1、2024中考数学复习 重难题型分类练 题型四 圆的相关证明与计算 类型一圆基本性质的证明与计算1. (2023广东省卷)如图，四边形ABCD内接于O，AC为O的直径，ADBCDB.(1)试判断ABC的形状，并给出证明；(2)若AB，AD1，求CD的长度第1题图2. (2023呼和浩特)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE.(1)求证：BDCD；(2)若tan C，BD4，求AE.第2题图3. (2022贵阳)如图，在O中，AC为O的直径，AB为O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交O于点N，分别连接EB，CN.(1)E
2、M与BE的数量关系是_；(2)求证：；(3)若AM，MB1，求阴影部分图形的面积第3题图4. (2023宁波)如图，O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足AFBBFDACB，FGAC交BC于点G，BEFG，连接BD，DG.设ACB.(1)用含的代数式表示BFD；(2)求证：BDEFDG；(3)如图，AD为O的直径当的长为2时，求的长；当OFOE411时，求cos 的值第4题图类型二与切线有关的证明与计算考向1与全等三角形结合5. (2023赤峰)如图，已知AB为O的直径，点C为O外一点，ACBC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，
3、连接AD，CD，且DCAOCA.(1)求证：AD是O的切线；(2)若CD6，OF4，求cos DAC的值第5题图考向2与相似三角形结合6. (2023常德)如图，已知AB是O的直径，BCAB于B，E是OA上的一点，EDBC交O于D，OCAD，连接AC交ED于F.(1)求证：CD是O的切线；(2)若AB8，AE1，求ED，EF的长第6题图7. (2023眉山)如图，AB为O的直径，点C是O上一点，CD与O相切于点C，过点B作BDDC，连接AC，BC.(1)求证：BC是ABD的角平分线；(2)若BD3，AB4，求BC的长；(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积第7题图8. (2023桂林)如图，
4、AB是O的直径，点C是圆上的一点，CDAD于点D，AD交O于点F，连接AC，若AC平分DAB，过点F作FGAB于点G交AC于点H.(1)求证：CD是O的切线；(2)延长AB和DC交于点E，若AE4BE，求cos DAB的值；(3)在(2)的条件下，求的值第8题图考向3与锐角三角函数结合9. (2023临沂)如图，AB是O的切线，B为切点，直线AO交O于C，D两点，连接BC，BD，过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、O及BD于点E，F，G.(1)求证：DE；(2)若F是OE的中点，O的半径为3，求阴影部分的面积第9题图10. (2023贵港)如图，在ABC中，ACB90，点D是AB边的中
5、点点O在AC边上，O经过点C且与AB边相切于点E，FACBDC.(1)求证：AF是O的切线；(2)若BC6，sin B，求O的半径及OD的长第10题图考向4与其他结合11. (2023天津)已知AB为O的直径，AB6，C为O上一点，连接CA，CB.()如图，若C为的中点，求CAB的大小和AC的长；()如图，若AC2，OD为O的半径，且ODCB，垂足为E，过点D作O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长第11题图 源自人教九上P102第12题12. (2023贵阳)如图，AB为O的直径，CD是O的切线，C为切点，连接BC，ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF
6、.(1)求证：DCPDPC；(2)当BC平分ABF时，求证：CFAB；(3)在(2)的条件下，OB2，求阴影部分的面积第12题图参考答案与解析1. 解：(1)ABC为等腰直角三角形证明：AC为O的直径，ABC 90，ADC 90，ADB CDB，ADB45，ACBADB45，ABC为等腰直角三角形；(2)由(1)知ABC为等腰直角三角形，且AB，ACAB2，在RtACD中，AD1，CD.2. (1)证明：如解图，连接AD.AB是O的直径，ADBE90.ABAC，ADBC，BDCD；(2)解：BD4，CD4，则BC8.在RtACD中，tan C，即，解得AD2，AC2.CC，ADCE，ADCBE
7、C，即，解得AE.第2题解图3. (1)解：BEEM；【解法提示】如解图，连接EO，AC为O的直径，点E是的中点，AOE90，ABEAOE45，ABEN，BME是等腰直角三角形，BEEM.第3题解图(2)证明：如解图，由(1)知BME是等腰直角三角形EMB90，ABEBEN45，点E是的中点，；(3)解：如解图，连接AE，OB，ON，ENAB，垂足为点M，AMEEMB90，BM1，由(2)得ABEBEN45，EMBM1，又BEEM，BE，在RtAEM中，EM1，AM，tan EAB，EAB30，EABEOB，EOB60，即O的半径为2，又OEOB，EOB是等边三角形，OEBE，又，CONEOB
8、60，又S扇形CON，SOCN()2，S阴影S扇形CONSOCN.4. (1)解：AFBBFDACB，AFBBFD180，得2BFD180，BFD90；(2)证明：由(1)得BFD90，ADBACB，FBD180ADBBFD90，DBDF.FGAC，CADDFG.CADDBE，DFGDBE.BEFG，BDEFDG(SAS)；(3)解：由(2)知BDEFDG.FDGBDE，DEDG.BDGBDFEDG2.DEDG，DGE(180FDG)90.在BDG中，DBG180BDGDGE90.AD为O的直径，ABD90，ABCABDDBG，与的度数之比为32，与的长度之比为32，的长为2，的长为3；如解图
