1、学习目标学习目标27.2 27.2 相似三角形相似三角形第二十七章第二十七章 相似相似2 2感悟新知感悟新知知识点知识点相似三角形对应线段的性质相似三角形对应线段的性质知知1 1讲讲11.相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2.相似三角形对应线段的比等于相似比.图形推理结论相似比相似比为k感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表图形推理结论对应高的比AD，AD分别为ABC和ABC的高相 似 三 角形 对 应 高的 比 等 于相似比感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表图形推理结论对应中线的比AM，AM分别为ABC和ABC的中线相似三角形对应中线的比等于相似比感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表图形推理结
2、论对应角平分线的比AN，AN分别为ABC和ABC的角平分线相似三角形对应角平分线的比等于相似比感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表图形推理结论周长的比相似三角形周长的比等于相似比感悟新知感悟新知知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒在应用相似三角形在应用相似三角形对应线段对应线段的性质的性质解题时解题时，要注意前提条件：，要注意前提条件：1.两两个三角形必须相似；个三角形必须相似；2.抓住抓住“对应对应”二字二字，并不是相似三角形中，并不是相似三角形中任意高的比、任意高的比、中中线的线的比、角平分线的比、角平分线的比都比都等于相似比等于相似比.对应高对应高指对应边上的指对应
3、边上的高高，对应，对应中线指对应中线指对应边上边上的中线，对应角平分线指对应角的中线，对应角平分线指对应角的平分的平分线线.感悟新知感悟新知知知1 1练练例 1如图27.232，在ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的交点为P，矩形相邻两边的比为1 2.若BC30 cm，AD10 cm，求矩形EFGH 的周长.解题秘方：利用相似三角形对应高的比等于相似比求解.感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练D感悟新知感悟新知知知1 1练练ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则DEF的周长是
4、 ()A.54 B.36 C.27 D.21解题秘方：方法1：紧扣“相似三角形对应边成比例”列方程求解.方法2：紧扣“相似三角形周长的比等于相似比”列方程求解.例 2感悟新知感悟新知知知1 1练练答案：C感悟新知感悟新知知知1 1练练21.中考内江已知ABC与DEF相似，且相似比为1 3，则ABC与DEF的周长之比是()A.1 1 B.1 3C.1 6 D.1 9B感悟新知感悟新知知知1 1练练B感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点相似三角形面积的性质相似三角形面积的性质2图形推理结论相似比相似比为k面积比相似三角形面积的比等于相似比的平方感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别提醒特别提醒面
5、积的比是面积的比是相似比相似比的平方，不要与的平方，不要与对应对应线段的比、线段的比、周长周长的比的比等于相似比混淆等于相似比混淆.感悟新知感悟新知知知2 2练练如图27.233，ABCABC，BC6，BC4，ADBC于点D，AD4，求ABC的面积.解题秘方：利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解.例 3感悟新知感悟新知知知2 2练练不要误认为相似三角形不要误认为相似三角形面面积积的比等于相似比的比等于相似比感悟新知感悟新知知知2 2练练31.如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE2DE，BD 与CE 相交于点F，若DEF的面积是3，则 BCF的面积是_.27课堂小结课堂小结相似
6、三角形的性质相似三角形的性质相似比对应线段周长面积相似三角形的性质综合应用创新综合应用创新题型题型利用相似三角形的性质求线段长利用相似三角形的性质求线段长1如图27.234，在RtABC中，AC4，BC3，C90，DEAB.例 4解题秘方：紧扣“平行线构成的A 型图形相似”的特征，用相似比与面积比、周长比的关系进行求解.综合应用创新综合应用创新(1)当CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求DE的长；综合应用创新综合应用创新(2)当CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求DE的长.综合应用创新综合应用创新解法提醒解法提醒相似三角形相似三角形周长周长的比等于相似比的比等于相似比，面积，面
