1、2024甘肃中考数学二轮专题训练 几何综合探究动点问题 典例精讲例1(一题多设问) 如图，AMN的顶点M、N分别在四边形ABCD的边BC、CD所在的直线上，且满足MAN45.探究一：若四边形ABCD为正方形，点M、N分别在正方形的边BC、CD上(1)如图，当BMDN时，求证：AMN为等腰三角形；【思维教练】要证AMN为等腰三角形，可根据正方形的性质结合已知条件，证明三角形全等，进而得到线段相等 例1题图(2)如图，当点M、N分别在线段BC、CD上时，猜想并证明线段MN、BM、DN之间的数量关系；【思维教练】在MB的延长线上截取BEDN，连接AE，构造全等三角形，得到新的全等三角形，可得出MEM
2、N，进而得出线段MN、BM、DN之间的数量关系 例1题图(3)如图，连接BD交AM、AN于点P、Q，若BPDQ，求证：；【思维教练】要证明线段比值关系，可通过构造相似三角形求解 例1题图探究二：若四边形ABCD为正方形，点M、N分别在边CB、DC的延长线上(4)如图，猜想并证明线段MN、BM、DN之间的的数量关系；【思维教练】在DC上截取DFBM，连接AF，通过证明三角形全等，得出AMAF，进一步证明MANFAN，得到MN和NF的关系，进而得到MN、BM、DN之间的数量关系 例1题图(5)如图，若BC4，BM1，求CN的长；【思维教练】根据(4)中得到的线段之间的数量关系，设未知数，结合勾股定
3、理求解 例1题图(6)如图，作射线DB交AM的延长线于点P，交AN于点Q，若CNCD6，求AP的长；【思维教练】由勾股定理可求出AN，结合平行线的性质得到三角形相似，从而得出线段比值关系，可求出AQ，再结合(4)中所得关系式设未知数列方程，结合勾股定理和相似三角形求解即可 例1题图探究三：若四边形ABCD为矩形，点M、N分别在边BC、DC上(7)如图，在矩形ABCD中，已知AB3，AD4，若BM1，求DN的长【思维教练】延长AB构造正方形，找相似三角形，得到线段间的比值关系，设未知数，结合(2)中关系式及勾股定理列方程求解即可 例1题图针对训练1. 已知正方形ABCD，E，F为平面内两点【探究
4、建模】(1)如图，当点E在边AB上时，DEDF，且B，C，F三点共线求证： AE CF；【类比应用】(2)如图，当点E在正方形ABCD外部时，DEDF, AEEF，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；【拓展迁移】(3)如图，当点E在正方形ABCD外部时，AEEC, AEAF，DEBE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点若DF3，AE，求CE的长第1题图2. 【证明体验】(1)如图，AD为ABC的角平分线，ADC60，点E在AB上，AEAC.求证：DE平分ADB.【思考探究】(2)如图，在(1)的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G.若FBFC，DG
5、2，CD3，求BD的长【拓展延伸】(3)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，BCA2DCA，点E在AC上，EDCABC.若BC5，CD2，AD2AE，求AC的长第2题图3. 已知， 在ABC中，BAC90，ABAC.(1)如图，已知点D在BC边上，DAE90，ADAE，连接CE.试探究BD与CE的关系；(2)如图，已知点D在BC下方，DAE90，ADAE，连接CE.若BDAD，AB2，CE2，AD交BC于点F，求AF的长；(3)如图，已知点D在BC下方，连接AD、BD、CD.若CBD30，BAD15，AB26，AD24，求sinBCD的值第3题图 4. 在正方形ABCD中，点P为线
6、段DB上的动点，点E为线段DC上的动点，连接PE，作PFPE交直线AD于点F.(1)如图，当点P与线段BD的中点O重合时，DE、FD、DB三条线段之间的数量关系为_；(2)如图，点P在DB的延长线上，且，点E、F分别在线段DC的延长线和线段DA的延长线上，请写出DE、FD、DB三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)点P在线段BD上，若正方形的边长为6，CP2，DF2，当BPBO时，请直接写出DE的长第4题图5. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手
7、模型”兴趣小组进行了如下操作：(1)观察猜想如图，已知ABC，ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B、C重合，连接CE，试判断AB与CE的位置关系，并说明理由；(2)类比探究如图，已知ABC、ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若DEC60，试说明点B，D，E在同一直线上；(3)解决问题如图，已知点E在等边ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE、BE、CE.若BEC60，AE3，CE2，请直接写出BE的长第5题图6. 问题提出如图，在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCAC，ECDC.点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F.线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量
