1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.42.4 圆的方程圆的方程 2.4.22.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.正确理解圆的方程的形式及 特点，会由一般式求圆心和半 径(重点) 2.会在不同条件下求圆的一般 方程(重点) 1. 通过圆的一般方程的推导，提 升逻辑推理、数学运算的数学素 养. 2. 通过学习圆的一般方程的应 用，培养数学运算的数学素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 (1)把(xa)2(yb)2r2展开是一个什么样的关系式？ (2)把 x2y2DxEyF0 配方后，将得到怎样的方程？这个 方程一定表示圆吗？在什么条件下一
2、定表示圆？ 这就是今天我们将要研究的问题 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当_时，二元二次方程 x2y2DxEyF0 叫做圆的一般方程 其中圆心为_，圆的半径为 r_. D2E24F0 D 2 ，E 2 1 2 D2E24F (2)对方程 x2y2DxEyF0 的讨论 D2E24F0 时表示_ D2E24F0 时表示点_. D2E24F0 时，不表示任何图形 圆 D 2 ，E 2 思考：方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的条件是什 么？ 提示 AC0，B0 且 D2E24F0. 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)方程 x2y2DxEyF0 表示圆 ( ) (2)
3、利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系 ( ) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化 ( ) (4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件 ( ) 提示 (1) (2) (3) (4) 2若方程 x2y22x2y 2210 表示圆，则 的取 值范围是( ) A(1，) B 1 5，1 C(1，) ，1 5 DR A 因为方程 x2y22x2y2210 表示圆，所以 D2E24F0， 即 42424(221)0， 解不等式得 1， 即 的取值范 围是(1，)故选 A. 3圆的方程为(x1)(x2)(y2)(y4)0，则它的圆心坐标 为_ 1 2，1 圆的方程整理为 x 2y2x
4、2y100，配方得 x1 2 2 (y1)245 4 ，所以圆心为 1 2，1 . 4过点(0,0)，(4,0)和(0,6)三点的圆的一般方程为_ x2y24x6y0 三点构成的三角形为直角三角形，且圆心 坐标为(2,3)，半径 r1 2 4262 13. 方程为(x2)2(y3)213，一般方程为 x2y24x6y0. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 圆的一般方程的认识 【例 1】 (1)若方程 x2y22ax2ay2a2a10 表示圆， 则 a 的取值范围是_ (2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半 径长 x2y24x0；2x22y23x4y60；x2y22a
5、x 0. (1)(，1) 把方程配方得(xa)2(ya)21a，由条件可 知 1a0，即 a1. (2)解 方程可变形为(x2)2y24， 故方程表示圆， 圆心为 C(2,0)，半径 r2. 方程可变形为 2 x3 4 2 2(y1)223 8 ，此方程无实数解故 方程不表示任何图形 原方程可化为(xa)2y2a2. 当 a0 时，方程表示点(0,0)，不表示圆； 当 a0 时，方程表示以(a,0)为圆心，|a|为半径的圆 判断方程 x2y2DxEyF0 是否表示圆，关键是将其配方 xD 2 2 yE 2 2 D 2E24F 4 ，最后转化为判断 D2E24F 的正负 问题 跟进训练 1下列方
6、程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径 (1)2x2y27y50； (2)x2xyy26x7y0； (3)x2y22x4y100； (4)2x22y25x0. 解 (1)方程 2x2y27y50 中 x2与 y2的系数不相同， 它不能表示圆 (2)方程 x2xyy26x7y0 中含有 xy 这样的项， 它不能表示圆 (3)方程 x2y22x4y100 化为(x1)2(y2)25， 它不能表示圆 (4)方程 2x22y25x0 化为 x5 4 2 y2 5 4 2 ， 它表示以 5 4，0 为圆心， 5 4为半径长的圆. 求圆的一般方程 【例 2】 已知ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(
7、2,3)，C(4， 5)，求ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径 解 法一：设ABC 的外接圆方程为 x2y2DxEyF0， A，B，C 在圆上， 116D4EF0， 492D3EF0， 16254D5EF0， D2， E2， F23， ABC 的外接圆方程为 x2y22x2y230， 即(x1)2(y1)225. 外心坐标为(1，1)，外接圆半径为 5. 法二：kAB43 12 1 3，kAC 45 143， kAB kAC1，ABAC. ABC 是以角 A 为直角的直角三角形， 外心是线段 BC 的中点， 坐标为(1，1)，r1 2|BC|5. 外接圆方程为(x1)2(y1)225.
