1、二项式定理与杨辉三角（2）高二年级 数学复习上节课的主要内容：1.二项式定理：011().nnnkn kknnnnnnabC aC abC abC b二项展开式有n+1项，按a的降幂排列，利用定理可以直接写二项展开式2.二项式定理的通项公式为：1kn kkknTC ab，利用通项公式可以求指定项3.区分清楚系数和二项式系数，并理解应用赋值法得到二项式系数和为2.n巩固练习：已知21nx 的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则n=_，展开式中含有6x的项是_，该项的二项式系数是_.解：依题意可知21024n，因此n=10.从而可知展开式的通项为2 1020 211010()(1)(1),
2、kkkkkkkTCxC x 要使此项含有6x，必须有20 2k=6，从而k=7，因此含有6x的项为77636681010(1)120.TC xC xx 该项的二项式系数是120.第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1 0()ab2()ab3()ab4()ab5()ab6()ab1()ab杨辉三角图片来自互联网资源我国古代数学家贾宪在1050年前后就给出了类似的数表，这一成果在南宋数学家杨辉著的详解九章算术中得到摘录因此，这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”西方文
3、献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的实际上比我国发现数表要晚了600多年第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1 0()ab2()ab3()ab4()ab5()ab6()ab1()ab杨辉三角杨辉三角至少具有以下性质：（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1；这个对称可以表述为：与首末两端“等距离”的两个数相等.说明：杨辉三角中的数代表的二项展开式的二项式系数，由组合数性质可知，kn knnCC，所以每一行的数都是对称的两
4、端的数分别是0,nnnCC，显然二者均为1.第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1 0()ab2()ab3()ab4()ab5()ab6()ab1()ab杨辉三角杨辉三角至少具有以下性质：（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和可以说成：从第三行起，每一行除了两端的1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.杨辉三角至少具有以下性质：说明：杨辉三角中的数代表的二项展开式的二项式系数，从第三行起，假设其中的任意一个数为1knC，其上一行与
5、这个数相邻的两个数分别为1,kknnCC，由组合数性质可知，11kkknnnCCC，显然结论成立根据性质，大家能不能直接写出杨辉三角中第7行的数呢？1 7 21 35 35 21 7 1第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 10()ab2()ab3()ab4()ab5()ab6()ab1()ab当二项式的次数不太大时，可以借助规律直接写出二项式系数7()ab第7行杨辉三角至少具有以下性质：（3）杨辉三角的每一行的数都是开始越来越大，然后越来越小（中间大、两边小）第6行 n
6、=6 1 6 15 20 15 6 1 第7行 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1 0()ab2()ab3()ab4()ab5()ab6()ab1()ab杨辉三角说明：假设1kknnCC，则!,(1)!(1)!()!nnnkknkk化简可得111knk，从而有1.2nk利用二项式系数的对称性可知，二项式系数01221,.,nnnnnnnnnCC CCCC是先逐渐变大，再逐渐变小.当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当
7、n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大莱布尼茨三角形例1.求证：98991能被100整除证明：因为9898991(100 1)1,由二项式定理可知9809819729629898989629697979898989898(100 1)100100(1)100(1).100(1)100(1)(1),CCCCCC注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，由此可知，原数能被100整除.借助二项式定理可以解决整除的问题，其方法是利用二项式定理将目标表达式按照除数展开，得出除数的整数倍即可归纳反思：例2.当n是正整数且x0时，求证：(1)1.nxnx 证明：由二项式定理可知
8、0122112211(1).1.,nnnnnnnnnnnnnnnnnxCC xC xCxC xnxC xCxC x 因为x 0，所以上式右边的项都是正数，从而可知(1)1.nxnx 例如，假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口应为6100(1 1.2%),这个数大概是多少呢？利用例2的结果可知6100(1 1.2%)100(1 6 1.2%)107.2 实际应用经济学中常借助二项式定理进行近似值估算62100(1 1.2%)100(1 6 1.2%15(1.2%)107.416 6100(1 1.2%)保留6位有效数字的近似值107.419.课堂小结本节课学习了杨辉三角，并通过观察总结杨辉三角中数字的特征，再次回顾了组合数的性质应用二项式定理证明整除问题及估计近似值课后作业 教材P33习题33A3、5 P34习题33C4拓展作业 通过书籍或者网络查找有关数学材料，了解杨辉三角中蕴含的其他数学内容，将有关材料整理成小论文，与其他同学进行交流
