1、第5章 系统稳定性第第5 5章章 系统稳定性系统稳定性5.1 稳定性的基本概念5.2 劳斯稳定判据5.3 Nyquist稳定判据5.4 对数稳定判据5.5 系统的相对稳定性5.6 利用MATLAB分析系统的稳定性习题第5章 系统稳定性5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念一、一、稳定性的定义稳定性的定义设线性定常系统处于某一平衡状态，若系统在干扰作用下离开了原来的平衡状态，由干扰作用引起的时间响应在干扰作用消失后，随着时间的推移逐渐衰减并最终趋向于零，即系统能回到原来的平衡状态，则称该系统为稳定的；否则，由干扰作用引起的时间响应在干扰作用消失后，随着时间的推移而发散，即系统离原来的平衡状态越
2、来越远，则称该系统是不稳定的。第5章 系统稳定性二、二、稳定性充要条件稳定性充要条件根据系统稳定性的定义，若对线性定常系统在初始状态为零时输入单位脉冲信号，这相当于给系统施加了一个脉冲扰动，在此脉冲扰动作用下，系统的输出即单位脉冲响应，显然，若，则系统是稳定的；否则,若，则系统是不稳定的。设线性定常系统的微分方程为lim()0tw tlim()tw t 第5章 系统稳定性(5-1)则系统传递函数为(5-2)nm()(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(di0i11i11io0o11o11otxbttxbttxbttxbtxattxattxattxammmmmmnnnnnn)()(
3、)()()(01110111iosDsMasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmm第5章 系统稳定性式中,M(s)=bmsm+bm1sm1+b1s+b0，D(s)=ansn+an1sn1+a1s+a0。若xi(t)=(t)，即Xi(s)=Lxi(t)=1，则有设系统的闭环极点p1，p2,pj,pn为互不相同的单根，则脉冲响应的拉氏变换写成部分分式形式为(5-3)()()()()()(iosDsMsXsGsXsWnnjjpsApsApsApsAsW2211)(第5章 系统稳定性式中，A1,A2,Aj,An为待定系数。对式(5-3)进行拉氏反变换，得单位脉冲响应函数为根据稳定性的定义
4、，若系统稳定，应有njtpjtpntpjtptpjnjAAAAAtw121e eeee)(210elim)(lim1njtpjttjAtw第5章 系统稳定性Aj为待定系数，一般不全为零，所以要使上式成立，必须使显然,上式成立的条件是pj的实部小于零。如果p0为特征方程的m阶重根，则相应模态为当时间t趋于无穷时，脉冲响应是否收敛到零，仍然取决于重特征根p0是否具有负的实部。j=1,2,n0elimtptjtpmtptptpttt0210e,e,e,e12第5章 系统稳定性综上所述，可以证明，不论系统的特征根是否相同，系统稳定的充要条件为：系统的全部特征根都具有负实部，也就是说，所有闭环极点均位于
5、s平面的左半平面，则系统是稳定的；否则，若有一个或一个以上特征根具有正实部，也就是说，只要有一个或一个以上的闭环极点位于s平面的右半平面，则系统就是不稳定的。当系统有纯虚根时，系统的闭环极点位于虚轴上，系统处于临界稳定状态，脉冲响应呈现等幅振荡。第5章 系统稳定性由于在实际系统中，参数的变化以及扰动是不可避免的，实际上等幅振荡不可能永远维持下去，系统很可能会由于某些参数的变化而导致原来位于虚轴上的极点变动到s平面的右半平面，导致系统不稳定；另外，从工程实践的角度来看，这类系统也不能正常工作，因此，经典控制理论中将临界稳定系统划归到不稳定系统之列。应当指出，线性系统的稳定性是其自身的属性，只取决
6、于系统自身的结构、参数，与初始条件及外作用无关。第5章 系统稳定性5.2 劳斯稳定判据劳斯稳定判据线性定常系统稳定的充要条件是其全部特征根都具有负实部。因此，要判定一个系统稳定与否，必须求其全部特征根。通常对于高于4阶的系统，求特征根就比较困难。劳斯（Routh）于1884年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。第5章 系统稳定性这个判据是基于方程式根与系数的关系建立的，通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，直接判断其特征根是否具有负实部，或是否都位于s平面的左半部，以确定系统是否稳定。这种利用方程式根与系数的关系判定系统稳定性的判据也称
