkkf xf().即0nnkkkIfA f x()(),记0nnkkkIfA f()求积公式的稳定性（定义）:0如果对任给小正数，k只要误差充分小,就有0nknnkkkIfIfAf xf()()()则称求积公式是稳定的。求积公式稳定性的充分条件00 1kAkn(,.,)定理 若求积公式中系数，则此求积公式是稳定的0ba对任给，若取，证明0nknnkkkIfIfA f
11、xf()()()（）则0 1kkknf xf,()设对，都有，0nkkkkAf xf()0nkkAba().求积公式是稳定的4.3 等距节点的牛顿等距节点的牛顿柯特斯公式及余项估计柯特斯公式及余项估计1NewtonCotes公式b ahnna,b将区间等分，取步长，0ixa ih in(:)等距节点，1x .()权函数Lagranxatgeh令，则插值基函数为0njijijj ixxl xxx()00njj itjinij(:)biiaAl x dx()故求积系数为0010n innjj ihtj dtinini()()(:)!()!0010n innijj ihAtj dtinini()()
12、(:)!()!001n innniijj iACtj dtbainin()()()!()!令Cotes称为系数，则求积公式nNewtonCotes称为阶公式。0nbniiaif x dxbaCf x()()()()2NewtonCotes常见的公式1n12梯（）：当，形式即公个节点，110112CC()()Cotes系数为2babaf x dxf af bT()()()故求积公式称为梯形公式。:1次代代数精度数精度。3212bTafbaEfxaxb dxf()()()()()(),!截断误差:fxC a b(),其中101nnbniaifExxxxdxn()()()()()()!1bbaaf
13、xg xg xa bf xaf x g x dxfgbx dx()(),()a,b(),()()()()(),第一积分中值定理：条件：在闭区间上可积；(2)在上不变号；(3)连续，结论：在积分区间上至少存在一点，有Simps2n2n3o辛普森公（）当，式 即:个节点222012141666CCC()()(),Cotes系数为462babaabf x dxf aff bS()()()()故求积公式Simpson称为公式:3次代数精度代数精度441802Sba baEff()()():截断误差101nnbniaifExxxxdxn()()()()()()!a b(,)其中Cote3ns45（）：当
14、式，即公个节点，4444401234732123279090909090CCCCC()()()()(),Cotes系数为故求积公式为1237321232790babaf x dxf af xf xf xf bC()()()()()()Cotes称为公式。5:次代数精度代数精度6629454CbabaEff()()()():截断误差a b(,)其中101nnbniaifExxxxdxn()()()()()()!0.12.(),系数具有的：1 柯特斯系数中心对称，只需计算和存储一半系数。性的质nnkknCCotesN-C公式的数值稳定性8n 时，柯特斯系数出现负值，()()001nnnnkkkkC
15、C()()0()nkkkkkCf xff xfba，且假定，()0()()()()nnnnkkkkIfIfbaCf xf()0()()nnkkkkbaCf xf()()00()()()nnnnkkkkkkbaCf xfbaCba8n 的牛顿柯特计算数值不稳定，故斯公式不宜使用。N-C积分余项和公式的代数精度n 为偶，2nf xCa b(),设，1nnIf()从而有阶代数精度。21011nnnnhEfft ttn dta bn()()()().(),()!则，其中，101nnbniaifExxxxdxn()()()()()()!2nn偶为为整数2ntu令,2022nnjjnjnuuj/()()因
16、为被积函数为奇函数，22201121nnnnnnjhEujtnnndx/()()()()!有10nnffxEx)()故时N-C积分余项和公式的代数精度n 为偶，2nf xCa b(),设，1nnIf()从而有阶代数精度。n 为奇，1nf xCa b(),设，21011nnnnhEfft ttn dta bn()()()().(),()!则,其中，nnIf()从而有 阶代数精度。101nnbniaifExxxxdxn()()()()()()!N-C积分余项和公式的代数精度n为偶，1nnIf()阶代有数精度。1n 为奇，11nnIf()阶代有数精度。11nn;计算时需个系数，个函数值22nn但需个
17、系数，个函数值，nNC为偶因此一般用的数选公式。N-C公式的稳定性：8,系数出现负数，数值可能不稳定不用。时，宜使Cotnes1052Ixdx.SimpsonCotes利用梯形公式、公式、例公式计算积分0 50 510 426776 0172I.(.).：（）梯形公式解；0 50 54 0 7510 4309340623SimpsonI.(.).（）公式3Cotes（）公式0 57 0 532 0 62512 0 7532 0 8757 10 4309640790I.(.).21xdxSimpsono elnC t s：分别利用梯形公式、公式、公式计算积分练习4.4 复化复化(合合)求积法求积
