1、二项式定理与杨辉三角（1）高二年级 数学实际情境：小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次投中10次.比如在一个表格的十个格子中画勾或叉，画勾代表投中，画叉代表没投中，假设投中2次，分别是在第4次、第6次就如下表：投中1次，就有110C种情况，投中0次只有1种（即010C）情况，投中2次就有210C种情况，投中10次有1010C种情况因此，小张投篮10次，结果共有0121010101010.CCCC种情况，那么上式的结果是多少呢？我们知道：1()()abab222()2abaabb32223222233223()()(
2、)(2)()2233abababaabbabaa ba babb abaa babb而且33223()33abaa babb首先观察右边各项，思考一下，展开式中的每一项是怎么形成的呢？发现3()()()()abab ab ab从三个括号中各取一个字母相乘得到，比如第一个括号取a，第二个取b，第三个取a，就能得到 ；2a b所以展开式中的每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有 ，.3a2a b2ab3b第二步，研究每一项具体有多少个呢？比如要得到 ，2a b式右边的3个括号中，要有1个取b，剩下2个都取a，因此有13C13C种取法，所以有个 ；2a b同理可知，式右边展开后有23C个 ；2ab
3、3a可以看成式右边的3个括号中取0个b得到的结果；3b可以看成式右边的3个括号中取3个b得到的结果；因此3031222333333().abC aC a bC abC b3()()()()abab ab ab归纳反思：以选择多少个b为对象，选0个b（就是3a）系数为 ，03C选1个b（就是2a b）系数为 ，13C）系数为 ，选2个b（就是23C2ab）系数为 ，选3个b（就是3b33C）系数为 .选k个b（就是3 kkab3kC（1）对()nab来说，展开式中的每一项都是n次项；（2）按b的升幂排列，有 1,.,.,nnn kknaababb）系数为 ，a和b指数和为n.n次式，选k个b（就
4、是n kkabknC（3）以选择多少个b为对象：猜想规律：二项式定理及相关概念（要求n是正整数，k是满足0kn的自然数.）一般地，当n是正整数时，有011().nnnkn kknnnnnnabC aC abC abC b上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为()nab的展开式，它共有n+1项，其中kn kknC ab是展开式中的第k+1项将1kn kkknTC ab称为二项展开式的通项公式1kT表示），knC称为第k+1项的二项式系数.（通常用例1.（1）写出6(1+)x的展开式解：在二项式定理中，令a=1，b=x，n=6，可得60 601 512423 334245 156 066666
5、66600112233445566666666623456(1)11111+11+161520156xCxCxCxCxCxCxCxC xC xC xC xC xC xC xxxxxxx（2）写出5(2)x的展开式解：在二项式定理中，令a=2，b=x，n=5，可得505141232555323414555552345(2)22()2()2()2()()3280804010 xCCxCxCxCxCxxxxxx小结：利用二项式定理写展开式，要确定a,b分别是什么，括号内的两项，前面一项看成是a，后面一项看成是b，然后按照定理展开即可比如()npq，就令a=p,b=q；()npq，就令a=p,b=q例
6、2.（1）7()xy的展开式的第4项是_，含25x y的项的二项式系数是_解：根据通项公式37 334343 1735TTC xyx y，717kkkkTC xy由已知 k=5，则其二项式系数为5721.C（2）求91xx的展开式中含3x的项.解：因为9191(),xxxx 所以展开式中的第k+1项为9199 21999()(1)(1),kkkkkk kkkkkTC xxC xC x 要使此项含3x，必须有9 2 k=3，从而有k=3，因此含3x的项为第4项333349(1)84.TC xx 含3x的项的系数是84，二项式系数是3984.C（3）求612 xx的展开式中常数项的值和对应的二项式
7、系数解：因为61162212(2),xxxx所以展开式中的第k+1项为116666322221666(2)()22.kkkkkkkkkkkTCxxCxCx要得到常数项，必须有3 k=0，从而有 k=3，因此常数项是第4项，且36 33 3462160.TCx可知常数项值为160，对应二项式系数3620.C 小结：S1：确定定理中的a,b,n 在题目中指的都是什么；求二项展开式中指定项的解题程序：S2：写通项公式1kT，通过指数运算进行整理；S3：若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指数等于 t（常数项的指数为0），计算出 k；S4：将 k 代入通项公式 ，即为所求1kT令x=1，右
8、端的展开式就是所求的问题，而左端代入1，得到1010(1 1)21024.赋值法根据二项式定理可知10001122101010101010(1).xC xC xC xC x再对比课前投篮问题，要计算的是0121010101010.CCCC对于10(1)x，令x=1，可得1001210101010102.CCCC令x=1，可得10001122101010101010(1 1)(1)(1)(1).(1)CCCC01239101010101010100.CCCCCC0241010101010.=CCCC？（+）2，可得512.小结：利用赋值法得到二项式系数和的规律如果令a=b=1，则有0112.nk
9、nnnnnnnCCCCC结论1：在()nab的展开式中，二项式系数和为2n，二项式系数的和只与n有关如果令a=1，b=1，则有0123450.nnnnnnCCCCCC也就是说024135.nnnnnnCCCCCC结论2：在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和课堂小结本节课学习了二项式定理，即011().nnnkn kknnnnnnabC aC abC abC b，要清楚二项展开式有n+1项，按b的升幂排列，利用定理可以直接写二项展开式二项式定理的通项公式为1kn kkknTC ab利用通项公式求指定项注意区分系数和二项式系数.课后作业：教材P33 习题33A2，4，6；P34 习题33B2