7、为代数稳定判据。第5章 系统稳定性一、一、系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件设系统特征方程的一般形式为D(s)=ansn+an1sn1+a1s+a0=0 (5-4)则系统稳定的必要条件是：特征方程的所有系数均大于零，即ai0（i=0,1,2,n1）。也就是说，系统要稳定，必然满足ai0；反过来，满足ai0的系统，不一定是稳定的系统。对于一、二阶系统来说，若满足ai0的条件，则系统就是稳定的。对于高于二阶的高阶系统来说，满足ai0的条件，系统也不一定是稳定的，高阶系统的稳定性还需要用劳斯判据来判断。第5章 系统稳定性二、二、劳斯稳定判据劳斯稳定判据应用劳斯稳定判据时，首先需要列出劳斯表，其格式
8、为(5-5)2461135721234312342121101nnnnnnUUnuuunnnnnsaaaasaaaasbbbbsccccseesfgUs第5章 系统稳定性表中第一行与第二行元素由特征方程的系数直接列出，第三行元素由下式计算：13211nnnnnaaaaab15412nnnnnaaaaab17613nnnnnaaaaab第5章 系统稳定性第四行各元素为121311bbaabcnn131512bbaabcnn141713bbaabcnn第5章 系统稳定性以同样的计算格式递推计算第五行及以后各行。为简化计算，可以用一个正整数乘或除某一行的各项。劳斯判据指出：线性定常系统稳定的充要条件
9、是劳斯表中第一列所有各项系数均大于零，否则系统不稳定，且劳斯表中第一列系数的变号次数就是特征方程中包含正实部根的个数，即极点位于s右半平面的个数。不用求解方程，用劳斯表即可判断线性系统的稳定性，这是劳斯判据的显著优点。第5章 系统稳定性例例5-1 设线性系统的特征方程为D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0试用劳斯判据判断系统的稳定性。解解：列出劳斯表为第5章 系统稳定性560156061524152015212413204253101234sssss第5章 系统稳定性劳斯表中第一列系数符号改变两次，因此系统有两个特征根包含正实部，即有两个根位于s平面的右半平面，所以系统不稳定。第5章
10、系统稳定性例例5-2 已知系统的特征方程为D(s)=s3+(+1)s2+(+1)s+1=0若要使系统稳定，试确定参数和的取值范围。解解：根据特征方程各项系数，列出劳斯表为第5章 系统稳定性101)(1)1()1)(1(11110123ssss第5章 系统稳定性若要使系统稳定，根据劳斯稳定判据，劳斯表中第一列元素应全部大于零，故有所以使系统稳定的和取值范围为0且1。010)(01第5章 系统稳定性例例5-3 设线性系统如图5-1所示，试确定系统稳定时k值的取值范围。解解：系统的闭环传递函数为特征方程为s4+3s3+3s2+2s+k=0列出劳斯表为kssssksG)2)(1()(2B第5章 系统稳
11、定性图5-1 系统方框图第5章 系统稳定性kskkskkssks0123407923/7323/73013373213302331第5章 系统稳定性为了使系统稳定，必须使劳斯表中第一列元素均为正，故有解得则当时，系统变为等幅振荡。00792kk9140 k914k第5章 系统稳定性例例5-4 某单位反馈系统的开环传递函数为判定闭环系统是否可以稳定。若可以稳定，确定相应的开环增益范围。解解：系统闭环传递函数为2K)3()1(9)(ssKsG)1(9)3()1(9)(2BsKssKsG第5章 系统稳定性闭环系统特征方程为D(s)=(s3)2+9K(s1)=s2+(9K6)s+9(1K)=0对于二阶
12、系统，特征方程系数全部大于零就可以保证系统稳定，所以有01069KK第5章 系统稳定性因此使系统稳定的K值范围为显然,系统开环传递函数的极点为(3,j0)，因此系统开环不稳定，但在K值取时，闭环系统是稳定的。从本例可以看出，闭环系统的稳定性与系统开环是否稳定之间没有直接关系。132 K132 K第5章 系统稳定性三、三、劳斯稳定判据特殊情况处理劳斯稳定判据特殊情况处理应用劳斯稳定判据分析线性系统的稳定性时，有时会遇到下列两种特殊情况。（1）在劳斯表中，如果某一行中的第一列元素等于零，而其余各项不为零或不全为零，那么在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，因此劳斯表的计算将无法进行。为了
13、克服这一困难，可以用一个很小的正数来代替为零的第一列项，并且据此可以计算出劳斯阵列表中的其余各元素，然后看阵列表中的第一列系数，全大于零系统稳定，否则不稳定。第5章 系统稳定性例例5-5 已知系统的特征方程为D(s)=s3+2s2+s+2=0试应用劳斯稳定判据分析该系统的稳定性。解解：列劳斯表第5章 系统稳定性劳斯表第一列元素符号没有变化，由劳斯判据知，该线性系统是稳定的。02022002211222110123ssss第5章 系统稳定性例例5-6 已知系统特征方程D(s)=s33s+2=0，判定系统右半平面中的极点个数。解解：系统特征多项式D(s)有一个系数小于零，不满足稳定的必要条件，系统
