1、学习目标学习目标27.3 27.3 位似位似第二十七章第二十七章 相似相似感悟新知感悟新知知识点知识点位似图形的定义位似图形的定义知知1 1讲讲1位似图形与位似中心如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心位似多边形对于两个多边形,如果它们的对应顶点的连线相交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表位似多边形如图，ABC与ABC是以点O为位似中心的位似图形；如图，四边形ABCD与四边形ABCD 是以点A(A)为位似中心的位似图形；如图，五
2、边形ABCDE与五边形ABCDE是以点O为位似中心的位似图形感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表位似与相似的区别与联系(1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例;(2)位似图形是相似图形的特例，如果两个图形是位似图形,那么这两个图形一定是相似图形,但相似的两个图形不一定是位似图形感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.两两个位似图形的个位似图形的位似中心位似中心有且只有一个有且只有一个.2.位似位似中心可能中心可能位于两位于两个位似图形的个位似图形的同侧同侧，也可能位于两，也可能位于两个位似个位似图形之间，
3、还图形之间，还可能可能位于两位于两个个位似图形位似图形的内部或边上的内部或边上或某或某一一个个顶点顶点处处(如如图图27.31所所示示).感悟新知感悟新知知知1 1练练例 1判断如图27.32所示的各图中的两个图形是不是位似图形，如果是，请指出其位似中心.感悟新知感悟新知知知1 1练练解题秘方：紧扣“位似图形的定义”进行判断，关键看对应点的连线是否交于一点.解：(1)是位似图形，位似中心为点A.(2)不是位似图形.(3)是位似图形，位似中心为点O.感悟新知感悟新知知知1 1练练11.如图是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是()A.对称 B.平移C.旋转 D
4、.位似D感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点位似图形的性质位似图形的性质2性质1位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比性质2位似图形上任意一组对应点的连线都经过位似 中心性质3 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上性质4位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质感悟新知感悟新知知知2 2讲讲续表示例感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别解读特别解读利用位似图形的性质利用位似图形的性质可解决可解决：1.多边形的放大多边形的放大或缩小或缩小；2.确定位似中心；确定位似中心；3.求周长或面积求周长或面积.感悟新知感悟新知知知2 2练练找出如图27.33 所示的位似图形的位
5、似中心.例 2解题秘方：紧扣“位似图形每组对应顶点的连线都经过位似中心”进行查找.解：如图27.33，点P1，P2，P3即为所求的位似中心.感悟新知感悟新知知知2 2练练21.如图，正方形网格图中的ABC 与ABC是位似关 系，则位似中心是()A.点D B.点EC.点F D.点GA感悟新知感悟新知知知2 2练练如图27.34，ABC 与A B C关于点O位似，AO3，AO6.解题秘方：紧扣位似图形相似比的性质进行计算.例 3感悟新知感悟新知知知2 2练练(1)若AC5，求AC的长；感悟新知感悟新知知知2 2练练(2)若ABC的面积为7，求ABC的面积.感悟新知感悟新知知知2 2练练31.如图，
6、以点O为位似中心，将ABC放大得到DEF，若ADOA，ABC的面积为4，则DEF的面积为()A.2 B.8 C.16 D.24C感悟新知感悟新知知知2 2练练32.中考长春如图，ABC和ABC是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA上.若OA AA1 2，则ABC和ABC的周长之比为_.1 3感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点位似图形的画法位似图形的画法31.位似变换:利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小叫做位似变换.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.位似图形的画法感悟新知感悟新知知知3 3讲讲特别提醒特别提醒以一点为位似以一点为位似中心中心画位似图形时，画位似图形时，符合符合要
