1、1第五章 静态场的边值问题2标题添加点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容前言点击此处输入相关文本内容标题添加点击此处输入相关文本内容3边值问题研究方法解析法数值法分离变量法镜像法复变函数法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法45.1 唯一性定理和解的叠加原理 一.唯一性定理1、表述 在给定的区域内，泊松方程（或拉普拉斯方程）满足所给定的全部边界条件的解是唯一的。2、边界条件的形式给定全部边界上的函数值给出全部边界上函数的法向导数值给定部分边界上的函数值，而其余边界上给出函数的法向导数值“狄利赫利”边界条件“聂曼”边界条件混合边界条件1Cs2Cns2121,CnCss53、唯一
2、性定理的证明证明：考虑泊松方程，用反证法 在区域内存在两个不同的函数 和 都满足相同的泊松方程 ，并且在区域边界S上满足同样的边界条件。12f2令210)(22122122ffuFFuFu)(22()()则有利用Fu,取则对上式两边在区域内作体积分，然后运用散度定理，得dsds2)()(6ddsns2)(dsnsd)(将 代入上式得 0)(112121CCssss0)(222121CCnnnnssss0,021ssn1Cs对于第一类边界条件2Cns对于第二类边界条件对于第三类边界条件不论对哪类边界条件，面积分 都等于零 sdsn 因此有 0)(2d7由于 恒为正值，故上式成立的条件是2)(0C
3、解之可得讨论：对于第一类边界条件，0S因为所以C=0第二类和第三类边界条件的情况 C21对于求解场函数来说，解是唯一的。4、应当明确只有在区域的所有边界上给出唯一的边界条件时，边值问题的解才是唯一确定的。唯一性定理 给出了求解电磁场问题的理论依据不论采用什么方法，只要得到的解能够在区域内满足方程而在边界上满足边界条件，这个解就是该边值问题的唯一正确解。8二.解的叠加原理解的可叠加性是方程线性的必然结果。1、表述对拉普拉斯方程，若 、都是满足方程 的解 n1202nnaaa2211则其中ai为任意常数。也是方程 的解 02并且 、都是满足方程 的解 n12201122pnnaaa则其中ai为任意
4、常数。也是方程 的解 2f对泊松方程，若 是满足方程 的一个任意解 2fp92、证明221122()pnnaaa讨论泊松方程的情况对叠加得到的结果两边作 运算，得222221122pnnaaa12000nfaaaf 因此 是方程 的解 2f令 f=0，即可得到拉普拉斯方程情况的证明3、应用求解边界问题时，可以先将复杂边界条件分解成便于求解的几个边界条件，则总的边界问题解就是这些解的叠加。1012321230sssCCC 111222333222123112312231233000000000sssssssssCCC 例：分解为三个边界问题分解后每个边值问题都只有一个非齐次边界值，求解变得容易。
5、123原问题的解应该是三个问题解的叠加115.2 拉普拉斯方程的分离变量法一.直角坐标系中的分离变量法 直角坐标系中拉普拉斯方程的表达式为 0222222zyx)()()(),(zhygxfzyx令 ，并代入上式0)()(1)()(1)()(1222222zzhzhyygygxxfxf)()()(zhygxf并两边同除以 得 1、方法介绍2xk2yk2zk变量的分离12则上式分解成三个独立的全微分方程，即 0)()(222xfkdxxfdx0)()(222ygkdyygdy0)()(222zhkdzzhdz222,zyxkkk称为分离常数，分离常数之间满足约束关系 0222zyxkkk12()
6、f xAxA12()sincosxxf xAk xAk xxkAxkAxfxxchsh)(2112xxk xk xAeA e全微分方程解的选取（以 为例）xk20 xk 20 xk 220 xxkk13对 和 也都有与上述相同形式的解。在 、三组可取解中各取其一并相乘，即可得到一个解的表达式。)()()(),(zhygxfzyx)chsh)(cossin)(cossin(21121zkCzkCykBykBxkAxkAzzyyyxx)(yg)(zh)(xf)(yg)(zh解的选取并不是任意的，因为存在约束条件2220 xyzkkk20 xk 20yk 20zk 如果取 ，则必须取 a.对于有两个
