1、13.3.2 等腰三角形的判定 考点清单解读 重难题型突破考点清单解读返回目录返回目录考点一考点一 等腰三角形的判定等腰三角形的判定13.3.2 等腰三角形的判定定义定义法法有两条边相等的三角形叫做等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形等角对等角对等边等边如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成所对的边也相等（简写成“等角对等边等角对等边”）其他其他利用利用“三线合一三线合一”中的两线合一也可以判定等中的两线合一也可以判定等腰三角形腰三角形考点清单解读返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定归纳总结归纳总结未判定三角形是
2、等腰三角形时，不能用未判定三角形是等腰三角形时，不能用“底角底角”“”“腰腰”等名词等名词.考点清单解读返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定对点典例剖析典例典例1 1 如图，在如图，在AOB AOB 中，点中，点 C C 在在OA OA 上，点上，点 E E，D D 在在 OB OB 上，且上，且 AB=AD AB=AD，CDABCDAB，CEADCEAD，求证：，求证：CDE CDE 是等腰是等腰三角形三角形.考点清单解读返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定答案答案 证明：证明：CDABCDAB，CDE=BCDE=B，又，又 CEAD CEAD，CED=ADBCED=AD
3、B，又，又 AB=AD AB=AD，B=ADBB=ADB，CDE=CEDCDE=CED，CDE CDE 是等腰三角形是等腰三角形考点清单解读返回目录返回目录考点考点二二 等边三角形的判定等边三角形的判定13.3.2 等腰三角形的判定等边三角等边三角形的判定形的判定边边三条边都相等的三角形是等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形角角三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形边角边角综合综合有一个角等于有一个角等于 60 60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形边三角形考点清单解读返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定归纳总结归纳总结 考点清单解读返回目录返回
4、目录13.3.2 等腰三角形的判定对点典例剖析典例典例2 2 如图，如图，ABO ABO 是等边三角形，是等边三角形，CDABCDAB，分别交，分别交 AOAO，BO BO 的延长线于点的延长线于点 C C，D.D.求证：求证：OCD OCD 是等边三角形是等边三角形.考点清单解读返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定答案答案 证明：证明：ABO ABO 是等边三角形，是等边三角形，A=B=AOB=60A=B=AOB=60，ABCDABCD，C=A=60C=A=60，D=B=60D=B=60，又又 COD=AOB=60 COD=AOB=60，OCD OCD 是等边三角形是等边三角形重难
5、题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定例例 1 1 在在ABC ABC 中，中，ABACABAC，ABC ABC 与与ACB ACB 的平分线的平分线交于点交于点 O O，MN MN 经过点经过点 O O，与，与 AB AB，AC AC 相交于点相交于点 M M，N N，且，且 MNBCMNBC（1 1）如图）如图 1 1，写出图中所有的等腰三角形；猜想：，写出图中所有的等腰三角形；猜想：MN MN 与与BMBM，CN CN 之间有怎样的数量关系；之间有怎样的数量关系；（2 2）如图）如图 2 2，ABC ABC 中，中，ABC ABC 的平分线的平分线 BO BO 与三角与三
6、角形外角平分线形外角平分线 CO CO 交于点交于点 O O，过点，过点 O O 作作 OMBC OMBC 交交 AB AB 于于点点 M M，交，交AC AC 于点于点 N N图中有等腰三角形吗？图中有等腰三角形吗？如果有，分如果有，分别指出它们，并直接写出别指出它们，并直接写出MN MN 与与 BM BM，CN CN 之间的数量关系之间的数量关系重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定答案答案 解：（解：（1 1）BO BO 平分平分ABCABC，CO CO 平分平分ACBACB，MBO=OBCMBO=OBC，NC
