1、第2章 系统的数学模型第第2 2章章 系统的数学模型系统的数学模型2.1 系统的微分方程2.2 系统的传递函数2.3 典型环节的传递函数2.4 系统传递函数方框图2.5 用MATLAB求串联、并联 和反馈(闭环)传递函数习题第2章 系统的数学模型 2.1 系统的微分方程系统的微分方程一、概述一、概述 在研究控制系统时，必须首先建立动态系统的数学模型，然后才能分析系统的动态特性。许多系统，不管它们是机械的、电气的、热力的，还是经济学的、生物学的，其动态特性都可以用微分方程来描述。第2章 系统的数学模型如果系统的数学模型可以用线性微分方程描述，则称其为线性系统；如果描述系统的微分方程的系数是常数，
2、则称这类系统为线性定常系统；如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则称这类系统为线性时变系统。如宇宙飞船控制系统就是时变控制系统，这是因为宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而不断变化。第2章 系统的数学模型线性系统满足叠加原理。叠加原理说明，两个不同的输入同时作用于系统的响应，等于两个输入单独作用的响应之和。因此，线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对响应结果进行叠加。也就是说，当有几个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。另外，线性系统还有一个重要的性质，就是均匀性，即当输入量的数值成比例增加时，输出量的数值也成比
3、例增加，而且输出量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有关，与输入量数值的大小是无关的。第2章 系统的数学模型然而许多实际的物理系统或多或少都存在一些非线性因素。在建立数学模型时，必须在模型的简化性与分析结果的精确性之间做出折中考虑。特别是当采用线性集中参数数学模型(即常微分方程)时，总是需要忽略物理系统中可能存在的一定的非线性因素和分散参数(即导致偏微分方程的因素)。如果这些被忽略掉的因素对响应的影响比较小，那么数学模型的分析结果与物理系统的实验研究结果将很好地吻合。第2章 系统的数学模型另外需要注意的是，线性集中参数模型只适用于低频范围，当频率较高时，由于被忽略的分散参数特性可
4、能变成系统动态特性中的重要因素，因此仍作为线性集中参数模型来研究是不恰当的。例如，在低频范围工作时，弹簧的质量可以忽略，但是在高频范围工作时，弹簧的质量却可能变成系统的重要性质。因此建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是十分重要的。第2章 系统的数学模型此处的合理包括两条基本原则：反映元件及系统的特性要正确；写出的数学模型表达式要简明。然而建立一个系统的合理的数学模型并非是件容易的事，这需要对其元件和系统的构造原理、工作情况等有足够的了解。一般应根据系统的实际结构参数及系统所要求的计算精度，略去一些次要因素，如非线性因素、分布参数的影响等因素，从而得到简化的数学模型。第2章 系统的数学模型建
5、立数学模型的方法有两大类：解析法和实验法。所谓解析法，就是依据元件及系统所遵循的物理、化学、生物等规律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。如建立机械系统的数学模型要依据牛顿定律、虎克定律；建立电网络的数学模型要依据欧姆定律、克希荷夫定律；建立液压系统的数学模型，要应用流体力学的有关定律；建立机、电、液系统的数学模型要用到上述几种定律。第2章 系统的数学模型所谓实验法，则是依据元件及系统对输入信号的响应，确定运动方程式。实际上，只有一部分由简单的环节组成的系统，其数学模型才能够通过分析法推导得到，相当多的系统，特别是复杂系统，涉及的因素较多时，往往需要通过实验方法去建立数学模型，即根据实验数据
