1、2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型二 阅读理解题 类型一与数学方法有关的问题1.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边ABC中，M是BC边上一点(不含端点B，C)，N是ABC的外角ACH的平分线上一点，且AMMN.求证：AMN60.点拨：如图，作CBE60，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连接EM.易证：ABMEBM(SAS)，可得AMEM，12；又AMMN，则EMMN，可得34；由314560，进一步可得125，又因为26120，所以56120，即：AMN60.第1题图问题：如图，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点(不含端点B1，C1)，N1是正
2、方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上点，且A1M1M1N1.求证：A1M1N190.第1题图2. 阅读与思考只用一把尺子怎么作一个角的平分线？小明在网上找到以下几种方法：方法一：如图，将矩形ABCD的顶点A、B、C分别落在MON的边OM、ON上，且使OAOC，连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE即为MON的平分线方法二：如图，在MON两边OM、ON上分别取点A、C、B、D，且使OAOB，OCOD，再连接AD、BC交于点E，作射线OE，则射线OE即为MON的平分线第2题图任务：(1)方法一中运用了两个我们所学过的几何定理，分别是_；_；(2)根据方法二的作法，证明OE为MO
3、N的平分线；(3)只用一把直尺，你还有什么方法画出MON的平分线3. 阅读材料，并完成相应的任务：数学课上，老师给出了如下一则材料：对于两个不相等的非零实数a、b，若0，则x1a，x2b.又x(ab)，关于x的方程xab有两个解，分别为x1a，x2b.老师要求同学们仿照材料中的解题方法，解方程：x6.小明在阅读了材料后，思考：“824，624”，任务：(1)请按照小明同学的解题思路，写出剩余的解题过程；(2)若关于x的方程x的两个解分别为x1、x2(x1x2)，且x1与x2互为倒数，则x1_，x2_4. 【阅读理解】如图，l1l2，ABC的面积与DBC的面积相等吗？为什么？解：相等，在ABC和
4、DBC中，分别作AEl2，DFl2，垂足分别为E，F.AEFDFC90，AEDF.l1l2，四边形AEFD是平行四边形，AEDF.又SABCBCAE，SDBCBCDF，SABCSDBC.【类比探究】如图，在正方形ABCD的右侧作等腰CDE，CEDE, AD4，连接AE，求ADE的面积解：过点E作EFCD于点F，连接AF.请将余下的求解步骤补充完整图图第4题图【拓展应用】如图，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD4，连接BD，BF，DF，直接写出BDF的面积第4题图5. 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分
5、的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_，其内切圆的半径长为_；(2)如图，P是边长为a的正ABC内任意一点，点O为ABC的中心，设点P到ABC各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知a(h1h2h3)SABC3SOAB，可得h1h2h3_；(结果用含a的式子表示)第5题图如图，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别
6、为h1，h2，h3，h4，h5，参照的探索过程，试用含a的式子表示h1h2h3h4h5的值(参考数据：tan36，tan54)6. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA2，PB，PC1，求BPC的大小和等边三角形ABC的边长第6题图李明同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60，画出旋转后的图形(如图)，连接PP，可得PPB是等边三角形，而PPA又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以APB150，而BPCAPB150，进而求出等边ABC的边长为，问题得到解决任务：请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA
7、，BP，PC1.(1)求BPC的大小；(2)求正方形ABCD的边长第6题图类型二与新定义有关的问题1. 阅读下面材料，并完成相应的任务：如果四边形一条对角线所在直线上的点到这条对角线的两端点的距离不相等，但到四边形另外两个顶点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点如图，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PAPC，PDPB，则称点P为四边形ABCD的准等距点第1题图如图，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAPC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且CDFCBE，CECF.求证：点P是四边形ABCD的准等距点证明：如图，连接BD，在DCF和BCE中，DCFBCE(A
