1、2024辽宁中考数学二轮专题训练题型六 与圆有关的证明及计算突破设问一切线的判定类型一交点不确定，作垂直，证半径典例精讲例1如图，在RtABC中，ACB90，BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径作D.求证：AB是D的切线例1题图满分技法当题目中未给出切点时，通常过圆心作垂线，利用角平分线的性质或者全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径针对训练1. 如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径画圆，与BC相切于点C，过点A作ADBO交BO 的延长线于点D，且AODBAD.求证：AB为O的切线第1题图类型二交点确定，连半径，证垂直典例精讲例2如图，ABC内接于O，
2、AB是O的直径，D是BA延长线上的点，连接CD，已知ACDABC.求证：CD是O的切线例2题图满分技法若图中有要证切线的垂线，可证明过交点的半径与这条垂线平行：1. “角平分线”两半径组成的等腰三角形，利用角平分线性质及等边对等角得到的等角证得平行；2. 连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行题干中给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证得垂直针对训练2. 如图，在ABC中，点O为BC边上一点，O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FEAC，垂足为点D，BEF2
3、F.求证：AC为O的切线第2题图3. 如图，点A为O上的一点，点P为O外一点，OP与O交于点B，且B是OP的中点，连接AB、AP，以AB、BO为邻边作菱形OBAC，点C恰好落在O上求证：AP是O的切线第3题图4. 如图，AB是O的直径，C是O上一点，连接AC，过点O作ODAC于点D，过点A作O的切线与OD的延长线交于点E，连接EC交AB的延长线于点P.求证：EC是O的切线第4题图突破设问二求线段长典例精讲例3如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的O交BC于点F，连接DO，且DOC90，若DF2，DC6，求BE的长例3题图满分技法运用切线的性质进行计算或证明时
4、，常作的辅助线有连接圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直关系构造直角三角形解决问题；观察题干，若题干中含30、45、60或“等腰直角三角形”、“等边三角形”等字眼，则优先考虑锐角三角函数或者勾股定理解决问题；若不含，则优先考虑相似三角形性质或勾股定理等解决问题针对训练5. 如图，OA，OC是O的半径，点B在OC的延长线上，BA与O相切于点A，连接AC，若AC4，tanBAC，求O的直径第5题图6.如图，在ABC中，C45，以AB为直径的O恰好经过边 BC的中点D，E是劣弧的中点，连接OE并延长，交AC于点F.O的半径为2，求EF的长. 第6题图7. 如图，已知O是以AB为斜边的RtA
5、BC的外接圆，过点A作O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.若AEED2，求O的半径第7题图突破设问三求角度典例精讲例4如图，在ABC中，以AB为直径的O交AC于点D，O的切线DE交BC于点E，若A35，求CDE的度数例4题图针对训练8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，CD为O的切线，点C是切点AB为O直径，求BCD的度数第8题图突破设问四证明角相等典例精讲例5如图，ABC是O的内接三角形，过点C作O的切线交BA的延长线于点F，AE是O的直径，连接EC.求证：ACFB.例5题图针对训练9. 如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AC中点，过点A作O的切线交直线OD于点
6、P，连接PC.求证：PCAABC.第9题图突破设问五求弧长典例精讲例6如图，在ABC中，ABAC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DFAB于点F.若OC1，A45，求劣弧的长例6题图针对训练10. 如图，AB为O的直径，AB4，CD为O的弦，CDAB于点E，AEOE，延长OA至点F，使AFOA，连接FC.求劣弧的长第10题图综合训练1. 如图，ABC的边AB是O的直径，边AC交O于点D，边BC与O相切于点B，点E为O上一点，连接BD、BE、DE.(1)求证：CBDE；(2)已知cosE，CD2，求O的半径第1题图2. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，
