1、 2.3有理数的乘方2.3.1乘方第 1 课时知识点 1有理数的乘方1.关于-94的说法正确的是()A.底数是-9B.表示 4 个-9 相乘C.表示 9 个-4 相乘D.底数是 9,指数是 42.(2024防城港防城区期中)下列各式中结果为负数的是()A.|-6|B.(-6)2C.(-6)3D.-(-6)3.(2024崇左期中)下列各组数中,数值相等的是()A.|-4|和+(+4)B.-12和(-1)2C.233与233D.-(-2)和-|-2|4.若 22+22+22+22=2m,则 m=_ _.5.如果 xn=y,那么我们记为(x,y)=n.例如,32=9,则(3,9)=2.(1)根据上述
2、规定,填空:(2,8)=_,(3,81)=_;(2)若(4,a)=2,(b,8)=3,求(b,a)的值.知识点 2乘方的应用6.(2024柳州柳南区期中)某种细菌在培养过程中,平均每半小时分裂繁殖一次(由一个分裂为两个),经过两小时,这种细菌由一个分裂繁殖成()A.8 个B.16 个C.4 个D.32 个7.庄子 中记载:“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完.若按此方式截一根长为1的木棍,第5天截取后木棍剩余的长度是()A.1-125B.1-124C.125D.1248.镭是一种放射性物质,它的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量
3、1 620 年,镭的质量由 32a 变为 4a,它所需要的时间是()A.3 240 年B.4 860 年C.6 480 年D.12 960 年9.(2022咸阳模拟)九章算术中有这样一个问题:“今有蒲生一日,长三尺,蒲生日自半.”其意思是“今有蒲这种植物,第一日长了 3 尺,以后蒲每日生长的长度是前一日的一半.”请计算出第四日后,蒲的长度为 _尺.10.当你把纸对折一次时,就得到 2 层,当对折两次时,就得到 4 层,照这样折下去.(1)当对折 3 次时,层数是多少?(2)如果纸的厚度是 0.1 mm,求对折 8 次时,总厚度是多少毫米?11.下列说法正确的是()A.-23的底数是-2B.(-
4、3)4的底数是-3C.232的底数是 23D.-34的结果是-1212.下列计算:-122=14;252=45;(-0.2)3=0.008;-32=9;-132=19.其中正确的有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个13.若 a=(-5)2,b=(-2)5,c=-125,d=-152,则 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 _ _.14.已知:|a|=3,|b|=2,且 a”“=”或“”“=”或“”).素养提升攻略涨知识了当有理数 x 不等于 0 时,把 2 个相同的有理数 x 的除法运算记作 f(2,x)=xx;把 3 个相同的有理数 x 的除法运算记作 f(3,x)=
5、xxx;把 4 个相同的有理数 x 的除法运算记作 f(4,x)=xxxx;把 5 个相同的有理数 x 的除法运算记作 f(5,x)=xxxxx;特别地,规定 f(1,x)=x.素养训练 11 推理能力、运算能力(1)若 f(n,-2)=(-2)(-2)(-2)(-2),则 n=_;计 算 f(5,13)的 结 果 是 _.(2)计算:f(2,14)f(3,-3)-f(4,12)f(1,-1).(3)对于任何正整数 n,判断 f(n,-1)=1 是否成立,并说明理由.涨知识了如意金箍棒,是中国明代神魔小说西游记中孙悟空所使用的兵器.据西游记原文所述,金箍棒的外形是一根两头是金箍,中间是一段乌铁
6、的长棒,紧挨箍的地方刻有一行镌成的字:“如意金箍棒,重一万三千五百斤”;首次出现时是一根有斗来粗、二丈多长的大铁柱,到了孙悟空手上后变成丈二长短、碗口粗细的铁棍.不用时可变成一根细小的绣花针藏于耳中,能变化大小.素养训练 12 应用意识、创新意识假设金箍棒最短时只有1厘米,第一次变化后为3厘米,第二次变化后为9厘米,第三次变化后为 27 厘米按照此规律变下去,到第几次变化后才能得到使用方便的 2.43 米?2.3有理数的乘方2.3.1乘方第 1 课时知识点 1有理数的乘方1.关于-94的说法正确的是(D)A.底数是-9B.表示 4 个-9 相乘C.表示 9 个-4 相乘D.底数是 9,指数是