14、必然不稳定。列劳斯表如下：第5章 系统稳定性当0时，显然劳斯表第一列系数符号改变了两次，所以系统有两个极点在右半s平面。0202321320310123ssss23第5章 系统稳定性（2）在劳斯表中，如果某一行中的所有系数都等于零，则说明在系统的特征根中，或存在两个符号相异、绝对值相等的实根；或存在一对共轭的纯虚根；或上述两种类型的根同时存在；或存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复数根。在这种情况下，利用全为零行的上一行的系数，可组成一个辅助多项式，并用这个多项式方程导数的系数取代全为零行。然后，继续计算劳斯表中其余各项，最后用劳斯判据判断系统稳定性。第5章 系统稳定性例例5-7 设线性
15、系统的特征方程为D(s)=s5+2s4+24s3+48s225s50=0试应用劳斯判据判断系统的稳定性。解解：列出劳斯表为0005048225241345sss第5章 系统稳定性s3行中各项系数全等于零，表明有两对大小相等、符号相反的根存在。由s4行中的系数构成的辅助多项式F(s)为F(s)=2s4+48s250这两对根通过解辅助多项式方程F(s)=0可以得到。求F(s)对s的导数，得s3行的系数可用该方程中的系数，即用8和96代替。继续进行运算，于是劳斯阵列表变为ssssF968d)(d3第5章 系统稳定性5007.1120502409685048225241012345ssssss辅助方程
16、 F(s)=2s4+48s250第5章 系统稳定性可以看出，在新的劳斯表第一列元素中，有一次符号变化，因此在该系统中包含一个具有正实部的特征根，该系统是不稳定的。解辅助方程2s4+48s250=0得s2=1,即s1,2=1s2=25,即s3,4=j5第5章 系统稳定性这两对根是原方程根的一部分。事实上，原方程可以写成下列因式乘积的形式：(s+1)(s1)(s+j5)(sj5)(s+2)=0可见，原方程有一个带正实部的根。第5章 系统稳定性5.3 Nyquist稳定判据稳定判据闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，即全部闭环极点都位于左半s平面。上一节介绍了判断系统稳定性
17、的代数判据劳斯判据。代数判据是根据特征方程根与系数的关系来判断系统的稳定性的。本节介绍另一种重要且实用的方法Nyquist（奈奎斯特）稳定判据。第5章 系统稳定性Nyquist稳定判据简称奈氏判据，是奈奎斯特于1932年提出的，它可以根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，从而将系统特性由复数域引入频率域来分析，是频率分析法的重要内容。利用Nyquist稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。第5章 系统稳定性一、一、辅助函数辅助函数如图5-2所示的闭环控制系统，若设则系统的开环
18、传递函数为)()()()()()(2211sNsMsHsNsMsG(5-6)()()()()()()(2121KsNsNsMsMsHsGsG第5章 系统稳定性图5-2 闭环系统方框图第5章 系统稳定性系统的闭环传递函数为引入辅助函数F(s):(5-7)(5-8)()()()()()()()(1)()(212121BsMsMsNsNsNsMsHsGsGsG)()()()()()()()()()(1)()(1)(1)(2121212211sNsNsMsMsNsNsNsMsNsMsHsGsGsFk第5章 系统稳定性比较式(5-6)、(5-7)、(5-8)，可得出如下结论：（1）实际系统传递函数的分母
19、阶数n总是大于或等于分子阶数m，因此辅助函数F(s)的分子分母同阶，即其零点数与极点数相等。第5章 系统稳定性（2）辅助函数F(s)的极点与开环传递函数GK(s)的极点相同；辅助函数F(s)的零点与闭环传递函数GB(s)的极点相同。系统稳定的充要条件是系统特征方程的根，即闭环传递函数GB(s)的极点必须全部具有负实部。因为辅助函数F(s)的零点与闭环传递函数GB(s)的极点相同，所以闭环系统稳定的充要条件可以变为辅助函数F(s)的全部零点都具有负实部，即全部零点位于s平面左半部。（3）辅助函数F(s)与开环传递函数GK(s)之间只差常量1。F(s)=1+GK(s)的几何意义为：F平面上的坐标原
