1、学习目标学习目标27.2 27.2 相似三角形相似三角形第二十七章第二十七章 相似相似感悟新知感悟新知知识点知识点利用影子测量物体的高度利用影子测量物体的高度知知1 1讲讲11.测量原理：当测量不能直接到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长成比例)来解决.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲2.测量方法：在同一时刻测量出参照物影长BC和被测量物体影长BC，再根据参照物的高度AC计算出被测量物体的高度AC.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒运用此测量方法时，运用此测量方法时，要符合要符合下列两个条件：下列两个条件：1.被测物体的底部被测物体的底部能够能够
2、到达；到达；2.由于影长可能由于影长可能随着太阳随着太阳的运动而变化的运动而变化，因此，因此要在要在同一同一时时刻刻测量测量参照物与被参照物与被测物体测物体的影长的影长.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲示例感悟新知感悟新知知知1 1练练例 1古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图27.241，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒OB，比较木棒的影长AB与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB.如果OB1 m，AB2 m，AB274 m，求金字塔的高度OB.感悟新知感悟新知知知1 1练练解题秘方：用“太阳光是平行光线”构建相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求
3、解.感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练11.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把木杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和木杆在太阳光下的影长分别是BC8.72 m，EF2.18 m.已知B，C，E，F 在同一直线上，ABBC，DEEF，DE2.47 m，则AB_m.9.88感悟新知感悟新知知知2 2讲讲1.测量原理：用标杆或直尺的高(长)作为三角形的边构造相似三角形.2.测量方法：(1)测量出标杆的长度CD,观测者眼睛到地面的高度AB；知识点知识点利用标杆测量物体的高度利用标杆测量物体的高度2感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别提醒
4、特别提醒利用标杆测量利用标杆测量物体物体的高度是生活中的高度是生活中经常经常采用的方法，采用的方法，使用这种使用这种方法时，方法时，观测观测者的者的眼睛、标杆顶端眼睛、标杆顶端和被和被测物体顶测物体顶端端必须必须“三点共线三点共线”，注意，注意标杆标杆与地面要垂直，与地面要垂直，同时同时被测被测物体底部物体底部必须可必须可到达到达.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲(2)让标杆竖直立于地面,调整观测者的位置,使观测者的眼睛A、标杆顶端C 和旗杆顶端E 恰好在一条直线上,测量出观测者的脚到标杆底端的距离BD和到旗杆底端的距离BF；(3)根据标杆与旗杆平行推导出两个三角形相似,利用对应边成比例求出旗杆
5、的高度EF.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲示例感悟新知感悟新知知知2 2练练中考江西周髀算经中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图27.242，点A，B，Q 在同一水平线上，ABC 和 AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D.测得AB40 cm，BD20 cm，AQ12 m，则树高PQ_m.例 26感悟新知感悟新知知知2 2练练解题秘方：本题关键是找出相似三角形，然后根据相似三角形对应边成比例列出方程求解.感悟新知感悟新知知知2 2练练2-1.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测
6、量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE0.4 m，EF0.2 m，测得边DF离地面的高度AC1.5 m，CD8 m，则树的高度AB为_m.5.5感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点利用镜子的反射测量物体的高度利用镜子的反射测量物体的高度31.测量原理：利用镜子的反射，先根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形，再计算所求物体的高度.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.测量方法：特别提醒特别提醒1.测量时被测物体测量时被测物体与人与人之间不能有之间不能有障碍物障碍物，且镜子要，且镜子要水平水平放置放置；2.利用物理学