6、进行整理，并拟合出比较接近实际系统的数学模型。第2章 系统的数学模型二、建立系统微分方程的一般步骤二、建立系统微分方程的一般步骤建立系统微分方程的一般步骤如下：（1）分析系统和组成系统的各元件（环节）的性质、工作原理，确定系统的输入量和输出量。第2章 系统的数学模型（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，列写系统各组成元件（环节）的微分方程。对于复杂的系统，不能直接写出输入量和输出量之间的关系式时，可以引入中间变量，依据支配系统工作的基本规律，如力学中的牛顿定律、电学中的克希荷夫定律等，逐个列写出各元件（环节）的微分方程。另外，在列写各元件（环节）微分方程时，应注意元件（环节）之间的负载效应。
7、第2章 系统的数学模型（3）分析系统各组成元、部件及其相互之间的联系，消去中间变量，列写出只含有输入量、输出量及其各阶导数的微分方程。（4）将微分方程标准化，即将输出量及与其导数有关的项放在等式的左边，输入量及与其导数有关的项放在等式的右边，并按照导数的阶次降次排列。下面举例说明如何列写系统或元件的微分方程。第2章 系统的数学模型例例2-1 图2-1表示的是一个弹簧质量阻尼系统。在外力f(t)作用下，系统产生位移x(t)，要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式。解解：（1）首先确定系统的输入量和输出量。在此f(t)是系统的输入，x(t)是系统的输出。（2）根据牛顿第二定律F=ma，得 式
8、中，f1(t)为阻尼器阻力；f2(t)为弹簧力。(2-1)2122d()dx tf tf tf tmt()()()第2章 系统的数学模型图2-1 机械平移系统第2章 系统的数学模型一般认为阻尼器阻力为粘性摩擦阻力，其大小与运动速度成正比，方向与相对运动方向相反，故有 式中，c为阻尼系数。假设弹簧为线性弹簧，则有f2(t)=kx(t)(2-3)式中，k为弹簧的弹性系数。(2-2)1d()dx tf tct()=第2章 系统的数学模型(3)消去中间变量。本例中，f1(t)和f2(t)为中间变量，将式(2-2)和式(2-3)代入式(2-1)，经整理后得到系统的微分方程式为移项整理得式中，m、c、k为
9、常数，所以式(2-4)为线性定常二阶微分方程式，因此图2-1所示的弹簧质量阻尼系统为一个二阶线性定常系统。(2-4)22d()d()()ddx tx tmf tckx ttt()22d()d()()ddx tx tmckx tf ttt()第2章 系统的数学模型例例2-2 二级齿轮传动系统如图2-2所示，设M为输入轴端的输入转矩；Mfz为输出轴端的负载转矩；(J1,f1)、(J2,f2)、(J3,f3)分别代表相应轴的转动惯量与粘性摩擦系数；1、2、3分别代表各相应轴的转角；i1、i2分别为两级齿轮传动的传动比，即i1=1/2，i2=2/3。试列写出以输入转矩M和负载转矩Mfz为输入信号，以转
10、角1为输出信号的运动方程式。第2章 系统的数学模型图2-2 二级齿轮传动系统示意图第2章 系统的数学模型解解：（1）首先确定系统的输入量和输出量。本例中输入转矩M和负载转矩Mfz为输入量，转角1为输出量。（2）列写系统各元件微分方程。对于齿轮1，根据牛顿第二定律，有即(2-5)2111112ddddJMMftt1 11 11JfMM第2章 系统的数学模型同理，对于齿轮2和齿轮3有 (2-6)(2-7)222223JfMM33334fzJfMM将轴看作为刚体，则有(2-8)(2-9)121112MMi M423Mi M第2章 系统的数学模型(3)消去中间变量。在式(2-5)(2-9)中消去中间变
11、量2、3、M1、M2、M3、M4，得即(2-10)2332111122 222 21 211 211 2fzMffJJJfMiiii iii i11fzJfMM第2章 系统的数学模型式中，为输入轴的等效转动惯量；为输入轴的等效摩擦系数；为输入轴的等效负载转矩。式(2-10)就是以输入转矩M和负载转矩Mfz为输入信号，以转角1为输出信号的运动方程式。321122 211 2JJJJii i231122 211 2ffffii i1 2fzfzMMii第2章 系统的数学模型图2-3 RLC网络第2章 系统的数学模型例例2-3 已知如图 2-3所示的RLC电路中，R、L、C均为常数，试写出系统的微分