8、 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b)和半径 r，一般步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r 0)； (2)根据已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组； (3)解方程组， 求出 a， b， r 的值， 并把它们代入所设的方程中去， 就得到所求圆的方程 跟进训练 2已知圆 C：x2y2DxEy30，圆心在直线 xy10 上，且圆心在第二象限，半径长为 2，求圆的一般方程 解 圆心 C D 2 ，E 2 ， 圆心在直线 xy10 上， D 2 E 210， 即 DE2. 又半径长 r
9、D2E212 2 2， D2E220. 由可得 D2， E4 或 D4， E2. 又圆心在第二象限，D 2 0，即 D0. 则 D2， E4. 故圆的一般方程为 x2y22x4y30. 与圆有关的轨迹问题 探究问题 1求轨迹方程与轨迹有什么区别？ 提示 轨迹是一个图形，比如是直线、圆之类，而轨迹方程是 这个图形的方程 2已知动点 M 到点(8,0)的距离等于点 M 到点(2,0)的距离的 2 倍，你能求出点 M 的轨迹方程吗？ 提示 设 M(x，y)，由题意有 x82y22 x22y2，整 理得点 M 的轨迹方程为 x2y216. 【例 3】 点 A(2,0)是圆 x2y24 上的定点，点 B
10、(1,1)是圆内一 点，P，Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 的中点 M 的轨迹方程； (2)若PBQ90 ，求线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程 思路探究 (1)设点P坐标用P，A坐标表示点M坐标 求轨迹方程 (2)设点N坐标探求点N的几何条件建方程 化简得轨迹方程 解 (1)设线段 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点公式得点 P 坐标为(2x2,2y) 点 P 在圆 x2y24 上，(2x2)2(2y)24， 故线段 AP 的中点 M 的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设线段 PQ 的中点为 N(x，y)， 在 RtPBQ 中，|PN|BN|. 设 O 为坐标原点，连接 ON(
11、图略)，则 ONPQ， |OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， x2y2(x1)2(y1)24， 故线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程为 x2y2xy10. 1在本例条件不变的情况下，求过点 B 的弦的中点 T 的轨迹方 程 解 设 T(x，y) 因为点 T 是弦的中点，所以 OTBT. 当斜率存在时有 kOT kBT1. 即y x y1 x11，整理得 x 2y2xy0. 当 x0 或 1 时点(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)也都在圆上 故所求轨迹方程为 x2y2xy0. 2本例条件不变，求 BP 的中点 E 的轨迹方程 解 设点 E(x，y)，P(x0，y0) B(1
12、,1)， xx 01 2 ， yy 01 2 . 整理得 x02x1，y02y1， 点 P 在圆 x2y24 上， (2x1)2(2y1)24， 整理得点 E 的轨迹方程为 x2y2xy1 20. 1直接法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点 M 的坐标(x，y)； (2)列出点 M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点 2代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点 M 的坐标为(x，y)； (2)建立 x，y 与相关点的坐标 x0，y0的方程； (3)用 x，y 表
13、示 x0，y0； (4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程； (5)化简方程为最简形式 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或 需利用圆心的坐标或半径列方程的问题， 一般采用圆的标准方程， 再 用待定系数法求出 a，b，r；如果已知条件与圆心和半径都无直接关 系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F. 2圆的方程的几种特殊情况 一般方程 x2y2DxEyF0(D2E24F0) 过原点 x2y2DxEy0 圆心在 x 轴上 x2y2DxF0(D24F0) 圆心在 y 轴上 x2y2EyF0(E24F0) 3.求涉及
14、到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法， 即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法， 代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式， 再把 x0，y0用 x，y 表示后代入到它所满足的曲线的方法解题时要 注意条件的限制 1方程 2x22y24x8y100 表示的图形是( ) A一个点 B一个圆 C一条直线 D不存在 A 方程 2x22y24x8y100，可化为 x2y22x4y5 0，即(x1)2(y2)20，方程 2x22y24x8y100 表示 点(1，2) 2若方程 x2y2xym0 表示一个圆，则实数 m 的取值范 围是( ) Am1
15、 2 Bm1 2 Cm2 Dm2 A 由 D2E24F0 得(1)2124m0，解得 m1 2，故选 A. 3若圆 x2y22kx2y40 关于直线 2xy30 对称，则 实数 k 等于_ 2 由条件可知，直线经过圆的圆心(k，1)，2k(1)3 0，解得 k2. 4设圆 x2y24x2y110 的圆心为 A，点 P 在圆上，则 PA 的中心 M 的轨迹方程是_ x2y24x2y10 由条件知 A(2，1)，设 M(x，y)，则 P(2x2,2y1)，由于 P 在圆上， (2x2)2(2y1)24(2x2)2(2y1)110， 整理得 x2y24x2y10. 5 已知ABC 的三个顶点分别为 A(1,5)， B(2， 2)， C(5,5)， 求其外接圆 P 的方程 解 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 由题意可得 D5EF260， 2D2EF80， 5D5EF500， 解得 D4， E2， F20. 故所求外接圆 P 的方程为 x2y24x2y200. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
