1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.52.5 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.12.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线与圆的三种位置关系： 相交、 相切、相离(重点) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆 的三种位置关系(难点) 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实 际问题(难点) 通过研究直线与圆的位 置关系， 提升逻辑推理、 数学运算、直观想象的 数学素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 “大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句它描 述了黄昏日落时分塞外特有的景象 如果我
2、们把太阳看成一个圆， 地 平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片 图片中， 地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结， 直 线与圆有几种位置关系？ 1直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有_公共点 相切 只有_公共点 相离 _公共点 两个 一个 没有 2.直线 AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _个 _个 _个 几何法：设圆心到直线的距离 d |AaBbC| A2B2 d_r d_r d_r 判 定 方 法 代数法：由 AxByC0， xa2yb2r2 消元得到一元二次方程的判别式 _0 _0 _0 两
3、一 零 思考： 用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有 什么特点？ 提示 “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是 从不同的方面，不同的思路来判断的“几何法”更多地侧重于 “形”， 更多地结合了图形的几何性质； “代数法”则侧重于“数”， 它倾向于“坐标”与“方程” 3用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用_和_表示问题 中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为_问题； 第二步：通过_运算，解决_问题； 第三步：把_运算的结果“翻译”成几何结论 坐标 方程 代数 代数 代数 代数 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)
4、直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断 ( ) (2)过圆外一点作圆的切线有两条 ( ) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距 离 ( ) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切 ( ) 提示 (1) (2) (3) (4) 2直线 3x4y50 与圆 x2y21 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D无法判断 B 圆心(0,0)到直线 3x4y50 的距离 d |5| 32421. d r，直线与圆相切故选 B. 3 设A， B为直线yx与圆x2y21的两个交点， 则|AB|( ) A1 B 2 C 3 D2 D 直线 yx 过圆 x2y21 的圆心
5、 C(0,0)，则|AB|2. 4若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的 切线方程为_ x2y50 由题意，得 kOP20 102，则该圆在点 P 处的切 线的斜率为1 2，所以所求切线方程为 y2 1 2(x1)，即 x2y5 0. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 直线与圆的位置关系 【例 1】 已知直线方程 mxym10，圆的方程 x2y2 4x2y10.当 m 为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点 解 法一： 将直线 mxym10 代入圆的方程化简整理得， (1m2)x22(m22m2)xm24m40.
6、4m(3m4)， (1)当 0 时，即 m0 或 m4 3时，直线与圆相交，即直线与 圆有两个公共点； (2)当 0 时，即 m0 或 m4 3时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； (3)当 0 时，即4 3m0 时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点 法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24， 即圆心为 C(2,1)，半径 r2. 圆心 C(2,1)到直线 mxym10 的距离 d|2m1m1| 1m2 |m2| 1m2. (1)当 d0 或 m2 时，即4 3m1， 所以点 A 在圆外，故切线有两条 若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k， 则切线方程为 y3k(x4)，
7、即 kxy4k30. 设圆心为 C， 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1， 所以|3k134k| k21 1，即|k4| k21， 所以 k28k16k21，解得 k15 8 . 所以切线方程为15 8 xy15 2 30， 即 15x8y360. 若直线斜率不存在， 圆心 C(3,1)到直线 x4 的距离为 1， 这时直线 x4 与圆相切，所以另一条切线方程为 x4. 综上，所求切线方程为 15x8y360 或 x4. 圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的 斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为 1 k ，由点斜式可得
8、切线方 程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 yy0或 x x0. (2)点在圆外时 几何法：设切线方程为 yy0k(xx0)由圆心到直线的距离 等于半径，可求得 k，也就得切线方程 代数法：设切线方程为 yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消 去 y 后得到关于 x 的一元二次方程，由 0 求出 k，可得切线方程 提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解 跟进训练 2若圆 C：x2y22x4y30，关于直线 2axby60 对 称，则由点(a，b)向圆 C 所作的切线长的最小值为_ 4 因为圆 C：x2y22x4y30 关于直线 2axby60 对称，所以圆心 C(1,2)在直线
9、2axby60 上，所以2a2b 60，即 ab3.又圆的半径为 2， 当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a， b)与圆心的距离为 a12b22 2a22183 2，所以切 线长的最小值为 3 22 224. 直线与圆相交问题 【例 3】 (1)求直线 l：3xy60 被圆 C：x2y22y40 截得的弦长|AB|. (2)过点(4,0)作直线 l 与圆 x2y22x4y200 交于 A，B 两点，如果|AB|8，求直线 l 的方程 思路探究 (1)利用交点坐标直接求解 (2)直线 l 要分斜率存在和不存在两种情况，建立方程，通过解方 程得解 解 (1)联立直线 l 与