7、中的利用物理学中的“反射角等于入射角反射角等于入射角”及及“等角的余角等角的余角相等相等”相关知识相关知识可以知道可以知道，反射光线，反射光线和入射和入射光线与镜面光线与镜面的夹角的夹角相等相等.找到一找到一组锐角组锐角对应相等，对应相等，创造创造相似条件相似条件.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲(1)在观测者与被测物体之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记；(2)测出观测者眼睛到地面的高度；(3)观测者看着镜子来回走动，直至看到被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上的标记位置到观测者脚底的距离及到被测物体底端的距离；感悟新知感悟新知知知3 3讲讲(4)根据两角分别对应
8、相等推导出两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出被测物体的高度.示例感悟新知感悟新知知知3 3练练如图27.243 是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处水平放一平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，测得AB2 m，BP3 m，PD12 m，求该古城墙CD的高度.例 3感悟新知感悟新知知知3 3练练思路引导：感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练31.中考 南充 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚
9、好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为()A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 mB感悟新知感悟新知知知4 4讲讲1.测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离.知识点知识点利用相似测量宽度利用相似测量宽度4感悟新知感悟新知知知4 4讲讲2.常见的测量方式：(1)构造“A”型相似，如图27.244.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲(2)构造“X”型相似，如图27.245.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲特别解读特别解读
10、利用相似三角形利用相似三角形测量高度测量高度、宽度等的、宽度等的一般步骤一般步骤：1.利用利用平行线、标杆平行线、标杆等构造等构造相似三角形；相似三角形；2.测量与表示测量与表示未知量的未知量的线段相对应的线段相对应的边长边长以及另外任意以及另外任意一一组组对应边的长度对应边的长度；3.画画出示意图，利用出示意图，利用相似三角形相似三角形的性质，的性质，列出列出以上包括以上包括未未知量在内知量在内的四个量的的四个量的比例式比例式，解出未知量；，解出未知量；4.检验并得出答案检验并得出答案.感悟新知感悟新知知知4 4练练如图27.246，我们想要测量河两岸相对的两点A，B 之间的距离(即河宽).
11、方案：先从B点出发向与AB成90角的方向走50 m到O处立一标杆，然后方向不 变，继续向前走10 m 到C处，在C处向右转90，沿CD方向再走17 m到D处，使得点A，O，D在同一条直线上，那么点A，B之间的距离是多少？例 4感悟新知感悟新知知知4 4练练解题秘方：根据测量过程中的数据建立几何(相似三角形)模型，利用相似三角形对应边成比例求解.感悟新知感悟新知知知4 4练练41.如图，身高为1.6 m的小李AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量对岸一棵树CD的高度，CD的倒影是 CD，点B，E，D在同一水平线上，且A，E，C在一条视线上，河宽BD12 m，且BE2 m，求树CD的高度.感悟新知感
12、悟新知知知4 4练练课堂小结课堂小结相似三角形应用举例相似三角形应用举例相似的应用测量高度测量宽度工具光线镜子标杆或直尺综合应用创新综合应用创新方法方法利用中间比法求物高利用中间比法求物高1周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度.如图27.247所示，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于点N时，他的视线从点M通过露台点D 正好落在遮阳篷点A处；例 5综合应用创新综合应用创新当他位于点N时，视线从点M通过点D正好落在遮阳篷点B 处，这样观测到的两个点A，B间的距离即为遮阳篷的宽.已知ABCDEF，点C在AG上，AG，DE
13、，MN，MN均垂直于EF，MNMN，露台的宽CDGE.实际测得GE5 m，EN15.5 m，NN6.2 m.请根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB 是多少米.综合应用创新综合应用创新解题秘方:根据平行线找三角形相似，利用相似三角形的性质建立线段之间的关系解决问题.解:如图27.247所示，延长MM交DE于点H.由图可知HMEN15.5 m，CDGE5 m，MMNN6.2 m，HMEF.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新解题通法解题通法利用相似求物高：利用相似求物高：解决实际问题解决实际问题中的中的求高度或距离求高度或距离问题时问题时，常建立，常建立几何几何模型构造模型构造相似三角形，