20、点就是GH平面上的（1,j0）点，如图5-3所示。第5章 系统稳定性图5-3 F平面与G平面的关系图第5章 系统稳定性二、二、幅角原理幅角原理Nyquist稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角定理。设有一复变函数(5-9)()()()()(2121nmpspspszszszsKsF第5章 系统稳定性对于s平面上除了有限奇点之外的任一点s，复变函数F(s)为解析函数。那么，对于s平面上的每一点s，在F(s)平面上必定有一个对应的映射点F(s)（称 F(s)为s的像）。对于s平面上的任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线Ls，也可通过映射关系在F(s)平面找到一条与它相对应的封闭曲线LF(LF
21、称为Ls的像)，如图5-4所示。若在s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的，则在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的，也可能是逆时针的。(5-9)第5章 系统稳定性图5-4 s平面到F(s)平面的映射(a)F(s)的极点、零点分布和封闭曲线Ls；(b)F(s)曲线示意图第5章 系统稳定性若在如图5-4(a)所示F(s)的零点极点分布上选择一点A，使s从点A出发，绕F(s)的某个零点zi顺时针沿封闭曲线Ls（Ls不包围也不通过任何极点和其他零点）转一周再回到点A，相应地，F(s)则从F(s)平面上的点B出发且回到点B，也描出一条封闭曲线LF，如图5-4(b)所示。若s沿Ls变化时，
22、F(s)相角的变化为F(s)，则有F(s)=(sz1)+(sz2)+(szn)(sp1)(sp2)(spn)(5-10)第5章 系统稳定性式中,(szi)(i=1,2,3,n)表示s沿Ls变化时，向量szi相角的变化；(spj)(j=1,2,n)表示s沿Ls变化时，向量spi相角的变化。由图5-4（a）可知，除(szi)外，式(5-10)右端其他各项都为零。故F(s)=(szi)=2 (5-11)式(5-11)表明，当s从s平面上点A出发，绕着F(s)的某个零点zi顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线将从点B出发，绕其原点顺时针方向转一圈。同理，当s从s平面点A开始，绕着F(s)的某
23、个极点pk顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕其原点逆时针转一圈。第5章 系统稳定性幅角原理:设形如式(5-9)的复变函数F(s)，除在s平面的有限个奇点外，为解析函数。如果s平面上不通过F(s)任何奇异点的某条封闭曲线LF，包围了F(s)在s平面上的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Ls移动一周时，则在F(s)平面上相对应于封闭曲线Ls的像LF将以顺时针的方向围绕原点旋转N圈。N与Z、P的关系为N=ZP (5-12)第5章 系统稳定性若N0，则可理解为封闭轨迹LF按顺时针方向包围原点N次；若N=0，则说明LF不包围原点；若Nm时,；当n=m时，实常数。因此，只要绘制出
24、从变到+的开环频率特性，就构成了完整的映射曲线LGH。0)()(limsHsGs)()(limsHsGs第5章 系统稳定性图5-6 GH平面与F平面第5章 系统稳定性综上所述，可将奈氏判据叙述如下：当由变到+时，系统的开环频率特性G(j)H(j)按逆时针方向包围（1，j0）点P圈，则闭环系统稳定，P为位于s平面右半部的开环极点数目；否则系统不稳定。显然，若开环系统稳定，即位于s平面右半部的开环极点数P=0，则闭环系统稳定的充要条件是系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围（1，j0）点。第5章 系统稳定性由上述推导过程可见，奈氏稳定判据是应用系统的开环频率特性曲线判断闭环稳定性的。开环频率特性
25、曲线可以按开环频率特性绘制，也可以全部或部分由实验方法绘制。当系统的闭环传递函数表达式未知时，就无法用劳斯判据判断闭环稳定性，这时应用奈氏稳定判据就很方便。第5章 系统稳定性例例5-8 已知系统的开环Nyquist图如图5-7所示，判断系统的稳定性。解解：根据给出的Nyquist图知:(a)P=0，且N=0，Z=N+P=0，所以闭环系统是稳定的。(b)P=0，N=2，开环Nyquist曲线顺时针包围(1,j0)点2圈，Z=N+P=2，所以闭环系统不稳定。(c)P=0，N=0，Z=N+P=0，闭环系统稳定。第5章 系统稳定性图5-7 系统的Nyquist图第5章 系统稳定性例例5-9 已知系统的
