1、1 1第7章 数学物理方程的其他解法u7.1 延拓法延拓法u7.2 保角变换法保角变换法u7.3 积分方程的迭代解法积分方程的迭代解法u7.4 变分法变分法2 2前面几章主要讨论了求解数学物理方程的行波解、分离变量法、积分变换法和格林函数法，它们的适用范围比较广。本章再介绍几种求解数理方程的其他方法，包括延拓法、保角变换法、积分方程法和变分法等，以便于掌握不同的求解技巧和方法。3 3在积分变换法中，我们已经看到，对空间变量进行傅里叶变换时，函数必须是在整个(，)区间上定义的，如果函数只在0，)上有定义，就必须对函数进行适当的延拓，在(，0)上补充定义，以满足傅里叶积分变换的要求。这种根据定解问
2、题的性质补充拓展定义以适应问题的求解的方法称为延拓法。以下我们再通过具体实例说明这种方法的应用。7.1 延延 拓拓 法法4 47.1.1 半无界杆的热传导问题半无界杆的热传导问题对于一个细杆的热传导问题，当所考虑的杆的一个端点很远时，就可以略去这一端的影响，把这根杆看做是半无界的。对于一个半无界的杆，如果保持杆的一端温度为零，初始时杆的温度分布函数为j(x)，则这个杆的温度分布的定解问题可以表述为(7.1)2220,00,0,0uuaxtxutu xxj 5 5注意初始条件中的j(x)只在0 x内有意义，如果是无界一维热传导问题，我们就分别可以采用傅里叶积分变换或者格林函数法来求解，因此，我们
3、采用所谓延拓法来解此问题，即将初始函数延拓到x0的区间上。这相当于把半无界杆设想为无界杆的x0部分，但保持中点x0处u(0，t)0，因而无限长杆的初始温度分布必须是奇函数。这样就把半无界问题转化为温度为零的无界问题，即(7.2)2220 ,0,0.0uuaxtxxxu xxxjj 6 6仿照6.4.2节含时间的格林函数解的应用，可知无界一维无源热传导问题的解为(7.3)其中(7.4),0,;du x tuG xt22/41,;e2xa tG xtat7 7 因此，原问题的解为(7.5)2222000440,0,;d,;d,;d,;,;d1d2xxa ta tu x tuG xtG xtG xt
4、G xtG xteeatjj j j 8 87.1.2 有界弦的自由振动有界弦的自由振动利用延拓法也可以解有界区域的定解问题，为简单起见，我们考虑两端固定，长为l的弦的自由振动，这个问题的方程及定解条件为(7.6)222220,00,=0,0,0tuuaxltxutu l tu xxuxxj9 9 将j(x)和(x)在区间0，l之外延拓为周期是2l的奇函数，例如将它展成2l为周期的正弦函数jc(x)和c(x)，它们分别满足条件：(7.7)jc(x)和c(x)在x内都有定义，而在区间0 xx时，K(x，y)0。在这种情况下，积分上限为x，即式(7.49)和式(7.50)变为(7.51)()(,)
5、()d()bag xx y g yyf xlK(,)()d()bax y g yyf xK4444(7.52)分别称为第一类和第二类的伏特拉(Volterra)方程。积分方程也可采用算符的形式来表示。即式(7.48)可写为(hlK)g(x)f(x)(7.53)其中，K为积分算符，它表示用核相乘并对y从a到b的积分。将积分方程写成这种形式，易于与含有矩阵和微分算符的算符方程相比较。以上各方程中，若f(x)0，则称为齐次方程。()(,)()d()xag xx y g yyf xlK45457.3.2 迭代解法迭代解法求解积分方程(7.54)的一个直接方法就是迭代法，我们首先取近似g0(x)f(x)
6、(7.55)作为零级近似将此式代入方程(7.54)右边的积分中，便得到第一级近似(7.56)()()(,)()dbag xf xx y g yylK1()()(,)()dbag xf xx y f yylK4646再将一级近似代入式(7.54)的右边，便得到二级近似(7.57)重复迭代，得级数(7.58)22()()(,)()ddd(,)(,)()babbaagxf xK x y f yyyy K x y K y yf yll1()()(,)()dbnnang xf xx y f yylK4747其中，(7.59)被称为诺依曼级数或积分方程的诺依曼解。可以证明，如果核K(x，y)和f(x)在区
