1、第三十章 二次函数 综合素质评价一、选择题（共12个小题，每题3分，共36分）1如果函数y=(m1)xm2+12x+5是二次函数，则m的值是（ ）A. 1B. 1C. 2D. 122024盐城模拟当函数y=(x1)22的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）A. x0B. x1D. x为任意实数3用40cm的绳子围成一个矩形，则矩形面积ycm2与一边长xcm之间的函数关系式为（ ）A. y=x2B. y=x2+40x C. y=x2+20xD. y=x2+204定义新运算：ab=(a+2b)(a+b)，例如43=(4+23)(4+3)=70，则函数y=(x+1)2的最小值为（ ）A
2、. 15B. 1C. 3D. 55根据如图所示的二次函数y=(x2)2+3的图像，可以判断坐标系原点可能是（ ）（第5题）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D6已知a0，设函数y1=a(x1)2，y2=a(x2)2，y3=a(x3)2，直线x=m与函数y1，y2，y3的图像分别交于点A(m,c1)，B(m,c2)，C(m,c3)，下列结论正确的是（ ）A. 若m1，则c2c3c1B. 若1m2，则c1c2c3C. 若2m3，则c3c23，则c3c2c17一次函数y=ax+c(a0)与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A. B. C. D. 8如图是
3、二次函数y=ax2+bx+c的部分图像，由图像可知下列说法错误的是（ ）（第8题）A. a0B. 不等式ax2+bx+c0的解集是0x0D. 方程ax2+bx+c=0的解是x1=5，x2=192024天津从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是=30t5t2(0t6).有下列结论：当t=2时，小球运动到最大高度；当小球的运动高度为40m时，运动时间为2s或4s；小球运动中的最大高度为46m；小球从抛出到落地需要6s.其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10已知函数y=x22x3，当pxq时，aya+4，则qp的最大值
4、是（ ）A. 26B. 4C. 6D. 2112024绵阳期末小明为了研究关于x的方程x2|x|k=0的根的个数问题，先将该等式转化为x2=|x|+k，再分别画出函数y1=x2的图像与函数y2=|x|+k的图像（如图），当方程有且只有四个根时，k的取值范围是（ ）（第11题）A. k0B. 14k0C. 0k14D. 14k14122024石家庄校级月考如图，二次函数的图像与x轴的交点A，D的横坐标分别为3和1，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），则系数a的值可以是（ ）（第12题）A. 25B. 35C. 57D. 38二、填空题（共4个
5、小题，每题3分，共12分）13已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=x23上，且0x1x2，则y1_y2（填“ ”或“=”）.14将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_.15如图所示的发石车是古代一种远程攻击武器.将发石车置于山坡底部O处，以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线y=140(x20)2+k的一部分，则石块在空中飞行的最大高度为_m.（第15题）16如图，抛物线y=x2+12x35与x轴交于A，B两点，把抛物线在x轴及其上方
6、的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于B，D两点.若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是_.（第16题）三、解答题（共72分）17（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像经过点A(1,m)，B(3,n)，C(4,t)，且点B是该二次函数图像的顶点.请在图中描出该二次函数图像上另外的两个点，并画出图像.18（10分）已知点M(x1,y1)，N(x2,y2)在二次函数y=a(x2)21(a0)的图像上，图像经过点(3,1)，且x2x1=3.（1） 求这个二次函数的表达式；（2） 若y1=y2，求顶点到直线MN的距离.19（12分）某品牌服装公司
7、新设计了一款服装，其成本价为60元/件.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如下表：销售价格x（元/件）8090100110日销售量y（件）240220200180（1） 若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数表达式（不用写自变量x 的取值范围）.（2） 若该公司想每天获利8 000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3） 为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装就向贫困山区的希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大（利润用w 表示）？20（12分）设二次函数y1，y2的图像的顶
