1、第1讲 勾股及实数复习（学生版）目标层级图课前检测1若，则 2已知：，求代数式的值3如图，将长方形的边沿折痕折叠，使点落在上的处，若，则 4如图，将正方形沿折叠，点恰好落在上的点处，若，则折痕的长度为 5如图，在中，点，均在边上，且（1）若，则课中讲解一 平方根与算术平方根例1. 的平方根是ABCD过关检测1的算术平方根为A9BC3D例2已知与是的平方根，则的值是 过关检测1若一个正数的平方根是和，则这个正数是 二、二次根式非负性及应用例3已知则 过关检测1已知实数，满足，则的值是多少？例4已知，则的平方根为 . 过关检测1已知，则 例5已知若，为实数，且，求的值过关检测1，为实数，且，化简：
2、三、二次根式的运算例6计算：（1） （2）（3）过关检测1计算：（1） （2）（3）例7已知，求的值过关检测1已知，求的值四、方程与勾股例8如图，在长方形中，将长方形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的长为A0.5B1C2D3过关检测1如图，已知在矩形中，是边中点，将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，已知，设，则的值为 A B C D例9如图，矩形的边长，将矩形折叠，使点与点重合，则折痕长为 过关检测1如图，矩形中，为上一点，将沿翻折至，与相交于，且，则的长为ABCD2如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是A1.5B2C2.25D2
3、.5五、平方关系及证明例10在中，点，是边所在直线上与点，不重合的两点（1）如图1，当，时，直接写出线段，的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当，时，已知，求线段的长度；（3）如图3，当，时，请探究线段，的数量关系，并证明过关检测1在等腰中，（1）如图1，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接求证：；当，时，求的长；例11在中，.（1）如图1，若点是边上一点，则与的数量关系是 .（2）如图2，若点是延长线上一点，则与的数量关系是 .过关检测1如图，和都是等腰直角三角形，点在边上，点在边的左侧，连接（1）求证：；（2）试探究线段、与之间的数量关系；（3）过点作交于点，若，求
4、的长2（1）如图1，在和中，且点在边上滑动（点不与点，重合），连接，则线段，之间满足的等量关系式为 ；求证：；（2）如图2，在四边形中，若，求的长例12如图，是等边三角形，点在的外部，且，求证：学习任务1的平方根是ABCD2如图，把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，若长为2，则的长为ABCD3和是一个数的平方根，则 4已知，则的值为 5若，则 6已知，求的值7计算：（1） （2）8已知（1）求；（2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值9如图，在正方形中，分别是，上的点，连接，将四边形沿折叠得到四边形，点恰好在上，若，则折痕的长是 10分层
5、探究（1）问题提出：如图1，点、别在正方形的边、上，连接求证：，解题思路：把绕点逆时针旋转90度至，可使与重合由，则知、三点共线，从而可证，从而得，阅读以上内容并填空（2）类比引申：如图2，四边形中，点、分别在边、上，探究：若、都不是直角，当、满足什么数量关系时，仍有？（3）联想拓展：如图3，在中，点、均在边上，并且猜想、的数量关系，并给出理由11问题：如图，在中，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的等量关系式为；探索：如图，在与中，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形中，若，求的长第1讲 勾股
6、及实数复习（解析版）目标层级图本节内容：本节涉及主要板块分别是勾股定理和实数复习。实数板块主要复习易错概念，勾股定理针对折叠、旋转类几何综合问题复习，使学生熟悉辅助线作法，掌握高频考点相关结论。实数板块复习内容如下：1 填选计算易错类。2 二次根式非负性及其应用，向学生强调隐含重视审题发现限定条件勾股定理板块复习内容如下：1 折叠的应用。复习折叠的性质，利用矩形折叠的性质建立方程。2 平方关系及其证明。半角模型的识别及证明、旋转辅助线的作法、构造直角三角形证平方关系。课前检测1若，则1【解答】解：因为，所以，所以，解得，所以故答案为：12已知：，求代数式的值【解答】解：，3如图，将长方形的边沿