26、开环传递函数为试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解解：写出系统的频率特性为其幅频、相频特性分别为)1)(1()()(21sTsTksHsG)j1)(j1()j()j(21TTkHG第5章 系统稳定性幅频特性 相频特性 j()=arctanT1arctanT222222111)(TTkA第5章 系统稳定性所以:(1)当=0时，A()=k，j()=0;(2)当=时，A()=0，j()=180。绘制系统开环幅相频率特性，如图5-8所示。由于G(s)H(s)在s平面的右半平面无极点，故P=0。开环幅相频率特性曲线不包围（1，j0）点，据奈氏判据，可知闭环系统是稳定的。第5章 系统稳定性图5-8 系统的
27、Nyquist图第5章 系统稳定性四、四、开环具有积分环节时的开环具有积分环节时的Nyquist轨线轨线当系统中包含有积分环节时，开环传递函数GK(s)有位于s平面坐标原点处的极点，相应的奈氏轨迹可以修改为如图5-5(b)所示。图中的小半圆绕过了位于坐标原点的极点，使奈氏轨迹避开了极点，又包围了整个右半s平面，前述的奈氏判据结论仍然适用，只是s取值需要先从j0绕半径无限小的圆弧逆时针转180到j0+，然后再沿虚轴到j。第5章 系统稳定性设系统开环传递函数为式中,v为系统型别，这里v1，即系统中串联积分环节的个数。当s沿着无穷小半圆逆时针方向移动时，有11(1)()(1)miin vvjjKTs
28、G ssT sj0lim evrsr第5章 系统稳定性映射到GH平面的Nyquist轨迹可以按下式求得 因此，当s沿小半圆从=0变化到=0时，角沿逆时针方向从/2经0变化到/2，这时GH平面上的Nyquist轨迹将沿半径无穷大的圆弧按顺时针方向从v/2转到v/2。在确定G(j)H(j)绕(1,j0)点圈数N的值时，必须考虑大圆弧的影响。j0j01jjlim e01lim e(1)()()limee(1)rrmiivvsrn vvrvjjsrKTsKG s H srsT s 第5章 系统稳定性例例5-10 已知系统的开环传递函数为试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解解：写出系统的频率特性为)1)
29、(1()()(21sTsTsksHsG)j1)(j1(j)j()j(21TTkHG第5章 系统稳定性其幅频、相频特性分别为幅频特性 相频特性 j()=90arctanT1arctanT2所以:(1)当=0时，A()=，j()=90;(2)当=时，A()=0，j()=270。22222111)(TTkA第5章 系统稳定性绘制系统开环幅相频率特性，如图5-9所示。由于G(s)H(s)在s平面的右半平面无极点，故P=0。当K取值较大时，由变到+时，开环幅相频率特性曲线包围（1，j0）点两圈，故N=2，据奈氏判据，可知闭环系统不稳定。第5章 系统稳定性图5-9 系统的Nyquist图第5章 系统稳定性
30、五、五、Nyquist稳定判据举例稳定判据举例例例5-11 开环系统的传递函数为试应用Nyquist稳定判据分析闭环系统的稳定性。解解：系统的传递函数可变为其频率特性为)12.0)(12)(110(20)()(ssssHsG12.124.22420)()(22ssssHsG)42.12(j4.22120)j()j(32HG第5章 系统稳定性所以：（1）当=0，G(j0)H(j0)=20ej0;（2）当=0.1，G(j0.1)H(j0.1)=14ej57.3;（3）当=0.3，G(j0.3)H(j0.3)=5.4ej107;（4）当=1，G(j1)H(j1)=0.87ej159;（5）当=，G(
31、j)H(j)=0ej270。根据标出的各点，画出Nyquist图如图5-10所示。系统开环传递函数为最小相位系统，P=0，又Nyquist曲线不包围（1，j0）点，据奈氏判据知闭环系统稳定。第5章 系统稳定性图5-10 系统Nyquist图第5章 系统稳定性例例5-12 已知系统的开环传递函数为试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解解：系统的频率特性为)1()()(2TssksHsG)j1()j()j()j(2TkHG第5章 系统稳定性其幅频、相频特性分别为幅频特性 相频特性 j()=180arctanT所以:(1)当=0时，A()=，j()=180；(2)当=时，A()=0，j()=270。2