7、求的图形往要求的图形往往往不唯一不唯一，一般情况下，一般情况下，同一同一个位似中心的个位似中心的两侧各两侧各有一个有一个符合要求符合要求的图形的图形.感悟新知感悟新知知知3 3练练如图27.35，已知四边形ABCD，将四边形ABCD放大，使放大后的图形与原图形是位似图形，且放大后的图形与原图形对应线段的比为2 1.例 4解题秘方：紧扣“位似图形的定义和性质”，按画位似图形的步骤作图(画法不唯一).感悟新知感悟新知知知3 3练练解：(画法不唯一)根据位似中心的不同位置情况进行作图.画法一：位似中心在四边形的顶点上，如图27.36，以点A为位似中心，四边形AB1C1D1就是所求作的图形.感悟新知感
8、悟新知知知3 3练练画法二：位似中心在四边形的边上，如图27.37，以AD边上一点为位似中心，四边形A1B1C1D1就是所求作的图形.感悟新知感悟新知知知3 3练练41.如图，在1010的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O 和点A1在格点上，ABC是格点三角形 (顶点在网格线交点上).(1)画出ABC以点O为位似中心的位似图形A1B1C1，点A，B，C 的对应点分别为点A1，B1，C1；(2)A1B1C1与ABC的周长之比为_.解：如图，A1B1C1即为所求3 1感悟新知感悟新知知知4 4讲讲1.位似变换时对应点的坐标的变化规律一般地,在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一
9、个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(kx，ky).知识点知识点平面直角坐标系中的位似变换平面直角坐标系中的位似变换4感悟新知感悟新知知知4 4讲讲感悟新知感悟新知知知4 4讲讲2.位似变换与平移、轴对称、中心对称三种变换的异同：变换方式点P(x，y)的坐标变化规律平移当点P向左平移a(a0)个单位长度时，点P的坐标变为(xa，y)当点P向右平移a(a0)个单位长度时，点P的坐标变为(xa，y)当点P向上平移a(a0)个单位长度时，点P的坐标变为(x，ya)当点P向下平移a(a0)个单位长度时，点P的坐标变为(
10、x，ya)感悟新知感悟新知知知4 4讲讲续表轴对称当点P 关于x 轴对称时，点P 的坐标变为(x，y)当点P 关于y 轴对称时，点P 的坐标变为(x，y)中心对称当点P 关于原点对称时，点P 的坐标变为(x，y)感悟新知感悟新知知知4 4讲讲续表位似变换当位似图形与原图形的相似比为k，且原图形上的点P 与其对应点在原点同侧时，点P 的坐标变为(kx，ky)当位似图形与原图形的相似比为k，且原图形上的点P 与其对应点在原点异侧时，点P 的坐标变为(kx，ky)感悟新知感悟新知知知4 4讲讲特别提醒特别提醒1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，位似图形与原在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，
11、位似图形与原图形的相似比为图形的相似比为k，那么，那么当位似图形与原图形在原点的同当位似图形与原图形在原点的同侧时侧时，原图形上的点，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标对应的位似图形上的点的坐标为为(kx，ky)；当位似当位似图形图形与原图形在与原图形在原点的原点的两侧时两侧时，原图，原图形上形上的点的点(x，y)对应对应的位似的位似图形上的点图形上的点的坐标的坐标为为(-kx，-ky).2.当当k1时时，图形，图形扩大为扩大为原来的原来的k倍；倍；当当0k1时时，图形，图形缩小缩小为为原来的原来的k.感悟新知感悟新知知知4 4练练如图27.39，已知O 是坐标原点，B，C 两点
