1、1.2 1.2 二次函数二次函数的图象与性质的图象与性质第一第一章章 二次函数二次函数知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点知识点二次函数二次函数 y=axy=ax2 2 的图象的画法的图象的画法1用用描点法描点法画函数画函数 y=ax2(a 0)的的图象的一般步骤图象的一般步骤(1)列表：列表时，自变量列表：列表时，自变量 x 的取值的取值不能太大也不能太小不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图象情况以便于描点和全面反映图象情况.选点时，一般先找出对称轴，选点时，一般先找出对称轴，再在对称轴两侧对称选取，应以计算简单、描点方便为原则再在对称轴两侧对称选取，应以计算简单、描点方便为原则.感悟
2、新知感悟新知(2)描点：一般来说，点取得越多、越密集，画出的图象描点：一般来说，点取得越多、越密集，画出的图象就越准确就越准确.实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对两对点，共点，共 5 个点，用个点，用“五点法五点法”快速准确地作出函数图象快速准确地作出函数图象.(3)连线连线：按：按自变量自变量由小到大由小到大(或或由大到由大到小小)的的顺序，依次顺序，依次用用光滑光滑的曲线的曲线连接各点连接各点.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒用用描点法描点法可以画可以画出任意出任意一个一个二次函数的二次函数的图象，用图象，用描点
3、描点法画法画出的图象只是出的图象只是二次函数二次函数图象的图象的一部分一部分.抛物线是抛物线是向两方向两方无限无限延伸延伸的，画图的，画图时要时要画画“出出头头”，左右两侧左右两侧必须保持必须保持关于对称关于对称轴对称轴对称.知知1 1练练感悟新知感悟新知例1解题秘方：解题秘方：用描点法，按列表用描点法，按列表描点描点连连线的顺线的顺序作图序作图.知知1 1练练感悟新知感悟新知解法警示解法警示在同一平面在同一平面直角坐标直角坐标系中作多个系中作多个函数图象函数图象时，时，要在图象要在图象旁边旁边标明函数的表达式标明函数的表达式.连线时，必须连线时，必须按照按照自变量自变量由小到大由小到大(或或
4、由大到由大到小小)的的顺序顺序，并且，并且用光滑的用光滑的曲线曲线顺次连接顺次连接，初始，初始点点和和末端点处要注意末端点处要注意适当适当“向外延伸向外延伸”，切忌用切忌用线段线段连接或漏点连接或漏点、跨、跨点连接点连接.解：解：列表：列表：x -4-3-2-1 0 1 2 3 4 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 -8-4.5-2-0.5 0-0.5-2-4.5-8 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知描点描点、连线，连线，即得即得三个函数的图象，如图三个函数的图象，如图 1.2-1.感悟新
5、知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点二次函数二次函数 y=axy=ax2 2 的的图象与性质图象与性质21.把二次函数把二次函数 y=ax2的的图象这样的曲线叫作抛物线，图象这样的曲线叫作抛物线，简称为简称为抛抛物线物线 y=ax2.一般地，二次函数一般地，二次函数 y=ax2的的图象关于图象关于 y 轴对称轴对称，抛物线与它的对称轴的抛物线与它的对称轴的交点交点(0，0)叫作抛物线叫作抛物线y=ax2的的顶顶点点.2.二次函数二次函数 y=ax2(a 0)的图象与性质的图象与性质y=ax2a 0 a 0图象图象开口方向开口方向 开口向上开口向上 开口开口向下向下顶点坐标顶点坐标(0，0)感悟
6、新知感悟新知知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知知2 2讲讲对称轴对称轴 y 轴轴(或直线或直线 x=0)函数值函数值随随自变自变量量取值取值的变化的变化情况情况在对称轴的在对称轴的左边，左边，y 随随 x 的增大而减小；在的增大而减小；在对称对称轴轴的的右边，右边，y 随随 x的的增增大而大而增大增大.可简称为可简称为“左左降右升降右升”在对称轴的在对称轴的左边，左边，y 随随 x 的增大而增大；在的增大而增大；在对对称轴称轴的的右边，右边，y 随随x 的的增大而增大而减小减小.可简称为可简称为“左升右降左升右降”最值最值 当当 x=0 时，时，y 最小值最小值=0 当当 x=0 时，时，y 最
7、大值最大值=0知知2 2讲讲感悟新知感悟新知要点要点解读解读1.判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，自左向右看，“上坡路上坡路”就是就是 y 随随 x 的增大而增大，的增大而增大，“下下坡路坡路”就是就是y随随x的增大而减小的增大而减小.2.在二次函数在二次函数y=ax2(a 0)中，中，a 的正负的正负性决定抛物线的开口性决定抛物线的开口方向，方向，|a|决定决定抛物线抛物线的的开口大小开口大小|a|越越大，抛物线开口大，抛物线开口越越小小，反之，反之，|a|越小越小，抛物线，抛物线开口越大开口越大3.二次函数二次函