18、法NewtonCotes公式缺点：而低阶公式因步长过大可能使离散误差过大。为了克服上述缺点，这里介绍几种复化(合)求积法。高阶的可能使积分计算出现不稳定性，基本思想:将积分区间a,b分为 n 个等长的小区间，在每个小区间上NC利用低阶 公式计算积分的近似值，再对这些近似值求和。110ddiinbxaxiI ff xxf xx()()()即10niiI复化(合)梯(1)形公式：a bn,将分成 个区间，0ibahxaih inn,，在每个区间上使用梯形公式。11()()iinbxaxiIf x dxf x dx 311212niiiihhfxfxf3111()2()()()212nniiiihh
19、f af xf bf121()2()()()212nihbaf af aihf bh f121()2()()()212nihbaIf af aihf bh f(,)a b设在上连续f11,.()(),niia b s tffa bn()()nnTI fTfEf 11()2()()2nnihTff af aihf b2()()(),12 nThEfba fa b稳定性：),(设有舍入误差iif x01max|10,2 且tii n 则的舍入误差为nTf1111|121 11010(),222nttnihba所以稳定。simpson(2)复化(合)公式：222211iixxnnin,将个节点分成
20、个小区间：022ibahxaih inn,，在每个区间上使用simpson公式。2221()()iinbxaxiIf x dxf x dx 5(4)2221214390niiiiihhfxfxfxf 51421211()4()2()()()390nniiiihnhf af xf xf bf 4411()4(21)2(2)()()3180nniihbaf af aihf aihf bh f 4411()4(21)2(2)()()3180nniihbaIf af aihf aihf bh f(4)(),设在上连续fa b 4411,.()()niia b s tffn()()()nnSI fSfE
21、f11()()4(21)2(2)()3nnniihSff af aihf aihf b 44()()180 nSbaEfh f稳定性：),(设有舍入误差iif x01max|10,2 且tii n 则的舍入误差为nfS11|142(1)11010(),322ttnhnnba所以稳定。cotes(复化(合3)公式：444411iixxinnn,将个节点分成 个小区间：,044ibahxaih inn在每个区间上使用cotes公式。4441()()iinbxaxiIf x dxf x dx 7(6)44434241414873212327()90945niiiiiiihhf xf xf xf xf
22、 xf 1116(6)114732(43)12(42)902()32(41)14(4)7()()945nniinniihf af aihf aihbaf aihf aihf bh f 1116(6)114732(43)12(42)902()32(41)14(4)7()()945nniinniihIf af aihf aihbaf aihf aihf bh f稳定性：),(设有舍入误差iif x01max|10,2 且tii n 则的舍入误差为nfS411|7732123214(1)1010(),9022ttnhnnnnba所以稳定。h复化求积法如何选择步长？|()|()()|,设给定精度，要求
23、nnEfI fIf 44()|()|()|180例如nShbaEff 44,()max|()|180只要即可。a bhbaf 4,max|,|()若可估计出a bfM1/4180则有即可。hba Mh实际上，根据精度要求，事先估计合适的步长 是很难的，区间逐层可以采用分半法。2160610应用复合梯形公式计算积分，要求误例:差不超过，xIedx.试确定所需的步长和节点个数2()6令解:，xf xe2()()(),12 nThEfba fa b222()12()12(21)则，xxfxxefxex()0,1可知在上为单调函数，fx22()24(32)0(0,1)xfxxexx，0,1max()m
24、ax(0),(1)(0)12因此xfxfff2()()()0112 由于复化梯形公式的离散误差为，nhbaEff20,1()()max()12 因此nxhbaEffx2160610应用复合梯形公式计算积分，要求误例:差不超过，xIedx.试确定所需的步长和节点个数解:2()()(),12 nThEfba fa b0,1max()max(0),(1)(0)12xfxfff20,1()()max()12 因此nxhbaEffx2660,1()()10max()1012要使，只要nxhbaEffx22612(10)1012 即hh31.0 h1由于，bahnn310n，.1001故可取节点数为sin