12、的坐标分别为(3，1)，(2，1).解题秘方：根据位似中心及相似比作图，再利用位似变换时对应点的坐标的变化规律求对应点的坐标.例 5感悟新知感悟新知知知4 4练练(1)画出以点O为位似中心，在y轴的左侧将OBC放大为原来的2倍(即新图与原图的相似比为2)的位似图形OBC；解：如图27.39，延长BO到点B，使OB2OB；延长CO到点C，使OC2OC，连接BC，则OBC就是要画的图形.感悟新知感悟新知知知4 4练练(2)分别写出B，C两点的对应点B，C的坐标；(3)如果OBC内部一点M的坐标为(x，y)，试写出点M的对应点M的坐标.解：点B，C的坐标分别为(6，2)，(4，2).点M(x，y)的
13、对应点M的坐标为(2x，2y).感悟新知感悟新知知知4 4练练方法点拨：位似变换作图的思路有两种：一种是先求出变换后对应点的坐标，再描点画图；另一种是先根据对应边的比画出位似变换后的图形，再确定对应点的坐标.感悟新知感悟新知知知4 4练练51.模拟芜湖 如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(2，2)，C(1，3).感悟新知感悟新知知知4 4练练(1)将ABC绕点O 按逆时针方向旋转90，得到A1B1C1，画出A1B1C1；解：如图，A1B1C1即为所作感悟新知感悟新知知知4 4练练(2)以点O为位似中心，在y 轴右侧，将ABC放大为原来的2 倍得到DEF，画出DEF；(3)经过(2)的变
14、换后，若在 ABC 内有一点P(a，b)，则点P 放大后的对应点的坐标是_.解：如图，DEF即为所作(2a，2b)课堂小结课堂小结位似位似位似图形定义性质画法坐标规律综合应用创新综合应用创新题型题型网格中的位似变换网格中的位似变换1如图27.310，在边长为1的正方形网格纸中，ABC为格点三角形(顶点都在格点上).例 6综合应用创新综合应用创新思路引导：(1)求ABC的面积；综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新思路引导：综合应用创新综合应用创新解：ABC的位似图形如图27.310中的ABC和ABC.综合应用创新综合应用创新技巧点拨技巧点拨画位似图形的技巧：画位似图形的技巧：1.对应
15、对应点可以在位似点可以在位似中心中心的同侧，也可以的同侧，也可以在位似在位似中心的异中心的异侧，侧，所以所以一个图形按照一个图形按照给定的给定的相似比可以画出相似比可以画出它的它的两个两个位似图形位似图形.2.在网格中画位似在网格中画位似图形图形时，可采用数时，可采用数格的格的方法确定关键方法确定关键点点的的位置位置.3.在坐在坐标系内画位似标系内画位似图形图形时，可计算对应时，可计算对应点的点的坐标确定关坐标确定关键点键点的位置的位置.综合应用创新综合应用创新题型题型位似中心是坐标原点的位似变换位似中心是坐标原点的位似变换2如图27.311，已知ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(5
16、，4)，C(1，5).例 7综合应用创新综合应用创新(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；解题秘方：利用关于x 轴对称的点的特征得出对应点的位置即可；解：如图2 7.311所示，A1B1C1即为所求.综合应用创新综合应用创新(2)以点O为位似中心，在y轴右侧，将ABC放大得到A2B2C2，使A2B2C2与ABC的相似比为2 1.请在图中画出A2B2C2，并写出点B2的坐标.解题秘方：利用位似图形的性质得出对应点的坐标，进而得出答案.综合应用创新综合应用创新解：如图27.311所示，A2B2C2即为所求.B2(10，8).综合应用创新综合应用创新方法点拨方法点拨以原点为位似以原点为位似中心
17、中心进行位似变换时进行位似变换时，一定，一定要注意横、要注意横、纵坐标纵坐标符号的变化，即符号的变化，即如果如果两图形在原点两图形在原点同侧同侧，符号相同；，符号相同；如果两如果两图形在原点异侧图形在原点异侧，符号，符号相反相反.综合应用创新综合应用创新题型题型位似中心不是坐标原点的位似变换位似中心不是坐标原点的位似变换3期末长春绿园区如图27.312，ABC和ABC是以点C为位似中心的位似图形，且ABC和ABC的面积之比为1 4，点C的坐标为(1，0)，若点A的对应点A的横坐标为2，则点A的横坐标为_.例 87综合应用创新综合应用创新解题秘方：作出辅助线，根据相似三角形的判定和性质求出所求点