7、间a x，y b上连续，对于足够小的l，该级数解将收敛。11(,)(,)(,)(,)(,)dbnnaK x yK x yKx yK x y Ky yy(1,2,)n 4848例例7.4 求解描述粒子运动的薛定谔方程(7.60)其中，j(r)表示粒子的波函数，第一项表示粒子的动能，h为约克普朗克常数，V(r)表示作用势，E表示系统的总能量，它可表示为(7.61)2()()()()2rV rrErmjjj222kEm4949 解：解：方程又可写为(7.62)此方程具有边界条件(7.63)222()()()()mrkrV rrjjjDiie()e(,)krrrfrj jk r5050此式第一项表示入
8、射粒子的平面波，第二项表示入射粒子与V(r)的作用而散射的粒子的球面波。(k为波矢量，|k|k)。于是，由格林函数法知亥姆霍兹方程(7.63)的格林函数为(7.64)这样，我们可以将散射问题转变为积分方程(7.65)222kmEi1 e(,)4kG r rr rrrii22e()ed()()4kmVjjr rk rrrrrrr51 51其中第一项是用来调整解使之满足边界条件的补充修正函数。解可以写为诺依曼级数式(7.59)。由式(7.59)的第一级迭代，即取j0(r)eikr，我们可以得到一个非常重要的结果，被称做玻恩(Born)近似，即(7.66)记作(7.67)iii2e()d()e2km
9、eVjr rk rk rrrrrrii12e()()ed2kmVj r rk rrrrrr5252继续迭代得(7.68)于是解可表示为级数j(r)j0(r)j1(r)j2(r)(7.69)这个级数解当V(r)较小时，便能很快收敛。ii2i22ee()()()()edd2kkmVVrrj r rrrk rrrrrrrr53537.4.1 泛函和泛函的极值泛函和泛函的极值1.泛函的定义泛函的定义先来看一个简单的例子。设C为在区间a，b上满足条件y(a)c，y(b)d(7.70)7.4 变变 分分 法法5454的一切可微函数y(x)的集合。每一个这样的函数都对应着xy平面上由P1(a，c)到P2(b
10、，d)的一根光滑曲线yy(x)，如图7.5所示。用L表示这样的一根曲线的弧长。显然，弧长L的数值取决于P1到P2之间曲线的形状，也就是取决于函数y(x)的形式。于是，我们说L是y(x)的泛函，并记为LLy(x)(7.71)泛函的概念是函数概念的推广，函数是“数”与“数”之间的对应关系，而“泛函”则是“函数”与“函数”之间的对应关系。5555图7.5 P1到P2的曲线弧长5656以上述的弧长计算为例。根据数学分析的公式，可得曲线yy(x)的弧长L是(7.72)上式右边是一个定积分，说明L不是x的函数，而是一个“数”，但是它的数值不是一成不变的，而取决于函数y(x)的形式。给定一个y(x)，由式(
11、7.72)中的积分可得L的一个值，所以L是y(x)的泛函。21dbaLyx5757一般来说，泛函(7.71)常常用如下形式的积分表示：(7.73)其中的被积函数F(x，y，y)称为核，对它积分得到的J值取决于函数y(x)的形式，所以J是y(x)的泛函。(,)dbaJF x y yx58582.泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件下面再来看一个例子。设有一个质点，它的广义坐标是s(t)，相应的广义速度是ds(t)/dt。根据物理的要求，s(t)应该是具有连续二阶连续导数的函数。已知，在时刻t1和t2，广义坐标的值分别为s1和s2，即s(t1)s1，s(t2)s2(7.74)它们可以用(t，s)图
12、上的两个点1和2表示，如图7.6所示，满足条件式(7.74)的s(t)函数在(t，q)图上通过1、2两点的足够光滑的任意曲线。在许多函数中，只有一个描述质点的真实运动情况。5959我们所需要做的，正是设法从满足条件(式(7.74)的所有函数中，把代表真实运动的那一个函数s(t)挑出来。换句话说，就是要从通过1、2两点的所有曲线中挑出代表真实运动情况的曲线。6060图7.6 质点的运动路径61 61为了达到这一目的，首先设法找一个t、s(t)和的函数 ，它称为这一系统的拉格朗日函数，简称拉氏函数。拉氏函数的具体形式取决于所研究的系统的性质。对于现在所讨论的由单个质点所组成的系统，拉氏函数的形式取