7、零值边界的方向，其对应的函数取三角函数；b.对于单零值边界方向，对应的函数一般取双曲函数形式；c.而有无限远边界的方向，一般取指数函数形式。d.若位函数与某一坐标变量无关，则该变量对应的函数取成常数，并取作1。根据边界条件来选择函数：14拉普拉斯方程的通解),3,2,1(,nikkkziyixi本征值：满足齐次边界条件的分离常数可以取一系列特殊值 本征值对应的函数称为本征函数或本征解。)()()(),(),(11niiiiniizhygxfzyxzyx所有本征解的线性叠加构成满足拉普拉斯方程的通解在许多问题中，单一本征函数不能满足所给的边界条件，而级数形式的通解则可以满足单个解函数所无法满足的
8、边界条件。152、例题例5.1 边界条件如图，求电位分布 o y 0U b a 0UU 图51 长方形截面的导体长槽 0U 0U x 解：内部电位与z无关，是二维问题0),(),(2222yyxUxyxU)()0(00abyUx)()0(0bbyUax)()0(00caxUy)()0(0daxUUby 根据边界条件写出通解x方向电位有两个零值边界，应取三角函数形式；y方向电位为单零值边界，应取双曲函数形式。)(xf)(yg16222kkkyx令分离常数 则电位通解为iiiiiiiiiykBykBxkAxkAyxUchshcossin),(2121求待定系数将边界条件(a)代入得)0(chsh0
9、212byykBykBAiiiiii若对任意y成立，则 02iA112(,)sinshchiiiiiiiU x yAk x Bk yBk yiiiiiiiykBykBakAchshsin0211再利用边界条件(b)得 通解变为若对任意y成立，则),3,2,1(iaiki17再利用边界条件(c)得 iiiiBxkA21sin0ykxkCykBxkAyxUiiiiiiiiishsinshsin),(11若对任意x成立，则 02iBiiiBAC11其中 ，若用整数n代替i，则上式表示为 yanxanCyxUnnshsin),(1把边界条件(d)代入上式，得)0(shsin10axbanxanCUnn
10、将U0 在（0，a）区间内展开为 的傅立叶级数sinnxa于是0sinnnUfxan=100041,3,5.2sin02,4,6.anUnn xfUdxnaan其中18),6,4,2(0),5,3,1(sh140nnbannUCn对比两边各项系数可得xanbanyannUyxUnsinshsh4),(05,3,1因此，在槽内的电位分布是 0UU 0U 0U 0U 19 y 图53 缝隙导体板间的电位 0UU 0U x b 2b o 例5.2 有两块一端弯成直角的导体板相对放置，中间留有一小缝，如图所示。设导体板在x轴和z轴方向的长度远远大于两导体板间的距离b，上导体的电位为U0，下导体接地。求
11、两板间的电位分布。解：电位分布与z无关，这是一个二维拉普拉斯问题 00(0)()yUxa 0(0)()y bUUxb 0),(),(2222yyxUxyxU边界条件20002()002()()xbUybUcby0(0)()xUUyybdb边界条件的分解 0UUbya ybUUxa00 ybUUUxb000 ybUUxb00 0 xbU(A)(B)图54 图53的场分解 y y x x 00yaU 0bybU 00ybU 21对于(A)问题，情况与平行板电容器相同，两极间为匀强电场ybUyxUa0),()sin()(bynBygnnexp)(bxnAxfnn对于(B)问题沿y轴方向存在两个零电位
12、边界，取 沿x轴正方向边界无界且电位趋于零，取 因此(B)问题的电位通解应为 ybneCyxUxbnnnbsin),(1将边界条件(c)代入，得)()(220sin0001bybybUUbyybUybnCnn22ybnenUyxUxbnnnb2sin)1(),(210利用傅立叶展开并比较系数，可求得(B)问题的解利用叠加原理所以原问题的电位表达式为 ybnenUybUyxUxbnnn2sin)1(),(2010原问题的解应该是A 问题和B 问题解的线性叠加23二.圆柱坐标系中的分离变量法1、方法介绍变量的分离圆柱坐标中拉普拉斯方程为22222110rrrrrz01122222)(zhhrggr