7、积的比等于相似的比等于相似比的比的平方；反之，两平方；反之，两个三角形个三角形相似，相似相似，相似比等于比等于周长比，周长比，相似相似比等于比等于面积比的算术面积比的算术平方根平方根.综合应用创新综合应用创新方法点拨方法点拨解题时，若题解题时，若题中涉及中涉及对应线段对应线段(中线中线、高线、高线、角平分、角平分线线)或面积或面积时，利用时，利用“相似三角形相似三角形对应线段的对应线段的比等于比等于相似相似比，相似三角形比，相似三角形面积的比等于面积的比等于相似相似比的平方比的平方”是是常用的常用的解解题途径题途径.综合应用创新综合应用创新题型题型利用相似三角形的性质求面积利用相似三角形的性质
8、求面积2例 5综合应用创新综合应用创新(1)若AB8，求线段AD的长；思路引导：综合应用创新综合应用创新(2)若ADE的面积为1，求BFED的面积.思路引导：综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新技巧点拨技巧点拨解决面积问题的解决面积问题的常用方法常用方法：1.直接用面积公式；直接用面积公式；2.利用相似三角形利用相似三角形的性质的性质；3.利用等底或等高；利用等底或等高；4.割补法割补法.综合应用创新综合应用创新思路点拨思路点拨本题本题第第(2)问问，先利用先利用相似三角形相似三角形面积的面积的比等于相似比比等于相似比的的平方平方分别求出分别求出ABC和和EFC的的面积，再面积，再
9、利用和利用和差关系差关系求求出出BFED的的面积面积.综合应用创新综合应用创新题型题型利用相似三角形的性质建立函数关系利用相似三角形的性质建立函数关系3如图27.236，已知一张三角形纸片ABC，边BC 的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，点M为AB上一动点(点M与点A，B不重合)，过点M作MNBC，交AC于点N，在AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h.例 6综合应用创新综合应用创新(1)请你用含x的代数式表示h.解题秘方：可以利用相似三角形对应高的比等于相似比表示h；方法点拨方法点拨利用相似三角形利用相似三角形对应对应高的高的比等于相似比比等于相似比建立建立等量关系等量关系.综合
10、应用创新综合应用创新(2)将AMN沿MN折叠，使AMN落在四边形BCNM所在的平面，设点A落在平面上的点为A1，A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？解题秘方：由于折叠后点A1的位置可能在四边形BCNM内部，也可能在BC边上，还可能在四边形BCNM外部，故需分类讨论.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新相似的传递性相似的传递性方法点拨方法点拨利用相似三角形利用相似三角形的面积的面积比等比等于相似比的于相似比的平方平方建立等量关系建立等量关系.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新解法提醒解法提醒本题运用了本题运用了分类讨论分类讨论
11、思想思想，对点，对点A1与四边形与四边形BCNM的的位置情况位置情况进行分类进行分类.注意多种注意多种情况的存在，情况的存在，利用利用相似找函相似找函数关系数关系往往往往需要考虑相似比需要考虑相似比与对应与对应线段的比，线段的比，以及相似以及相似比比与面积比与面积比之间的之间的关系关系.综合应用创新综合应用创新题型题型利用相似三角形的性质解决实际问题利用相似三角形的性质解决实际问题4课本中有一道复习题：如图27.237 所示，有一块三角形材料ABC，它的边BC120 mm，高AD80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC 上，AD 交PN
12、于点E，则加工成的正方形零件的边长是多少毫米？例 7综合应用创新综合应用创新思路引导：综合应用创新综合应用创新小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于思考，她又提出了如下问题:(1)如果原题中要加工成的零件是一个矩形PQMN，且此矩形由两个并排放置的正方形组成，如图27.237 所 示，此时，这个矩形零件的长和宽分别为多少毫米？综合应用创新综合应用创新相似三角形对应高的比相似三角形对应高的比等等于相似于相似比比综合应用创新综合应用创新(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形PQMN，如图27.237 所示，此矩形零件的长和宽都不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求达到最大面积时这个矩形零件的
