1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 3.23.2 双曲线双曲线 3.2.23.2.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握双曲线的简单 几何性质(重点) 2 理解双曲线的渐近 线及离心率的意 义(难点) 1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的 直观想象、数学运算核心素养 2 借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲 线位置关系的应用，提升学生的直观想象及 数学运算、逻辑推理核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 (1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短 轴、离心率等性质 (2)用多媒体展示几组焦点在 x 轴、
2、y 轴上开口大小各不相同的双 曲线，观察双曲线形状的美 (3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢？ 1双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 范围 _ _ 对称性 对称轴：_，对称中心：_ 性 质 顶点 _，_ _，_ xa或xa ya或ya 坐标轴 原点 (a,0) (a,0) (0，a) (0，a) 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 轴长 实轴长_，
3、虚轴长_ 离心率 性 质 渐近线 y b ax 2a 2b ec a1 y a bx 思考：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ 提示 渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长 的比值相同 2双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的_叫做双曲线的中心 (2)等轴双曲线 _的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e_. 对称中心 2 实轴和虚轴等长 3直线与双曲线的位置关系 将 ykxm 与x 2 a2 y2 b21 联立消去 y 得一元方程(b 2a2k2)x2 2a2kmxa2(m2b2)0. 的取值 位置关系 交点个数 k b a时 只有_交点 k b a且 0 相交 有_交
4、点 k b a且 0 相切 只有_交点 k b a且 0 相离 _公共点 一个 两个 一个 没有 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)双曲线x 2 2 y 2 4 1 的焦点在 y 轴上 ( ) (2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔 ( ) (3)以 y 2x 为渐近线的双曲线有 2 条 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2 若等轴双曲线的一个焦点是 F1(6,0)， 则它的标准方程是( ) A y2 18 x2 181 B x2 18 y2 181 Cx 2 8 y 2 8 1 Dy 2 8 x 2 8 1 B 由条件知，等轴双曲线焦点在 x 轴上，可设方程为x 2
5、a2 y2 a2 1，a2a262，解得 a218，故方程为 x2 18 y2 181. 3已知点(2,3)在双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)上，C 的焦距 为 4，则它的离心率为_ 2 由题意知 4 a2 9 b21，c 2a2b24，得 a1，b 3，e 2. 4双曲线x 2 a2 y2 9 1(a0)的一条渐近线方程为 y3 5x，则 a _. 5 双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 9 1(a0)， 双曲线的渐近线方程为 y 3 ax. 又双曲线的一条渐近线方程为 y3 5x，a5. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 根据双曲线方程研究几何性质 【例 1】
6、 求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实 轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程 解 双曲线的方程化为标准形式是x 2 9 y 2 4 1， a29，b24，a3，b2，c 13. 又双曲线的焦点在 x 轴上， 顶点坐标为(3,0)，(3,0)， 焦点坐标为( 13，0)，( 13，0)， 实轴长 2a6，虚轴长 2b4， 离心率 ec a 13 3 ，渐近线方程为 y 2 3x. 1 把本例双曲线方程“9y24x236”改为“9y24x236”， 它的性质如何？ 解 把方程 9y24x236 化为标准方程为y 2 4 x 2 9 1，这里 a2 4，b29，c213.焦点在 y 轴上
7、所以顶点坐标为(0,2)，(0，2)， 焦点坐标为(0， 13)，(0， 13)，实轴长 2a4， 虚轴长 2b6，离心率 ec a 13 2 ，渐近线方程为 y a bx 2 3x. 2 把本例中方程“9y24x236”改为“4x29y24”， 它 的性质又如何？ 解 方程 4x29y24 可化为标准方程y 2 4 9 x21，焦点在 y 轴上，这里 a24 9，b 21，c24 91 13 9 . 所以顶点坐标为 0，2 3 ， 0，2 3 . 焦点坐标为 0， 13 3 ， 0， 13 3 . 实轴长 2a4 3，虚轴长 2b2. 离心率 ec a 13 2 . 渐近线方程为 y a b
8、x 2 3x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值； (3)由 c2a2b2求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置 由几何性质求双曲线的标准方程 【例 2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在 x 轴上，虚轴长为 8，离心率为5 3； (2)两顶点间的距离是 6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)与双曲线x 2 9 y2 161 有共同的渐近线，且过点(3，2 3) 思路探究 由几何性质求双曲线方程，多是根据题设信息寻找 a，b，c，e 之间的关系，并