7、O=OCBNCO=OCB，MNBCMNBC，MOB=OBCMOB=OBC，NOC=OCBNOC=OCB，MBO=MOBMBO=MOB，NOC=NCONOC=NCO，BM=OMBM=OM，CN=ONCN=ON，BMOBMO，CNO CNO 是等腰三角形，是等腰三角形，即图中等腰三角形有即图中等腰三角形有BMOBMO，CNOCNO；MN=OM+ONMN=OM+ON，MN=BM+CN.MN=BM+CN.即即 MN MN 与与 BM BM，CN CN 之间的数量关系是之间的数量关系是 MN=BM+CN MN=BM+CN；重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定（2 2）BO BO 平
8、分平分ABCABC，CO CO 平分平分ACHACH，MBO=CBOMBO=CBO，NCO=OCHNCO=OCH，OMBCOMBC，MOB=OBCMOB=OBC，NOC=OCHNOC=OCH，MBO=MOBMBO=MOB，NOC=NCONOC=NCO，BM=OMBM=OM，CN=ONCN=ON，BMOBMO，CNO CNO 是等腰三角形，是等腰三角形，即图中等腰三角形有即图中等腰三角形有BMOBMO，CNOCNO；MN MN 与与 BM BM，CN CN 之间的数量关系是之间的数量关系是 MN=BM-CN MN=BM-CN重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定变式衍生变式衍
9、生1 1 如图，在如图，在ABC ABC 中，中，DEBCDEBC，ABC ABC 和和ACB ACB 的平分线分别交的平分线分别交 ED ED 于点于点 G G，F F，若若FG=2FG=2，ED=5ED=5，则则 BE+DC BE+DC 的值为（的值为（）A A 5 5 B B 6 6 C C 7 7 D D 8 8C重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定思路点拨思路点拨 重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定例例2 2 如图，如图，C C 为线段为线段 AB AB 上一点，上一点，ACMACM，CBN CBN 都是都是等边三角形，连结等边三角形，连
10、结 AN AN 交交 MC MC 于点于点 E E，连结，连结 BM BM 交交 CN CN 于于点点 F F，连结，连结EFEF（1 1）求证：）求证：AN=BMAN=BM；（2 2）求证：）求证：CEF CEF 为等边三角形为等边三角形.重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定答案答案 证明：（证明：（1 1）ACMACM，CBN CBN 是等边三角形，是等边三角形，AC=MCAC=MC，BC=NCBC=NC，ACM=NCB=60ACM=NCB=60，ACM+MCN=NCB+MCNACM+MCN=NCB+MCN，即，即ACN=MCBACN=MCB，在在ACN ACN 和和
11、MCB MCB 中，中，AC=MC AC=MC，ACN=MCB ACN=MCB，NC=BC,NC=BC,ACNACNMCBMCB（S.A.S.S.A.S.），），AN=BMAN=BM；重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定 （2 2）ACNACNMCBMCB，CAN=CMBCAN=CMB，又又 MCF=180 MCF=180-ACM-NCB=180-ACM-NCB=180-60-60-6060=60=60，ACE=60ACE=60，MCF=ACEMCF=ACE，在，在CAE CAE 和和CMF CMF 中，中，CAE=CMF CAE=CMF，CA=CM CA=CM，ACE=
12、MCF,ACE=MCF,CAECAECMFCMF（A.S.A.A.S.A.），），CE=CFCE=CF，CEF CEF 为等为等腰三角形，又腰三角形，又 ECF=60 ECF=60，CEF CEF 为等边三角形为等边三角形重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定变式衍生变式衍生 2 2 如图，如图，ABC ABC 是等边三角形，是等边三角形，D D，E E，F F 分别是边分别是边ABAB，BCBC，CACA上的点，且上的点，且 AD=BE=CF AD=BE=CF，求证：，求证：DEF DEF 是等边三角形是等边三角形重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定证明：ABC 是等边三角形，A=B=C=60，AB=BC=AC，AD=BE=CF，BD=CE=AF，在ADF 和BED 中，AD=BE，A=B，AF=BD,ADFBED（S.A.S.），DF=DE，同理 DE=EF，DE=DF=EF，DEF 是等边三角形.重难题型突破返回目录返回目录13.3.2 等腰三角形的判定解题通法解题通法 等边三角形三边相等，三角相等的性质常等边三角形三边相等，三角相等的性质常与全等三角形结合证明边或角相等与全等三角形结合证明边或角相等.
