1、2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型一 解直角三角形的应用 类型一 课题学习型1. 如图是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年(1535年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得CAD和CBD的度数(A，D，B在同一条直线上)数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58 m，CAD42，CBD58.问题解决：求宝塔CD的高度(结果保留一位小数)参考数据：sin 420.67，cos
2、 420.74，tan 420.90，sin 580，85，cos 580.53，tan 581.60.根据上述方案及数据，请你完成求解过程第1题图2. 甘肃科技馆(如图所示)是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设甘肃科技馆的建成，标志着甘肃省科普阵地建设迈上了新台阶某数学课题研究小组对测量甘肃科技馆的高度这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图是测量甘肃科技馆高度AB的示意图，求甘肃科技馆的高度AB.方案设计：如图，该数学课题研究小组通过调查研究设计了甘肃科技馆楼顶B到地面的高度为AB，在测点 C 用仪器测得点 B的
3、仰角为，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B 的仰角为，且点 A、B、C、D、E、F 均在同一竖直平面内数据收集：45，54，CE10 m，测角仪CD(EF)高1 m.问题解决：根据上述方案及数据，求甘肃科技馆的高度(计算结果保留整数，参考数据：1.41，sin 540.81，cos 540.59，tan 541.38)第2题图3. 闹市古寺幽，白塔耸云天如图，在兰州庆阳路繁华闹市的白衣寺内有一座白衣寺塔，建于明朝崇祯四年(公元1631年)，距今已有近四百年历史，白衣寺塔为实心砖塔，塔基呈错牙式方形，四面镌第3题图刻花卉图案，塔身下部呈覆钵状，属于不可移动国家一级文物某数学兴趣小组的同学
4、开展了测量白衣寺塔垂直高度的课余活动，为了减小误差，小组在测量角度和距离时，分别测量了两次并取平均值来作为测量结果，具体方案及数据如下表：课题测量白衣寺塔垂直高度测量方案第3题图如图，AB代表白衣寺塔的垂直高度，在地面M处用测角仪测得附近的居民楼楼顶C的仰角，在地面M处测得塔顶A的仰角，最后测得B、D两点的距离，已知居民楼楼高CD20 m说明：点A、B、C、D、M在同一竖直平面内测量数据测量项目第一次第二次平均值仰角的度数38.939.139仰角的度数60.359.760B、D间的直线距离41.8 m42.2 m_m参考数据tan390.81, sin390.63，cos390.78，1.73
5、请补全上表并计算白衣寺塔的高度(结果保留整数)4.某体育馆有一看台CD，看台对面有一个旗杆AB，某校数学活动小组为测量旗杆的高度，制定了如下测量方案：活动课题测量旗杆的高度活动地点某体育馆活动时间2021年1月2日方案示意图第4题图测量步骤(1)在看台最高点C处用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为；(2)在距离地面1 m高的看台点D处用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为；(3)测得看台的坡角为；(4)用皮尺测得看台CD的长.注：点A、B、C、D在同一平面内测量数据30，60，15，CD8 m若测角仪的高度忽略不计，请根据具体测量数据，求出旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：1.41，1.73，
6、2.45)5. 1936年10月，中国工农红军第一、二、四方面军三大主力在甘肃会宁胜利会师，这是长征胜利的重要标志，是中国革命走向胜利的里程碑中宣部于1997年将会宁红军会师旧址列为全国百个爱国主义教育示范基地之一某学习小组把测量会师纪念塔的高度(如图)作为一次课题活动，同学们制定了两种测量方案，测得结果如下表：第5题图课题测量会师纪念塔的高度方案方案一方案二测量示意图方案说明(CD是临时搭建的高台，A为会师纪念塔最高点)在观测点C处测得塔顶A的仰角为，在观测点D处测得塔顶A的仰角为在观测点C处分别测得塔顶A的仰角为，塔底B的俯角为测量数据(点A、B、C、D在同一竖直平面内)35，47，CD1
7、0 m35，20，CD10 m参考数据sin350.57，cos350.82，tan350.70；sin470.73，cos470.68，tan471.07；sin200.34，cos200.94，tan200.36请判断上述两种方案中哪种方案误差较小，并用该方案及其数据求出会师纪念塔的高度(结果保留一位小数)6. 某建筑队计划在公园建一座顶部是圆锥形顶盖的凉亭，一个数学课题研究小组承担该项目的设计工作，过程如下：问题提出：如图是建筑队计划修建凉亭的效果图，要求凉亭立柱垂直于地面，亭内中央放置一圆形石桌，太阳光能够照到石桌的中央方案设计：该数学课题研究小组根据该凉亭的效果图绘制了如图所示的截面
8、示意图数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：凉亭顶盖母线AB与AC的夹角为124，凉亭顶盖边缘B，C两点到地面的距离均为2.4米，当太阳光线与地面的夹角为42时，太阳光恰好能照到石桌的中央E处(A，E，D三点在一条直线上)，石桌的高度DE为0.6米，且DE与地面(即MN)垂直问题解决：根据上述方案及数据，求该凉亭的顶盖母线AB的长度(结果精确到0.1米，参考数据：sin620.88，cos620.47，tan621.88，sin420.67，cos420.74，tan420.90)第6题图类型二 实物模型1. 如图是某种型号的遥控式钛镁合金阁楼伸缩梯，图是其侧面示意图已知开启遥控按钮，伸缩梯便
