1、第一章勾股定理第一章勾股定理3 3勾股定理的应用勾股定理的应用数学 九年级上册 BS版课前预习课前预习典例讲练典例讲练目录目录CONTENTS课前课前导入导入数学 八年级上册 BS版0 1课前预习课前预习1.平面内，两点之间 最短.2.解有关立体图形表面上的路线问题时，常常把立体图形转化为平面图形，再转化为平面上的路线问题求解.3.勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形中缺少直角条件，则可以通过作垂线段的方法构造直角三角形，为勾股定理的应用创造条件.线段数学 八年级上册 BS版0 2课前导入课前导入 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难
2、道小狗也懂数学？CBAAC+CBAB（两点之间线段最短）思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看视频，你能理解小贤和一菲的做法吗？问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬到 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？AB蚂蚁从 AB 的路线将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最短路线.立体图形中两点之间的最短路程若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，取 3.BA3O12侧面展开图123ABAA解：在 RtABA 中，由勾股定理得 AB2
3、=AA2+AB2 立体图形中求两点间的最短路程，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.归纳=AA2+AB2 122+92=225，故 AB 15 cm.最短路程数学 八年级上册 BS版0 3典例讲练典例讲练如图，有一个水池，水面 BE 的宽为16 dm，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面2 dm.若将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的高度是 dm.17【点拨】运用勾股定理解决实际问题时，关键是找出几何图形与实际问题的对应关系，即各边、各角的大小，再根据勾股定理直接计算或列方程解答.一个滑梯的示意图如图所示，若
4、将滑道 AC 水平放置，刚好与 AB 一样长.已知滑梯的高度 CE 3.6 m，CD 1.2 m，则滑道 AC 的长度是 m.6【解析】设滑道 AC 的长度为 x m，则 AB x m，AE（x 1.2）m.在Rt ACE 中，AEC 90，由勾股定理，得 AE2 CE2 AC2，即（x 1.2）23.62 x2，解得 x 6.即滑道 AC 的长度为6 m.故答案为6.（1）一个圆柱形油罐的示意图如图所示，底面周长为24 m，高为10 m.从 A 处环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好在点 A 的正上方点 B 处，则所建的梯子最短需要多长？解：如图，把圆柱形油罐的侧面沿线段 AB 展开成长方形，则沿
5、 AB 建梯子最节省材料.由已知，得 AC 24 m，BC 10 m.在Rt ACB 中，C 90，根据勾股定理，得 AB2 AC2 BC2242102262，所以 AB 26 m（负值舍去）.故所建的梯子最短需要26 m.（2）如图，长方体的高是9 cm，底面是边长为4 cm的正方形.一只蚂蚁从点 A 出发，沿着长方体表面经过3个侧面爬到点 B 处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？解：如图，将长方体的三个侧面展开.在Rt ACB 中，AC 4312（cm），BC 9 cm，ACB 90.由勾股定理，得 AB2 AC2 BC212292152，所以 AB 15 cm（负值舍去）.故这只蚂蚁
6、爬行的最短路程是15 cm.【点拨】求立体图形表面最短路径的一般步骤：（1）把立体图形展开成平面图形（只需展开包含相关点的面）；（2）确定关键点的位置；（3）连接关键点，构造直角三角形；（4）利用勾股定理求解.求最短路径的依据是“两点之间，线段最短”.如图，一个长方体空木箱的长、宽、高分别为12 m，4 m，3 m，则能放进空木箱中的直木棒（粗细忽略不计）最长为 m.13【解析】如图，因为侧面对角线 CB232422552，所以 CB 5 m.因为 AC 12 m，所以 AB2 AC2 CB212252169132.因为 AB 0，所以 AB 13 m.所以能放进空木箱中的直木棒最长为13 m
7、.故答案为13.如图，一只蜘蛛在一个长方体木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点 G 处.若 AB 3 cm，BC 5 cm，BF 6 cm，则蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛爬过的路程是多少厘米？解：若把长方体的正面和右面展开在同一平面内，如图1所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边 AC AB BC 8（cm），另一条直角边 CG BF 6 cm.在Rt ACG 中，根据勾股定理，得 AG2 AC2 CG28262100；若把长方体的正面和上面展开在同一平面内，如图2所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边 AB 3 cm，另一条直角边 BG
8、BF FG BF BC 11（cm）.在Rt ABG 中，根据勾股定理，得 AG2 AB2 BG232112130；图1图2若把长方体的左面和上面展开在同一平面内，如图3所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边 GF BC 5 cm，另一条直角边 AF AE EF BF AB 639（cm）.在Rt AFG 中，根据勾股定理，得AG2 AF2 GF29252106.因为130106100，且102100，所以蜘蛛沿如图1所示的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛爬过的路程是10 cm.图3【点拨】本例没有指明从长方体一顶点运动到相对的顶点的具体路线，确定其最短路径问题时，需要进行分类讨论，
9、比较后才能确定.如图，由点 A 到点 B 的最短路径显然是不能沿长方体的任何一条棱运动的，也就必然由点 A 进入到相邻的两个面，所以到点 B 有六条不同的路径，但不同长度的路径只有三条.（1）如图1，右侧面向前展开，这种展开方式是以（a b）为一条直角边长，c 为另一条直角边长，此时 AB2（a b）2 c2 a2 b2 c22 ab；（2）如图2，上底面向前展开，这种展开方式是以（b c）一条直角边长，a 为另一条直角边长，此时 AB 2（b c）2 a2 a2 b2 c22 bc；（3）如图3，上底面向左展开，这种展开方式是以（a c）为一条直角边长，b 为另一条直角边长，此时 AB2（a c）2 b2 a2 b2 c22 ac.通过对三种展开方式的观察和分析，于是有：当 c 最大时，如图1所示的展开方式中的 AB 最短；当 a 最大时，如图2所示的展开方式中的 AB 最短；当 b 最大时，如图3所示的展开方式中的 AB 最短.图1图2图3 如图，圆柱形杯子的高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 B 处有一滴蜂蜜.此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯口2 cm，且与蜂蜜相对的点 A 处（杯壁厚度不计），则蚂蚁从外壁点 A 处到达内壁点 B 处的最短路程是多少厘米？答图演示完毕 谢谢观看
