1、第6讲 因式分解2（学生版）目标层级图课前检测1已知，则的值是A100B110C120D1252已知三角形的三边，满足，则是A等腰三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形3若实数满足，则的值为ABCD4分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）课中讲解一、十字相乘法（1）二次项系数为11定义：对于的因式分解则这就是说，对于二次三项式，如果常数项可以分解为的积()，并且有，那么，这就是分解因式的十字相乘法2方法：特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝
2、对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同例1将下列各式分解因式：（1） （2）（3） （4）过关检测1将下列各式分解因式：（1） （2）（3） （4）例2分解因式（1） （2）（3） （4）过关检测1分解因式（1） （2）（3） （4）（2）二次项系数不为11定义：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成 的形式，它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数，使得：，注意：若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解2方法：它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解
3、为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母注意：不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式例3分解因式（1） （2）（3） （4）过关检测1分解因式（1） （2）（3） （4）例4分解因式（1） （2）过关检测1分解因式（1） （2）二、分组分解法1.定义：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解2.方法：一
4、般对于四项多项式，且各项没有公因式时，可想到用分组分解法进行因式分解，但要注意分组的合理性。可能是二、二分组，也可能是一、三分组3.因式分解的一般解题步骤：（一提二用三分组）（1）如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；（2）如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式法或十字相乘法；如果多项式有两项，应考虑用平方差公式；如果多项式有三项，应考虑用完全平方公式或十字相乘法；如果多项式超过三项，应考虑分组分解；（3）分解因式时必须要分解到不能再分解为止例5分解因式（1） （2）（3） （4）过关检测1分解因式（1） （2）（3） （4）例6分解因式（1） （2）（3） （4）过关检测
5、1分解因式（1） （2）（3） （4）例7分解因式（1） （2）（3） （4）过关检测1分解因式（1） （2）（3）三、综合应用例8（1）若，则代数式的值为 （2）已知，则的值为 （3）已知，求的值过关检测1已知，则的值为2已知，（1）求的值（2）求的值（3）求的值3已知：，则 例9（1）若实数满足，则 （2）已知，则 过关检测1如果，那么代数式的值为A6B8CD2已知，求的值例10（1）化简：，结果是 （2）运用因式分解简便计算 （3）过关检测1利用因式分解计算：（1） （2） （3）例11（1）已知，为的三边，且满足，试判定的形状（2）若的三边长分别为，满足条件，则判断的形状过关检测1已知
6、、是的三边长，且满足，则的形状是A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形2已知、是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状例12（1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因此的最小值是2，这时相应的的的值是-1尝试探究并解答：求代数式的最小值，并写出相应的值求代数式的最大值，并写出相应的的值（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值过关检测1（1）代数式的最小值是，这时相应的的值是；（2）代数式的最大值是，这时相应的的值是 （3）求多项式的最大值例13 能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是A61和63B63
7、和65C65和67D64和67过关检测1如果能被整除，则的值可能是A20B30C35D402求证：能被45整除学习任务1分解因式（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）2已知，求代数式的值3已知，求：的值4利用因式分解进行简便计算：（1） （2）5已知，是三角形三边长，且，试判断三角形形状6当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值第6讲 因式分解2（解析版）目标层级图本节内容分为3个板块，前2个板块是讲解因式分解的两种分解方法十字相乘法和分组分解法，最后1个板块涉及因式分解的应用。因式分解章节在八下的考查分数在10分左右，该章节独立考查较少，主要作为工具方便后续分式的学
8、习以及解一元二次方程，本次课的定位是寒假新课衔接，整体难度并不大，课程目标为让学生熟练运用十字相乘法和分组分解法，能够独立解决常考的因式分解应用类试题（如化简求值，巧算，判断三角形形状，配方求最值等），实际授课过程中重点讲解十字相乘法和分组分解法的技巧。整节讲义内容量稍大，教师可根据讲解进度酌情删减例题，个人建议可选讲例9，例12（这2类例题学生在初一有接触，根据学生实际掌握情况选讲）和例13（整除问题相对考频较弱）注：具体的例题设计逻辑在每个例题处会有标注说明。课前检测1已知，则的值是A100B110C120D125【解答】解：，故选：2已知三角形的三边，满足，则是A等腰三角形B等腰直角三角
9、形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形【解答】解：，则或，则或，故是等腰三角形或直角三角形故选：3若实数满足，则的值为ABCD【解答】解：故选：4分解因式（1）【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式；（3）【解答】解：原式；（4）【解答】解：原式；（5）【解答】解：原式（6）【解答】解：原式；课中讲解一、十字相乘法（1）二次项系数为11定义：对于的因式分解则这就是说，对于二次三项式，如果常数项可以分解为的积()，并且有，那么，这就是分解因式的十字相乘法2方法：特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解