25、()8对函数，给出的函数表，例用复化梯形:试xf xnxsin()解:令，xf xx2()()(),12 nThEfba fa b10sin.公式及复化辛普森公式计算积分，并估计误差xIdxx/././././././.()fxx01180 9973978140 9896158380 9767267120 9588510580 9361556340 9088516780 877192510 8414709 11()2()()2nnihTff af aihf b8()0.9456909Tf10sincos()又xxt dtx1()0()(cos)kkkdfxxt dtdx10=cos()2kkt
26、xtdt1()00 x 1max()cos()2 故kkkfxxtt dt10kt dt11k()0 x 11max()1 kfxksin()8对函数，给出的函数表，例用复化梯形:试xf xnxsin()解:令，xf xx2()()(),12 nThEfba fa b10sin.公式及复化辛普森公式计算积分，并估计误差xIdxx/././././././.()01180 9973978140 9896158380 9767267120 9588510580 9361556340 9088516780 877192510 8414709xfx 11()2()()2nnihTff af aihf
27、b8()0.9456909Tf2801max()12 复化梯形公式误差xhITfx2111()12 8330.434 10()0 x 11max()1 kfxksin()8对函数，给出的函数表，例用复化梯形:试xf xnxsin()解:令，xf xx10sin.公式及复化辛普森公式计算积分，并估计误差xIdxx/././././././.()01180 9973978140 9896158380 9767267120 9588510580 9361556340 9088516780 877192510 8414709xfx44111()2880 45复化辛普森公式误差 IS60.271 101
28、1()()4(21)2(2)()3nnniihSff af aihf aihf b40.9460832S 44()()180 nSbaEfh f()0 x 11max()1 kfxksin()8对函数，给出的函数表，例用复化梯形:试xf xnxsin()解:令，xf xx10sin.公式及复化辛普森公式计算积分，并估计误差xIdxx/././././././.()01180 9973978140 9896158380 9767267120 9588510580 9361556340 9088516780 877192510 8414709xfx640.271 10复化辛普森公式误差 IS380
29、.434 10复化梯形公式误差 IT9比较可知：它们都需要提供 个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别很大。4.5 龙贝格积分法龙贝格积分法龙贝格龙贝格(Romberg)算算法法0123422222TTTTTRomberg算法表241,4141nnnSTT222241,4141nnnCSS323341.4141nnnRCC02S12S22S32S02C12C22C02R12R推广：41,4141用对二分前后的计算结果mmm做线性组合，可得更高精度的求积公式。4但时，m41,41mm1041m实际上到公式为止。Romberg构造的求积公式与前一公式差别不大，反而增加了计算量，4.6 Ga
30、uss型求积公式型求积公式0()()()定对于插值型积式，理：求公nbiiaix f x dxA f x其节点是高斯点的充分必要是：条件ix1以这些点为零点的次多项式与任意次数不超过nn的多项式在区间上带权正交，1()()()0,0:即bnmaxx Px dxmn101()()()()nnxxxxxxx其中1()()()0,0:定理:节点是高斯点bnmaixx P x dxmxn121(),()()对任一次数不超过的多项式证明：用除，nnf xxf x1(),(),()()()()记商为余式为即，nq xm xf xq xxm x(),().q x mnx多项式次数不超过1()()()()()
31、()()(bnabbaaf xx dxm xq xxxxmdxxx d1()()()0bnmaxx Px dx1()()()0,0:定理:节点是高斯点bnmaixx P x dxmxn121(),()()对任一次数不超过的多项式证明：用除，nnf xxf x1(),(),()()()()记商为余式为即，nq xm xf xq xxm x()()()()bbaaf xx dxm xx dx()由于求积公式是插值型的，它对于是精确成立的m x0()()()，即nbkkakm xx dxA m x1()0()()又nkkkxm xf x0()()()nbkkakm xx dxA f x1()()()