8、关系？问题探究(1)先将问题特殊化：如图，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；(2)再探究一般情形：如图，当点D，F不重合时，证明(1)中的结论仍然成立问题拓展如图，在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCkAC，ECkDC(k是常数)，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系第6题图参考答案典例精讲例1(1)证明：四边形ABCD是正方形，ADAB，DB.又BMDN，ABMADN，AMAN，AMN为等腰三角形；(2)解：猜想：MNBMDN，证明：如解图，在MB的延长线上截取BEDN，连接AE，四边形
9、ABCD是正方形，ABAD，BADABCD90，ABE90D，在ABE和ADN中，ABEADN(SAS)，AEAN，EABNAD，EANBAD90.MAN45，EAM45NAM，在AEM和ANM中，AEMANM(SAS)，MEMN.又MEBMBEBMDN，MNBMDN；例1题解图(3)证明：如解图，连接AC，在正方形ABCD中，BAC45，MAN45，BACMAN，BAPCAN.ABPACN45，ABPACN，.BPDQ，ABPADQ45，ABAD，ABPADQ，APAQ，；例1题解图(4)解：猜想：DNBMMN. 证明：如解图，在DC上截取DFBM，连接AF，由题意得ABM90D，在ABM和
10、ADF中，ABMADF(SAS)，AMAF，BAMDAF，BAMBAFDAFBAFBAD90，即MAFBAD90.MAN45，MANFAN45，在MAN和FAN中，MANFAN(SAS)，MNNF，MNDNDFDNBM，DNBMMN.例1题解图(5)解：设CNx，BC4，BM1，DC4，DNx4，CM5，由(4)得DNBMMN，MNDNBMx3，由CM2CN2MN2，得25x2(x3)2，解得x，即CN；(6)解：四边形ABCD是正方形，ABBCADCD6，ADBC，ABCD，ABCADCBCD90，ABMMCN90.CNCD6，DN12，AN6.ABCD，ABQNDQ，AQAN2，由(4)得
11、，DNBMMN.设BMx，则MN12x，CM6x，在RtCMN中，由勾股定理得，62(6x)2(12x)2，解得x2，BM2，AM2.BCAD，PBMPDA，PMAM，APAMPM3；(7)解：如解图，延长AB至点P，使BPBM1，过点P作BC的平行线交DC的延长线于点Q，延长AM交PQ于点E，连接EN，则四边形APQD是正方形，PQDQAPABBP4，设DNx，则NQ4x，PQBC，ABMAPE，PEBM，EQPQPE4，由(2)得，ENPEDNx，在RtQEN中，由勾股定理得()2(4x)2(x)2，解得x2，即DN的长是2.例1题解图针对训练1. (1)证明：DEDF，CDFCDE90.
12、四边形ABCD为正方形，ADCD，DCFADCDAE90，ADECDE90，ADECDF，ADECDF(ASA)，AECF；(2)解：AECEDE，证明：DEDF，DFCDEC90.AEEF，AEDDEC90，AEDDFC.DEDF，CDFCDE90.ADECDE90，ADECDF.ADCD，ADECDF(AAS)，AECF，DEDF，EFCFCEAECE.又DEDF，DEF45，DEEFcosDEF(AECE)，即AECEDE；【或在RtDEF中由勾股定理得(AECE)22DE2也得分】(3)解：如解图，过点D作DHDE交EC的延长线于点H.四边形ABCD为正方形，ADAB，DAB90，DA
13、FFAG90.AEAF，BAEFAG90，DAFBAE.DAB90，ADFDGA90.DEBE，ABEBGE90.DGABGE，ADFABE.ADFABE(ASA)，AFAE.AFAE，AEF45，EF2，DEDFEF325.由(2)得，AECEDE，CEDEAE54.第1题解图2. (1)证明：AD平分BAC，EADCAD.AEAC, ADAD，EADCAD(SAS)，ADEADC60，EDB180 ADEADC60，BDEADE，即DE平分ADB；(2)解：FBFC，EBDGCD.BDEGDC60，EBDGCD，.EADCAD，DEDC3.DG2，BD；(3)解：如解图，在AB上取一点F，
14、使得AFAD，连接CF.AC平分BAD，FACDAC.ACAC，AFCADC(SAS)，CFCD，ACFACD, AFCADC.ACFBCFACB2ACD，DCEBCF.EDCFBC，DCEBCF，CEDBFC.BC5，CFCD2，CE4.AED180CED180BFCAFCADC.又EADDAC, EADDAC，AC4AE，ACCE.第2题解图3. 解：(1)BDCE，BDCE，理由如下：BAC90，DAE90，BADDACCAEDAC90，BADCAE.ABAC，ADAE，ABDACE(SAS)，BDCE，ACEABCACB45，BCE90，BDCE；(2)如解图，过点A作AHBC于点H，
