1、 排列与排列数（2）高二年级 数学【复习回顾】1.排列 一般地，从 个不同对象中，任取 （）个对象，按照一定顺序排成一列，称为从 个不同对象中取出 个对象的一个排列.特别地，当 时的排列，称为全排列.nmmmnmnn特征：取出的对象互不相同；（互异性）取出的对象要按一定的顺序排列.（有序性）2.排列数 从 个不同对象中，任取 （）个对象的所有排列的个数，称为从 个不同对象中取出 个对象的排列数.用符号 表示.nnmmmnAmn【复习回顾】连乘形式：；阶乘形式：.其中 .A11mnn nnm!A()!mnnnm!12 1nnn 例1.（1）用0,1,2，9这十个数字，可以排成多少个 无重复数字的
2、四位数？39A由分步乘法计数原理，四位数有：个.1399AA4536非0：19A法1.从特殊位置(首位)入手：需注意排数时,首位不能为0-限制条件从特殊元素0入手法2.从特殊元素0入手 注意,这里“可选的数字”要多于“位数”，因此可按这4个数字中是否含0，分类研究：49A从1至9中取4个数字排列，排列数为 .第一类，这4个数字中不含0：第二类，这4个数字中包含0：（0不能在首位，应先排0）第一步，先确定0的位置，排列数为 ；013A第二步，确定其余3个数位数字，排列数为 .由分步乘法计数原理可得:含数字0的四位数有 个.综上，根据分类加法计数原理，共有：个.39A1339A A413939A+
3、AA9 8 7 6+3 9 8 74536 按限制要求,对符合条件的情况直接分类计数 在解决含限制条件的问题时，我们也可以从反面思考，先忽略题目中限制要求，计算出不含限制要求的所有方法数，再从中减去不符合要求的方法数即可.先忽略“首位非0”的要求：“任取4个数字做排列”其中，“0在首位的排列”都不能对应一个四位数，需将其去掉，剩下的就是“首位不为0的四位数”.法3.先“任取4个数做排列”：排列数为 .其中“首位为0的排列”：排列数为 .将这两种情况的方法数相减，即可得：个.410A39A43109AA4536这种方法通常称为“排除法”，也叫“间接法”.从“无限制”中去掉“不符要求”，剩下为“含
4、限制”按题目限制要求对符合条件的情况直接分类计数：“直接法”.在解决含有限制条件的具体问题时，通常我们会有“正面分析”和“反面探究”两种研究途径，这时就需要看：是符合限制条件的情况好算，还是不符合条件的情况好算.当不符合条件的情况分类更少，或计算更简便时，应优先选用排除法，即“正难则反”.（2）用0,1,2，9这十个数字，可以排成多少个没有重 复数字的四位偶数？限制条件：首位不能为0，首位为1至9九个数字之一；偶数，末位为0,2,4,6,8五个数字之一.注意到：对末位的要求更特殊，应优先处理.末位是否为0，对首位的排法有影响，可按末位是否为0，分类讨论.法1：从特殊位置入手 第一类，末位为0：
5、排列数为 .39A14A18A112488AAA28A第二类方法数有：个.31129488A+AAA9 8 74 8 8 72296 综上，由分类加法计数原理，四位偶数共有：个.0第二类，末位为2,4,6,8之一：法2：从特殊元素入手（可以按含0和不含0分为两类）:39A情况一，0在末位，排列数为 ；0情况二，0不在末位：12A014A31129248AA A A含0的情况共有：种方法.28A确定剩余2个数位，有 种；第一类，含0.注意：0是否在末位影响首位的排法第二类，4个数字中不含0，此时限制条件只剩末位为偶数.优化解题14A第一步，确定末位；38A第二步，确定其余3个数位.1348A A
