1、第二章第二章 复复 习习 本章主要内容是，讨论了本章主要内容是，讨论了真空真空中和中和介质介质中的静电场特性。根据中的静电场特性。根据亥姆霍兹定理导出了静电场方程的亥姆霍兹定理导出了静电场方程的微分形式微分形式，介质在静电场的作，介质在静电场的作用下发生的用下发生的极化现象极化现象，静电场的，静电场的边界条件边界条件，电容电容的计算，以及静的计算，以及静电场的电场的能量能量和和力力的计算。的计算。主要定律是，主要定律是，高斯定律高斯定律和和库仑定律库仑定律。主要物理量是，主要物理量是，电场强度电场强度、电位电位、电通密度电通密度、电极化强度电极化强度、电电极化率极化率、介电常数介电常数、电容电
2、容、电场、电场能量能量和电场和电场力力。主要概念是，主要概念是，静电场静电场，电场线电场线和和等位面等位面，静电场的，静电场的保守性保守性，介，介质质极化极化，自由自由电荷和电荷和束缚束缚电荷，介质的电荷，介质的均匀均匀与与非均匀非均匀、线性线性与与非线非线性性、各向、各向同性同性与各向与各向异性异性、以及、以及静止静止与与运动运动等特性，静电等特性，静电屏蔽屏蔽，虚虚位移位移法和法和广义力广义力。主要公式是关于主要公式是关于静电场方程静电场方程，场场和和源源的关系，的关系，边界条件边界条件，能量能量和和力力的计算公式。的计算公式。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题 主主 要要 内
3、内 容容电位微分方程电位微分方程，镜像法，分离变量法。，镜像法，分离变量法。3-1 3-1 电位微分方程电位微分方程已知，电位已知，电位 与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为的散度为 E2 E E那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 2该方程称为该方程称为泊松方程泊松方程。对于无源区，上式变为对于无源区，上式变为 ，式称为式称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。02 利用利用格林函数格林函数，可以
4、求出，可以求出泊松方程在泊松方程在自由空间自由空间或或有限空间有限空间的的通解通解。22222222zyx拉普拉斯算子拉普拉斯算子l泊松方程与拉普拉斯方程只适用于泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性各向同性、线性线性的的均匀均匀介质。介质。例例 列出求解区域的微分方程列出求解区域的微分方程 0022123332三个不同媒质区域的静电场三个不同媒质区域的静电场静电场的边值问题静电场的边值问题数学物理方程数学物理方程定解条件定解条件通常分为通常分为初始条件初始条件和和边界条件边界条件。静电场与静电场与时间时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解
5、方程的解仅仅决定于决定于边界条件边界条件。根据给定的边界条件求解。根据给定的边界条件求解泊松方程泊松方程或拉普拉斯方程或拉普拉斯方程就是静电场的就是静电场的边值问题边值问题。为什么说第二类边界条件与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条件是等价的？)(sfn2S已知场域边界上各点电位值边值问题框图边值问题框图自然自然边界条件边界条件参考点电位 有限值rrlim边值问题微分方程边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即022nn2211
6、21)(sf1S)(sfn2S)()(sfn3S边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模拟电荷法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法边值问题研究方法框图边值问题研究方法框图 例例 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，的正方形，铅皮半径为铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导
7、体之间，并且在两导体之间接有电源接有电源 U，试写出该电缆中静电场的边值问题。，试写出该电缆中静电场的边值问题。解解：根据场分布对称性，确定场域。：根据场分布对称性，确定场域。0yx22222（阴影区域阴影区域）场的边值问题场的边值问题0bx0byby0bxU),(及00y0 xayx222),(0 xayb0 x),(0yaxb0y),(缆心为正方形的同轴电缆横截面缆心为正方形的同轴电缆横截面012212drdrdrdr1)()0(ar 0drdrdrdr122222)()(ra边界条件边界条件积分之，得通解积分之，得通解43221021CrC)r(Cr1C6r)r(例例 设有电荷均匀分布在