7、42.(2024防城港防城区期中)下列各式中结果为负数的是(C)A.|-6|B.(-6)2C.(-6)3D.-(-6)3.(2024崇左期中)下列各组数中,数值相等的是(A)A.|-4|和+(+4)B.-12和(-1)2C.233与233D.-(-2)和-|-2|4.若 22+22+22+22=2m,则 m=_4_.5.如果 xn=y,那么我们记为(x,y)=n.例如,32=9,则(3,9)=2.(1)根据上述规定,填空:(2,8)=_,(3,81)=_;(2)若(4,a)=2,(b,8)=3,求(b,a)的值.【解析】(1)因为 23=8,所以(2,8)=3;因为 34=81,所以(3,81
8、)=4.答案:34(2)根据题意,得 a=42=16,b3=8,所以 b=2,所以(b,a)=(2,16).因为 24=16,所以(2,16)=4.答:(b,a)的值为 4.知识点 2乘方的应用6.(2024柳州柳南区期中)某种细菌在培养过程中,平均每半小时分裂繁殖一次(由一个分裂为两个),经过两小时,这种细菌由一个分裂繁殖成(B)A.8 个B.16 个C.4 个D.32 个7.庄子 中记载:“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完.若按此方式截一根长为1的木棍,第5天截取后木棍剩余的长度是(C)A.1-125B.1-124C.125D.12
9、48.镭是一种放射性物质,它的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量1 620 年,镭的质量由 32a 变为 4a,它所需要的时间是(B)A.3 240 年B.4 860 年C.6 480 年D.12 960 年9.(2022咸阳模拟)九章算术中有这样一个问题:“今有蒲生一日,长三尺,蒲生日自半.”其意思是“今有蒲这种植物,第一日长了 3 尺,以后蒲每日生长的长度是前一日的一半.”请计算出第四日后,蒲的长度为 458_尺.10.当你把纸对折一次时,就得到 2 层,当对折两次时,就得到 4 层,照这样折下去.(1)当对折 3 次时,层数是多少?(2)如果纸的厚度是 0.1 mm,求对折 8
10、 次时,总厚度是多少毫米?【解析】(1)因为 23=8,所以对折 3 次时,层数是 8;(2)280.1=2560.1=25.6(mm),所以总厚度是 25.6 mm.11.下列说法正确的是(B)A.-23的底数是-2B.(-3)4的底数是-3C.232的底数是 23D.-34的结果是-1212.下列计算:-122=14;252=45;(-0.2)3=0.008;-32=9;-132=19.其中正确的有(A)A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个13.若 a=(-5)2,b=(-2)5,c=-125,d=-152,则 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为_bcda_.14.已知:
11、|a|=3,|b|=2,且 a”“=”或“”“=”或“”).【解析】(1)(2)当 1n2 时,nn+1(n+1)n.(3)素养提升攻略涨知识了当有理数 x 不等于 0 时,把 2 个相同的有理数 x 的除法运算记作 f(2,x)=xx;把 3 个相同的有理数 x 的除法运算记作 f(3,x)=xxx;把 4 个相同的有理数 x 的除法运算记作 f(4,x)=xxxx;把 5 个相同的有理数 x 的除法运算记作 f(5,x)=xxxxx;特别地,规定 f(1,x)=x.素养训练 11 推理能力、运算能力(1)若 f(n,-2)=(-2)(-2)(-2)(-2),则 n=_;计 算 f(5,13
12、)的 结 果 是 _.(2)计算:f(2,14)f(3,-3)-f(4,12)f(1,-1).(3)对于任何正整数 n,判断 f(n,-1)=1 是否成立,并说明理由.【解析】(1)因为 f(n,-2)=(-2)(-2)(-2)(-2),所以 n=4,f(5,)=3333=27.答案:427(2)原式=()-3(-3)(-3)-()(-1)=1(-)-4(-1)=-3-(-4)=1.(3)不一定成立.理由如下:由材料可得,f(n,-1)=(-1)-,当 n-2 为奇数时,f(n,-1)=(-1)-=-1;当 n-2 为偶数时,f(n,-1)=(-1)-=1;故对于任何正整数 n,f(n,-1)
13、=1 不一定成立.涨知识了如意金箍棒,是中国明代神魔小说西游记中孙悟空所使用的兵器.据西游记原文所述,金箍棒的外形是一根两头是金箍,中间是一段乌铁的长棒,紧挨箍的地方刻有一行镌成的字:“如意金箍棒,重一万三千五百斤”;首次出现时是一根有斗来粗、二丈多长的大铁柱,到了孙悟空手上后变成丈二长短、碗口粗细的铁棍.不用时可变成一根细小的绣花针藏于耳中,能变化大小.素养训练 12 应用意识、创新意识假设金箍棒最短时只有1厘米,第一次变化后为3厘米,第二次变化后为9厘米,第三次变化后为 27 厘米按照此规律变下去,到第几次变化后才能得到使用方便的 2.43 米?【解析】因为 2.43 米=243 厘米,2