15、BAC90，ABAC，BAC是等腰直角三角形AB2，AHBH2.DAE90，BADDACCAEDAC90，BADCAE.ADAE，ABDACE(SAS)，BDCE2.BDAD，AD6.ADBAHF90，DFBHFA，BDFAHF，设DFx，则AF6x，BF(6x)，HFx，BHBFHF(6x)x2，解得x1，AF5；第3题解图(3)如解图，将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，过点A作APBC于点P，过点D作DTBC于点T，分别过点G作GMBC，交BC的延长线于点M，作GNAP，交AP于点N，BAC90，ABAC，AB26，BAC是等腰直角三角形，ABCACB45，BC2，APCP.CBD3
16、0，ABD75，由旋转的性质可得ABDACG，ABDACG75，BDCG，ADAG，BCGACBACG120，GCM60.GMBC，GNAP，APBC，四边形GMPN是矩形，NPGM，NGPM，设CMx，NPGMx，NGPMPCCMx，ANAPNPx，在RtANG中，AN2NG2AG2AD2，AD24，(x)2(x)24，化简得，4x2(62)x20，解得x1，x2，BAD15，当x时，易知与BAD15相矛盾，x，BDCG1，DTBD，BTDT，TCBCBT，在RtDTC中，DC，sinBCD.第3题解图4. 解：(1)DEFDDB；【解法提示】在正方形ABCD中，AC和BD分别为正方形的两条
17、对角线，则OAFODE45，OAOD，AOD90，3190，PFPE，3290，12，ODEOAF(ASA)，DEAF，又在等腰RtAPD中，ADDP，即AFFDDP，又DPBD，DEFDDPDB.(2)DEFDDB.理由如下：如解图，过点P作PGPD交DA的延长线于点G，在正方形ABCD中，BD为对角线，则 PDFPDE45， GPD90，GPD为等腰直角三角形，PDPG，PGDPDFPDE45.PFPE，3290 .3190 ，12 ，PDEPGF(ASA)，DEGF，在等腰RtGPD中，GDDP，即GFFDDP，又，DPDB，DEFDDPDB；第4题解图(3)DE的长为2或6.【解法提示
18、】如解图，当点F在边AD上，BPBO时，连接AC交BD于点O，过点P作PGPD交DA于点G，正方形边长为6，ODOCCDsinBDC63，在RtOCP中，OP.GDP为等腰直角三角形，PGPDODOP2， DGDP4，GFDGDF422，由(2)可得PEDPFG(ASA)，DEGF2；第4题解图如解图，当点F在AD延长线上，BPBO时，连接AC交BD于点O，过点P作PGPD交AD于点G，正方形边长为6，ODOCCDsinBDC63，在RtOCP中，OP.GDP为等腰直角三角形，PGPDODOP2，DGDP4，GFDGDF426，由(2)可得PEDPFG(ASA)，DEGF6.综上所述，DE的长
19、为2或6.第4题解图5. 解：(1)ABCE.理由如下：ABC，ADE都是等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAEB60，BADCAE，BADCAE(SAS)，ACEB60，BACACE60，ABCE；(2)由(1)可知，ABDACE，ADBAEC.ADE是等边三角形，AEDADE60.BEC60，AECAEDBEC120，ADBAEC120，ADBADE12060180，点B，D，E在同一直线上；(3)BE的长为5.【解法提示】如解图，在线段BE上取一点H，使得BHCE，连接AH，设AC交BE于点O.ABC是等边三角形，ABBC，BAC60.BEC60，BAOOEC60.AOBEOC，A
20、BHACE.BACA，BHCE2，ABHACE(SAS)，BAHCAE，AHAE，HAEBAC60，AEH是等边三角形，EHAE3，BEBHEHCEAE235.第5题解图6. (1)BFAFCF；【解法提示】ACDACE90，ACEBCE90，BCEACD.BCAC，ECDC，ACDBCE(SAS)，BEAD，EBCCAD，点D、F重合，BEADAF.CDE为等腰直角三角形，DEEFCF，BFBDBEEDAFCF，BFAFCF.(2)证明：由(1)知，ACDBCE(SAS)，CAFCBE，BEAD，如解图，过点C作CGCF交BF于点G，ACFACG90，ACGGCB90，ACFBCG.CAFCBE，BCAC，BCGACF(ASA)，GCFC，BGAF，GCF为等腰直角三角形，GFCF，BFBGGFAFCF，BFAFCF；第6题解图(3)BFkAFFC.【解法提示】由(2)知，BCEACD，BCkAC，ECkDC，k，BCEACD，CADCBE，如解图，过点C作CGCF交BF于点G，由(2)知，BCGACF，BGCAFC，k，BGkAF，GCkFC，在RtCGF中，GFFC，BFBGGFkAFFC，BFkAFFC.第6题解图