13、frrfr)(2fghr)()()(),(zhgrfzr令 ，代入上式，并在两边同乘以得得上式第二项只与 有关，可以先分离出来，令其等于常数 2n0222gndgd将上式代回到式(A)，各项同除以 r2，得(A)240112222)(zhhrnrfrrfr令上式左边最后一项等于常数 ，则上式分离成为两个方程2zk0222hkzdhdz01)()(222frnkrdfdrrddrz解的选取02nnAnAgcossin)(21 时，对于()g x对于()h xzkzkzzeBeB2102zkzBBzh21)(时，022zzkkzkBzkBzhcossin)(21 时，02n21)(AAg 时，02
14、zkzkBzkBzhzzchsh)(21 时，250)(22222fnrkrdfdrrdfdrz对于 ，是一个n阶贝塞尔方程()f r0,022zknnnrCrCrf21)(时 022zknrCCrfln)(21 时 0,022zkn)(N)(J)(21rkCrkCrfznzn 时 0,0222zzkkn)(K)(I)(21rkCrkCrfznzn 时 )(Jrkzn称为n阶第一类贝塞尔函数)(Nrkzn称为n阶第二类贝塞尔函数，也叫聂曼函数 第一类和第二类变形贝塞尔函数()()nznzIk rKk r其中本征解的叠加构成通解)()()(),(),(zhgrfzrzriiiiii26例5.3
15、电场强度为 的均匀静电场中放入一半径为a的电介质长圆棒，棒的轴线与电场相垂直，棒的电容率为 ，外部电容率为 ，求任意点的电位。20E1 P a r y 2 图55 均匀电场中的电介质棒 x 1 2 1解：在柱坐标系中求解 根据边界条件，写出通解(,)U rz与z无关，取 ，则()1h z 20zk 故(,)(,)U rzU r对于 ，根据问题的形式，可知)(g 2gggg所以取 n2 0，并且 n为正整数)(gncos只取 项27对于 ，因为20,02zn k()f r所以 取()f r12nnC rC r于是通解可以表示为)(cos),(211nnnnnrCrCnrUnrCrUnnncos)
16、,(1112021(,)coscosnnnUrE rC rn 求分区通解r a 时，总电位包括外电场和介质棒两部分的贡献 cos00rExE外电场电位介质棒电位)(cos),(211nnnnnrCrCnrU规定了200 xU考虑到当 时，介质棒产生的电位是有限值，故r 20nC28利用静电场的边界条件求系数ararrUrUaUaU221121,),(),(将U1和U2的通解表达式代入上面两个边界条件，得 naCaEnaCnnnnnncoscoscos12011nanCEnanCnnnnnncoscoscos1122021111比较上面两式两边 的系数，得 cos111021211120221C
17、 aE aC aCEC a n=1时02212121021211;2EaCEC以上两式联立求解，得 29n 1时12111122nnnnnnnnC aC anC anC a 120,0nnCC联立解上面两式求解，得)(2cos2),(021202121arxErErUcoscos),(20212102raErErU求出圆柱内外电位求出圆柱内外电场强度)(2sin2cos202120212021211arExEErUE)(sin1cos10222121022212122)()(arEraErarUE212012cos()aErr()ra30 1mU2mU中的无限长圆柱体是和上面例子完全类似的磁场
18、在均匀外磁场 边值问题。用0H和 分别表示圆柱体内外的磁标位，则它们的边界 条件也和电位的形式相同，即 r 时,cos02rHUmar 时,rUrUUUmmmm221121;此时，1mU和2mU的解也与静电场1U和2U的解有相同的形式，只需把1U和2U解中的1和 2分别用1和2代替，0E用0H代替，便得到1mU和2mU的解。同样可以得知圆柱体内的磁场强度1H是均匀的。31 a x b o z y 图56 导体圆筒内的电位 0000arbzzUUUU 例 5.4 一导体圆筒的高度为b，半径为a，所给边界条件为 求圆筒内的电位分布函数。解：由问题对称性可知，电位与变量无关，因此应取0n和1)(g;