8、数 y=ax2(a0)与与y=ax2(a0)的的图象关于图象关于 x 轴对称轴对称.感悟新知感悟新知知知2 2练练例2 如图如图 1.2-2，四个二次函数的图象分别对应四个二次函数的图象分别对应 y=ax2；y=bx2；y=cx2；y=dx2，已知，已知与与、与分别关于、与分别关于 x 轴对称轴对称.解题秘方：解题秘方：紧扣紧扣“a 的符号的符号”及及“|a|的的大小大小”与其图象与其图象之间之间的关系的关系采用数形结合思想进行解答采用数形结合思想进行解答.知知2 2练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨y=ax2中中 a 与其图象开口方向、开口大小之间的与其图象开口方向、开口大小之间的关系关系
9、：1.a 的符号：的符号：a0 开口开口向上向上；a0，b0，c0，d|b|，|c|d|，ab，cbdc.知知2 2练练感悟新知感悟新知巧题妙解巧题妙解当当 x=1 时，四时，四个函数个函数值分别等于二值分别等于二次项次项系数系数，直线直线 x=1 与与四条四条抛物线的交点抛物线的交点从上到下从上到下依次依次为为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c)，abdc.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲(2)说明说明 a 与与 c，b 与与 d 的数量关系的数量关系.解：解：与，与分别关于与，与分别关于 x 轴对称，轴对称，与，与的开口大小相同，方向相反与，与的开口大小相同，方向相反.a+c=0，
10、b+d=0.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲例 3易错题易错题已知已知函数函数 y=(m+2)xm+m-4 是关于是关于 x 的二次的二次函数函数.解题秘方：解题秘方：按对称轴的左、右两侧，分按对称轴的左、右两侧，分 x 0 和和 x 0两种情况两种情况讨论函数讨论函数的增减性的增减性.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲(1)求满足条件的求满足条件的 m 的值的值.解：由题意得解：由题意得 m2+m-4=2，m+2 0，解得解得 m=2 或或 m=3.满足条件的满足条件的 m 的值为的值为 2 或或3.注意二次项系数不为注意二次项系数不为 0.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲(2)当当 m 为何值时，
11、其图象有最低点？求出这个最低为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当点的坐标，这时当 x 为何值时，为何值时，y 随随 x 的增大而增大？的增大而增大？解：若抛物线有最低点，则抛物线的开口向上，解：若抛物线有最低点，则抛物线的开口向上，m+20，即，即 m 2.m=2.这个最低点为抛物线的顶点，这个最低点为抛物线的顶点，最低点的坐标为最低点的坐标为(0，0).当当 x0 时，时，y 随随 x 的增大而增大的增大而增大.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲(3)当当 m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当这时当 x 为何值时，为何值时，y
12、随随 x 的增大而减小？的增大而减小？解：若函数有最大值，则抛物线的开口向下，解：若函数有最大值，则抛物线的开口向下，m+20，即，即 m0 时，时，y 随随 x 的增大而减小的增大而减小.知知2 2练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒在分析二次函数的在分析二次函数的增减性增减性时，都是以对称轴时，都是以对称轴为分界为分界线线进行讨论的：进行讨论的：1.开口开口向下向下的抛物线的抛物线，在，在对称轴左侧，对称轴左侧，y 随随 x的的增大增大而增大，在而增大，在对称对称 轴右侧轴右侧，y 随随 x 的增大的增大而减小而减小；2.开口向上开口向上的抛物线的抛物线，在，在对称轴左侧，对称轴左侧，y 随随 x的的增大增大而减小，在而减小，在对称对称 轴右侧轴右侧，y 随随 x 的增大的增大而增大而增大.二次函数二次函数 y=axy=ax2 2 的的图象与性质图象与性质最小值为最小值为0 x 0 时，时，y 随随 x 的的增大而增大增大而增大图象图象开口向上开口向上有有最高点最高点y=ax2性质性质有最低点有最低点开口向下开口向下a0a0 x 0 时，时，y 随随 x 的的增大而增大增大而增大x 0 时，时，y 随随 x 的的增大而减小增大而减小x 0 时，时，y 随随 x 的的增大而减小增大而减小最大值为最大值为0