9、自动落下，当其底端落到地面C处时，测得其与地面的夹角ACB63，考虑到上下楼梯时安全与舒适等方面因素，须将伸缩梯与地面的夹角调整至ADB42，现测得CD1.8 m，求阁楼入口A到地面的高度AB.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin630.89，cos630.45，tan631.96，sin420.67，cos420.74，tan420.90)第1题图2. 某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB100 cm, BC80 cm，ABC120，BCD75，四边形DEFG
10、为矩形，且DE5 cm.请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 750.97，cos 750.26，tan 753.73，1.41)第2题图3. 对某老旧小区改造，在其外墙铺设保温层时，为了工人的安全，要用双立设备将工人从地面输送到所到达的位置，如图是该双立设备将工人输送至五楼工作时的情形，如图是该双立设备的示意图，PQ表示地面，AMPQ，EF是支撑轴，CD垂直于地面，点C，E，F，D都固定不动，旋转臂EB绕点E旋转，且BE是伸缩臂，可根据作业的高低进行伸缩已知AB1.2米，根据实际工作时的情境测得点E到地面的距离是2米，BE28米，BE与水平
11、面的夹角是30，EBA105，求点A到地面PQ的距离(结果精确到1米，1.41)第3题图4. 如图是某公园的一个上肢牵引器，图是其静止状态下的简化示意图(CE、DF分别在同一水平线上)，立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆ACAE，手拉链CDEF，且始终与地面垂直经查询，挑杆ACAE0.33 m，CAE130.当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图所示的状态，此时CAB52，求点E上升的高度(结果精确到0.01 m，参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14，sin780.98，cos780.21，tan784.70)第4题图5. 手机支架是一种适用于手机的
12、平板支架，如图所示是某款手机支架，由托板、支撑杆和底座构成，手机放置在托板上小丽为了了解该支架的相关特性，绘制了示意图(如图)并测量了相关数据：支撑杆BC长为13 cm，托板CD长为9 cm，托板CD可绕点C转动，支撑杆BC可绕点B转动，为了观看舒适，小丽调整托板和支撑杆，使得B70，BCD50，求此时点D到支架底座AB的距离(结果精确到0.1 cm，参考数据： sin700.940, cos700.342, tan702.747, 1.732)第5题图6. 如图是一款渔具包支架，其侧面可抽象成图的示意图，已知CD25 cm，当渔具包支架完全撑开后两脚架的夹角BCD40，CD与水平面夹角为65
13、，已知B、D在同一水平面内，求两脚架底端B，D之间的距离(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14，sin150.26，cos150.97，tan150.27)第6题图7. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50 cm，连杆BC长度为70 cm，手臂CD长度为60 cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内(1)转动连杆BC，手臂CD，使ABC143，CDl，如图，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长；(精确到1 cm，参考数据：sin530.8，cos530.6)(2)物品在操作台l上
14、，距离底座A端110 cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由第7题图8. 图是新冠肺炎疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直量得胳膊MN28 cm，MB42 cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3 cm(即MP的长度)，枪身BA8.5 cm.(1)求ABC的度数；(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为35 cm.在图中，若测得BMN68.6，小红与测温员之间距离为50 cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由(结果保留小数点后一位
15、)(参考数据：sin66.40.92，cos66.40.40，sin23.60.40，1.414) 第8题图参考答案类型一 课题学习型1. 解：CDAB, 设CDx m, 在RtACD中，AD，在RtCBD中，BD，ADBDAB，58，解得x33.4.答：宝塔的高度约为33.4 m.2. 解：如解图，延长DF与AB相交于点G，则DGAB，设BGx m，在RtBDG中，45，DGBGx m.在RtBGF中，FGDGDF(x10)m，54，tan1.38，解得x36.3，ABBGAG36.3137.3 m37 m.答：甘肃科技馆的高度约为37 m.第2题解图3. 解：BD42，表格中所填数据为42