8、半径为设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度的介质球型区域中，电荷体密度为为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解解:采用球坐标系采用球坐标系,分区域建立方程分区域建立方程ar2ar1ar20ar10rr有限值0r1参考点电位参考点电位0r2 体电荷分布的球形域电场体电荷分布的球形域电场 解得解得 032023413aC2aC0C0C,电场强度电场强度（球坐标梯度公式球坐标梯度公式）：ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r22eerE)(2 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常
9、系对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由到电位的解；再由 得到电场强度得到电场强度E E的分布。的分布。E电位：电位：rar3arar0ra36r0322201)()()(3-2 电位微分方程解的唯一性电位微分方程解的唯一性 在静电场中，满足给定在静电场中，满足给定边界条件边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性唯一性定理。定理
10、。():证明反证法即必满足拉普拉斯方程则其差值均满足泊松方程与位函数设场中任一点有两个电,u,2121022122u22)u(uuuuu2)()(利用矢量恒等式,对场域求体积分 并利用高斯散度定理dVuduudVuusV2V)()(S因此有处电位为零由于在无穷远即的边界面为体积,S,SSSS,SSS,V0n210 SsS2dVuduuduuVSS)(证明唯一性定理用图sSV21dVuSdnuudSuu)()(即右边也为零则式即界条件若导体边界为第一类边,(1)0,-,21u12()0u 得证故又满足边界该式既满足场域积分后,CC12120,-,即已知电荷面密度界条件若导体边界为第二类边,12,
11、nn12(-)0unn 即证毕必有同上分析右边也为零则式,12 ,(1)故唯一性定理得证件的假设是不成立的满足微分方程和边界条都也就是说有两个不同解即中各点在场域由此,u21 0,V,3-3 镜像法镜像法 实质实质:是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，将原来具有代替边界的影响，将原来具有边界的边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而使计算过程大自由空间，从而使计算过程大为为简化简化。依据：惟一性依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件边界条件。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像
12、电荷的大小及其位置。局限性：局限性：仅仅对于某些仅仅对于某些特殊特殊的的边界边界以及以及特殊特殊的的电荷分布电荷分布才有可才有可能确定其镜像电荷。能确定其镜像电荷。这些等效电荷通常处于原电荷的这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置镜像位置，因此称为，因此称为镜像电荷镜像电荷，而这种方法称为而这种方法称为镜像法镜像法。（1）点电荷与无限大的导体平面。）点电荷与无限大的导体平面。介质 导体 q r P 介质 q r P hhrq 介质 以一个处于以一个处于镜像位置镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成变成均匀均匀的介电常数为的介电常数为 的空间，则空间任一点
13、的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 rqrq 4 4考虑到考虑到无限大无限大导体平面的电位为零导体平面的电位为零，求得，求得qq 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子电偶极子的的上半上半部分完全相同。部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。表面吻合。电场线等位线 z*根据根据电荷守恒原理电荷守恒原理，镜像点电荷的电荷量应该，镜像点电荷的电荷量应该等于等于导体表导体表面上感应电荷的总电荷量。面上感应电荷的总电荷量。
14、*上述等效性仅对于导体平面的上述等效性仅对于导体平面的上半空间上半空间成立，因为在上半成立，因为在上半空间中，空间中，源源及及边界条件边界条件未变。未变。介质 导体 q r P 介质 q r P hhrq 介质 q 对于半无限大导体平面形成的对于半无限大导体平面形成的劈形边界劈形边界也可应用镜像法。但也可应用镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个几个镜像电荷。镜像电荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。3/3/3q 位于无限大的导体平面附近的位于无限大的导体平面附近的线电荷线电荷，