14、相似三角形，常作常作的辅助线是的辅助线是平行线平行线、垂线或延、垂线或延长线长线，利用，利用相似三角形相似三角形对应边对应边成比例的性质求解成比例的性质求解.综合应用创新综合应用创新解题策略解题策略一些复杂的一些复杂的实际问题实际问题常涉及两个常涉及两个图形图形，并且未知线段，并且未知线段过多过多，此时需要多次，此时需要多次运用运用相似三角形的相似三角形的性质性质，有时还需要，有时还需要借助方程借助方程来求解来求解.综合应用创新综合应用创新方法方法利用利用分割分割(补形补形)法法求物高求物高2如图27.248，在离某建筑物CE 4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影
15、子GH的长为2 m，此时树AB的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物CE的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树AB的高度是多少米？例 6综合应用创新综合应用创新解题秘方：添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求解.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新方法方法利用影子断物法求物高利用影子断物法求物高3例 7综合应用创新综合应用创新解题秘方:利用同一时刻影长和物高成比例，建立线段之间的数量关系解决问题.综合应用创新综合应用创新答案：D综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新方法点拨方法点拨当物体的影子当物体的影子落在落在斜坡
16、上时，常斜坡上时，常延长光线延长光线画出若无斜画出若无斜坡坡阻挡阻挡时物体在地面上时物体在地面上的影子的影子，根据，根据相似三角形相似三角形的性质、的性质、直角三角形直角三角形的性质、的性质、勾股定理及勾股定理及方程思想求解方程思想求解.综合应用创新综合应用创新如图27.251，铁道口栏杆的短臂OA长为1.25 m，长臂OB长为16.5 m，当短臂端点(AC)下降0.85 m 时，长臂端点(BD)升高了多少米？(不计栏杆的宽度)例 8易错点易错点不能准确理解题目中的已知条件，从而导致错误不能准确理解题目中的已知条件，从而导致错误综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应
17、用创新诊误区：诊误区：构造构造直角三角形直角三角形解决实际问题时解决实际问题时，要，要注意对应量的注意对应量的关关系系，如本题中错，如本题中错解是解是把把AC的的长当成长当成了下降了下降的高度，把的高度，把BD的的长当成了上升长当成了上升的高度的高度，实际上，实际上CE的长的长为下降的高度，为下降的高度，DF的的长为上升的高度长为上升的高度.中考风向标中考风向标 中考菏泽如图27.252，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的距离，选择测量点A，B，C，点B，C 分别在AM，AN 上，考法考法利用相似
18、三角形的性质解实际中利用相似三角形的性质解实际中测距测距离的应用离的应用1例 9中考风向标中考风向标现测得AM1 000 m，AN1 800 m，AB54 m，BC 45 m，AC30 m，求M，N 两点之间的距离.试题评析：本题考查了相似三角形的判定和性质，读懂题意，建立相似三角形的模型是解题的关键.中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考陕西小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高如图27.253，考法考法利用影长测量不在地面的物高利用影长测量不在地面的物高的应用的应用2例10中考风向标中考风向标在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16m，OA的影长O
19、D为20m，小明的影长FG为2.4m，其中O，C，D，F，G 五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AOOD，EFFG.已知小明的身高EF 为1.8 m，求旗杆的高AB.试题评析：本题主要考查利用相似三角形的性质测量物高，关键是找出图形中相似的三角形.中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考湖州某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图27.254，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，考法考法利用光的反射原理测量物高的应用利用光的反射原理测量
20、物高的应用3例11中考风向标中考风向标再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CDBD于点D，EFBD于点F，ABBD于点B，BF6m，DF2m，EF0.5 m，CD1.7 m，则这棵树的高度(AB的长)是_m.4.1中考风向标中考风向标试题评析：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，利用已知条件得出相似三角形是解题的关键.中考风向标中考风向标解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图27.254，DB 是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，DHEFGB0.5 m，EHDF2 m，EGFB6 m，CHCDDH1.