13、长和宽.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新易错点易错点 误认为相似三角形的面积比等于相似比误认为相似三角形的面积比等于相似比两个相似三角形对应边的长分别为20 cm和40 cm，且这两个相似三角形的面积差为90 cm2.求较大三角形的面积.例 8综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新诊误区：诊误区：两个两个相似三角形相似三角形的面积比等于的面积比等于相似相似比的平方比的平方.本本题题用错用错了公式，了公式，误认为面积误认为面积比等于相似比比等于相似比.中考风向标中考风向标中考 广西如图27.238，
14、在ABC中，BC120，高AD60，正方形EFGH的边GH在BC上，点E，F 分别在AB，AC上，AD 交EF 于点N，则AN的长为()A.15 B.20 C.25 D.30考法考法利用相似三角形对应线段的比利用相似三角形对应线段的比等于相似等于相似比求线段长比求线段长1例 9中考风向标中考风向标试题评析：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质.解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形对应高的比等于相似比.中考风向标中考风向标解：设正方形EFGH的边长EFEHx.四边形EFGH 是正方形，HEFEHG90，EFBC.AE
15、FABC.AD 是 ABC 的高，HDNANE90.四边形EHDN 是矩形.DNEHx.中考风向标中考风向标答案：B中考风向标中考风向标 中考 海南如图27.239，在ABCD中，AB10，AD15，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE于点G，若BG8，则CEF的周长为()A.16 B.17 C.24 D.25考法考法利用相似三角形周长之比等于利用相似三角形周长之比等于相似比相似比解决问题解决问题2例10中考风向标中考风向标试题评析：本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握利用相似三角形的周长之比等于相似比求三角形的周长.中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标 AB
16、DF，ABEFCE.ABE的周长 CEF的周长BE CE10 5 2 1.CEF的周长为16.答案：A中考风向标中考风向标例11考法考法利用相似三角形的面积之比等于利用相似三角形的面积之比等于相似相似比比的平方解决问题的平方解决问题3中考风向标中考风向标试题评析：本题考查了相似三角形的判定和性质，正确运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题关键.综合素养训练综合素养训练1.中考重庆若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相似三角形的面积比是()A.1 3 B.1 4 C.1 6 D.1 9D综合素养训练综合素养训练D综合素养训练综合素养训练3.中考包头如图，在边长为1的小正方形组成的网
17、格 中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则ABE与CDE的周长比为()A.1 4 B.4 1 C.1 2 D.2 1D综合素养训练综合素养训练4.中考 遂宁如图，D，E，F分别是ABC三边上的点，其中BC8，BC边上的高为6，且DEBC，则DEF面积的最大值为()A.6 B.8 C.10 D.12A综合素养训练综合素养训练5.中考嘉兴如图，点P是ABC的重心，点D是边AC的中点，PEAC交BC于点E，DFBC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则ABC的面积为()A.12 B.14 C.18 D.24C综合素养训练综合素养训练A综合素养训练综合素养训
18、练综合素养训练综合素养训练8.中考广东边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为_.15综合素养训练综合素养训练9.中考黄冈如图，在ABC和DEC中，A D，BCE ACD.(1)求证：ABCDEC；证明：BCEACD，BCEACEACDACE，即ACBDCE.又AD，ABCDEC.综合素养训练综合素养训练(2)若SABC SDEC4 9，BC6，求EC的长.综合素养训练综合素养训练10.如图，在ABC中，AB6，BC8，点P为AB上一 点，APx，过点P作PQBC交AC于点Q.点P，Q的距离为y1，ABC的周长与 APQ 的周长之比为y2.(1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围；综合素养训练综合素养训练(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；解：图象如图所示综合素养训练综合素养训练(3)结合函数图象，请直接写出当y1y2时x的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2).解：当y1y2时，x的取值范围为2.1x6.