14、43=35,所以到第 5 次变化后才能得到使用方便的 2.43 米. 2.3.1乘方第 2 课时知识点 1有理数的混合运算1.计算-3-(-19)43(6)的值为()A.2B.-2C.12D.-122.已知 a 是相反数等于本身的数,b 是倒数等于本身的数,则|a-2|-b2 023的值为()A.1B.3C.1D.1 或 33.(2024来宾期中)定义一种新运算:ab=2ab-b2,如 32=232-22=8.则 1(-3)=_ _.4.计算:(1)(2024柳州柳城县期中)-23(-2)+(-2)2(-5).(2)-22-|-7|+3-2(-12).5.如图,A,B,C,D 四张卡片分别代表
15、一种运算.例如,-3 经过 ABCD 顺序的运算,可列式为(-3)3-(-4)2+5.请你解决下列问题:(1)请你计算:(-3)3-(-4)2+5;(2)列式计算:23经过 ADCB 顺序的运算结果.+5=30;(2)(3+5)2-(-4)=(2+5)2-(-4)=72+4=53.知识点 2有理数混合运算的应用6.一列有规律的数-1,-4,7,10,-13,-16,19,22,则这列数的第 54 个数为()A.160B.-160C.-157D.1637.观察下面两行数:第一行数:1,-4,9,-16,25,-36,;第二行数:0,-5,8,-17,24,-37,;根据第一行数的排列规律,以及这
16、两行数字之间的关系,确定第二行第 10 个数是()A.-82B.99C.-101D.808.若规定 f(n)表示 2n的个位数字,例如 21=2,所以 f(1)=2,24=16,所以 f(4)=6,那么f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(2 023)=_ _.9.观 察 下 列 等 式(式 子 中 的“!”是 一 种 数 学 运 算 符号)1!=1,2!=21,3!=321,4!=4321,求2 023!2 022!的值.10.(2024南宁宾阳县期中)小明发明了一个“魔术盒”,当任意有理数对(a,b)进入其中时,就会得到一个新的有理数:a2+2b-1.例如:把(1,2)放入其中,就会
17、得到12+22-1=4.现将有理数对(-2,-5)放入其中,则会得到()A.-15B.-7C.0D.611.求 1+2+22+23+22 016的值,可令 S=1+2+22+23+22 016,则 2S=2+22+23+22 016+22 017,因此 2S-S=22 017-1,S=22 017-1.参照以上推理,计算 4+42+43+42 021+42 022的值为()A.42 023-1 B.42 023-4C.42 023 43D.42 023 1312.计算:-14+16(-2)3|-3-1|=_ _.13.如图 是一 个数 值 运算 程序,当输 入的值为-3 时,则输出的值为_ _
18、.输入 x()2(-5)+2输出14.观察下列算式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2 187,38=6 561,那么 32 023的个位数字是_ _.15.第十四届国际数学教育大会(ICME-14)在上海召开,会徽的主题图案有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3 745.八进制是以8作为进位基数的数字系统,有 07 共 8 个基本数字.八进制数 3 745 换算成十进制数是 383+782+481+580=2 021.注:a0=1(a0)(1)八进制数 256 换算成十进制数是_;
19、(2)张同学设计了一个 n 进制数 505,换算成十进制数是 250,求 n 的值.16.给出下面两组算式:(35)2与 3252,(-124)3与 12343.(1)计算各组算式,每组的结果相等吗?(2)想一想,当n是正整数时,(ab)n等于什么?用乘方的意义说明你的结论的正确性.(3)用你发现的规律计算:(-0.125)2 02282 023.2.3.1乘方第 2 课时知识点 1有理数的混合运算1.计算-3-(-19)43(6)的值为(B)A.2B.-2C.12D.-122.已知 a 是相反数等于本身的数,b 是倒数等于本身的数,则|a-2|-b2 023的值为(D)A.1B.3C.1D.