32、0,0:定理:节点是高斯点bnmaixx P x dxmxn121(),()()nnf xxf x对任一次数不超过的多式证项除：用明，1(),(),()()()()记商为余式为即，nq xm xf xq xxm x()()()()bbaaf xx dxm xx dx0()()()nbkkakm xx dxA f x0()()()nbkkakf xx dxA f x21n求积公式对一切次数不超过的多项式都精即确成立。故节点是高斯点。ix小结:Gauss型求积公式的节点ix0()()()求积系数，其中nbikkkaikii kxxAx lx dxlxxx11()()()0,0:()的零点确定满足的
33、bnmniaxx P x dxmnxx0()Gauss型求积公式nnkkkIA f x插值型求积公式21具有次代数精度n0101,例用两种不同的方法确定，得型求：积公式xx A AGaussf x dxA f xA f x100111()()()Gauss3：因为两点型法一求积公式具有次代数精度，f xGausxsxx23()1,分别代入，使公式准确成立，AAA xA xA xA xA xA x01001122001133001120230即xxAA 010111,331,1df xxff1111()()()330101,例用两种不同的方法确定，得型求：积公式xx A AGaussf x dx
34、A f xA f x100111()()()GaussGausxxs01,1,1：因为两点求积公式的点是法二上xx2()12()以为权的某 次正交多项式的零点，xxxxx201()()().不妨设1-1dxxxxx011()()0 x x012203xx 012()031-1dxxxxxx01()()0于是xx 011313110101xxAdxxx1,101110 xxAdxxx1df xxff1111()()()330101,用两种不思考同的方法确定，得型求积公式：Gaussxx A Adf xxA f xA f xx100110()()()0101326326,77577515151,1
35、3636答案：xxAAGauss求积公式的性质：(22)21(),21!1积分余项：、；nbnnafEfx wx dxa bn22201()()()()比如：取ng xxxxxxx()()d0bax g xx0()=0而nkkkA g x0()()(d)bnkkkaA gx g xxx21 阶代因此只有；数精度n222、可证明对次代数多项式不代数精度：一定成立，nGauss求积公式的性质：(22)21(),21!1积分余项:、；nbnnafEfx wx dxa bn222、可证明对次代数多项式不代数精度：一定成立，n21 阶代因此只有；数精度n3、稳定性：()0:设，为基函数，klxknLag
36、range02()()bkkaAxlxdx2()02则为次代数多项式，klxn其数值积分等于精确积分Gauss220()()()即nbki kiaix lx dxAlxkAGauss求积公式的性质：(22)21(),21!1积分余项:、；nbnnafEfx wx dxa bn222、可证明对次代数多项式不代数精度：一定成立，n21 阶代因此只有；数精度n3、稳定性：求积系数都为正数，公式稳定。Gauss型求积公式的构造是比注：较复杂的，对于一些特定的积分区间和权函数，可以利用正交多项式给出相应的Gauss型求积公式。.2 GaussLegendre型求积公式21()(1)(0,1(),2,)2
37、!1,1区间上定义的多项式序勒让德多项式 定义列：nnnnndP xxnn dx勒让德多项式的性质：2(2)!()2(!)1首项系是的次多项式数为nnnnP xann 0 1,1()=(2)1Legendre多项式在区间上带权正交，nnxP x20()1,1nnP xL即是中的正交系。.2 GaussLegendre型求积公式1勒让德多项式的性质：nP 1+112(2(1)!()12(1)1!)首是的次多项式项系,数为nnnnPxann 111(),()()2d0对任意次数的多项式有nnQ xPx Q xx011,个互异零点有nnx xx1101()()()(nnnPxaxxxxxx101()
38、()()(取nnxxxxxxx1()()()0,0:定理:节点是高斯点bnmaixx P x dxmxn11()nnPxa21121()21！nnnPxn.2 GaussLegendre型求积公式101()1,个互异零点勒让德多项式nnPx nx xx1()()()0,0:定理:节点是高斯点bnmaixx P x dxmxn1-10()().就是求积公式的高斯点nkkkf x dxA f x11()()()求积系数kkkxAdxxxx1111()(nknkPxdxxxPx22121()knkxPx 12210121故高斯勒让德求积公式为nkkknkfx dxfxxPx.2 GaussLegen