10、圆 C 的方程，得 3xy60， x2y22y40， 解 得 x11， y13， x22， y20， 所以交点为 A(1,3)，B(2,0)故直线 l：3xy 60被圆C： x2y22y40截得的弦长|AB| 122302 10. (2)将圆的方程配方得(x1)2(y2)225， 由圆的性质可得，圆心到直线 l 的距离 d 252 8 2 2 3. 当直线 l 的斜率不存在时，x4 满足题意； 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 yk(x4)，即 kxy 4k0. 由点到直线的距离公式，得 3|k24k| 1k2 ， 解得 k 5 12，所以直线 l 的方程为 5x12y200. 综上
11、所述，直线 l 的方程为 x40 或 5x12y200. 求弦长常用的三种方法 (1)利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l 之间的关系 1 2l 2 d2r2解题 (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐 标后，直接用两点间距离公式计算弦长 (3)利用弦长公式，设直线 l：ykxb，与圆的两交点(x1，y1)， (x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得 弦长 l 1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x2. 跟进训练 3直线 m：xy10 被圆 M：x2y22x4y0 截得的弦长 为( ) A4 B2 3 C1 2 D 1 3 B x
12、2y22x4y0，(x1)2(y2)25， 圆 M 的圆心坐标为(1,2)， 半径为 5， 又点(1,2)到直线 xy1 0 的距离 d|11121| 1212 2，直线 m 被圆 M 截得的弦长等 于 2 ( 5)2( 2)22 3.故选 B. 直线与圆位置关系的综合 【例 4】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报， 台风中心位于轮船正西 70 km 处， 受影响的范围是半径为 30 km 的圆 形区域， 已知港口位于台风中心正北 40 km 处， 如果这艘轮船不改变 航线，那么它是否会受到台风的影响？ 思路探究 先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有 关的几何元素用坐标和方
13、程表示出来， 然后把此实际问题转化为代数 问题来解决 解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为 x 轴建立平面直角 坐标系(如图所示)，其中取 10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形 区域为圆 x2y29 及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船 的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线 l 的方程 为x 7 y 41，即 4x7y280.圆心(0,0)到直线 4x7y280 的距 离 d |28| 4272 28 65，而半径 r3， 因为 dr，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响 直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 (1)审题：认真审题，明确题意，
14、从题目中抽象出几何模型，明 确已知和未知； (2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程 表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程； (3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去 跟进训练 4如图所示，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时， 拱顶离水面 2 米， 水面宽 12 米， 则水面下降 1 米后， 水面宽度为( ) A14 米 B15 米 C 51米 D2 51米 D 以圆弧形拱桥的顶点为原点， 以过圆弧形拱桥的顶点的水平 切线为 x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为 y 轴，建立平面直 角坐标系，如图所示 设圆
15、心为 C，水面所在弦的端点为 A，B，则由已知可得 A(6， 2)， 设圆的半径长为 r，则 C(0，r)， 则圆的方程为 x2(yr)2r2. 将点 A 的坐标代入上述方程，可得 r10，所以圆的方程为 x2 (y10)2100， 当水面下降 1 米后，水面所在弦的端点为 A，B， 可设 A(x0，3)(x00)，代入 x2(y10)2100，解得 x0 51， 水面宽度|AB|2 51米 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离 与半径大小的关系； 二是直线与圆的公共点的个数； 三是两方程组成 的方程组解的个数因此，若给出图形，可根据
16、公共点的个数判断； 若给出直线与圆的方程， 可选择用几何法或代数法， 几何法计算量小， 代数法可一同求出交点解题时可根据条件作出恰当的选择 2与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观 想象的数学素养， 但注意验证所求直线的斜率不存在的情形， 避免漏 解 3坐标法解决问题的一般步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程； (3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论； (4)反演回去，得到几何问题的结论 1直线 3x4y120 与圆(x1)2(y1)29 的位置关系是 ( ) A过圆心 B相切 C相离 D相交但不过圆心 D
17、圆心坐标为(1，1)，圆心到直线 3x4y120 的距离为 d|3412| 3242 11 5 r3.又点(1，1)不在直线 3x4y120 上， 所以直线与圆相交且不过圆心选 D. 2过点 P(0,1)的直线 l 与圆(x1)2(y1)21 相交于 A，B 两 点，若|AB| 2，则该直线的斜率为( ) A 1 B 2 C 3 D 2 A 由题意设直线 l 的方程为 ykx1， 因为圆(x1)2(y1)2 1 的圆心为(1,1)，半径为 r1，又弦长|AB| 2，所以圆心到直线 的距离为 dr2 |AB| 2 2 11 2 2 2 ， 所以有 |k| k21 2 2 ， 解得 k 1. 3
18、若直线 3x2y0 与圆(x4)2y2r2(r0)相切， 则 r( ) A48 7 B5 C4 21 7 D25 C 设圆心到直线的距离为 d，则 d |4 30| 3222 4 21 7 .由 直线与圆相切可得 r4 21 7 .故选 C. 4过点 A(1,4)作圆 C：(x2)2(y3)21 的切线 l，则切线 l 的方程为_ y4 或 3x4y130 设方程为 y4k(x1)，即 kxyk 40.d|2k3k4| k21 1，4k23k0， 解得 k0 或 k3 4.故切线 l 的方程为 y4 或 3x4y130. 5已知圆 C 经过点 A(2,0)，B(1， 3)，且圆心 C 在直线
19、yx 上 (1)求圆 C 的方程； (2)过点 1， 3 3 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3，求直线 l 的方程 解 (1)AB 的中点坐标 3 2， 3 2 ，AB 的斜率为 3.可得 AB 垂 直平分线方程为 2 3x6y0，与 xy0 的交点为(0,0)，圆心坐标 (0,0)，半径为 2， 所以圆 C 的方程为 x2y24. (2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为 k，又直线 l 过 1， 3 3 ， 直线 l 的方程为 y 3 3 k(x1)， 即 ykx 3 3 k， 则圆心(0,0)到直线的距离 d 3 3 k 1k2 ，又圆的半径 r2，截得 的弦长为 2 3， 则有 3 3 k 1k2 2 ( 3)24，解得：k 3 3 ， 则直线 l 的方程为 y 3 3 x2 3 3 . 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x1，满足题意 直线 l 的方程为 x1 或 y 3 3 x2 3 3 . 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