15、根据叠加原理得知，同，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。样可以应用镜像法求解。仅当这种导体劈的夹角等于仅当这种导体劈的夹角等于 的的整数整数分之一时，才可求出其分之一时，才可求出其镜像电荷。镜像电荷。（2）点电荷与导体球。）点电荷与导体球。若导体球若导体球接地接地，导体球的电，导体球的电位为位为零零。为了等效导体球边界的。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷影响，令镜像点电荷q 位于球心位于球心与点电荷与点电荷 q 的连线上。那么，球的连线上。那么，球面上任一点电位为面上任一点电位为 rqrq 4 4可见，为了保证球面上任一点电位为可见，为了保证球面上任一点电位为零零，必须选择镜像电
16、荷为，必须选择镜像电荷为 qrrqqfOPadrqr 为了使镜像电荷具有一个为了使镜像电荷具有一个确定确定的值，必须要求比值的值，必须要求比值 对于对于球面上任一点均具有同一数值。球面上任一点均具有同一数值。rr 若若 OPq OqP，则，则常数farr镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 fad2fqOPadrqqfaq求得镜像电荷应为求得镜像电荷应为以保证导体球表面上总电荷量为以保证导体球表面上总电荷量为零值零值。为了保证球面边界是一个为了保证球面边界是一个等等位面位面，镜像电荷，镜像电荷 q 必须位于必须位于球球心心。qq 为了满足为了满足电荷守恒原理电荷守恒原理，第，第
17、二个镜像电荷二个镜像电荷q 必须为必须为qq q 若导体球若导体球不接地不接地，则其电位，则其电位不为零不为零。但是。但是,由由q 及及 q 在球面在球面边界上形成的电位为零，因此必须再引入一个镜像电荷边界上形成的电位为零，因此必须再引入一个镜像电荷q 以产生以产生一定的电位一定的电位。q 的的位置位置和和量值量值应该如何应该如何?导体球的电位导体球的电位?fqaq 4 4 l（3）线电荷与带电的导体圆柱。）线电荷与带电的导体圆柱。Pafdr-lO 在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根处，平行放置一根镜像电荷镜像电荷 。已知无限长线电荷产
18、生的电场强度为。已知无限长线电荷产生的电场强度为 lrlreE 2因此，离线电荷因此，离线电荷r 处，以处，以 为参考点的电位为为参考点的电位为 0rrrrElrr0 ln2d 0 若令镜像线电荷若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的产生的电位也取相同的 作为参考点，作为参考点，则则 及及 在圆柱面上在圆柱面上 P 点共同产生的电位为点共同产生的电位为l0rllrrrrllP00ln2ln2rrlln2 已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值必须要求比值 为常数。与前同理，可令为常数。与前同理，可令 ，由此得，由此
19、得 rradfarrfad2 （4）点电荷与无限大的介质平面。）点电荷与无限大的介质平面。E 1 1qr0EtEnEEtEn0rq 2 2q0r nE tE E 1 2qeten=+为了求解为了求解上半空间上半空间的场可用镜像电荷的场可用镜像电荷 q 等效边界上束缚等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1 的的均匀均匀空间。空间。对于对于下半空间下半空间，可用位于原点电荷处的，可用位于原点电荷处的q 等效原来的点电等效原来的点电荷荷q 与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为为2 的的
20、均匀均匀空间。空间。但是，必须迫使所求得的场符合原先的但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件边界条件，即电场切向，即电场切向分量保持连续，电通密度的法向分量应该相等，即分量保持连续，电通密度的法向分量应该相等，即 2t1t1tEEE n21n1nDDD 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：rrqeE2114rrqeE211)(4rrq eE222)(4qq2121qq2122 3-4 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 一般情况下一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出
21、拉普拉斯方程采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程的通解，而只有的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积，才可确定积分常数，得到边值问题的解。分常数，得到边值问题的解。分离变量法的基本思想是将待求函数看作是两个分离变量法的基本思想是将待求函数看作是两个(二维问题二维问题)或三或三个个(三维问题三维问题)本征函数的乘积，而每一个本征函数只包含本征函数的乘积，而每一个本征函数只包含一个一个坐标变坐标变量，然后将拉普拉斯方程进行变量分离，从而将求解偏微分方程的问量，然后将拉普拉斯方程进行变量分离，从而将求解偏微分方程的问题简化为求解题简化为