13、决于质点的质量和所在空间中的势能场。因为s(t)和ds(t)/dt都是t的函数，所以拉氏函数是t的复合函数。将它对t由t1到t2积分，得到(7.75)d()ds ttd(,)dsL t st21(,)dttFL t q qt6262其中，F称为所研究系统的作用量。比较式(7.73)和式(7.75)可见，作用量F是s(t)的泛函。对于不同的s(t)，泛函F有不同的值，因而可能存在一个s(t)，和它对应的F值比起和其他s(t)所对应的F值而言是最小的。这就是泛函的极值问题。质点力学的基本规律可以表述为泛函极值问题的形式：如果已知在t1和t2时刻，质点的广义坐标为s1和s2，则描述质点由t1到t2的
14、真实运动情况的函数s(t)，是使作用量F达到极小值s(t)。这就是质点力学的最小作用量原理。6363显然引入泛函的概念以后，上述的最小作用量问题就变为求泛函F的极小值问题了。泛函的极值问题在物理学中广泛存在，例如光学中的费马原理(光线的实际路程上光程的变分为零)等都是泛函的极值问题。因此，下面将进一步研究泛函的极值问题。为了具体起见，在此我们讨论式(7.75)中的泛函F，并求它有极小值的必要条件。如果ss(t)使F有极小值，则当s略微偏离s(t)时，F值将增大。所谓“略微偏离s(t)”是指形状为s(t)ds(t)(7.76)6464的函数。如图7.7所示，其中，ds是整个区间t1，t2中都很小
15、的具有二阶连续导数的函数，并且满足条件ds(t1)ds(t2)0(7.77)后一个条件是为了使函数(式(7.76)也能满足条件式(7.74)。这样的ds(t)称为s(t)的变分。可将式(7.75)写为(7.78)其中，sds/dt。用式(7.76)代替这里的s(t)，得到(7.79)21()(,)dttF s tL t s st21(,)dttF ssL t ss sstddd6565 图7.7 形状为s(t)ds(t)的函数6666它和式(7.78)的差是(7.80)如果s(t)使F有极小值，则Fs将小于任意的FsDs，即上述差值应该对任意变分Ds都大于零。式(7.80)右边的被积函数可以对
16、Ds和Ds展开成级数：(7.81)21 (,)(,)dttF ssF sL t ss ssL t s stddd(,)(,)()LLL t ss ssL t s sssssdddd6767 这里明显写出的是对ds和ds线性的项。将这种对Ds和ds线性的项代入式(7.80)求积分，得到的结果称为泛函F的变分，用dF表示，它是当ds很小时的差值式(7.80)中的主要项。我们有(7.82)由于dF线性地依赖于ds和ds，所以为使差值式(7.80)对任意的ds都大于零，必须要dF对任意的ds都等于零。如若不然，当ds变号时，dF将随之变号，因而式(7.80)不能恒大于零。因此21()dttLLFsst
17、ssddd6868dF0(7.83)这就是泛函F有极值的必要条件。式(7.82)中的ds是广义坐标对时间导数的变分，它等于广义坐标的变分对时间的导数(7.84)因而式(7.82)中的第二项可以分部积分，得(7.85)ddsstdd 222111()d()dttttttL dLdLstss ts dtsdtsddd6969由于有条件式(7.77)，上式右边的第一项为零。将第二项代入式(7.82)和式(7.83)可得到(7.86)这一式子应对于任意的变分Ds都成立。为此必须被积函数的圆括号内的表达式等于零，故有(7.87)这就是泛函F有极值的必要条件，称为欧拉方程。21d()d0dttLLFs t
18、stsddd0dLLsts7070以上假定泛函F只依赖于一个函数s(t)。如果泛函依赖于多个函数si(t)(i1，2，n)时，同样有(7.88)(7.89)则相应的极值条件是(7.90)共有n个方程。2111(,)dtnntFL t sssst1122(),()iiiis tss ts(1,2,)ind0diiLLsts(1,2,)in71 717.4.2 里兹方法里兹方法既然变分问题可以转化为相应的欧拉方程(常微分方程或偏微分方程)，反过来说，定解问题里的泛定方程也就可以看做是某个变分问题的欧拉方程，而变分问题可以按瑞利-里兹方法求得近似解，这就是研究泛函极值问题的直接方法。其基本要点是，不