32、221)(TkA第5章 系统稳定性绘制系统开环幅相频率特性，如图5-11所示。由于G(s)H(s)在s平面的右半平面无极点，故P=0。当由变到+时，开环幅相频率特性曲线包围（1，j0）点两圈，故N=2，据奈氏判据，可知闭环系统不稳定。第5章 系统稳定性图5-11 系统的Nyquist图第5章 系统稳定性例例5-13 已知系统的开环传递函数为试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解解：系统的频率特性为)1()1()()(122sTssTksHsG)j1()j()j1()j()j(122TTkHG第5章 系统稳定性其幅频、相频特性分别为幅频特性 相频特性 j()=arctanT2180arctanT1
33、所以:(1)当=0时，A()=，j()=180;(2)当=时，A()=0，j()=180。221222211)(TTkA第5章 系统稳定性对于任意的0，有：（1）当T1180，开环Nyquist轨迹在第三象限，当由变到+时，开环Nyquist轨迹不包围（1，j0）点，故闭环系统稳定，如图5-12(a)所示。（2）当T1=T2时，j()=180，开环Nyquist轨迹在虚轴上，当由变到+时，轨迹穿过（1，j0）点，故闭环系统为临界稳定，如图5-12(b)所示。（3）当T1T2时，j()=180，开环Nyquist轨迹在第二象限，当由变到+时，开环Nyquist轨迹包围（1，j0）点两圈，故闭环系
34、统不稳定，如图5-12(c)所示。第5章 系统稳定性图5-12 系统的Nyquist图(a)T1T2第5章 系统稳定性5.4 对数稳定判据对数稳定判据Nyquist稳定判据是利用开环频率特性的Nyquist图来判定闭环系统的稳定性的，实际上，系统的频域分析通常是在Bode图上进行的。将开环Nyquist图改画为开环Bode图，从而将Nyquist稳定判据引申到Bode图上，就成为对数稳定判据，也称为Bode稳定判据。第5章 系统稳定性一、一、穿越穿越在Nyquist图上，如果开环Nyquist轨迹在点（1,j0）以左穿过负实轴，称为“穿越”。若沿频率增加的方向，开环Nyquist轨迹自上而下（
35、相位增加）穿过（1,j0）点以左的负实轴，则称为正穿越；反之曲线自下而上（相位减小）穿过（1,j0）点以左的负实轴，则称为负穿越。如果沿频率增加的方向，开环Nyquis轨迹自点（1,j0）以左负实轴开始向下或向上，则分别称为半次正穿越或半次负穿越。第5章 系统稳定性在奈氏图上，正穿越一次，对应于开环Nyquist轨迹逆时针包围（1,j0）点一圈，而负穿越一次，对应于顺时针包围点（1,j0）一圈，因此开环Nyquist轨迹包围（1,j0）点的次数等于正、负穿越次数之差，即N=N+N式中,N+是正穿越次数；N是负穿越次数。第5章 系统稳定性根据正、负穿越可得奈氏判据的另一种形式，即闭环系统稳定的充
36、要条件是，当频率由0变化到时，开环频率特性G(j)H(j)正、负穿越GH平面负实轴上（1，）段的次数差为P/2(这里P是开环传递函数极点位于s平面右半部的数目)；否则，闭环系统不稳定。第5章 系统稳定性二、二、Nyquist图和图和Bode图的对应关系图的对应关系系统开环频率特性的Nyquist图与Bode图存在一定的对应关系，如图5-13所示。（1）Nyquist图上|G(j)H(j)|=1的单位圆与Bode图上的0 dB线相对应，即对数幅频特性图上的横轴。单位圆外部对应于Bode图的0 dB线之上；单位圆内部对应于Bode图的0 dB线之下。（2）Nyquist图上的负实轴对应于Bode图
37、上j()=180的线，即对数相频特性图上的横轴。第5章 系统稳定性图5-13 Nyquist图和Bode图的对应关系第5章 系统稳定性（3）对应于Nyquist图穿越的概念，在Bode图上开环对数幅频特性为正值的频率范围内，即L()0的频段内，沿频率增加的方向，对数相频特性曲线自下而上（相角增加）穿过180线称为正穿越；反之曲线自上而下（相角减小）穿过180为负穿越。同样，若沿增加的方向，对数相频曲线自180线开始向上或向下，分别称为半次正穿越或半次负穿越。Nyquist图与Bode图的对应关系如表5-1所示。第5章 系统稳定性表5-1 Nyquist图与Bode图对应关系第5章 系统稳定性三
38、、三、Bode稳定判据稳定判据根据Nyquist图与Bode图的对应关系，可将奈氏判据引申到Bode图上，从而形成Bode稳定判据。闭环系统稳定的充要条件是，在Bode图上，当频率由0变化到时，在开环对数幅频特性20lg|G(j)H(j)|为正值的频段范围内，开环对数相频特性j()与180线的正穿越与负穿越次数差为P/2(这里P是开环传递函数位于s平面右半部的极点数目)；否则，闭环系统不稳定。第5章 系统稳定性Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频曲线与横轴交点的频率，称为剪切频率或幅值穿越频率，记为c；Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，即对数相频曲线与180线交点的频率，称为相