21、70.5 1.2(m).根据题意得CHEAGE90，CEH AEG，中考风向标中考风向标综合素养训练综合素养训练1.模拟柳州某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS45 m，ST90 m，QR60 m，则河的宽度PQ 是()A.70 m B.80 mC.90 m D.100 mC综合素养训练综合素养训练A综合素养训练综合素养训练3.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光沿直线传播的特性实现图像投影的方法.如图，燃
22、烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像AB，设AB36 cm，AB2 4 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到AB的距离为_cm.20综合素养训练综合素养训练4.期中杭州西湖区如图，某校宣传栏BC后面12 m处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BCED，且相邻两棵树的间隔为2 m，一人站在宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住.已知AFBC，AF3 m，BC10 m，该宣传栏后DE处共有_棵树(不计宣传栏的厚度).26综合素养训练综合素养训练5.九章算术中记载了一种测量井深的方法如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察
23、井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB1.6 m，BD1 m，BE0.2 m，那么AC 为_m7综合素养训练综合素养训练6.中考温州如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AEl，BFl，点N，A，B在同一直线上在F点观测A 点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现12.测得EF15 m，FM2 m，MN8 m，ANE45，则场地的边AB为_m，BC为_m.综合素养训练综合素养训练7.期中哈尔滨南岗区在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.8 m，测量树的影子除落在地面上外，还
24、有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图)，落在地面上的影长为4.8 m，一级台阶高为0.25 m，落在第一级台阶上的影子长为0.2 m，则树的高度为_m.6.5综合素养训练综合素养训练8.如图，小明想用镜子测量一棵古松树AB的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好在镜中看到树尖A，第二次他把镜子放在点C处，人在点F处正好在镜中看到树尖A.已知小明眼睛距地面1.6 m，量得CC7 m，CF2 m，CF3 m，求这棵古松树AB 的高.综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练9.二模西安高新区如图，小娟和妈妈二人配合测
25、量小区内一棵树的高度AD.她们的身高分别是1.6 m，1.8 m(EB1.6 m，FC1.8 m)，小娟在距离树0.3 m 的B处(AB0.3 m)，看树的顶端D 的视线为ED，原地再看妈妈的头部，视线为EF，妈妈经过移动调整位置，当EFED时妈妈停止移动，这时测得AC9.5 m.综合素养训练综合素养训练已知点A，B，C 在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD.解：如图，过点E作EGCF于点G，延长GE交AD于点H，则GHAD，四边形CBEG和四边形AHEB是矩形，AHBECG1.6 m，BCEG9.50.39.2(m)，ABHE0.3 m.综合素养训练综合素养训练综合
26、素养训练综合素养训练10.拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1 000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度.综合素养训练综合素养训练东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E，G 两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5 m 的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46 m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内.综合素养训练综合素养训练从标杆EF后退2 m 到D处(即ED2 m)，从D 处观察A点，A，F，D在同一直线上；从标杆G
27、H后退4 m 到C处(即 CG4 m)，从C处观察A 点，A，H，C 三点也在同一直线上，且B，E，D，G，C 在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助数学兴趣小组求出东塔AB的高度.综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练11.下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容.项目主题：测量河流的宽度.项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子、标杆、皮尺、自制的直角三角形模板，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度.综合素养训练综合素养训练项目成果：下表是小明进行交流展示的部分测量方案
28、及测量数据：题目测量河流宽度AB测量方案示意图测量数据BC1.6 m，BD10 m，DE2.0 m综合素养训练综合素养训练请你参与这个项目学习，并完成下列任务.(1)任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB；综合素养训练综合素养训练(2)任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用到的数学知识：_(写出一条即可)；相似三角形的对应边成比例(答案不唯一，合理即可)综合素养训练综合素养训练(3)任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下.(答案不唯一，合理即可)在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面B的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达C处，在C处竖立一竹竿，然后继续向东行走到D处，使得CDBC，再沿着与河岸垂直的位置行走，当走到与A，C共线时停下，位置记为E，这时DE的长度即表示河流的宽度
