1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.22.2 直线的方程直线的方程 2.2.22.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线方程两点式的形式、 特点及适用范围(重点) 2.了解直线方程截距式的形式、 特点及适用范围(重点) 3.会用中点坐标公式求两点的 中点坐标. 1.通过直线两点式方程的推导，提 升逻辑推理的数学素养. 2.通过直线的两点式方程和截距 式方程的学习， 培养直观想象和数 学运算的数学素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 某区商业中心 O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位 于东大街北侧、北大街东 P 处，
2、如图所示公园到东大街、北大街 的垂直距离分别为 1 km 和 4 km.现在要在公园前修建一条直线大道 分别与东大街、北大街交汇于 A、B 两处，并使区商业中心 O 到 A、 B 两处的距离之和最短 在上述问题中，实际上解题关键是确定直线 AB，那么直线 AB 的方程确定后，点 A、B 能否确定？ 1直线的两点式和截距式方程 名称 两点式方程 截距式方程 已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中 x1x2，y1y2 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a、b，且 a0，b0. 示意图 名称 两点式方程 截距式方程 直线方程 _ _ 适用范围 斜率存在且不为零 斜率存在且不为零，不过
3、原点 yy1 y2y1 xx1 x2x1 x a y b1 思考：方程 yy1 y2y1 xx1 x2x1和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1) 的适用范围相同吗？ 提示 不同前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的 直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线 2线段的中点坐标公式 若点 P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2的中点，则 xx 1x2 2 ， yy 1y2 2 . 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线的两点式方程也可以用 yy1 xx1 y2y1 x2x1(x1x2，y1y2)表 示 ( ) (
4、2)任何直线都可以用方程x a y b1 表示 ( ) (3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2过点 A(3,2)，B(4,3)的直线方程是( ) Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 D 由直线的两点式方程，得y2 32 x3 43，化简，得 xy1 0. 3若直线 l 经过点 A(2,5)，B(2,7)，则直线 l 的方程为_ x2 因为两点的横坐标相等，都是 2，所以直线方程是 x2. 4直线 y3x2 在 x 轴上的截距是_ 2 3 令 y0 得 x 2 3，即在 x 轴上的截距为 2 3. 合合 作作 探探 究究 释释
5、 疑疑 难难 直线的两点式方程 【例 1】 (1)若直线 l 经过点 A(2，1)，B(2,7)，则直线 l 的方 程为_ (2)若点 P(3，m)在过点 A(2，1)，B(3,4)的直线上，则 m _. (1)x2 (2)2 (1)由于点 A 与点 B 的横坐标相等，所以直线 l 没有两点式方程，所求的直线方程为 x2. (2)由直线方程的两点式得y1 41 x2 32， 即y1 5 x2 5 . 直线 AB 的方程为 y1x2， 点 P(3，m)在直线 AB 上， 则 m132，得 m2. 由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标 (2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的
6、坐标 (3)由直线的两点式方程写出直线的方程 提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断 是否满足两点式方程的适用条件： 两点的连线不垂直于坐标轴 若满 足，则考虑用两点式求方程 跟进训练 1求经过两点 A(2，m)和 B(n,3)的直线方程 解 当 m3 时，直线垂直于 y 轴，方程为 y3， 当 n2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 x2. 当 m3 且 n2 时，由两点式得 直线方程为ym 3m x2 n2. 直线的截距式方程 【例 2】 求过点(4，3)且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的 方程 思路探究 解 设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b. 当 a0，b
7、0 时，设 l 的方程为x a y b1. 点(4，3)在直线上，4 a 3 b 1， 若 ab，则 ab1，直线方程为 xy10. 当 ab0 时，直线过原点，且过点(4，3)， 直线的方程为 3x4y0. 综上知，所求直线方程为 xy10 或 3x4y0. 1变条件本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”， 求直线 l 的方程 解 当截距均为零时，设直线方程为 ykx，把点(4，3)代入 得34k，解得 k3 4，所求的直线方程为 y 3 4x，即 3x4y 0. 当截距均不为零且相反时，可设直线方程为x a y a1，把点(4， 3)代入得4 a 3 a1，解得 a7，所求直线方程为