19、)(zh应该取成在零点处为零值)(shzkz02zk；并考虑到电位在r=0处为有限值，故)(rf的形式为)(J0rkz。因此电位函数的本征解为：)(J)(sh),(0rkzkAzrUzz的双曲正弦函数，有将边界条件0arU代入上式，得0)(J)(sh),(0akzkAzaUzz所以akz应是零阶贝塞尔函数的根ip032),3,2,1(iapkzizi 把所有本征值)(J)(sh),(0001rapzapAzrUiiii所对应的本征解相加，得到电位函数的通解将边界条件0)(UbzU代入上式，得)(J)(sh00010rapbapAUiiii上式两边同乘以)(J00arprj，从0a对r积分，得d
20、rraprrapbapAdrraprUjiaiiija)()()()(00000010000JJshJ 对上式两边分别应用贝塞尔函数积分公式 aaxxdxxx0100)(J)(J 和正交公式（540），可以得到33 )(J2sh)(J0212001020)(iiiiipabapAppaU)(Jsh201000)(iiiipbappUA 所以 101000000)(JshJsh2),()()()(iiiiiipbapprapzapUzrU 例5.5 将例题5.4的边界条件改成0000UUUUarbzz求圆筒内的电位分布函数。解：由问题对称性可知，电位与变量无关，因此应取0n和1)(g)(zh应该
21、取成在零点处为零值的正弦函数)/(sinbzm并考虑到电位在r=0处为)(rf的形式为)/(I0brm。因此电位函数的通解为有限值,34 10)(I)(sin),(mmrbmzbmAzrU将边界条件0UUar代入上式，得 10)(I)(sin),(mmabmzbmAzaU上式两边同乘以)/sin(bzn，从0b对z积分，由三角函数的正交性，得),6,4,2(0),5,3,1(I14)(00mmabmmUAm代回原式，得到 zbmabmrbmmUzrUmsinII4),()()(0005,3,135三.球面坐标系中的分离变量法 球面坐标系中拉普拉斯方程的表达式为 0sin1sinsin11222
22、2222)()(rrrrrr令 代入上式，并两边同乘以)()()(),(hgrfr)(sin22fghr01sinsinsin2222)()(hhggrfrrf变量的分离0222hmdhd0)1()(2fnndrdfrdrd0sinsin)1(sin)(2gmnnddgdd得引入-m2分离引入 n(n+1)分离r分离36解的选取02mmAmAhcossin)(21 时 对于()h02m21)(AAh 时 对于 解只有一种形式)1(21)(nnrBrBrf()f r0 mn)(cos)(cosP)(21mnmnQCCg 时 0,0nm2tan2tan)(21mmcCCg 时 0,0nm)(cos
23、)(cosP)(21nnQCCg 时 对于()g)(cosPmn)(cosmnQ分别称为第一类和第二类连带勒让德函数)(cosPn)(cosnQ分别称为第一类和第二类勒让德函数 本征解的叠加构成通解)()()(),(),(iiiiiihgrfrr37例5.6 在均匀电场中放入一半径为a的接地导体球。求任意点的电位和电场强度 解：取球心位于坐标原点，电场方向为极轴方向，建立球坐标系根据边界条件，求出通解(,)U r 与 无关，取m=0，1)(h0所求场域包括 ，故只含有第一类勒让德多项式)(cosP)(1nnCg(1)120(,)P(cos)nnnnnnU rC rC r r 0E x a 0
24、P z y o 电位通解可以写成 38根据边界条件确定电位因为导体球接地，所以球内,0raU在球外，电位包括均匀电场和导体球两部分的贡献均匀电场的电位cos00rEzE(0)0U z 因为感应电荷的电位(1)0P(cos)nnnnCr因为 时，r 0inU故总电位)1(00)(cosPcos),(nnnnrCrErU利用导体球的边界条件 ，得 0),(aU0)(cosPcos)1(00nnnnaCaE不含 rn 项39)1(0301nCaECn由勒让德多项式的正交公式可得)(coscos),(2300arraErErUUrrUrUrE1),(sin1cos)21()(330330raEraEr