16、.在RtMDC中，tan，CD20 m，39，DM24.7 m，BMBDDM4224.717.3 m.在RtABM中，tan，60，ABBMtan6017.330 m.答：白衣寺塔的高度约为30 m.4. 解：如解图，过点D作DEAB于点E，DFCA于点F，则BE1 m，CDA1801560105，DCA153045，DAC1801054530.CD8 m，在RtCFD中，CFDFCD4 m，在RtAFD中，AD2DF8 m，DEA90，ADE60，在RtADE中，AEADsin60849.8 m，ABAEEB9.8110.8 m.答：旗杆AB的高度约为10.8 m.第4题解图5. 解：方案一
17、误差较小，会师纪念塔上下不等宽，测量时无法到达塔底中心位置，方案二中测量塔底 B的俯角时会存在较大误差如解图，过点A作水平地面的垂线，垂足为B，则AB为会师纪念塔的垂直高度，过点C作CEAB于点E，设ABx m，则AE(x10) m.在RtACE中，35，CEA90，CE，在RtADB中，47，DBA90，BD，由题意得四边形CDBE是矩形，CEBD，即，解得x28.9.答：会师纪念塔的高度约为28.9 m.第5题解图6. 解：如解图，连接AE，BC交于点O，则AEBC，BCMN.由题意可知OE2.40.61.8米，OBE42，OABBAC62.在RtOBE中，tanOBE，OB2米在RtOA
18、B中，sinOAB，AB2.3米答：该凉亭的顶盖母线AB的长度约为2.3米第6题解图类型二 实物模型1. 解：设ABx m，在RtACB中，ACB63，tan63，BC，在RtADB中，ADB42，tan42，BD，CDBDBC1.8 m，1.8，解得x3.0.答：阁楼入口A到地面的高度AB约为3.0 m.2. 解：过点A作AHEF交EF的延长线于点H，交DG的延长线于点M.过点B作BNDG交GD的延长线于点N，作BPAH于点P.则四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形PMBN，MHDE5 cm.BPDG.CBPBCD75，ABPABCCBP1207545.在RtABP中，APB90，sin
19、45，APABsin 4510050.在RtBCN中，BNC90，sin 75，BNBCsin 75800.9777.6，PMBN77.6，AHAPPMMH5077.65501.4177.65153.1 cm.答：指示牌最高点A到地面EF的距离约为153.1 cm.第2题解图3. 解：如解图，过点B作BGPQ于点G，延长MA交BG于点H，过点E作ENBG于点N.ENPQ.点E到地面的距离是2米，NG2.在RtEBN中，BNE90，BEN30，BE28，BNBE14，NBE90BEN60.AMPQ，MHBG.EBA105，ABHEBANBE45.在RtABH中，AB1.2，BHABcos45.H
20、GBNNGBH14215米答：点A到地面PQ的距离约是15米第3题解图4. 解：如解图，设CE与AB交于点G，由题意得四边形CDFE是矩形，CEDFMN，ABMN，AGCE，ACAE，EAGEAC65，在RtAGE中，AGAEcosEAG0.330.420.14 m，如解图，过点E作EIAB，垂足为点I，CAB52，BAECAECAB1305278，在RtAIE中，AIAEcosBAE0.330.210.07 m, 点E上升的高度为AGAI0.140.070.07 m.答：点E上升的高度约为0.07 m.图图第4题解图5. 解：如解图，过点C作CEAB于点E，过点D作DFCE于点F.B70，B
21、CF90B20，又BCD50，DCFBCDBCF30，在RtCDF中，CD9 cm，cosDCF，CFCDcos3097.79(cm)在RtBCE中，BC13 cm，B70，sinB，CEBCsin70130.94012.22(cm)EFCECF12.227.794.4(cm)答：此时点D到支架底座AB的距离约为4.4 cm.第5题解图6. 解：如解图，连接BD，过点C作CGBD于点G，CDG65，CD25 cm，DGCDcos65250.4210.5 cm，CGCDsin65250.9122.75 cm.在RtCDG中，CGD90，CDG65，GCD25.BCD40，BCG15，在RtBCG
22、中，CG22.75 cm，BGCGtan1522.750.276.14 cm，BDBGDG6.1410.516.6416.6 cm.答：两脚架底端B，D之间的距离约为16.6 cm.第6题解图7. 解：(1)如解图， 过点C作CPAE于点P，过点B作BQCP于点Q，第7题解图ABC143，CBQ53，在RtBCQ中，CQBCsin53700.856 cm，CDl，DECPCQPQ5650106 cm.答：手臂端点D离操作台l的高度DE的长为106 cm；(2)手臂端点D能碰到点M.理由如下：如解图，当点B，C，D共线时，第7题解图BDBCCD6070130 cm，AB50 cm，在RtABD中
23、，AD2BD2AB2，AD120 cm110 cm，手臂端点D能碰到点M.8. 解：(1)如解图，过点B 作BKMP 于点K，由题意可知四边形ABKP 为矩形，KPAB，ABK90.MKMPAB25.38.516.8 cm.在RtBMK 中，cosBMK0.4，BMK66.4.MBK9066.423.6.ABC23.690113.6.答：ABC 的度数约为113.6；(2)枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内理由如下：如解图，延长PM 交FG 于点H，由题意得NHM90，第8题解图BMN68.6，BMK66.4，NMH18068.666.445.在RtMNH 中，cos45 ，HM2819.796 cm.枪身端点A 与小红额头的距离为5019.79625.34.904 cm4.9 cm.34.95，枪身端点A 与小红额头距离在规定范围内