7、折痕折叠，使点落在上的处，若，则【解答】解：四边形是长方形，是由翻折，在中，故答案为：4如图，将正方形沿折叠，点恰好落在上的点处，若，则折痕的长度为【解答】解：过作于，连接，则，将正方形的一角折向边，使点与上一点重合，在与中，故答案为：5如图，在中，点，均在边上，且（1）若，则【解答】解：（1）将绕点逆时针旋转，至，则与重合，连接，如图所示：则，在和中，在中，由勾股定理得：，；故答案为：；课中讲解二 平方根与算术平方根例1. 的平方根是给学生强调先算出结果ABCD【解答】解：，2的平方根是，的平方根是故选：过关检测1的算术平方根为A9BC3D【解答】解：，的算术平方根为3故选：例2已知与是的平
8、方根，则的值是9或1根据学生掌握情况适当补充这类平方根问题题干的区别： A的平方根是a和b； a和b是A的平方根。前者a b互为相反数，后者a.b可以相反也可以相等（多解）【解答】解：与是的平方根，或，解得：或，故或，则的值是9或1故答案为：9或1过关检测1若一个正数的平方根是和，则这个正数是9【解答】解：由题意得：，解得：，故，则这个正数为：，故答案为：9二、二次根式非负性及应用例3已知则强调看到含根式、绝对值或平方的等式，考虑变形成非负数和为零的形式（配方）【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以，所以故答案为：过关检测1已知实数，满足，则的值是多少？【解答】解：，则，解得，则例4已知，则
9、的平方根为隐含范围【解答】解：，则，则，解得，则，则的平方根为故答案为：过关检测1已知，则【解答】解：，则，则，解得：，所以，故答案为：例5已知若，为实数，且，求的值强调隐含限定条件：分母0，根式非负等【解答】解：由题意，又，过关检测1，为实数，且，化简：【解答】解：，又，故答案为三、二次根式的运算例6计算：（1）；（2）（3）【解答】解：（1）；（2）（3）原式过关检测1计算：（1）（2）（3）计算：【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式例7已知，求的值【解答】解：，则原式过关检测1已知，求的值【解答】解：，四、方程与勾股例8如图，在长方形中，将长方形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好
10、过点，则的长为A0.5B1C2D3【解答】解：四边形是矩形，由翻折可知：，又，在中，根据勾股定理，得，即，解得则的长为2故选：过关检测1如图，已知在矩形中，是边中点，将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，已知，设，则的值为用x表示出BN、NC的长度，在中建立勾股方程ABCD【解答】解：四边形是矩形，是边中点，将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，解得故选：例9如图，矩形的边长，将矩形折叠，使点与点重合，则折痕长为连接AF，求出AF，在rt三角形AOF中利用勾股定理求OF。看学生掌握情况给学生复习翻折的性质：重合线段相等；看到折痕联想到中垂线；折叠出等角；折叠加平行出等腰【解答】解：连结，如
11、图，矩形折叠后点与点重合，垂直平分，即，设，则，在中，即，解得，在中，在中，在和中，故答案为过关检测1如图，矩形中，为上一点，将沿翻折至，与相交于，且，则的长为解题关键证明后，证明AF=AO+OF=OE+OP=BP,设AP=x后，用x表示三角形FDC三边建立勾股方程求xABCD【解答】解：四边形是矩形，由翻折的性质可知：，在和中，设，则，在中，根据勾股定理得：，即，解得：，故选：2如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是连接BM、BM,折叠性质得到两者相等，建立方程 A1.5B2C2.25D2.5【解答】解：设，连接，在中，在中，即，解得，即，
12、故选：五、平方关系及证明例10在中，点，是边所在直线上与点，不重合的两点（1）如图1，当，时，直接写出线段，的数量关系；（不必证明）等腰rt内含半角模型（2）如图2，当，时，已知，求线段的长度；等边三角形内含半角，处理方法同样旋转三角形使腰重合，证半角模型，利用上特殊角度（120）作垂线构造直角三角形。（3）如图3，当，时，请探究线段，的数量关系，并证明【解答】解：（1）结论：理由：，将绕点逆时针旋转得，连接，如图1中，；又，而，（2）如图2中，将绕点逆时针旋转得，连接，作交的延长线于，在中，在中，（3）结论：理由：如图3中，将绕点顺时针旋转，得到，连接，在中，过关检测1在等腰中，（1）如图1