25、根据电位求电场因此球外电位是)sincos2(44030300rEraEz可见，感应电荷对场的贡献相当于一个沿z轴放置的电偶极子，这是由于球面感应电荷的分布恰好是上正下负之故。例5.6 略405.3 镜像法镜像法理论依据：唯一性定理。镜像法基本思路：分界面上的感应源 区域外的镜像源无限区域的同种媒质问题 分区媒质问题镜像电荷位置选择原则：1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。41一.平面镜像 R),(zyxP 图59 无限大导体平面上的镜像法 q q h h R 0 z 例5.8 真空中一点电荷q位于一无限大接地导体平面的上方，与平面的距离为h。求
26、z 0区域的电位分布。1、导体介质（电场）用镜像电荷 代替导体平面上的感应电荷(0,0,)qh0z将 区域换成真空 解：给出等效问题z 0区域所满足的边界条件保持不变，即0)(U0)0,(yxU所以，原问题就化作求解电荷 在无界真空区域中的问题。区别仅在于我们只取z 0区域的解。,q q42求解等效问题RqRqU00442222220)()(41hzyxqhzyxq空间任意点的电位由q和 共同产生 q0)(U根据 ，可知R时，U=0根据 ，可得0)0,(yxU222222(,0)0qqU x yxyhxyh qqhh,于是原问题的解2222220)(1)(14hzyxhzyxqU0z43232
27、2200)(2hyxqhzUDzns qhyxdxdyqhdxdyQsin23222)(2感应电荷密度为 总感应电荷为 导体表面上的感应电荷总感应电荷恰好等于镜像电荷电量。这一结果是合理的，因为点电荷q所发出的电力线将全部终止于无限大的接地导体平面上。44点电荷对相交接地平面导体边界的镜像 xy1h2h2h1hq1qq3qq2qqa.两半无限大接地导体平面垂直相交。要满足在导体平面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。如图所示。b.对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为 ，则所有镜像电荷数目为 2n-1个。n xq452、介质介质（电场）q h R ),(zyxP 2 o(c)2 y x
28、 q q h R R),(zyxP 1 1 y x o(b)-h 例题5.9 在1区距离界面h处有个点电荷q 求空间的电位分布q h 1 2 y x o 解：给出等效问题x 0区域，可化作是 在充满 介质的无界空间中的场问题(b),q q1x 0区域，可化作是 在充满 介质的无界空间中的场问题(c)q246求解等效问题22222211)()(41zyhxqzyhxqU22222)(41zyhxqU 两个区域的电位表达式为 0201xxUU022011xxxUxU电位的边界条件是222222222120011()()()xxqqqxhyzxhyzxhyz02220222222)()()(xxzy
29、hxqxzyhxqzyhxqx 将电位表达式代入得0 x 0 x 47qq2121qq2122 联立求解，得 qqq 211)(1qqq 化简得 将这两个镜像电荷的表达式代入分区域的电位表达式中即可得到整个空间的电位。给出原问题的解483、介质介质（磁场）o 1 1 o I I I II,R R 0R 0R R 1P 2P y y nB nB tB B B h h h )(a)(b 2 2 x x tB h 图 512 线电流对两种磁介质平面边界的镜像 例5.10 求与分界面平行的无限长线电流I，在空间各点的磁场。解：原问题的等效1区1IIBBB2IBB2区49求解等效问题设分界面法线方向 ，
