1、13.3.1 等腰三角形的性质 考点清单解读 重难题型突破 易错易混分析 方法技巧点拨考点清单解读返回目录返回目录考点一考点一 等腰三角形的性质等腰三角形的性质13.3.1 等腰三角形的性质定义定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相关相关概念概念等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角叫做底角性质性质等腰三角形的两底角相等（简写成等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等等边对等角角”）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线
2、互等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（简称相重合（简称“三线合一三线合一”）考点清单解读返回目录返回目录 续表续表13.3.1 等腰三角形的性质性质性质等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴拓展拓展与等腰三角形两个底角相邻的两个外角相等与等腰三角形两个底角相邻的两个外角相等与等腰三角形顶角相邻的外角等于一个底角的两与等腰三角形顶角相邻的外角等于一个底角的两倍倍等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线和高相等，底边的中点到两腰的距离相等和高相等，底边的中点到两腰的距离相等考点清单解读返回目录返回目录13.
3、3.1 等腰三角形的性质归纳总结归纳总结“三线合一三线合一”是等腰三角形特有的性质，在等腰三角形是等腰三角形特有的性质，在等腰三角形中，若中，若“三线三线”中有中有“一线一线”成立，则其余成立，则其余“两线两线”都成立都成立.考点清单解读返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质对点典例剖析典例典例1 1 如图，如图，ABC ABC 中，中，AB=ACAB=AC，D D 是是 BC BC 的中点，下的中点，下列结论中不一定正确的是列结论中不一定正确的是 （）A.B=CA.B=CB.ADBCB.ADBCC.AD C.AD 平分平分BACBACD.AB=2BDD.AB=2BD考点清单解读返回目
4、录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质答案答案 D D解题思路解题思路考点清单解读返回目录返回目录考点考点二二 等边三角形的性质等边三角形的性质13.3.1 等腰三角形的性质定义定义三条边都相等的三角形是等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形性质性质等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于于6060等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形所有的性质形所有的性质等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴考点清单解读返回目录返回目录 续表续表13.3.1 等腰三角形的
5、性质补充补充等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形称为正三角形拓展拓展考点清单解读返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质归纳总结归纳总结等边三角形任意一边上的中线、高和对角的平分线都互等边三角形任意一边上的中线、高和对角的平分线都互相重合相重合.遇等边三角形时，要联想到其内角度数已知遇等边三角形时，要联想到其内角度数已知（6060）.考点清单解读返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质对点典例剖析典例典例2 2 如图，如图，ABC ABC 是等边三角形，是等边三角形，AD AD 为为 BC BC 边上的边上的高，则高，则B
6、AD=_BAD=_.考点清单解读返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质答案答案 3030解题思路解题思路重难题型突破返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质例例 1 1 如图，点如图，点 D D，E E 在在ABC ABC 的的 BC BC 边上，边上，AB=ACAB=AC，AD=AEAD=AE求证：求证：BD=CEBD=CE重难题型突破返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质解解析析重难题型突破返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质答案答案 证明：如答案图，过点证明：如答案图，过点 A A 作作 APBC APBC 于点于点 P PAB=ACAB=AC，APBCA
7、PBC，BP=PCBP=PC，AD=AEAD=AE，APBCAPBC，DP=PEDP=PE，BP-DP=PC-PEBP-DP=PC-PE，即，即 BD=CEBD=CE重难题型突破返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质变式衍生变式衍生 如图，在如图，在ABC ABC 中，中，C=30C=30，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足为，垂足为 D D，则，则BAD BAD 的度数是的度数是 _._.60重难题型突破返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质解题通法解题通法 对于此类叠合等腰三角形问题，常作底边对于此类叠合等腰三角形问题，常作底边高线，利用等腰三角形高线，利用等腰三