7、过点D作DOBC于点O，BAD的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OD长为半径的圆经过点C，交BC于另一点E.(1)试判断直线AB和O的位置关系，并说明理由；(2)若B60，AD2，求线段BE的长第2题图3. 如图，AB是O的弦，连接OA，OB，点C在O外，OCOA且交AB于点P，连接CB，CPCB.(1)求证：CB是O的切线；(2)若O的半径为3，OP1，求AB的长第3题图4.在RtABC中，C90，BD平分ABC交AC于点D，点O是AB边上一点，以OB为半径的圆恰好经过点D.(1)求证：AC是O的切线；(2)若AD300，tanDBC，求O的半径第4题图5. 如图，O的内接四边形ABED中
8、，BAD90，ABAE，AD，BE的延长线相交于点C，DF是O的切线(1)求证：FDFC；(2)若EF3，DE4，求AB的长第5题图6. 如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分CAE交O于点D，AECD，垂足为点E.(1)求证：CE是O的切线；(2)若BC1，CD，求阴影部分的面积第6题图7. 如图，RtABC内接于O，AC是O的直径，D是O上一点，B是的中点，E为CA延长线上一点，连接BD、BE、CD，且CBDE.(1)求证：BE是O的切线；(2)若BE6，CD2，ABE30，求的长第7题图8. 如图，AB是O的直径，点C在O上，连接AC、BC，过点O作OEBC于点E，延长OE
9、至点D，连接BD、AE、AD，AD交O于点F，连接CF，且AFCBDE.(1)求证：BD是O的切线；(2)若tanOEA，AOE的面积为5，求ACF的面积第8题图参考答案突破设问一切线的判定典例精讲例1证明：如解图，过点D作DEAB于点E，ACB90，ACBC.又AD平分BAC，DCDE，DE为D的半径，AB是D的切线例1题解图针对训练1. 证明：如解图，过点O作OEAB于点E，ADBO，D90，BADABD90，AODOAD90.AODBAD，ABDOAD.又BC为O的切线，ACBC，BOCOBC90.BOCAOD，OBCOADABD.OB为ABC的平分线，ACBC，OEAB，EOCO，EO
10、为O的半径，AB为O的切线第1题解图典例精讲例2证明：如解图，连接OC.AB是O的直径，ACB90，ABCCAB90.OAOC，CAOACO.又ACDABC，ACDACOOCDCAOCBA90，即OCCD.OC是O的半径，CD是O的切线例2题解图针对训练2. 证明：如解图，连接OA，AOE2F，BEF2F，AOEBEF，AODF，DFAC，OAAC，OA为O的半径，AC为O的切线第2题解图3. 证明：如解图，连接OA、BC，相交于点D.四边形OBAC是菱形，ODAD，OABC.B是OP的中点，BD是OPA的中位线，BDPA，OAPA.OA为O的半径，AP是O的切线第3题解图4. 证明：如解图，
11、连接OC，OAOC，ODAC，OD是AC的垂直平分线，EAEC.在EAO和ECO中，EAOECO(SSS)，EAOECO.又EA是O的切线，ECOEAO90.即OCEP，OC为O的半径，EC是O的切线第4题解图突破设问二求线段长典例精讲例3解：如解图，连接EF、ED，ABAC，ABC为等腰三角形，ADBC，BDCD6，BFBDDF4，COOE，DOC90，DEDC6，CE为O的直径，EFC90，EF4，BE4.例3题解图针对训练5. 解：如解图，延长AO交O于点D，连接CD，BA与O相切，DAAB，DACBAC90.AD为O的直径，ACD90，DACD90，DBAC.tanBAC，tanD，即
12、.AC4，CD12.在RtACD中，由勾股定理得，AD4.第5题解图6. 解：如解图，连接AD, AB是O的直径，ADB90，E是劣弧的中点， OEAD，OFBC，EFAC45. D为BC中点，ADBC，ABAC，BC45，BAC90，OAF是等腰直角三角形. O的半径为2，AFOAOE2，OF2， EFOFOE22.第6题解图7. 解：AD是O的切线，DAB90，即DACCAB90，AB是O的直径，ACB90，CABB90，DACB，OCOB，BOCBDAC，又DCEOCB，DACDCE，又DD，DCEDAC，即，DC2(负值已舍)设O的半径为x，则OAOCx，在RtOAD中，由勾股定理得O
13、D2OA2AD2，即(2x)2x242，解得x，O的半径为 .突破设问三求角度典例精讲例4解：如解图，连接OD，OAOD，A35，ODAA35.DE是O的切线，OD是O的半径，ODE90，CDE180ODAODE180359055.例4题解图针对训练8. 解：如解图，连接OC.CD切O于点C，CDOC，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABOC，OCOB，BOCB45，BCDOCDOCB9045135.第8题解图突破设问四证明角相等典例精讲例5证明：如解图，连接OC，AE是O的直径，ACE90，FC是O的切线，OCF90，OCAACFOCAOCE90，OCEACF，OE、OC是O的半径，O
