1、2024中考数学复习 重难题型分类练 函数图象与性质探究题 类型一新函数性质探究1. 小华同学学习函数知识后，对函数y通过列表、描点、连线，画出了如图所示的图象x432101234y12410421请根据图象解答：(1)【观察发现】写出函数的两条性质：_；若函数图象上的两点(x1，y1)，(x2，y2)满足x1x20，则y1y20一定成立吗？_；(填“一定”或“不一定”)(2)【延伸探究】如图，将过A(1，4)，B(4，1)两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数y(x1)的图象交于点P，连接PA，PB.求当n3时，直线l的解析式和PAB的面积；直接用含n 的代数式表示PAB的面积第
2、1题图2.函数图象是研究函数的重要工具探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程请结合已有的学习经验，画出函数y的图象，并探究其性质列表如下：x432101234ya0b2(1)直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；第2题图(2)观察函数y的图象，判断下列关于该函数性质的命题：当2x2时，函数图象关于直线yx对称；x2时，函数有最小值，最小值为2；1xx的解集_类型二与几何图形结合的函数性质探究3.如图，在RtABC中，ACB90，AC3 cm，BC4 cm，M为AB边上一动点，BNCM，垂足为N.设A，M两点间的距
3、离为x cm(0x5)，B，N两点间距离为y cm(当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0).第3题图小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.511.51.822.533.544.55y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330请你通过计算，补全表格：a_；(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y关于x的图象；第3题图(3
4、)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：_；(4)解决问题：当BN2AM时，AM的长度大约是_cm.(结果保留两位小数)4. 背景：点A在反比例函数y(k0)的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形如图，点A在第一象限内，当AC4时，小李测得CD3.探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系请帮助小李解决下列问题(1)求k的值；(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”如图，小李画出了x0时“Z函数”的图象求这个“Z函数”的表达式；补画x0)，则BC_时，ACBC最大；
5、推理证明(5)对(4)中的猜想进行证明问题1，在图中完善(2)的描点过程，并依次连线；问题2，补全观察思考中的两个猜想：(3)_；(4)_；问题3，证明上述(5)中的猜想；问题4，图中折线BEFGA是一个感光元件的截面设计草图，其中点A、B间的距离是4厘米，AGBE1厘米，EFG90，平行光线从AB区域射入，BNE60，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值参考答案与解析1. 解：(1)当x0或x1时，y随x的增大而增大，当1x0时，y随x的增大而减小(答案不唯一，符合题意即可)；不一定；(2)设直线AB的解析式为ykxb(k0)，将A(1，4)，B
6、(4，1)代入，得，解得.直线AB的解析式为yx3.当n3时，如解图，设AB交y轴于点E，连接OA，OB，直线l的解析式为yx33x，直线l过原点O，lAB，SPABSABOSAEOSBEO3134；第1题解图SPABn.【解法提示】AB5，P到AB的距离hn，SPAB5nn.2. (1)a2，b，画出函数图象如解图；第2题解图【解法提示】把x2，ya代入y中，得a2；把x1，yb代入y中，得b.(2)；【解法提示】由函数图象可知，当2x2时，函数图象关于原点对称，不关于直线yx对称，此命题错误；由函数图象可知，当x2时，函数有最小值，最小值为2，此命题正确；由函数图象可知，当1x1时，函数y
7、的值随x的增大而减小，此命题正确(3)x2或0x2.【解法提示】如解图，当x2或0x2时，函数y的图象在直线yx的上方，不等式x的解集是x2或0x2.第2题解图3. 解：(1)3.20；(2)如解图，即为所求作的图象；第3题解图(3)不断减小；(4)1.67(1.50AM1.80均可).【解法提示】如解图，作函数y2x的图象与原函数图象交点的横坐标即为所求第3题解图4. 解：(1)由题意得，ABAD1，点A的坐标是(4，1)，k414；(2)设点A坐标为(x，)，点D的横坐标为zx.这个“Z函数”表达式为zx；画出的图象如解图：第4题解图性质如下(答案不唯一)：(a)函数的图象是由两个分支组成
8、的曲线(b)函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称(c)当x0时，函数值z随自变量x的增大而增大；当x0，a0，y2a，当y2a时，2x24ax4a20，解得x1x2a，当BCa时，ACBC有最大值问题4：如解图，延长AM交EF的延长线于点C，过点A作AHEF于点H，过点B作BKGF于点K，BK交AH于点Q.第6题解图在BNE中，BNE60，E90，BE1 cm，tan BNE，即，NE cm，AMBN，CBNE60，又GFE90，CMF30，AMG30，G90，AG1 cm，AMG30，在RtAGM中，tan AMG，即，GM cm，GGFH90，AHF90，四边形AGFH为矩形，AHFG，GFHE90，BKF90，四边形BKFE为矩形，BKFE.FNFMEFFGENGMBKAHBQAQQHQKBQAQ2，在RtABQ中，AB4 cm，由问题3可知，当BQAQ2 cm时，AQBQ的值最大，此时EF(12)cm.当BQAQ2时，FMFN最大值为(42)cm，即当EF(12)cm时，感光区域长度之和FMFN最大，最大值为(42)cm.