6、第二类共有：种方法.311213924848A+A A A+A A2296综上，共有 个.法3：排除法:“四位偶数”：从“任意四位数”中，去掉“四位奇数”15A18A28A112588AAA四位奇数共有：个.1125884536AAA2240四位偶数共有：个.“四位奇数”，末位的要求更特殊，优先讨论末位：解决含有限制条件的问题时，通常有3种方法：1.特殊位置；2.特殊元素；3.排除法（正难则反）.根据具体问题要求，选择恰当的方法，即优化解题.例2.若六位同学A、B、C、D、E、F在学校门口站成一排合影留念.（1）若要求A与B相邻，有多少种不同的站法？第一步，确定A、B的位置ABABABABAB
7、第二步，考虑A、B之间的内部顺序，排列数为 .ABAB22A第三步，再将剩余4人排列到剩下4个位置中，排列数为 .根据分步乘法计数原理，共有 种方法.44A24245 AA=240ABABBA第一步，将A和B“捆绑”，视作 一个对象，排列数为 .55A第二步，“松绑”，排列数为 .共 种方法.22A5252AA240解决“相邻”问题的其他方法解决“相邻”问题的方法，称为捆绑法：首先，将需要相邻的对象“捆绑”在一起，视为“一个对象”.再将“所有”对象全排列.注意最后还要“松绑”，不要忽略被捆绑的对象之间的内部排列，即“先捆后松”.ABABAB捆松（2）A、B两人不能相邻，有多少种不同的站法？出现
8、类似“不”的否定词语-反面思考：排除法从“六人任意排列”的情况中去掉“A与B相邻”的情况：种.66A240480空位空位空位空位空位第一步，将除A,B外的剩余4个对象全排列，共有 种排法；（5个空位）44A空位 A B空位空位第二步，从5个空位中任取2个空位分别排列A,B这2个对象，共有 种排法；25A根据分步乘法计数原理，共有 种排法.4245AA480解决“不相邻”问题的其他方法解决“不相邻”问题的方法，称为插空法：这种方法通常用于解决：“m个对象”彼此不相邻的计数问题，可以分两步完成：第一步，先将没有限制要求的剩余n个对象排列好；第二步，排好的n个对象形成n+1个空位，再将要求彼此 不相
9、邻的m个对象，分别排到这n+1个空位中，注意 ，每个空位最多插入1个对象.1mn（3）A、B、C三人两两不能相邻，有多少种不同的站法？第一步，除A,B,C外的剩余3个对象全排列，共有 种排法；33A空位空位空位空位第二步，从4个空位中任取3个排列A,B,C，共有 种排法.根据分步乘法计数原理，共有 种排法.3334AA14434A空位 A B C可能会出现的方法：（3）A、B、C三人两两不能相邻，有多少种不同的站法？排除法“六个人任意排列”-“A、B、C三人相邻”：种.643643AAA720 144576两种方法的结论不一致，是什么原因造成的？“三人两两不相邻”的反面“三人连在一起”可能的情
10、况还有：A与B相邻，但都不与C相邻；A与C相邻，但都不与B相邻；B与C相邻，但都不与A相邻.若用排除法，还需将这3种情况去掉.从反面研究，由于分类情况较多，并不能达到简化问题的效果，不如直接正面计算（插空法的优势）.【课堂小结】今天我们学习了几种排列问题的解决方法：（1）含限制条件的问题：特殊位置、特殊元素、排除法.在解决含有限制条件的计数问题时，经常通过分解问题，采用“先分类，再分步”的方法.如果限制条件中包含特殊位置或者特殊元素时，应优先处理特殊要求.具体的解题策略一般有两个途径，一个是“直接法”，另一个是“排除法”.如果正面研究情况比较复杂时，我们可以尝试“排除法”，即“正难则反”.【课堂小结】（2）两个典型的计数模型：相邻问题：捆绑法；不相邻问题：插空法.希望同学们随着解题经验的增加，能根据问题的具体要求，学会将问题等价转化，以及优化解题.【作业】B版教材 第15页B组：3，4.B组 3.用0,1,2,3,4,5可组成多少个：（1）没有重复数字的四位数？（2）没有重复数字且被5整除的四位数?（3）比2000大且没有重复数字的自然数？B组 4.四对夫妇坐成一排照相：（1）每对夫妇都不能隔开的排法有多少种？（2）每对夫妇都不能隔开，且同性别的人不能相邻的 排法有多少种？谢谢