8、x 7 y 71，即 x y70， 故所求 l 的方程为 xy70 或 3x4y0. 2变条件本例中把“相等”改为“绝对值相等呢？” 解 当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括： 两截距均为零，即 3x4y0 两截距均不为零且相等即 xy10. 两截距均不为零且相反即 xy70. 故所求的直线方程为 xy70 或 xy10 或 3x4y0. 利用截距式求直线方程的注意事项 (1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为 0. 若 a0，b0，则直线方程为 x0； 若 a0，b0，则直线方程为 y0； 若 a0，b0，则直线方程为 ykx(k0) (2)截距相等且不为零，可设 x
9、ya； 截距相反且不为零，可设 xya； 截距相等且均为零，可设 ykx. 直线方程的灵活应用 探究问题 1. 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？ 提示 点斜式. 若直线过两定点可选择两点式或点斜式 2若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？ 提示 可选择斜截式 3若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？ 提示 选择截距式较好 【例 3】 已知 A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程 思路探究 (1)B，C两点坐标 两点式 求方程 (2)求中点坐标 两点式求直线方程 解 (1)BC 边过两点
10、 B(5，4)，C(0，2)， 由两点式，得 y4 24 x5 05，即 2x5y100， 故 BC 边的方程是 2x5y100(0 x5) (2)设 BC 的中点为 M(a，b)， 则 a50 2 5 2，b 42 2 3， 所以 M 5 2，3 ， 又 BC 边的中线过点 A(3,2)， 所以 y2 32 x3 5 23 ，即 10 x11y80， 所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 10 x11y80. 1本例中条件不变，试求 AB 边上的高线所在直线的方程 解 设 AB 边上的高线所在直线斜率为 k， kAB2(4) 35 3 4， k4 3， 又高线过点 C(0，2)， 由点斜式
11、方程得高线所在直线方程为 y24 3(x0)， 即 4x3y60. 2本例中条件不变，试求与 AB 平行的中位线所在直线的方程 解 由探究 1 知 kAB3 4，即中位线所在直线斜率为 3 4，由 例题知 BC 的中点为 5 2，3 ， 所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为 y33 4 x5 2 ，即 6x8y90. 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方 程，再由其他条件确定直线的斜率 (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件 确定直线的一个点或者截距 (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与 坐标轴的交点，就
12、用截距式方程 (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件， 对特殊情况下的直线要单独讨论解决 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1当直线没有斜率(x1x2)或斜率为 0(y1y2)时，不能用两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1求它的方程，此时直线的方程分别是 xx1 和 yy1， 而它们都适合(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，即两点式的整式形式， 因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(x x1)的形式 2直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及 判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方 便注
13、意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过 原点时两截距存在且同时等于零 1过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是( ) Ax 3 y 20 Bx 2 y 30 Cx 2 y 31 Dx 3 y 21 C 由条件可知，直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 2,3，所以 方程为x 2 y 31. 2过两点(1,1)和(3,9)的直线在 x 轴上的截距是_ 3 2 由两点式得 y1 91 x1 31，即 y12(x1)，令 y0 得 x 3 2，所以直线在 x 轴上的截距为 3 2. 3 经过点(1,5)， 且与直线x 2 y 61 垂直的直线方程是_ x3y160 直线x 2 y 61 的斜率是3，所以所求直线的斜 率是1 3，所以所求直线方程是 y5 1 3(x1)，即 x3y160. 4求过点 P(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程 解 设直线方程的截距式为 x a1 y a1. 则 6 a1 2 a 1，解得 a2 或 a1， 则直线方程是 x 21 y 21 或 x 11 y 11， 即 2x3y60 或 x2y20. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