30、切线方向 xn ytsin2sin2001RIRIHtcos2cos201011RIRIBnsin202RIHt cos2022RIBn 则界面两侧的磁场为利用边界条件nnBB21ttHH21II1212II1212 将磁场表达式代入，可解得50给出原问题的解)(2)(2121221211RzIRRzRIBBBII)(22121222RzIRBBI 如果区域1是 的非磁性材料，区域2是 的理想磁导体 012)(22012RRRRzIB222222220)()()()(2yhxhxyhxhxyyhxyyhxyxI 则xyhIyBx)(22001在x=0的分界面上表明：理想磁导体的外侧磁场只有法线
31、分量。这与理想电导体表面只有法线电场分量的情况类似。51二.球面镜像 对于分界面是球面，并且源为点源的静态场问题，可用球面镜像。例5.11 在半径为a的接地导体球外M点有一个点电荷q，球心O与M点的距离为d，如图所示。求导体球外的电位分布和球面上的感应电荷。qqOr RRddAB(,)P r M解：设置镜像电荷镜像电荷 应在OM连线的球内部分上，设 的位置点与O点的距离为 qdqRqRqU0044cos24cos24220220drdrqrddrq 空间任意点的电位52边界条件 对于球面上的任意点都成立0arU考察 两点，则有(,),(,0)A raB ra0)(4)(400daqdaq0)(
32、4)(400daqadq由上面两式解得 dadqdaq2,求出的镜像电荷及位置是否满足整个球面的零位边界条件？0044r aqqURR2222230142cos()2cos 0qa ddaadadaad ,qd ra将 代入表达式，得 53 故这两个点电荷在球外区域产生的位就是原问题的解，即 RqRqU00442222220142cos()2cosqa drdrdradrad54求感应电荷面密度2322220)cos2(4)(addaaadqrUDararrsqdaaddadaaadqdsQassin023222)cos2(sin24)(利用电位可求出导体球面上的感应电荷密度与总感应电荷 a.
33、总感应电荷恰等于镜像电荷 b.感应电荷的绝对值小于施感电荷q 表明q发出的电力线一部分终止于导体球面而另一部分则终止于无穷远处。55讨论：a.导体球不接地且表面上不带过剩电荷 b.导体球不接地，并且给出它的电位为U0 c.导体内挖一个球形空腔，空腔内 点有一点电荷 距球心 Oqd此时需要在球心处增加一个镜像电荷 ，并且 ，新电荷系统由 共同组成。qqqaq d,q q q此时需要在球心处增加一个镜像电荷 ，并且 ，新电荷系统由 共同组成。q,q q q00(4)Uqa此时它的镜像应该放在腔外的M点上，也就是本例问题的反演，镜像电荷 和 。)(daqqdad2,q q腔内的场分布由 共同确定。5
34、6例5.12 假设一个无限大接地导体平面上有一半径为a的半球形导体凸块，在凸块附近有一个点电荷q。求此电荷的镜像。解：建立坐标系设电荷q和导体平面法线所在的平面为xz平面。o z a z q d q q(x,0,z)-q(x,0,-z)x a.电荷q对导体平面xy面的镜像电荷-q，坐标为(x,0,-z)b.电荷 q 对球面的镜像为 qzxaq)(22222zxad求镜像电荷导体外任意点的场由 四个点电荷共同确定。,q qqqc.镜像电荷 对xy平面的镜像为 ，处在 与O的连线上。qqqq57三.圆柱面镜像 r P o a l R R l x d o d M y b b B 例5.13 在半径为
35、a的无限长接地导体园柱外有一根与圆柱轴线平行的无限长线电荷，线电荷与圆柱轴线的距离为d，如图所示。求：柱外任意点的电位和柱面上的感应电荷。解：设置镜像电荷根据场的对称性，可设镜像电荷是一条与圆柱轴平行的线电荷，线密度为 ，与轴线的距离为 。ld求解等效问题空间任意点的电位为 RBORMBUllln2ln200daRadRllln2ln200 58其中 cos222rdrdRcos222drrdR MBdaOBad代入边界条件 ，得 0arU)(cos2ln2220adadadUlar0cos2ln2)(220dadaadl上式应对任意都成立，即圆柱面上的电位处处为零。因此应有 0arU0cos