14、CEE，又BE，ACFB.例5题解图针对训练9. 证明：AB是O的直径，ACB90，CABABC90.AP是O的切线，PAB90，PACCAB90，PACABC.D是AC中点，ODAC，OP是AC的垂直平分线，PAPC，PACPCA，PCAABC.突破设问五求弧长典例精讲例6解：如解图，连接OD，ABAC，BACB，OCOD，ODCACB，BODC，ODAB，A45，AOD18045135，劣弧的长为.例6题解图针对训练10. 解：如解图，连接OC，OD，CDOA，AEOE，AB4，OC2，AEOE1.在RtOCE中，OC2，OE1，OCE30，COE60，COD2COE120，劣弧的长为.第
15、10题解图综合训练1. (1)证明：AB是O的直径，ADB90，BADABD90，BC与O相切于点B，ABBC，ABC90，CBDABD90，CBDBAD，又BADE，CBDE；(2)解：cosE，E30，EBADCBD30，CD2，BOAC，BDCD2，AB2BD4，O的半径为2.2. 解：(1)直线AB与O相切，理由如下：如解图，过点O作OFAB，垂足为点F，ADBC，DOBC，DOAD，又BAD的平分线交BC于点O，OFAB，OFOD，OF为O的半径，直线AB与O相切；第2题解图(2)B60，ADBC，BAD120，OA平分DAB，FAODAOB60，AOBO，在RtADO中，AO2AD
16、4，ODAOsin6042，BEOBOEAOOD42.3. (1)证明：OAOB，OABOBA，CPCB，CPBCBP.OCOA，AOP90，OAPAPO90，APOCPBCBP，OBACBP90， 即OBC90，OBCB，又OB是O的半径，CB是O的切线；(2)解：设BCCPx，则OCx1，在RtOBC中，OC2BC2OB2，即(x1)2x232，解得x4，即BCCP4，在RtOPA中，AP.如解图，过点C作CHAB于点H，AOPCHP90，APOCPH，OAPHCP，即，HP，CBCP，CHPB，PB2PH，ABAPPB.第3题解图4. (1)证明：如解图，连接OD，BD平分ABC，ABD
17、CBD，OBOD，OBDODB，CBDODB，ODBC，ADOC90.即ACOD，OD是O的半径，AC是O的切线；(2)解：如解图，设OA与O交于点E，连接DE，在RtBCD中，tanDBC，设DC3x，则BC4x，BD5x.BE是O的直径，BDE90.BD平分ABC，ABDDBC，tanEBDtanDBC，DEBDtanEBDx，BEx，ODBEx，由(1)知ODAC90.又AA，AODABC，即，解得x28，O的半径为28.第4题解图5. (1)证明：如解图，连接BD，BAD90，BD是O的直径，DF是O的切线，BDF90，1290，ABAE，ABE3，23，2ABE，ABCC90，2C9
18、0，1C，DFCF；(2)解：由(1)知BD为O的直径，DEBDEF90，在RtDEF中，EF3，ED4，DFCF5，在RtDEC中，DC4，BEDDEFBDF90，BDEDBEBDEEDF90，DBEEDF，DEFBED，即，BE，BACCED90，CC，CDECBA， 解得AB.第5题解图6. (1)证明：如解图，连接OD，第6题解图AD平分CAE，CADEAD.OAOD，CADODA，EADODA，ODAE.AECD，ODCD.OD是O的半径，CE是O的切线；(2)解：由(1)知ODCD，设OBODx，在RtODC中，OD2CD2OC2，即x2()2(x1)2，解得x1.OBOD1，OC
19、2，cosCOD，COD60，S扇型DOB，DAB30，AD，SAOD，S阴影SAODS扇形DOB.7. (1)证明：如解图，连接OB，AC是O的直径，ABC90，CABACB90.OAOB，OBACAB.四边形ABDC内接于O，DBAE.CBDE，BCDABE.B是的中点，ACBBCD，ACBABE，OBAABECABACB90，OBE90，即OBBE.OB为O的半径，BE是O的切线；第7题解图(2)解：由(1)知，ABEACBDCB，ABE30，ACB30，AOB60.又OAOB，OAB为等边三角形，ABOB，设ABx(x0)，则BCx，ABEDCB，ECBD，ABEDCB，即，解得x2(
20、负值已舍去)，ABOB2，的长为.8. (1)证明：AFCBDE，AFCABC，BDEABC.ODBC，BED90，EBDBDE90，EBDABC90，即OBD90，OBBD.OB是O的半径，BD是O的切线；(2)解：AB是O的直径，ACB90，ODBC，OEB90，OEAC，OEAEAC，在RtACE中，tanEACtanOEA，设EC3x，则AC2x，由勾股定理得AEx，由(1)可得：BEODBO90，OBEODB，OBEODB，.OBOA，.AOEDOA，AOEDOA，OAEODA，ODAC，ODAFAC，OAEFAC，ABEAFC，ABEAFC，()2()2，O是AB的中点，AOE的面积为5，SABE2SAOE10，SACFSABE.