8、AS)，任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图，点P是四边形ABCD的准等距点，DPAC，BCPB，连接BD交AC于点E，若BD6，BPD120，求BC的长第1题图2. 【问题情境】数学课堂上，李老师提出这样一个问题：如图，在ABC中，E是AC的中点，P是BE的中点，则称AP是ABC的“双中线”若BAC90，AB3，BC5，求AP的长小明的求解思路如下：解： 在RtABC中，BAC90，AB3，BC5，AC4，E是AC的中点，AE2，在RtABE中，BAE90，AB3，AE2，BE，P是RtABE的斜边BE的中点，AP.【理解运用】(1)如图，在正方形ABCD中，E
9、是边CD的中点，P是BE的中点，则称AP是正方形ABCD的“双中线”若AB4，求AP的长；【拓展迁移】(2)如图，AP是矩形ABCD的“双中线”若AB4，BC6，求AP的长第2题图 类型三与数学文化有关的问题1. 阅读以下材料，完成相应的任务：第1题图燕尾定理由英国数学家亚马力斯凯诺于1785年发现，如图，在ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么SABOSACOBDDC.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的方法，因为ABO和ACO的形状很像燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角
10、形面积与对应底边之间提供互相联系的途径下面是燕尾定理的证明过程：证明：ABD与ACD同高，SABDSACDBDDC.任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)如图，ABC的面积是10 cm2，AFFC，BD2DC，求SAEFSBDE.第1题图2. 请阅读以下材料并完成相应的任务17世纪德国著名天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金分割比(简称：黄金比)是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比(如图)，即，其比值为.图图图第2题图已知顶角为36的等腰
11、三角形是黄金三角形的一种；当底角被平分时，形成两个较小的等腰三角形，这两个三角形之一相似于原三角形，而另一个三角形可用于产生螺旋形曲线(如图)任务：(1)如图，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，M是ABO的平分线与半径OA的交点若OA2，求正十边形边长AB的长；(2)在(1)的条件下，利用图进一步探究，请你写出sin18 与黄金比之间的关系，并说明理由3. (1)阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作周髀算经中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；(2)问题解决勾股
12、定理的证明方法有很多，如图是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FGHP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形若AC12，BC5，求EF的值；(3)拓展探究如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d.已知123，当角 (090)变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示)第3题图4. 阅读下列材料，并完成相应的任务：我国南宋著名数学家秦九韶在
13、他的著作数书九章中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积 .若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S，这是中国古代数学的瑰宝之一而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p(周长的一半)，则S .任务：(1)尝试验证：这两个公式在表面上形式很不一致，请你用5、7、8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；(2)问题探究：经过验证：你发现公式和等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程(以从或者)；(3)问题引申：三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式如图
14、，ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p，S为三角形面积，请你证明：Spr.第4题图参考答案类型一与数学方法有关的问题1. 证明：如解图，延长N1C1交A1B1的延长线于点E1，连接E1M1.C1N1平分D1C1H1，E1B1C190，N1C1H1B1C1E1B1E1C145，B1E1B1C1A1B1.在A1B1M1和E1B1M1中，A1B1M1E1B1M1，(5分)12，A1M1E1M1.又A1M1M1N1，E1M1N1M1，34.在正方形A1B1C1D1中，A1B1B1C1，又A1B1B1E1，1345，又45N1C1H145，152.2690，5690，A1M1N190