9、，连接BO，第4题解图OBOD，OBDODB，BOFOBDODB2.BDG2，BOFBDG.BGDBFO90，BDGBOF，设BDG与BOF的相似比为k，k.，设OF4x，则OE11x，DEDG4kx，OBODOEDE11x4kx，BDDF15x4kx，由k，得4k27k150，解得k1，k23(不合题意，舍去)，OD11x4kx16x，BD15x4kx20x，AD2OD32x，在RtABD中，cos ADB，cos .5. (1)证明：ACBC，AOBO，COAB，DF垂直平分AC，DADC，DACDCA，DCAOCA，DACOCA，ADOC，ADAB.又AB为O的直径，AD是O的切线；(2
10、)解：如解图，连接AF，DF垂直平分AC，CEDCEFAED90，DACOCE，AECE，AEDCEF，DEFE，DF与AC互相垂直平分，四边形ADCF是菱形，AFCFADDC.CD6，OF4，AFCFCD6，在RtAOF中，由勾股定理得AO2，COCFFO10，在RtAOC中，由勾股定理得AC2，cos DACcos ACO.第5题解图6. (1)证明：如解图，连接OD，OCAD，BOCOAD，DOCODA，OAOD，OADODA，BOCDOC，在BOC和DOC中，OBCODC(SAS)，OBCODC，BCAB，OBCODC90，OD是O的半径，CD是O的切线；第6题解图(2)解：如解图，过
11、点D作DHBC于点H，EDBC，OED180ABC90，则四边形EBHD为矩形，BHED，DHBE，AB8，AE1，OE3，DHBE7，ED，由(1)知OBCODC，CBCD，设CBCDx，则CHx，在RtDHC中，DH2CH2CD2，即72(x)2x2，解得x4，即BC4，EFBC，AEFABC，即，EF.7. (1)证明：如解图，连接OC，CD与O相切于点C，OCCD.BDCD，OCBD，OCBDBC.OCOB，OCBOBC，DBCOBC，BC是ABD的平分线；第7题解图(2)解：AB是O的直径，ACB90，BDDC，ACBD，DBCOBC，ABCCBD，BC212，则BC2(负值已舍去)
12、；(3)解：如解图，在RtABC中，cos ABC，ABC30，AOC60.AOC为等边三角形，AB4，OA2，S阴影S扇形AOCSAOC22.8. (1)证明：如解图，连接OC.第8题解图CDAD，AC平分DAB，D90，DACBAC，OAOC，BACOCA，OCADAC，OCAD，OCD90，OC是O的半径，CD是O的切线；(2)解：设BEx，则AE4BE4x，ABAEBE3x，OBOCABx，OEx，由(1)知OCAD，DABCOE，cos DABcos COE；(3)解：FGAB，FAGAFG90，D90，DAGE90，AFGE，HAGAHG90，CABABC90，AHGABC，AHF
13、CBE，FAHECB，即，由(2)得OEBE，OCBE，在RtOCE中，CE2BE，.9. (1)证明：如解图，连接OB，AB是O的切线，OBE90，E190，CD为O的直径，CBD90，D290，OEBC，13，OBOC，32，12，DE；第9题解图(2)解： F是OE的中点，O的半径为3，OBOFEF3，OE6.在RtOBE中，sin E，E30，BOG60，OEBC，DBC90，OGB90，在RtOBG中，BGOBsin BOG，OGOBcos BOG.S阴影S扇形BOFSOGB.10. (1)证明：如解图，过点O作OGAF于点G，连接OE, AB与O相切于点E，OEAB，AEOAGO9
14、0，点D是AB的中点，ACB90，CDADBD，BACBDC，FACBDC，BACFAC，在EAO和GAO中，EAOGAO(AAS)，OGOE.OG是O的半径，AF是O的切线；第10题解图(2)解：在ABC中，ACB90，AC2BC2AB2，BC6，sin B，设AC4a，AB5a，则(4a)262(5a)2，解得a2(负值已舍去)，AC8，AB10，ADAB5，cos B，OAEAOE90，OAEB90，AOEB.OAOC.OAOCAC，OCOC8，解得OC3，OA5，OEOC3，AEOAsin AOEOAsin B54，DEADAE541，在RtODE中，OD，O的半径为3，OD的长为.1
15、1. 解：()AB为O的直径，ACB90.由C为的中点，得.ACBC，CABABC，在RtABC中，CABABC90，CAB45.根据勾股定理，得AC2BC2AB2，AB6，2AC236，AC3(负值已舍去)；()FD是O的切线，ODFD，即ODF90.ODCB，垂足为E，CED90，CECB.同()可得ACB90，FCE90，FCECEDODF90，四边形ECFD为矩形，FDCECB.在RtABC中，AB6，AC2，CB4，FD2.12. (1)证明：如解图，连接OC.DC与O相切于点C，DCO90，DCPBCO90.DEOB，BEP90，BPECBO90.OCOB，BCOCBO，DCPBPE.又DPCBPE，DCPDPC；第12题解图(2)证明：如解图，连接OF，DE垂直平分OB，BFOF.OBOF，BFOFOB，OBF为等边三角形，ABFBOF60.BC平分ABF，ABCCBF30.由圆周角定理，得BCFBOF30.ABCBCF，CFAB；(3)解：由圆周角定理，得COF2CBF60.OCOF，OCF为等边三角形，SOCFOC2OB2，S扇形COF，S阴影S扇形SOCF.