18、的坐标.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新知识拓展知识拓展位似图形中坐标的位似图形中坐标的变化变化规律：规律：将一个图形将一个图形按照一定按照一定的相似比的相似比(k)放大放大或缩小，设或缩小，设位似位似中心中心的坐标为的坐标为(a，b)，如果图形，如果图形中某个中某个点的坐标为点的坐标为A(m，n)，那么，那么变换变换后对应点后对应点A的的横坐标横坐标为为k(ma)a或或k(a m)a，纵坐标，纵坐标为为k(nb)b或或k(bn)b.综合应用创新综合应用创新题型题型位似变换的应用位似变换的应用4如图27.313，ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正
19、方形的边DE落在BC上，顶点F，G分别落在AC，AB上.例 9解题秘方：根据位似图形的作法，紧扣“位似图形的定义和性质”说明理由.综合应用创新综合应用创新证明：四边形DEFG 为正方形，GDFE，GDE FED90.GDB FEC90.ABC 是等边三角形，B C60.BDG CEF.(1)求证：BDG CEF.综合应用创新综合应用创新(2)探究：怎样在铁片上准确地画出正方形DEFG？小聪和小明各给出了一种想法，请你在(a)和(b)两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.(a)小聪想：只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE的长，从而确定D 点和E 点，再画正方形DEFG 就容易了.设ABC的
20、边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示).综合应用创新综合应用创新(b)小明想：不求正方形的边长也能画出正方形DEFG.具体作法如图27.313所示：在AB边上任取一点G，作正方形GDEF(点D，E在BC边上)；连接BF并延长,交AC于点F；作FEFE，交BC 于点E，FGFG，交AB 于点G，GDGD，交BC于点D，则四边形DEFG 即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新解法提醒解法提醒1.位似图形的应用位似图形的应用：利用：利用位似解决实际位似解决实际问题问题，关键是
21、先将，关键是先将实际问题实际问题转化为数学转化为数学问题问题，把实物图转化，把实物图转化为几何图形为几何图形，再结合再结合位似位似图形的性质图形的性质解决问题解决问题.2.利用位似可以将利用位似可以将一个一个图形放大或缩小图形放大或缩小，在，在一些作图问题一些作图问题中中，可以，可以利用位似的知识作出题目要求利用位似的知识作出题目要求的图形的图形.综合应用创新综合应用创新例10易错点易错点未分类讨论位似图形与位似中心的位置而出错未分类讨论位似图形与位似中心的位置而出错综合应用创新综合应用创新错解：C正解：CDO与ABO可以在位似中心的同侧或异侧，点C的坐标可以为(1，2)或(1，2).答案：D
22、综合应用创新综合应用创新诊误区：诊误区：当位似当位似图形图形的位置不的位置不明确明确时，时，要要考虑两种考虑两种情况情况:与与原原图图形位于形位于位似中心位似中心的同侧的同侧和异和异侧侧.中考风向标中考风向标中考 阜新 如图27.314，ABC和DEF是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为2 3，则ABC和DEF的面积比是_.4 9考法考法利用位似图形的性质求面积比利用位似图形的性质求面积比1例11中考风向标中考风向标试题评析：本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系是解题的关键.解：ABC与DEF是以点O为位似中心的位似图形，ABCDEF.又 ABC与DEF的相似比为2 3
23、，ABC与DEF的面积之比为22 324 9.中考风向标中考风向标中考浙江如图27.315，在平面直角坐标系中，ABC与ABC是位似图形，位似中心为点O.若点A (3，1)的对应点为A(6，2)，则点B(2，4)的对应点B的坐标为()A.(4，8)B.(8，4)C.(8，4)D.(4，8)考法考法利用位似变换的性质求坐标系利用位似变换的性质求坐标系中点的中点的坐标坐标2例12中考风向标中考风向标试题评析：此题主要考查了位似变换的点的坐标的变化规律，由已知点的坐标得出相似比是解题的关键.解：ABC与ABC是位似图形，位似中心为点O，点A (3，1)的对应点为A(6，2)，ABC与ABC的相 似比