36、)(2)()(2222lllldaddaddad 由此可以得到上式成立的充分条件是两个方括号部分都等于零 59 所以可得到ddll,不合理dadll2,正确解给出原问题的解cos2cos2ln2ln222222200rdrdrdadraRadRUll利用求得的镜像电荷参数可以得到柱外任意点电位)cos2(2)(22220addaaadrUlarsllssinaddaaddzaaddsQa20221022cos22)(柱面上的感应电荷面密度和单位长度上的感应电荷分别为 60等量异号平行线电荷的等电位面 l l b b y x 图516 平行线电荷的等电位线 0ln2lRUCR假定两线电荷相距为2
37、b，电量分别为 ，则空间任意点电位为,ll分别表示场点与 的距离，,R R,llR Rk可见当 取不同值时，就得到不同电位的等位线。若取两线电荷连线为x轴，连线的中垂线为y轴建立直角坐标系，2222()()xbykxby2222221211()()kkxbybkk则整理可得 RR(,)P x y 这是一个以常数k为参量的圆族方程，它表示两条平行异号线电荷在二维平面内的等电位线族。22(1)(1),0 kbk22(1)kbk等位圆的圆心在半径为k 1时，等位圆在y轴的右侧，电位为正值；k=1时，等位线变为y轴，电位为零；k=0时，等位圆缩为(0,b)处的点，电位为；k=时，等位圆缩为(0,b)处
38、的点，电位为。62 ),(yxp b-b l l 2R 1R 1o 2o-图517 平行双圆柱的镜像法 a a d A B o d y x 例5.14 两无限长平行圆柱导体的半径都等于a，轴线之间的距离为2d，如图所示。求：导体柱单位长度的电容。解：用两条平行异号线电荷和作为平行带电圆柱的镜像。首先来确定线电荷的位置b。22222010()lnln22()llxbyRURxby在右边圆柱边界上选取两个特殊点 ，(,0),(,0)A daB daABUU设y轴上的任意点为零电位参考点，则空间任意点处的电位为则63即222200()()lnln22()()lldabdabdabdab解之得22bd
39、a222222220222222220)()(ln4)()(ln2yadxyadxyadxyadxUll所以空间任意点处的电位为可得带负电圆柱的电位由此将带负电圆柱面的方程 代入上式，222)(dxay222222222201)()()()(ln4dxaadxdxaadxUlaaaddl220ln2 64同理，可证明带正电圆柱的电位为 aaddUla2202ln2两圆柱间的电位差 aaddUUVlaa22021ln两圆柱单位长度的电容为 aaddVCl2200lnaDCln00ad dD2当 时，令 ，则得5.4 复变函数法1、复位函数法 2、保角变换法 5.5 有限差分法 1、数值方法当边界
40、形状比较复杂，以至边界条件无法写成解析式而只能用一些离散数值表示时，前面所介绍的各种解法均无法使用，此时可以采用数值方法求解。有限差分法、矩量法、有限元法、边界元法2、有限差分法 基本思想：将满足拉普拉斯方程或泊松方程的边值问题转化为一个有限差分方程组来求解。67差分方程的推导 P 1P 2P 3P 4P 图625 有限差分法示意图 x y o h h 讨论最简单的二维问题a.将待求区域划分成许多边长为h的小正方形网格，如图所示，网格的交点称为结点。b.推导结点P 与周围四个节点间的电位关系3332221!31!21!11hxUhxUhxUUU3332223!31!21!11hxUhxUhxU
41、UU),(1yhxUUP1点),(3yhxUUP3点展成泰勒级数68将U1 U3两式相加，并略去高阶小量，可得222312xUhUUU同理可求出 222422yUhUUU)(2222243214yUxUhUUUUU2222yUxU)(2432141hUUUUU)(414321UUUUU以上两式相加得对于泊松问题得对于拉普拉斯问题，=0所以P点的差分方程P点的差分格式 我们可以由区域内所有结点的差分方程构成一个方程组。如果边界上的电位值是已知的，则差分方程和未知电位的个数都等于结点数，联立求解即可得到各结点的电位值。p 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will Be学习总结结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