8、点坐标分别为(a,b)，(c,d)，若a=2c，b=2d，且两图像开口方向相同，则称y1是y2的“同倍项二次函数”.（1） 写出二次函数y=x2+x+1的一个“同倍项二次函数”；（2） 已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=x2+3nx+1，若y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，求n的值.21（14分）已知二次函数y=x2+bx+c(b，c为常数)的图像经过点A(2,5)，对称轴为直线x=12.（1） 求二次函数的表达式；（2） 若点B(1,7)向上平移2个单位长度，再向左平移m(m0)个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图像上，求m的值；（3） 当2xn时，二次函数y=
9、x2+bx+c的最大值与最小值的差为94，求n的取值范围.22（16分）如图，二次函数的图像与x轴分别交于点A(1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，P，Q为抛物线上的两点.（1） 求二次函数的表达式.（2） 当P，C两点关于二次函数图像的对称轴对称，OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标.（3） 设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，试探究：OPQ的面积S是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.第三十章 二次函数 综合素质评价 答案版一、选择题（共12个小题，每题3分，共36分）1如果函数y=(m1)xm2+12x+5是二次函数，则m的值是（
10、 ）A. 1B. 1C. 2D. 1【答案】B22024盐城模拟当函数y=(x1)22的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）A. x0B. x1D. x为任意实数【答案】B3用40cm的绳子围成一个矩形，则矩形面积ycm2与一边长xcm之间的函数关系式为（ ）A. y=x2B. y=x2+40xC. y=x2+20xD. y=x2+20【答案】C4定义新运算：ab=(a+2b)(a+b)，例如43=(4+23)(4+3)=70，则函数y=(x+1)2的最小值为（ ）A. 15B. 1C. 3D. 5【答案】B5根据如图所示的二次函数y=(x2)2+3的图像，可以判断坐标系原点可能
11、是（ ）（第5题）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】A62024石家庄裕华区模拟已知a0，设函数y1=a(x1)2，y2=a(x2)2，y3=a(x3)2，直线x=m与函数y1，y2，y3的图像分别交于点A(m,c1)，B(m,c2)，C(m,c3)，下列结论正确的是（ ）A. 若m1，则c2c3c1B. 若1m2，则c1c2c3C. 若2m3，则c3c23，则c3c2c1【答案】D7一次函数y=ax+c(a0)与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D8如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图像，由图像可知
12、下列说法错误的是（ ）（第8题）A. a0B. 不等式ax2+bx+c0的解集是0x0D. 方程ax2+bx+c=0的解是x1=5，x2=1【答案】B92024天津从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是=30t5t2(0t6).有下列结论：当t=2时，小球运动到最大高度；当小球的运动高度为40m时，运动时间为2s或4s；小球运动中的最大高度为46m；小球从抛出到落地需要6s.其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B10已知函数y=x22x3，当pxq时，aya+4，则qp的最大值是（ ）A. 26B. 4C.
13、 6D. 2【答案】B112024绵阳期末小明为了研究关于x的方程x2|x|k=0的根的个数问题，先将该等式转化为x2=|x|+k，再分别画出函数y1=x2的图像与函数y2=|x|+k的图像（如图），当方程有且只有四个根时，k的取值范围是（ ）（第11题）A. k0B. 14k0C. 0k14D. 14k14【答案】B122024石家庄校级月考如图，二次函数的图像与x轴的交点A，D的横坐标分别为3和1，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），则系数a的值可以是（ ）（第12题）A. 25B. 35C. 57D. 38【答案】B二、填空题（共4个
14、小题，每题3分，共12分）13已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=x23上，且0x1x2，则y1_y2（填“ ”或“=”）.【答案】 14将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_.【答案】(1,2) 15如图所示的发石车是古代一种远程攻击武器.将发石车置于山坡底部O处，以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线y=140(x20)2+k的一部分，则石块在空中飞行的最大高度为_m.（第15题）【答案】10162024唐山期末如图，抛物线y=x
15、2+12x35与x轴交于A，B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于B，D两点.若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是_.（第16题）【答案】5m0)的图像上，图像经过点(3,1)，且x2x1=3.（1） 求这个二次函数的表达式；（2） 若y1=y2，求顶点到直线MN的距离.【答案】（1） 【解】将(3,1) 代入y=a(x2)21 中，得1=a(32)21，解得a=2. 二次函数的表达式为y=2(x2)21=2x28x+7.（2） y=2(x2)21， 二次函数图像的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,1).y1=y2，