24、为1 2，且在原点O的同侧.点B的坐标为(2，4)，点B的对应点B的坐标为(22，42)，即(4，8).答案：A中考风向标中考风向标中考凉山州如图27.316，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(2，1)，C (4，5).考法考法利用图形变换的特点在坐标系中利用图形变换的特点在坐标系中作图作图计算计算3例13中考风向标中考风向标试题评析：本题考查了位似变换、轴对称变换的知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义.中考风向标中考风向标解：如图2 7.316，A1B1C1就是所求作的三角形.(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；
25、中考风向标中考风向标(2)以原点O为位似中心，在x 轴上方画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且相似比为2，求出A2B2C2的面积.中考风向标中考风向标综合素养训练综合素养训练1.如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，ABC的位似图形可以是()A.DEF B.DFHC.GEH D.GDJC综合素养训练综合素养训练2.如图，以点O为位似中心，把ABC的各边长扩大为原来的2倍得到ABC，下列说法中，错误的是()A.AO AA1 2B.ACACC.SABC SABC1 4D.A，O，A三点在同一条直线上A综合素养训练综合素养训练3.如图，在平面直角坐标系中，将OAB以原点O为位似中心放大
26、后得到OCD,若B(0，1)，D(0，3)，则OAB 与OCD的相似比是()A.2 1 B.1 2C.3 1 D.1 3D综合素养训练综合素养训练D综合素养训练综合素养训练5.中考朝阳如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，1)，以原点O为位似中心，相似比为2，把OAB放大，则点A的对应点A的坐标是()A.(1，1)B.(4，4)或(8，2)C.(4，4)D.(4，4)或(4，4)D综合素养训练综合素养训练6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别是O(0，0)，A(1，0)，B(2，3)，C(1，2)，若四边形OABC与四边形OABC关于原点O位似，且四边形O
27、ABC的面积是四边形OABC 面积的4 倍，则第一象限内点B的坐标为_.(4，6)综合素养训练综合素养训练7.如图，在平面直角坐标系中，ABC与ABC的相似比为1 2，点A是位似中心，已知A(2，0)，C(a，b)，则点C的坐标为_(结果用含a，b的式子表示).(62a，2b)综合素养训练综合素养训练8.中考巴中ABC在边长为1的正方形网格中，如图所示.综合素养训练综合素养训练(1)以点C为位似中心，作出ABC的位似图形A1B1C，使ABC与A1B1C的相似比为1 2，且ABC与A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标；解：如图所示，A1B1C即为所求A1的坐标为(3，3)综合素养训练综合
28、素养训练(2)作出ABC绕点 顺时针旋转90后的图形A2B2C；解：如图所示，A2B2C即为所求综合素养训练综合素养训练(3)在(2)的条件下求出点B经过的路径长综合素养训练综合素养训练9.小明同学在研究如何在ABC内作一个面积最大的正方形时，想到了可以利用位似知识解决这个问题，他的作法如图所示，先在ABC内作一个小正方形DEFG，使得顶点D落在边AB上，顶点E，F落在边BC上，然后连接BG并延长，交边AC于点H，作HKBC于点K，HIBC交边AB于点I，再作IJBC于点J，则正方形HIJK 就是所作的在 ABC 内面积最大的正方形.综合素养训练综合素养训练(1)若ABC中，AB4，ABC60
29、，ACB45，请求出小明所作的在ABC内面积最大的正方形的边长；解：如图，作AMBC于点M，交HI于点N，则ANHI.设正方形HIJK的边长为x.在RtABM中，AMB90，B60，BAM30.综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练(2)拓展运用：如图，已知BAC，在角的内部有一点 P，请画一个 M，使得 M经过点P，且与AB，AC都相切.(注：简要说明作法)综合素养训练综合素养训练解：如图所示作法如下：作BAC的平分线AQ；在AQ上取一点O，作O和AB，AC相切；连接AP交O于点E，F，连接OE，OF；过点P作PM1OE交AQ于点M1；以点M1为圆心，PM1长为半径作M1，M1即为所求过点P作PM2OF交AQ于点M2，以点M2为圆心，PM2长为半径作M2，M2即为所求