39、dre型求积公式 12210121高斯勒让德求积公式为nkkknkfx dxfxxPx423(22)321()(1,1)(23)22！截断误差！：，nnnR ffnn.2 GaussLegendre型求积公式0,1,2当时例如：的多项式为：Legendren231233153(),()(),()(),2325P xxP xxP xxx00 x GaussGauss一点公式的点是：0111,33 GaussGauss两点公式的点是：xx01233,0,55 GaussGauss三点公式的点是：xxx 1,1.在上面的讨论中，我们考虑的积分区间为,对于一般的求积区间，a b只需作变换baabxt2
40、2a b,-1,1则变为，于是ddbababaabf xxftt11()222于是niiibabaabA ft1222高斯切比雪夫求积公式nkkkf xdxA f xx1210()()1因此求积公式为的高斯点是2 1,11()1区间上切比雪夫多项式，：，权函数xx()cos(arccos),正交的多项式序列nT xnxn1次切比雪夫多项式的零点，kkxn21cos22即，kAn1求积系数，nnkkIff xn01从而高斯切比雪夫求积公式为(22)222()(1,1)222断：！截误差，nnR ffn4.7 数值微分数值微分hf ahf af ah0()()()limhf af ahh0()()
41、limhf ahf ahh0lim2f ahf ahf ahf()()()2)(向前差商，误差hf af ahf ahf()()2)()向后差商，误差f ahf ahf ahhf2()6()2中心差商，误差f ahf af afhhafh(4)222()()12()二阶中心差商，误差dd(1)(1)11()()()()()()(1)!(1)!误差nnnnnxffxLxxfnnxixin(0,1,)如果只是求某个节点上的导数值，这时有(1)1()()()()(1)!nininiffxLxxnnf xLx()()当作近似时，nfxLx()()插值型求称为导公式。下面仅仅考察节点处的导数值。为简化讨
42、论，假定所给的节点是等距的，设步长为。h f xf xxxxh010011,(),()：两节点的函数值两点公式则线性插值函数0011101010110()()()()()xxxxxxxxL xf xf xf xf xxxxxhhL xf xf xh1011()()()L xf xf xh1011()()()L xf xf xh10011()()(),L xf xf xh11011()()()(1)1()()()()(1)!nininiffxLxxn带余项的两点公式是hfxf xf xfh0101()()()()2hfxf xf xfh1101()()()()2向前差商向后差商 xxxh xxh
43、010202,2三点公：三节点，式的函数值则抛物插值函数xxxxxxxxxxxxLxf xf xf xxxxxxxxxxxxx0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxL xf xf xf xhhh0201122012222222()()()()22f xf xf x012(),()()，带余项的三点求导公式如下：hfxf xf xf xfh200121()3()4()()()23hfxf xf xfh21021()()()()26hfxf xf xf xfh220121()()4()3()()23一阶中心差商
44、 ixxih i0(0,1,2,33,4)五点公：五节点式的函数值可同样推出五点公式：iimfx()用表示一阶导数的近似值，有f xf xf xf xf x01234(),(),(),(),()，mf xf xf xf xf xh001234125()48()36()16()3()12mf xf xf xf xf xh10123413()10()18()6()()12mf xf xf xf xh201341()8()8()()12mf xf xf xf xf xh3012341()6()18()10()3()12mf xf xf xf xf xh40123413()16()36()48()25
45、()12iifxM()二阶导数用表示的近似值，有Mf xf xf xf xf xh0012342135()104()114()56()11()12Mf xf xf xf xf xh1012342111()20()6()4()()12Mf xf xf xf xf xh20123421()16()30()16()()12Mf xf xf xf xf xh30123421()4()6()20()11()12Mf xf xf xf xf xh4012342111()56()114()104()35()12作业8：l1.本章小结；l2.课后习题：第1-3、4(1)、5-6、7(1)、8-14题；l3.数值实验题：第1-3题。