10、为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同例1主要练习二次项系数为1或（-1）尾项为常数的十字相乘法例1将下列各式分解因式：（1）【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式；（3）【解答】解：原式注意：此处不能表示为，要遵循书写要求（4）【解答】解：原式过关检测1将下列各式分解因式：（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例2主要练习二次项系数为1或（-1）尾项含字母的十字相乘法例2分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）【解答】解：原式（2）
11、【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式（2）二次项系数不为11定义：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成 的形式，它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数，使得：，注意：若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解2方法：它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要
12、注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母注意：不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式例3主要练习二次项系数不为1的十字相乘法例3分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例4需要先进行整式乘法运算再十字相乘例4分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式二、分组分解法1.定义：分组分解法
13、是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解2.方法：一般对于四项多项式，且各项没有公因式时，可想到用分组分解法进行因式分解，但要注意分组的合理性。可能是二、二分组，也可能是一、三分组3.因式分解的一般解题步骤：（一提二用三分组）（1）如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；（2）如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式法或十字相乘法；如果多项式有两项，应考虑用平方差公式；如果多项式有三项，应考虑用完全平方公式或十字相乘法；如果多项式超过三项，应考虑分组分解；（3）分解因式时必须要分解到不能再分解为止例5利用提公因式法分组分解，通常2，2分组例5分解因式（
14、1） 【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）；【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例6利用公式法（平方差或完全平方公式）分组分解，平方差公式通常2，2分组，完全平方公式3，1分组例6分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例7利用十字相乘法分组分解例7分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：
15、原式（4）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解： 原式（3）【解答】解： 原式三、综合应用例8因式分解的应用之化简求值，通常会结合完全平方公式的变形例8（1）若，则代数式的值为【解答】解：，故答案为：（2）已知，则的值为4【解答】解：，故答案为：4（3）已知，求的值注意区分立方和差公式，该题是运用完全平方公式求解【解答】解： ，由得，答：的值为过关检测1已知，则的值为【解答】解：，故答案为：2已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式3已知：，则3【解答】解：，故答案为：3例9初一试题，降次（幂）法的运用例9
16、（1）若实数满足，则【解答】解：，故答案为：（2）已知，则2012【解答】解：，故答案是：2012过关检测1如果，那么代数式的值为A6B8CD【解答】解：由得，故选：2已知，求的值【解答】解：，例10简便运算，主要利用完全平方公式和平方差公式进行简便运算例10（1）化简：，结果是 【解答】解：原式（2）运用因式分解简便计算180000（要求：写出运算过程）【解答】解：原式故答案为：180000（3）【解答】解：原式答：原式过关检测1利用因式分解计算：（1）（2）（3）【解答】解：（1） 原式（2）原式；（3）原式例11利用因式分解判断三角形的形状，（1）直接分组分解（2）涉及配方和非负数和为0
17、来判断形状例11（1）已知，为的三边，且满足，试判定的形状【解答】解：，得：或，即为直角三角形或等腰三角形（2）若的三边长分别为，满足条件，则判断的形状【解答】解：，是直角三角形过关检测1已知、是的三边长，且满足，则的形状是A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【解答】解：，所以或所以或故的形状是等腰三角形或直角三角形故选：2已知、是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状【解答】解：且即，故该三角形是等边三角形例12利用配方来求最值例12（1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因此的最小值是2，这时相应的的的值是-1尝试探
18、究并解答：求代数式的最小值，并写出相应的值求代数式的最大值，并写出相应的的值【解答】解：，代数式的最小值是10，相应的的值是5；，的最大值是31，相应的的值是；（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值【解答】解：原式，过关检测1（1）代数式的最小值是，这时相应的的值是；（2）代数式的最大值是，这时相应的的值是 （3）求多项式的最大值【解答】解：（1）原式，是非负数，即，这个代数式的最小值是-7，这时相应的的值是2（2）原式是非负数，这个代数式的最大值是59，这时相应的的值是（3）原式，多项式的最大值是16例13利用因式分解来找整除的数例13 能被60到70之间的某两个整数整除，则这
19、两个数是A61和63B63和65C65和67D64和67【解答】解：，故选：过关检测1如果能被整除，则的值可能是A20B30C35D40【解答】解：，则的值可能是30；故选：2求证：能被45整除【解答】证明：原式所以能被45整除学习任务1分解因式（1）【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式；（3）【解答】解：原式；（4）【解答】解：原式（5）【解答】解：原式（6）；【解答】解：原式（7）；【解答】解：原式；（8）【解答】解：原式；2已知，求代数式的值【解答】解：而，3已知，求：的值【解答】解：，4利用因式分解进行简便计算：（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式5已知，是三角形三边长，且，试判断三角形形状【解答】解：，三角形为等腰三角形6当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值【解答】解：（3），当，时，多项式有最小值，这个最小值是536