39、位穿越频率或相位交界频率，记为g。若系统开环为最小相位系统，则有P=0，此时Bode稳定判据可以表述为：若cg，则闭环系统不稳定。也就是说，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，则系统稳定；若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，则系统不稳定。第5章 系统稳定性四、四、Bode稳定判据举例稳定判据举例例例5-14 已知系统的开环传递函数为试用Bode稳定判据判断闭环系统的稳定性。解解：系统的频率特性为)1()()(2TssksHsG)1j()j()j()j(2TkHG第5章 系统稳定性图5-14 系统开环对数频率特性曲线第5章 系统稳定性该系统由一个比例环节、两个积分环节和一个惯
40、性环节组成，其中惯性环节的转折频率为1/T。绘制系统开环对数频率特性曲线，如图5-14所示。开环传递函数中有两个积分环节，在L()0的所有频率范围内，相频特性曲线穿越180线N=1，N=0，由系统开环传递函数知P=0，因此，N=NNP/2，据Bode判据，可知闭环系统不稳定。这里需要指出的是，对于包含有两个积分环节的系统，若沿增加的方向，对数相频曲线自180线开始向下称为一次负穿越。若沿增加的方向，对数相频曲线自180线开始向下则不是穿越。第5章 系统稳定性5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性控制系统能够正常工作的首要条件是系统是稳定的，系统稳定与否可以用前面介绍的各种稳定判据判定。事实上
41、，为了使系统能很好地工作，不但要求系统是稳定的，而且要有一定的稳定裕量，即要求控制系统具有必要的相对稳定性。对于最小相位系统而言，当开环Nyquist轨迹越靠近（1，j0）点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。第5章 系统稳定性反之，开环Nyquist轨迹越远离（1，j0）点，系统的相对稳定性就越高。因此，可以用开环Nyquist轨迹对（1，j0）点的接近程度来表示系统的相对稳定性。通常，控制系统的相对稳定性是以相位裕度和幅值裕度Kg的形式来表示的。第5章 系统稳定性一、一、相位裕度相位裕度相位裕度是指Nyquist轨迹与单位圆的交点对负实轴的相位差值，在Bode图上是指为剪
42、切频率c时，对数相频特性距180线的相位差值，记为，如图5-15所示。根据定义，容易求得相位裕度的计算公式为=j(c)(180)=180+j(c)(5-13)第5章 系统稳定性对于稳定的系统，相位裕度必在Nyquist图负实轴之下，Bode图180线以上，如图5-15(a)、(c)所示，这时称为正相位裕度。此时的系统不但是稳定的，而且有一定的稳定性储备。也就是说，在剪切频率c时，允许相位增加才能达到g=c的临界稳定条件。对于不稳定的系统，相位裕度必在Nyquist图负实轴之上，Bode图180线以下，如图5-15(b)、(d)所示，这时称为负相位裕度。此时的系统是不稳定的，具有负的稳定性储备。
43、第5章 系统稳定性也就是说，在剪切频率c时，相位必须再减小才能达到g=c的临界稳定条件。例如，当j(c)=150时，相位裕度=180150=30，系统具有正相位裕度。若j(c)=210，则相位裕度=180210=30，系统具有负相位裕度。第5章 系统稳定性二、幅值裕度幅值裕度是指为相位交界频率g时，开环幅频特性|G(jg)H(jg)|的倒数，记为Kg，即上式表明，Nyquist轨迹与负实轴的交点到原点的距离为1/Kg。显然，对于稳定的系统，1/Kg1。在Bode图上，幅值裕度用分贝表示，记为Kg(dB)。(5-14)(5-15)|)j()j(|1gggHGK|)j()j(|lg20|)j()j
44、(|1lg20lg20)dB(ggggggHGHGKK第5章 系统稳定性如图5-15(c)、(d)所示，对于稳定的系统，幅值裕度Kg(dB)在0分贝线以下，Kg(dB)0，为正的幅值裕度。也就是说，此时允许对数幅频特性上移Kg(dB)分贝，亦即增加系统的开环增益Kg倍，才能达到g=c的临界稳定条件。对于不稳定的系统，幅值裕度Kg(dB)在0分贝线以上，Kg(dB)0，幅值裕度Kg(dB)0，即Kg1。为保证系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度不能太小。在工程设计中，一般取=3060Kg(dB)6 dBKg2第5章 系统稳定性三、三、相对稳定性举例相对稳定性举例例例5-15 设单位负反馈系统的开环