19、把泛函放在它的全部定义域来考虑，而是把它放在其定义域的一部分来考虑。具体而言，取某种完备的函数系如下：j1(x)，j2(x)，(7.91)7272尝试以其中的前几个来表示变分问题dF0的解，即令解为y(x)f(j1，j2，jn；c1，c2，cn)(7.92)其中，c1，c2，cn为待定参数，把上式代入F的表达式，F便成了c1，c2，cn的n元函数，即Fy(x)F(c1，c2，cn)，由于f 的形式是事先选定了的，如可选，故按照多元函数的极值方法令(7.93)1()niiifcxj0iicj(1,2,)in7373而求出系数c1，c2，cn，从而就完全确定了y(x)。但是这样得到的y(x)并非D
20、F0的严格解，而是近似解，若将上近似解记作yn(x)，则严格解应该是(7.94)只是这个极限是否收敛，甚至是否收敛于严格解都是问题，因此，在实际中我们通常只求解近似解。()lim()nny xyx7474在里兹方法中，如果函数系j1(x)，j2(x)，选择适当，且测试函数 f 也在适当的时候，近似解与解析解逼近程度会很好；如果选择不当，则可能相差很远。但是至于如何选择，并没有确定的方法可循，需要根据问题试选，通常函数系多选为三角函数系。7575例例7.12 用里兹方法求本征值为题yly0y(0)0，y(1)0(7.95)的最小本征值及相应的本征函数的近似解。解：解：这是分离变量后经常遇到的最简
21、单的本征值问题，它的精确解我们是知道的。这里用它作为例子来说明里兹方法的主要思路，并与精确解比较，以了解里兹方法的准确程度。上述方程可改写为(7.96)22d()()dy xy xxl7676可见算符L是(7.97)因此，本征值问题式(7.95)可转化为泛函(7.98)在归一条件(7.99)22ddLx 2120d()()()ddJ yy xy xxx120()d1yxx 7777及边界条件y(0)0，y(1)0(7.100)下的极值问题。对式(7.98)进行分部积分，得到由边界条件可知，上式右端第一项为零。因而(7.101)1112000dJ()()()d()()()ddyy xy xxy
22、x y xy xxx 120J()dyy xx7878 我们需要解决的正是这一泛函的归一条件式(7.99)和边界条件式(7.100)之下的极值问题。为了得到这一问题的近似解，采用里兹方法。里兹方法的关键在于找出满足边界条件的含有一定个数参量的测试函数。在这样的情况下，满足式(7.100)的最简单的函数是x(x1)，因此假设测探函数为含有两个参量的函数，即y(x)x(x1)(c0c1x)(7.102)7979可以算出(7.103)代入式(7.101)得(7.104)再将式(7.102)代入式(7.99)得(7.105)22431101222011 00010()912()4()64()y xc
23、xc cc xccc c xc cc xc122200 11012J()d()35y xxcc cc122200 11012()()307yx dxcc cc8080因而归一条件式(7.99)可写为(7.106)于是，求泛函极值的问题化为关于参量c0、c1的二元函数(式(7.93)在条件(式(7.95)之下的普通极值问题。利用拉格朗日子乘法得(7.107)2201 0112()10307cc cc 01010010111(2)(2)0330144()()035307JcccccJcccccllll81 81将它写成关于c0、c1的代数方程为(7.108)0101(2)(1)051042(1)()010535ccccllll8282要有非零解，必须系数行列式为零，即(7.109)这个方程的两个根是l10和l42。故所求的最小本征值的近似解为l10，与精确解29.8696相比较，相对误差为1.3%。2 15100421 10535llll8383将l10代入式(7.108)的第二式，得c10，所以本征函数的近似解是y(x)c0 x(x1)(7.110)其中，c0可以有归一化条件式(7.99)，求得为从而本征函数得解。030c