13、，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接求证：；当，时，求的长；【解答】解：（1）如图1中，如图1中，设，则，在中，例11在中，.结论：高频考点（1）如图1，若点是边上一点，则与的数量关系是 .（2）如图2，若点是延长线上一点，则与的数量关系是 .【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，证是直角三角形，.过关检测1如图，和都是等腰直角三角形，点在边上，点在边的左侧，连接（1）求证：；（2）试探究线段、与之间的数量关系；（3）过点作交线段于点，若，求的长连接，CF是DE垂直平分线求线段长度，再利用直角三角形求长度【解答】（1）证明：和都是等腰直角三角形，（2）解：由（1）得，
14、又是等腰直角三角形，在中，且，（3）解：连接，设，则，都是等腰直角三角形，由 （1）、（2）可得，在中，解得，2（1）如图1，在和中，且点在边上滑动（点不与点，重合），连接，则线段，之间满足的等量关系式为；求证：；（2）如图2，在四边形中，若，求的长法一：将三角形ABD逆时针旋转90，使AB与AC重合，连接DE，构造RTDEC法二（无过程）：过A做AM垂直AD交DC延长线于M，连接BM，构造等腰直角三角形手拉手全等，再利用直角三角形BMD勾股定理求MD，最后算AD。【解答】（1）解：，理由如下：，即，在和中，；故答案为：；证明：中，由（1）得，在中，又，；（2）解：作，使，连接，如图2所示：，
15、即，在与中，例12如图，是等边三角形，点在的外部，且，求证： 将绕点旋转得到 利用飞镖模型证明EAD=90（60+30）【解答】解：如图，将绕点旋转得到，连接，是等边三角形在中，学习任务1的平方根是ABCD【解答】解：，的平方根是故选：2如图，把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，若长为2，则的长为ABCD【解答】解：由折叠的性质可知，由勾股定理得，设，则，中，解得，故选：3和是一个数的平方根，则1【解答】解：显然，和是一个数的平方根，解得：，故答案为：14已知，则的值为【解答】解：，解得，故答案为：5若，则【解答】解：，则，则，解得：，所以
16、，故答案为：6已知，求的值【解答】解：由题意可知：，当时，原式，当时，原式7计算：（1）（2）【解答】解：（1）原式；（2）原式8已知（1）求；（2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值【解答】解：（1），（2）的小数部分为，的小数部分为，9如图，在正方形中，分别是，上的点，连接，将四边形沿折叠得到四边形，点恰好在上，若，则折痕的长是【解答】解：如图，连接，过点作于，四边形是正方形，将四边形沿折叠得到四边形，是的垂直平分线，四边形是矩形，故答案为：10分层探究（1）问题提出：如图1，点、别在正方形的边、上，连接求证：，解题思路：把绕点逆时针旋转90度至，可使与重合由，则知、三点共线，从而可证，
17、从而得，阅读以上内容并填空（2）类比引申：如图2，四边形中，点、分别在边、上，探究：若、都不是直角，当、满足什么数量关系时，仍有？（3）联想拓展：如图3，在中，点、均在边上，并且猜想、的数量关系，并给出理由【解答】解：（1），把绕点逆时针旋转至，可使与重合，点、共线，在和中，即，故答案为：90，；（2）当时，如图2，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，点、共线，在和中，即，故答案为：；（3）猜想：，证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，即，又，即，在和中，11问题：如图，在中，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的等量关系式为；探索：如图，在与中，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形中，若，求的长【解答】解：（1），理由如下：，即，在和中，故答案为：；（2），理由如下：连接，由（1）得，在中，又，；（3）作，使，连接，即，在与中，49