9、通过构造方程获得问题的解(解出 a，b 或 a2，b2的值) 解 (1)设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，则 2b8，ec a 5 3，从而 b4，c 5 3a，代入 c 2a2b2，得 a29，故 双曲线的标准方程为x 2 9 y2 161. (2)由两顶点间的距离是 6 得 2a6，即 a3. 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得 2c4a12，即 c 6，于是有 b2c2a2623227. 由于焦点所在的坐标轴不确定， 故所求双曲线的标准方程为x 2 9 y2 271 或 y2 9 x2 271. (3)法一：当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为x 2
10、 a2 y2 b21. 由题意，得 b a 4 3， 32 a2 2 3 2 b2 1， 解得 a29 4，b 24， 所以双曲线的方程为4x 2 9 y 2 4 1. 当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为y 2 a2 x2 b21. 由题意，得 a b 4 3， 2 32 a2 3 2 b2 1， 解得 a24，b29 4(舍去) 综上所得，双曲线的方程为4x 2 9 y 2 4 1. 法二：设所求双曲线方程为x 2 9 y2 16(0)， 将点(3,2 3)代入得 1 4， 所以双曲线方程为x 2 9 y2 16 1 4，即 4x2 9 y 2 4 1. 1由几何性质求双曲线标准方程的解
11、题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数 法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分 类讨论， 为了避免讨论， 也可设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0) 2常见双曲线方程的设法 (1)渐近线为y n mx的双曲线方程可设为 x2 m2 y2 n2(0， m0， n0)；如果两条渐近线的方程为 Ax By0，那么双曲线的方程可设 为 A2x2B2y2m(m0，A0，B0) (2)与双曲线x 2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0，b0)共渐近线的双曲 线方程可设为x 2 a2 y2 b2 或 y2 a2 x2 b2(0) (3)与双曲
12、线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)离心率相等的双曲线系方程可 设为x 2 a2 y2 b2(0)或 y2 a2 x2 b2(0)，这是因为由离心率不能确定 焦点位置 (4)与椭圆 x2 a2 y2 b2 1(ab0)共焦点的双曲线系方程可设为 x2 a2 y2 b21(b 2a2) 跟进训练 1求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为5 4； (2)焦点在 x 轴上，离心率为 2，且过点(5,3)； (3)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y 3 2x. 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0，b 0) 由
13、题意知 2b12，c a 5 4且 c 2a2b2， b6，c10，a8， 双曲线的标准方程为 x2 64 y2 361 或 y2 64 x2 361. (2)ec a 2，c 2a，b 2c2a2a2. 又焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 a21(a0) 把点(5,3)代入方程，解得 a216. 双曲线的标准方程为 x2 16 y2 161. (3)设以 y 3 2x 为渐近线的双曲线方程为 x2 4 y 2 9 (0)， 当 0 时，a24，2a2 469 4. 当 0 时，a29，2a2 961. 双曲线的标准方程为x 2 9 4y 2 81 1 或y 2 9
14、x 2 4 1. 求双曲线的离心率 探究问题 1双曲线的离心率的范围怎样？对双曲线的形状有什么影响？ 提示 在双曲线方程中，因为 ac，所以离心率 ec a(1， )，它的大小决定了双曲线的开口大小，e 越大，开口就越大 2双曲线的离心率与其渐近线斜率有什么关系？ 提示 ec a a2b2 a2 1 b a 2 当焦点在 x 轴上时，渐近线斜率为 k，则 e 1k2，当焦点在 y 轴上时，渐近线斜率为 k，则 e1 1 k2. 【例 3】 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为 y2x，则其离心 率为_ (2)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0) 的右焦点
15、 F(c,0)到一条渐近线的距离为 3 2 c，求其离心率的值 思路探究 (1)利用离心率c a与 b a的关系， 注意要分类讨论焦点的 位置 (2)利用条件建立齐次方程求解 (1) 5或 5 2 当焦点在 x 轴上时，b a2，这时离心率 e c a 122 5. 当焦点在 y 轴上时， a b2， 即 b a 1 2， 这时离心率 e c a 1 1 2 2 5 2 . (2)解 因为双曲线的右焦点 F(c,0)到渐近线 y b ax，即 bx ay 0 的距离为 |bc| a2b2 bc c b，所以 b 3 2 c，因此 a2c2b2c23 4 c21 4c 2，a1 2c，所以离心率
16、 e c a2. 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得 a，c，则直接利用 ec a得解 (2)若已知 a，b，可直接利用 e1 b a 2得解 (3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2qacra20(p，q，r 为常数，且 p0)，则转化为关于 e 的方程 pe2qer0 求解 跟进训练 2过双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近 线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为 _ 2 3 如图，F1，F2为双曲线 C 的左、右焦点，将点 P 的横 坐标 2a 代入x 2 a2 y2 b21 中，得 y 23b2，