45、传递函数为试确定系统的幅值裕度和相位裕度。解解：由已知开环传递函数求得开环频率特性为)10)(1(10)(KssssG)10j)(1j(j10)j(G第5章 系统稳定性开环幅频特性为相频特性为222121)10(10|)j(|)(GA10arctan arctan90)j()(jG第5章 系统稳定性求系统的剪切频率，根据定义有可求得剪切频率c=0.784rad/s1121)10(102c22c第5章 系统稳定性 根据系统相位裕度的定义，得=180+G(jc)=180+(90arctan0.784arctan0.0784)=180133=47第5章 系统稳定性根据相位交界频率的定义，有j(g)=
46、G(jg)=180得解得180101arctanarctan90ggrad/s 10g第5章 系统稳定性代入式(5-14)，得幅值裕度于是Kg(dB)=20 lgKg=20 lg11=20.8(dB)1110101011010|)j(|1222ggGK第5章 系统稳定性5.6 利用利用MATLAB分析系统的稳定性分析系统的稳定性如果已知系统的特征方程，利用MATLAB提供的roots()函数很容易求得特征方程的所有特征根。然后根据解出的特征根是否含有正实部，即可方便地判断系统是否稳定。例如，设系统的特征方程为D(s)=s5+2s4+24s3+48s225s50=0则求解该特征方程的MATLAB
47、程序及其计算结果为第5章 系统稳定性den=1 2 24 48 25 50;%输入多项式roots(den)%计算特征根%计算结果ans=0.00005.0000i 0.00005.0000i 1.0000 2.0000 1.0000 第5章 系统稳定性所以系统的5个特征根为：j5、j5、1、1、2。由此可知，系统有一个特征根包含正实部，因此该系统是不稳定的。MATLAB还提供了margin()函数，用于求解和分析系统的相对稳定性，利用margin()函数还可以求得系统的截止频率、相位穿越频率、幅值裕度和相位裕度，并绘制对数频率特性曲线的函数，其格式如下：Gm，Pm，Wcg，Wcp=margi
48、n(sys)Gm，Pm，Wcg，Wcp=margin(mag，phase，w)第5章 系统稳定性式中，sys为由tf、zpk或ss等建立的传递函数模型；mag、phase、w 分别为由bode函数计算得到的幅值、相位和计算频率范围；margin（）函数的计算结果存入变量Gm、Pm、Wcg、Wcp，其中，Gm为幅值裕度，Pm为相位裕度，Wcg为相位穿越频率，Wcp为幅值穿越频率，即剪切频率。需要指出的是，margin（）函数与bode（）函数都是绘制对数频率特性曲线的函数，但用margin（）函数绘出的对数频率特性曲线同时表示出了幅值裕度、相位裕度、截止频率和相位穿越频率。下面举例说明margi
49、n（）函数的应用。第5章 系统稳定性例例5-16 已知系统的开环传递函数为试用MATLAB绘制系统的Bode图，并求出幅值裕度和相位裕度。解解：MATLAB程序如下：)102)(5()1(20)(22KssssssG第5章 系统稳定性num=20 20;%输入分子多项式den=conv(1 5 0,1 2 10);%输入分母多项式sys=tf(num,den);%转化为传递矩阵w=logspace(1,2,100);%指定频率范围Mag,Phase,w=bode(sys,w);%计算幅值和相位margin(Mag,Phase,w);%绘制Bode图%计算幅值裕度和相位裕度上述程序计算结果如图5
50、-16所示。系统的幅值裕度为9.95 dB；相位裕度为104；剪切频率为4.01rad/s；相位穿越频率为0.443 rad/s。第5章 系统稳定性图5-16 例5-16的Bode图第5章 系统稳定性习题习题5.1 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面内根的个数。（1）s3+20s2+9s+100=0;（2）3s4+10s3+5s2+s+2=0;（3）s5+2s4s2=0;（4）s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0。第5章 系统稳定性5.2 单位反馈系统的开环传递函数为若要求闭环系统稳定，试确定开环增益的取值范围。5.3 单位反馈系统的开环传递函数为试在满足