8、角形“三线合一三线合一”的性质，寻找线段之的性质，寻找线段之间的联系，有时也需要用到线段和差的关系间的联系，有时也需要用到线段和差的关系.重难题型突破返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质例例2 2 如图，已知在等边三角形如图，已知在等边三角形 ABC ABC 中，中，ADBCADBC，AD=ACAD=AC，连结，连结 CD CD 并延长，交并延长，交 AB AB的延长线于点的延长线于点 E E，则，则E E 的度数为的度数为 （）A.15A.15 B.20B.20C.30C.30 D.45D.45重难题型突破返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质答案答案 D D重难题型突破返
9、回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质思路点拨思路点拨 先利用等边三角形的性质得出先利用等边三角形的性质得出CAD=30CAD=30，再利用再利用“等边对等角等边对等角”和和“三角形的内角和定理三角形的内角和定理”求出求出ACD=75ACD=75，最后根据三角形内角和定理得出结论，最后根据三角形内角和定理得出结论.重难题型突破返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质解题通法解题通法 解决这类题目，一般可以由边长关系联想解决这类题目，一般可以由边长关系联想到角度之间的关系，然后把角转化到同一个三角形中利用到角度之间的关系，然后把角转化到同一个三角形中利用三角形内角和求解未知角度三角形
10、内角和求解未知角度.等边三角形内角的度数已知等边三角形内角的度数已知.易错易混分析返回目录返回目录求等腰三角形的角度时漏解求等腰三角形的角度时漏解13.3.1 等腰三角形的性质例例 （1 1）已知等腰三角形中有一个角等于）已知等腰三角形中有一个角等于 30 30，求其，求其余两个角的度数；余两个角的度数；（2 2）已知等腰三角形中有一个角等于）已知等腰三角形中有一个角等于 120 120，求其余，求其余两个角的度数两个角的度数.易错易混分析返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质解解析析（1 1）30309090，这个角可能是顶角，也可能，这个角可能是顶角，也可能是底角，需要分类讨论；（
11、是底角，需要分类讨论；（2 2）1201209090，这个角只能是，这个角只能是等腰三角形的顶角，不可能是底角，只有一种情况等腰三角形的顶角，不可能是底角，只有一种情况.易错易混分析返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质答案答案 解：（解：（1 1）给定的角是一个）给定的角是一个 30 30的锐角，因的锐角，因此应分两种情况讨论：当此角为顶角时，两底角的和是此应分两种情况讨论：当此角为顶角时，两底角的和是 150150，因此每一个底角为，因此每一个底角为 75 75；当此角为底角时，另一个底角也为当此角为底角时，另一个底角也为 30 30，由三角形，由三角形的内角和是的内角和是 180
12、 180可得顶角为可得顶角为 120 120；综上，另两个角的；综上，另两个角的度数为度数为 75 75，7575或或 30 30，120120；（2 2）1201209090，这个角只能是等腰三角形的这个角只能是等腰三角形的顶角，不可能是底角，顶角，不可能是底角，另两个角都是另两个角都是 30 30.易错易混分析返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质易错易错 解：（解：（1 1）另两个角的度数为）另两个角的度数为 75 75，7575.错因错因 忽略等腰三角形中底角为忽略等腰三角形中底角为 30 30的情况的情况.易错易混分析返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质易错警示易错
13、警示 没有分类讨论导致少解；忽略三角形内没有分类讨论导致少解；忽略三角形内角和为角和为180180.领悟提能领悟提能 已知等腰三角形中一个角的度数，求其余两已知等腰三角形中一个角的度数，求其余两个角的度数时，已知角可能是等腰三角形的顶角，也可能个角的度数时，已知角可能是等腰三角形的顶角，也可能是等腰三角形的底角，因此可能有两种情况，同时还要注是等腰三角形的底角，因此可能有两种情况，同时还要注意三角形的内角和为意三角形的内角和为 180 180这一条件这一条件.若给出的角是直角或若给出的角是直角或钝角，则此角必为顶角钝角，则此角必为顶角.方法技巧点拨返回目录返回目录方法：利用方程思想求等腰三角形
14、中的角度方法：利用方程思想求等腰三角形中的角度当已知条件中没有一个已知角度的角而又要求角的度数当已知条件中没有一个已知角度的角而又要求角的度数时，可设出一个关键角的度数，利用等腰三角形的性质、时，可设出一个关键角的度数，利用等腰三角形的性质、外角性质及内角和定理等列出方程求解外角性质及内角和定理等列出方程求解.13.3.1 等腰三角形的性质方法技巧点拨返回目录返回目录例例 如图，在如图，在ABC ABC 中，中，AB=ACAB=AC，D D，E E 分别在分别在 AC AC，AB AB 边上，且边上，且 BC=BD BC=BD，AD=DE=EBAD=DE=EB，求，求A A 的度数的度数.13
15、.3.1 等腰三角形的性质方法技巧点拨返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质解解析析设设ABD=xABD=x，根据等腰三角形的性质和外角的性，根据等腰三角形的性质和外角的性质，可用质，可用 x x 表示表示AA，ABCABC，CC的度数，在的度数，在ABC ABC 中，运中，运用三角形的内角和为用三角形的内角和为 180 180，可求，可求A A 的度数的度数方法技巧点拨返回目录返回目录13.3.1 等腰三角形的性质 答案答案 解：解：DE=EBDE=EB，可设可设BDE=ABD=xBDE=ABD=x，AED=BDE+ABD=2xAED=BDE+ABD=2x，AD=DEAD=DE，AED=A=2xAED=A=2x，BDC=A+ABD=3xBDC=A+ABD=3x，BD=BCBD=BC，C=BDC=3xC=BDC=3x，AB=ACAB=AC，ABC=C=3xABC=C=3x，在在ABC ABC 中，中，3x+3x+2x=1803x+3x+2x=180，解得，解得 x=22.5 x=22.5，A=2x=22.5A=2x=22.52=452=45