15、.(10分)第1题解图2. (1)解：矩形的对角线互相平分；等腰三角形“三线合一”(或等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合)；(2)证明：由题意可知OAOB，ODOC，COBDOA，OADOBC，ODAOCB，OAOB，OCOD，ACBD.AECBED，AECBED.CEDE.又OCBODA，OCEODE.COEDOE.即射线OE为MON的平分线；(3)解：如解图，在边OM、ON上分别取点A、B，且使OAOB，连接AB，量取AB的中点E，作射线OE，则OE为MON的平分线第2题解图3. 解：(1)剩余的解题过程如下：x6，x60，又x6x(24)，0，x12，x24；(2)，
16、2.【解法提示】2，2，方程x的一个解为x2.又x1与x2互为倒数，且x1x2，x1，x22.4. 解：【类比探究】余下的求解步骤如下：CDE是等腰三角形，EFCD，AD4，DFCD2，ADEF，SADESADFADDF424；【拓展应用】BDF的面积为8.【解法提示】如解图，连接CF.BCCDAD4，CGFG，BCDCGF90，BDCFCD45，BDCF，SBDFSBCDBCCD448.第4题解图5. 解：(1)，1；(2)a；结论：h1h2h3h4h5a.类比中方法可知a(h1h2h3h4h5)S五边形ABCDE，如解图，设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，S五边形ABCDE
17、5SOAB.过点O作OQAB于点Q，在正五边形ABCDE中，EAB180(52)108，OAQ54，OQAQtan54atan54，故a(h1h2h3h4h5)5aatan54，h1h2h3h4h5atan54a.第5题解图6. 解：(1)如解图，将BPC绕点B逆时针旋转90，得BPA，则BPCBPA，连接PP.APPC1，BPBP，BPABPC.在RtBPP中，BPBP，PBP90，PP2，BPP45.在APP中，AP1，PP2，AP，1222()2，即AP2PP2AP2，APP是直角三角形，APP90，BPA9045135，BPCBPA135；第6题解图(2)如解图，过点B作BEAP，交A
18、P的延长线于点E，BPA135，EPB45，PEB是等腰直角三角形，BP，EPBE1，AE2.在RtABE中，由勾股定理，得AB.正方形ABCD的边长为.类型二与新定义有关的问题1. 解：(1)该证明的剩余部分如下：CDCB，CDBCBD.PDBCDBCDF，PBDCBDCBE，由题意得CDFCBE，PDBPBD，PDPB.又PAPC，点P是四边形ABCD的准等距点；(2)如解图，过点P作PFBD于点F，点P是四边形ABCD的准等距点，DPBP，BPD是等腰三角形，BFDFBD3，PFD90.BPD120，PDFPBF30，PBPD2.DPAC，DPE90，CPBBPDDPE1209030.B
19、CPB，PBC90，BCPBtanCPBPB2.第1题解图2. 解：(1)如解图，连接DP并延长，交AB的延长线于点F，第2题解图四边形ABCD是正方形，ABCD4，ABCD，FAD90，FPDE，在PBF和PED中，PBFPED(AAS)，BFDECD2，DPFP，AFABBF6，在RtADF中，FAD90，AF6，AD4，DF2，P是RtADF的斜边DF的中点，AP；(2)如解图，连接DP并延长，交AB的延长线于点H.四边形ABCD是矩形，ABCD4，ADBC6，ABCD，HAD90，HPDE，在PBH和PED中， ，PBHPED(AAS)，BHDECD2，DPHP，AHABBH6，在Rt
20、ADH中，HAD90，AH6，AD6，DH6，P是RtADH的斜边DH的中点，AP3.第2题解图类型三与数学文化有关的问题1. 解：(1)补充证明过程如下：(SABDSOBD)(SACDSOCD)BDDC，SABOSACOBDDC；(2)如解图，连接CE，由燕尾定理得：2，1.设SDCEa，则SBDE2a，SBCE3a.SABE3a，SACEa，SABCSABESACESBCEa.又SABC10 cm2，即a10，a cm2.又SAEFSCEFSACEa，SAEFSBDEa2aa cm2.第1题解图2. 解：(1)正十边形的中心角为36，AOB36，OAOB，ABOBAO72，BM平分ABO，
21、ABMOBM36，BMA72，BMABAM，OMBMAB，ABMAOB，即，AB2AO2AOAB，()21，解得(负值已舍去)，OA2，AB1；(2)sin18是黄金比的一半理由如下：如解图，延长AO交O于点P，连接PB，AOB36，OPB18，AP是O的直径，AP2OA4，ABP90，在RtABP中，sinP，即sin18.sin18是黄金比的一半第2题解图3. 解：(1)勾股定理：a2b2c2.推理过程：S正c24ab(ba)2，c22aba2b22ab，a2b2c2；(2)由ACB90， AC12，CB5，得AB13，AB2OH2OF，OHOF.如解图，连接FH，HOF90，则FH，设E
22、HDFx，则EF12x，在RtEHF中，由勾股定理得x2(12x)2()2，解得x1，x2，EF或；第3题解图(3)cbn，理由如下：如解图，设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，123，PMQDOEBCA90，PMQDOEBCA，即，e2cn，f 2bn，在RtABC中，由勾股定理得：e2f 2n2，cnbnn2，cbn.第3题解图4. (1)解：令a5，b7，c8，由“三斜求积术”可得S10；p10，则S10；(2)解：公式和是等价的，推导过程如下： p，pc，pb，pa，；(3)证明：如解图，过点O分别作三边的垂线OD、OE、OF，垂足分别为点D、E、F，连接BO、AO、CO.第4题解图O是ABC的内切圆，ODOEOFr.SAOBABODcr，SAOCACOFbr，SBOCBCOEar，SSAOBSAOCSBOCcrbrar()rpr.