20、1 或 33.(2024来宾期中)定义一种新运算:ab=2ab-b2,如 32=232-22=8.则 1(-3)=_-15_.4.计算:(1)(2024柳州柳城县期中)-23(-2)+(-2)2(-5).(2)-22-|-7|+3-2(-12).【解析】(1)原式=-8(-2)+4(-5)=4-20=-16.(2)-22-|-7|+3-2(-)=-4-7+3+1=-7.5.如图,A,B,C,D 四张卡片分别代表一种运算.例如,-3 经过 ABCD 顺序的运算,可列式为(-3)3-(-4)2+5.请你解决下列问题:(1)请你计算:(-3)3-(-4)2+5;(2)列式计算:23经过 ADCB 顺
21、序的运算结果.【解析】(1)(-3)3-(-4)2+5=(-9+4)2+5=(-5)2+5=25+5=30;(2)(3+5)2-(-4)=(2+5)2-(-4)=72+4=53.知识点 2有理数混合运算的应用6.一列有规律的数-1,-4,7,10,-13,-16,19,22,则这列数的第 54 个数为(B)A.160B.-160C.-157D.1637.观察下面两行数:第一行数:1,-4,9,-16,25,-36,;第二行数:0,-5,8,-17,24,-37,;根据第一行数的排列规律,以及这两行数字之间的关系,确定第二行第 10 个数是(C)A.-82B.99C.-101D.808.若规定
22、f(n)表示 2n的个位数字,例如 21=2,所以 f(1)=2,24=16,所以 f(4)=6,那么f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(2 023)=_10 114_.9.观 察 下 列 等 式(式 子 中 的“!”是 一 种 数 学 运 算 符号)1!=1,2!=21,3!=321,4!=4321,求2 023!2 022!的值.【解析】根据题中的新定义,得!=2 023.10.(2024南宁宾阳县期中)小明发明了一个“魔术盒”,当任意有理数对(a,b)进入其中时,就会得到一个新的有理数:a2+2b-1.例如:把(1,2)放入其中,就会得到12+22-1=4.现将有理数对(-2,-
23、5)放入其中,则会得到(B)A.-15B.-7C.0D.611.求 1+2+22+23+22 016的值,可令 S=1+2+22+23+22 016,则 2S=2+22+23+22 016+22 017,因此 2S-S=22 017-1,S=22 017-1.参照以上推理,计算 4+42+43+42 021+42 022的值为(C)A.42 023-1 B.42 023-4C.42 023 43D.42 023 1312.计算:-14+16(-2)3|-3-1|=_-9_.13.如图是一个数值运算程序,当输入的值为-3 时,则输出的值为_-43_.输入 x()2(-5)+2输出14.观察下列算
24、式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2 187,38=6 561,那么 32 023的个位数字是_7_.15.第十四届国际数学教育大会(ICME-14)在上海召开,会徽的主题图案有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3 745.八进制是以8作为进位基数的数字系统,有 07 共 8 个基本数字.八进制数 3 745 换算成十进制数是 383+782+481+580=2 021.注:a0=1(a0)(1)八进制数 256 换算成十进制数是_;(2)张同学设计了一个 n 进制数 505,换算
25、成十进制数是 250,求 n 的值.【解析】(1)由题意得八进制数 256 换算成十进制数是 282+58+680=128+40+6=174;答案:174(2)由题意,得 5n2+0n+5n0=250,即 5n2+5=250,所以 n2+1=50,即 n2=49,所以 n=7 或 n=-7(不合题意,舍去),即 n=7.16.给出下面两组算式:(35)2与 3252,(-124)3与 12343.(1)计算各组算式,每组的结果相等吗?(2)想一想,当n是正整数时,(ab)n等于什么?用乘方的意义说明你的结论的正确性.(3)用你发现的规律计算:(-0.125)2 02282 023.【解析】(1)(35)2=152=225,3252=925=225,(35)2=3252.4=(-2)3=-8,43=-64=-8,4=43.(2)(ab)n=anbn.理由:(ab)n=个=个个=anbn.(3)(-0.125)2 02282 023=(-0.1258)2 0228=(-1)2 0228=8.