22、求解常微分方程常微分方程的问题，利用线性方程解的叠加性，将这些的问题，利用线性方程解的叠加性，将这些解组合起来便求得问题的通解，再根据解组合起来便求得问题的通解，再根据边值条件边值条件确定出其中的确定出其中的常数常数，便得到待求边值问题的便得到待求边值问题的特解特解。0222222zyx无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 )()()(),(zZyYxXzyx令令代入上式，两边再除以代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得，得 0dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX显然，式中各项仅与一个变量有关。因此
23、，将上式对变量显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为的导数为零零，说明了第一项等，说明了第一项等于于常数常数。同理，再分别对变量。同理，再分别对变量 y 及及 z 求导，得知第二项及第三项也分求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为别等于常数。令各项的常数分别为 ，分别求得，分别求得222 ,zyxkkk0dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZz式中式中kx，ky，kz 称为分离常数，它们可以是称为分离常数，它们可以是实实数或数或虚虚数。可
24、见，经数。可见，经过变量分离后，三维过变量分离后，三维偏偏微分方程式被简化为三个一维微分方程式被简化为三个一维常常微分方程。微分方程。0222zyxkkk 三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程 根据分离常数根据分离常数k2是等于零、大于零或小于零，相应的常微分方是等于零、大于零或小于零，相应的常微分方程的解分别是一次式、正弦与余弦三角函数的组合或正弦与余弦双程的解分别是一次式、正弦与余弦三角函数的组合或正弦与余弦双曲函数（或正、负指数函数）的组合。曲函数（或正、负指数函数）的组合。如当如当 kx=0=0时，若设时，若设 为为实数，则实数，
25、则 ，故，故 ，为为虚数，虚数，于是上述三个常微分方程的通解分别为于是上述三个常微分方程的通解分别为 12()eezzk zk zZ zCC12()sinh cosh zzZ zCkzCkz或者或者yk02yk02zkzkjj12()eeyyk yk yY yBB12()sincosyyY yBk yBk y或者或者 21AxAxX故故 zkCzkCykBykBAxAzyxzzyycoshsinhcossin,212121解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边
26、界条件边界条件。若在某些坐标平面上，边界条件可看成是若在某些坐标平面上，边界条件可看成是周期性周期性的，其的，其解应选解应选三角函数三角函数，相应的分离变量是，相应的分离变量是实数实数；若边界条件是；若边界条件是非非周期周期性的，其解应选性的，其解应选双曲函数双曲函数，相应的分离变量是，相应的分离变量是虚虚数；若数；若函数与某一坐标量函数与某一坐标量无关无关或呈或呈线性线性关系，其解为关系，其解为常数常数或或线性线性组组合，相应的分离变量为合，相应的分离变量为零零。例例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d，其有，其有限端被电位为限端被电位为
27、 0 的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0解解 选取直角坐标系。由于导电平面沿选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个无关，因此，这是一个二维场二维场的问题。电位所的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为满足的拉普拉斯方程变为 02222yx1 1）边值问题）边值问题2）分离变量）分离变量222200,00,0,00,xyxx dyy（1）)(
28、)(),(yYxXyx令令代入（代入（1）式，得）式，得2220 xdk Xdx2220ydk Ydy220 xykk其中其中令令222yxkkk 3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解选择常微分方程解的形式选择常微分方程解的形式 k xk xX xAeBe sincosY yCkyDky1,sincosnnk xk xnnnnnnnx yA eB eCk yDk y故故4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。,00 x0nD 11,sinsinnnxxddnnnnnnnx yB C eyE eydd0,0y0nA,0 x dnnkd1,2,3,n 000,y01sinnnnEyd利用傅立叶级数展开法，得系数利用傅立叶级数展开法，得系数En为为040nnEnn，为奇数，为偶数nxdnydnnyxsine14),(0最后求得槽中电位分布函数为最后求得槽中电位分布函数为 式中式中 。5 3,1n0dxy=0=0=0电场线等位面电场线及等位面电场线及等位面分布如右图示：分布如右图示：作作 业业3-43-21习题习题