17、不妨令点 P 的坐标为(2a， 3b)， 此时 kPF2 3b c2a b a， 得到 c(2 3)a， 即双曲线 C 的离心率 ec a2 3. 直线与双曲线的位置关系 探究问题 1直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切 吗？ 提示 可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线 和双曲线相交且只有一个交点 2 过点(0,2)和双曲线 x2 16 y2 9 1 只有一个公共点的直线有几条？ 提示 四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线 【例 4】 已知双曲线 C：x2y21 及直线 l：ykx1. (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点， 求实数k的取值范围； (2)若
18、直线 l 与双曲线 C 交于 A， B 两点， O 是坐标原点， 且AOB 的面积为 2，求实数 k 的值 思路探究 直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与 “0”的关系直线与双曲线的位置关系 解 (1)联立方程组 ykx1， x2y21， 消去 y 并整理得(1k2)x22kx20. 直线与双曲线有两个不同的交点， 则 1k20， 4k281k20， 解得 2k 2，且 k 1. 若 l 与 C 有两个不同交点，实数 k 的取值范围为 ( 2，1)(1,1)(1， 2) (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 对于(1)中的方程(1k2)x22kx20， 由根与系数的关系，得 x1
19、x2 2k 1k2， x1x2 2 1k2， |AB| 1k2|x1x2| 1k2 2k 1k2 2 8 1k2 1k284k2 1k22 . 又点 O(0,0)到直线 ykx1 的距离 d 1 1k2， SAOB1 2 |AB| d 1 2 84k2 1k22 2， 即 2k43k20，解得 k0 或 k 6 2 . 实数 k 的值为 6 2 或 0. 直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)方程思想的应用 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 ax2bx c0 的形式，在 a0 的情况下考察方程的判别式 0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点 0 时，直线与双曲线只有一个公共点
20、0，符合题意， 所求直线 MN 的方程为 y3 4x 5 4， 即 3x4y50. 法二：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N 均在双曲线上， x2 1 4 y2 11， x2 2 4 y2 21， 两式相减，得x 2 2x 2 1 4 y2 2y 2 1， y 2y1 x2x1 x2x1 4y2y1. 点 A 平分弦 MN， x1x26，y1y22. kMNy 2y1 x2x1 x2x1 4y2y1 3 4. 经验证，该直线 MN 存在 所求直线 MN 的方程为 y13 4(x3)， 即 3x4y50. 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1渐近线是双曲线特有的性质两方程联系
21、密切，把双曲线的 标准方程x 2 a2 y2 b21(a0，b0)右边的常数 1 换为 0，就是渐近线方 程 反之由渐近线方程 ax by0 变为 a2x2b2y2(0)， 再结合其 他条件求得 ，可得双曲线方程 2与双曲线有关的其他几何性质 (1)通径：过双曲线x 2 a2 y2 b21 或y 2 a2 x2 b21 (a0，b0)的焦点作 垂直于焦点所在对称轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫做通径， 其长度为2b 2 a . (2)焦点三角形： 双曲线上的点 P 与两焦点构成的PF1F2叫做焦 点三角形设F1PF2，则焦点三角形的面积 S b2 tan 2 . (3)距离：双曲线x 2 a
22、2 y2 b21(a0，b0)右支上任意一点 M 到左 焦点的最小距离为 ac，到右焦点的最小距离为 ca. (4)与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的离心率相等的双曲线系方程 为x 2 a2 y2 b2(0)或 y2 a2 x2 b2(0) (5)与双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)共焦点的双曲线系方程为 x2 a2k y2 b2k1(a 2kb2) 1已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹中为双曲线的是( ) A|PF1|PF2| 3 B|PF1|PF2| 4 C|PF1|PF2| 5 D|PF1|2|PF2|2 4 A
23、 |F1F2|4，根据双曲线的定义知选 A. 2已知双曲线x 2 a2 y2 5 1 的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率 等于( ) A3 14 14 B3 2 4 C3 2 D 4 3 C 由题意知 a259，解得 a2，故 e3 2. 3已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点为 F(2 5，0)， 且离心率为 e 5 2 ，则双曲线的标准方程为_ x2 16 y2 4 1 由焦点坐标，知 c2 5，由 ec a 5 2 ，可得 a4， 所以 b c2a22，则双曲线的标准方程为 x2 16 y2 4 1. 4过双曲线 x2y 2 3 1 的左焦点 F1，作倾斜角
24、为 6的直线与双曲 线交于 A，B 两点，则|AB|_. 3 双曲线的左焦点为(2,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 方 程为 y 3 3 (x2)，即 x 3y20， 由 x 3y20， x2y 2 3 1 得 8y212 3y90， 则 y1y23 3 2 ，y1y29 8. |AB| 1 1 k2 y1y224y1y2 13 3 3 2 249 8 3. 5直线 l 与双曲线 x24y24 相交于 A，B 两点，若点 P(4,1) 为线段 AB 的中点，则直线 l 的方程是_ xy30 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的斜率为 k，易 知 k 存在且 k0， 则 x2 14y 2 14，x 2 24y 2 24， 两式相减，得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0， 又点 P(4,1)为线段 AB 的中点， x1x28，y1y22. 代入，得(x1x2)(y1y2)0， ky 1y2 x1x21. 因此直线 l 的方程是 y11(x4)，即 xy30. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