16、点M，N关于直线x=2 对称.x2+x1=4.又x2x1=3，x1=12，x2=72.y2=y1=2(12)2812+7=72，即直线MN 的表达式为y=72. 顶点(2,1) 到直线MN 的距离为72+1=92.19（12分）某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60元/件.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如下表：销售价格x（元/件）8090100110日销售量y（件）240220200180（1） 若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数表达式（不用写自变量x 的取值范围）.（2） 若该公司想每天获
17、利8 000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3） 为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装就向贫困山区的希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大（利润用w 表示）？【答案】（1） 【解】y 与x 之间的函数表达式为y=2x+400.（2） 根据题意，得(x60)(2x+400)=8000，解得x1=100，x2=160. 公司想尽可能让利给顾客， 应定价为100元/件.（3） 根据题意，得w=(x6010)(2x+400)=2x2+540x28000=2(x135)2+8450.20)个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图像上，求m的值；（3） 当2xn
18、时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为94，求n的取值范围.【答案】（1） 【解】y=x2+bx+c 的图像的对称轴为直线x=12，12=b2.b=1.y=x2+x+c. 二次函数y=x2+x+c 的图像经过点A(2,5)，42+c=5.c=3. 二次函数的表达式为y=x2+x+3.（2） 设点B(1,7) 向上平移2个单位长度，向左平移m(m0) 个单位长度后的点B 的坐标为(1m,9). 点B(1m,9) 在二次函数y=x2+x+3 的图像上，9=(1m)2+(1m)+3，解得m=4 或m=1.又m0，m=4.（3） y=x2+x+3=(x+12)2+114. 当n1 时，二
19、次函数的最大值与最小值的差为(n+12)2+114114=94，解得n1=1（舍去），n2=2（舍去）.综上所述，n的取值范围为12n1.22（16分）如图，二次函数的图像与x轴分别交于点A(1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，P，Q为抛物线上的两点.（1） 求二次函数的表达式.（2） 当P，C两点关于二次函数图像的对称轴对称，OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标.（3） 设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，试探究：OPQ的面积S是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 【解】 二次函数的图像与x 轴分别交于点A(1,0)，
20、B(3,0)， 可设其表达式为y=a(x+1)(x3)=ax22ax3a.又 二次函数的图像与y 轴交于点C(0,3)，3a=3，解得a=1. 二次函数的表达式为y=x22x3.（2） y=x22x3=(x1)24. 二次函数图像的对称轴为直线x=1. 点C(0,3)，点P，C关于二次函数图像的对称轴对称， 点P 的坐标为(2,3).设点Q 的坐标为(n,n22n3).OPQ=90,OP2+PQ2=OQ2.(02)2+(0+3)2+(2n)2+(3n2+2n+3)2=(0n)2+(0n2+2n+3)2，整理，得3n28n+4=0，解得n1=23，n2=2（舍去）.Q(23,359).（3） 存
21、在.如图，当点P，Q关于二次函数图像的对称轴对称时，易得点P 的横坐标为m=112=12，yP=x22x3=154，S=12PQ|yP|=121154=158.由m12 时，设直线PQ 的表达式为y=kx+b(k0),由题意可知P(m,m22m3)，Q(m+1,(m+1)22(m+1)3),km+b=m22m3,k(m+1)+b=(m+1)22(m+1)3, 解得k=2m1,b=m2m3. PQ 的表达式为y=(2m1)xm2m3.令y=0，则(2m1)xm2m3=0，x=m2+m+32m1.设直线PQ 交x 轴于点H，则OH=|m2+m+32m1|.若点P，Q在x 轴下方，且点P 在点Q 下
22、方，如图，则S=SOPHSOQH=12OH(yQyP)=12m2+m+32m1(m+1)22(m+1)3(m22m3)=12(m2+m+3)=12(m+12)2+118118，即S 存在最小值118;若点P，Q在x 轴下方，且点P 在点Q 上方，如图,则S=SOQHSOPH=12OH(yPyQ)=12(m2+m+32m1)m22m3(m+1)22(m+1)3=12(m2+m+3)=12(m+12)2+118118，即S 存在最小值118;同理可得，点P，Q都在x 轴上方，或一个在x 轴上方，一个在x 轴下方，S=12(m2+m+3)=12(m+12)2+118118，即S 存在最小值118.综上，OPQ的面积S 存在最小值，最小值为118.16/16
