1、7.5 三角形内角和定理 考点清单解读 重难题型突破 易错易混分析 方法技巧点拨考点清单解读返回目录返回目录考点一考点一 三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和三角形内角和定理定理三角形的内角和等于三角形的内角和等于 180 180数学语言描述数学语言描述如图，在如图，在ABC ABC 中，中，A+B+C=180A+B+C=1807.5 三角形内角和定理考点清单解读返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理续表续表应用应用（1 1）在三角形中，已知两个角的大小，可求出）在三角形中，已知两个角的大小，可求出第三个角；第三个角；（2 2）已知三角形中各角之间的关系，可求出各已知三角形中各角之间
2、的关系，可求出各角度数角度数注意事注意事项项（1 1）三角形内角和定理成立的前提是在同一个）三角形内角和定理成立的前提是在同一个三角形中；三角形中；（2 2）任何一个三角形中，都至少有两个锐角，）任何一个三角形中，都至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角最多有一个钝角或直角考点清单解读返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理归纳总结归纳总结求三角形的度数问题一般有两类：（求三角形的度数问题一般有两类：（1 1）已知两个角的度）已知两个角的度数，求三角形第三个角的度数，可以直接利用三角形内角和数，求三角形第三个角的度数，可以直接利用三角形内角和等于等于 180 180求解；求解；（2 2）已知三角
3、形内角之间的关系，可以设未知数表示三）已知三角形内角之间的关系，可以设未知数表示三个角，再根据三角形内角和等于个角，再根据三角形内角和等于 180 180，列方程求解，列方程求解.考点清单解读返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理典例典例1 1 已知：在已知：在ABC ABC 中，中，A+B=2CA+B=2C，A-A-B=20B=20，求三角形三个内角的度数，求三角形三个内角的度数对点典例剖析考点清单解读返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理答案答案 解：设解：设B=xB=x.A-B=20.A-B=20，A=B+20A=B+20=x=x+20+20.A+B=2CA+B=2C，xx+20+2
4、0+x+x=2C=2C，C=xC=x+10+10.A+B+C=180A+B+C=180，xx+20+20+x+x+x+x+10+10=180=180，解得解得 x x=50=50，B=50B=50，则，则A=xA=x+20+20=70=70，C=xC=x+10+10=60=60考点清单解读返回目录返回目录考点二考点二 三角形的外角及其性质三角形的外角及其性质7.5 三角形内角和定理概念概念ABC ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为的角，称为ABC ABC 的外角的外角.如图，如图，ACDACD，BAEBAE，CBFCBF为为ABCAB
5、C的外角的外角性质性质定理定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和考点清单解读返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理续表续表三角形三角形外角的外角的特征特征顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条边是三角形某条边的反角形的一边；另一条边是三角形某条边的反向延长线向延长线三角形三角形的外角的外角个数个数三角形的每个顶点处有三角形的每个顶点处有 2 2 个外角且这个外角且这 2 2 个外个外角相等，一个三角形
6、有角相等，一个三角形有 6 6 个外角个外角考点清单解读返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理归纳总结归纳总结在运用三角形外角的性质时，一定要分清外角是三角形在运用三角形外角的性质时，一定要分清外角是三角形哪个角的外角，另外要特别注意性质中的哪个角的外角，另外要特别注意性质中的“不相邻不相邻”这个条这个条件件.考点清单解读返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理典例典例2 2 如图，如图，ACD ACD 是是ABC ABC 的一个外角，的一个外角，CE CE 平分平分ACDACD，若，若A=60A=60 ，B=40B=40，则，则ECD ECD 的度数为的度数为（）A A 40 40 B B
7、 45 45 C C 50 50 D D 55 55对点典例剖析答案答案 C C重难题型突破返回目录返回目录例例 如图所示的是可调躺椅示意图（数据如图），如图所示的是可调躺椅示意图（数据如图），AE AE 与与 BD BD 的交点为的交点为 C C，且，且AA，BB，E E 保持不变保持不变.为了舒适，为了舒适，需调整需调整D D 的大小，使的大小，使EFD=110EFD=110，则图中，则图中D D 应应 _（选填（选填“增加增加”或或“减少减少”）_.7.5 三角形内角和定理重难题型突破返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理答案答案 减少减少 10 10解解析析如解析图，延长如解析图，延
8、长 EF EF，交，交 CD CD 于点于点 G.G.ACB=180ACB=180-CAB-CBA=180-CAB-CBA=180-50-50-60-60=70=70，ECD=ACB=70ECD=ACB=70.DGF=DCE+EDGF=DCE+E，DGF=70DGF=70+30+30=100=100.EFD=110EFD=110，EFD=DGF+DEFD=DGF+D，D=10D=10.而图中而图中D=20D=20，D D 应减少应减少 10 10.重难题型突破返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理解题通法解题通法 若研究的角比较多，要设法利用三角形的外若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角
9、性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，将它们转化到一个三角形中去，可以利用作辅助线解和，将它们转化到一个三角形中去，可以利用作辅助线解题题.易错易混分析返回目录返回目录忽略三角形外角的性质中忽略三角形外角的性质中“不相邻不相邻”这一条件这一条件例例 如图，直线如图，直线 ABCD ABCD，M=90M=90，MPA=32MPA=32，则，则MECMEC的度数是的度数是 （）A A 58 58 B B 122 122C C 132 132 D D 148 1487.5 三角形内角和定理易错易混分析返回目录返回目录7.5 三角形内角和
10、定理解解析析M=90M=90，MPA=32MPA=32，BFE=M+MPA=90BFE=M+MPA=90+32+32=122=122，ABCDABCD，MEC=BFE=122MEC=BFE=122答案答案 B B易错易错 D D错因错因 误认为误认为BFE=MFP+M=148BFE=MFP+M=148.易错易混分析返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理易错警示易错警示 在计算三角形的外角度数时，容易认为三角在计算三角形的外角度数时，容易认为三角形的外角是三角形中任意两个内角的和形的外角是三角形中任意两个内角的和.领悟提能领悟提能 三角形的外角是由三角形的一边与另一边的三角形的外角是由三角形的
11、一边与另一边的反向延长线组成的，由外角的性质可以把不在同一个三角反向延长线组成的，由外角的性质可以把不在同一个三角形中的几个内角联系起来形中的几个内角联系起来方法技巧点拨返回目录返回目录方法：转化法求角度方法：转化法求角度用已知角的度数求未知角的度数时，若几个角的位置分用已知角的度数求未知角的度数时，若几个角的位置分布比较分散，那么我们利用平行线的性质、对顶角的性质布比较分散，那么我们利用平行线的性质、对顶角的性质等将所求角与已知角等将所求角与已知角“转移转移”到一个图形中求解到一个图形中求解.7.5 三角形内角和定理方法技巧点拨返回目录返回目录例例 如图，已知如图，已知A=35A=35，B=C=90B=C=90，则，则D D 的度的度数是数是 （）A.35A.35 B.45B.45 C.55C.55 D.65D.657.5 三角形内角和定理方法技巧点拨返回目录返回目录7.5 三角形内角和定理答案答案 A A解解析析 A=35 A=35 ，B=90B=90，COD=AOB=180COD=AOB=180-90-90-35-35=55=55.又又 C=90 C=90，D=180D=180-90-90-55-55=35=35.