12、方程式。解解：（1）首先确定系统的输入量和输出量。在此，ei是系统的输入，eo是系统的输出。（2）根据克希荷夫第二定律，可得如下方程式中，i为中间变量，且有(2-11)(2-12)id1 d diLRiitetCo1 d eitC第2章 系统的数学模型(3)由式(2-12)和式(2-11)消去中间变量得RLC电路的微分方程为 式(2-13)也是一个二阶线性定常系统。比较式(2-4)和式(2-13)可知，当两个方程式的系数相同时，两个系统所表现出的动态性能是相同的。因此可以用一个电气系统来模拟机械系统进行试验研究。(2-13)2oooi2d()d()()()dde te tLCRCe te tt
13、t第2章 系统的数学模型例例2-4 列写如图2-4所示的直流调速系统的微分方程。解解：（1）确定输入量和输出量。本例中给定电压Ug为输入量，转角为输出量。（2）列写各环节微分方程式比较环节：U=UgUf (2-14)第2章 系统的数学模型图2-4 直流调速系统图第2章 系统的数学模型放大环节：Ua=KaU (2-15)执行环节：(2-16)ddaaaa abiULR iEtbbEKi aMK iJf(2-17)第2章 系统的数学模型即式中，J为等效转动惯量，f为摩擦系数。将式(2-17)、(2-18)代入式(2-16)，得即(2-18)(2-19)1aiiJfKddaaabiiLRUJfJfK
14、KtK()()aaabiiaL JL fR JfK KKU()第2章 系统的数学模型测量环节：(3)消去中间变量。将(2-14)、(2-15)、(2-19)、(2-20)联立，以Ug为输入量，为输出量，得系统运动微分方程为(2-20)fnUKaaaabiiagnL JL fR JR fK KK K UK()()()第2章 系统的数学模型（4）整理。进一步整理，得 式(2-21)就是以Ug为输入量，以转角为输出量的电机调速系统的运动方程式。(2-21)aaaabiianiagL JL fR JR fK KK K KK K U()()第2章 系统的数学模型三、非线性系统的线性化三、非线性系统的线性
15、化在大多数情况下，实际系统并不是完全线性的。事实上，对物理系统进行仔细研究后会发现，即使对所谓的线性系统来说，也只是在有限的工作范围内保持真正的线性关系。严格地讲，系统或元件都有不同程度的非线性，即输入与输出之间的关系不是一次关系，而是二次或高次关系，或者是其他函数关系。例如，在大输入信号作用下，元件的输出可能达到饱和（图2-5(a)）。又如元件中还可能存在死区，在死区范围内，元件对输入信号不敏感，从而影响小信号的正常工作（图2-5(b)）。第2章 系统的数学模型在机械传动中，相互运动都有摩擦，这样在开始阶段就一定存在着不灵敏区，致使输出和输入之间不能是线性关系（图2-5(c)）。此外在某些元
16、件中，可能会产生平方律非线性关系，如在物理系统中采用的阻尼器，低速工作时可能是线性的，但是在高速工作时，则可能变成非线性的，这时，阻尼力可能与相对运动速度的平方成正比，并可能产生粘滞特性（图2-5(d)）。第2章 系统的数学模型图2-5 非线性特性(a)饱和；(b)死区；(c)摩擦特性；(d)粘滞特性第2章 系统的数学模型 非线性系统最重要的问题之一就是确定模型的结构，如果对系统的运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数学模型。一般来说，这样的模型是由非线性微分方程和非线性差分方程给出的。本质上非线性系统与线性系统是完全不同的，如非线性系统表现出来的频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃
17、谐振、谐波振荡、自激振荡、分岔和混沌等现象，不能采用线性系统的理论来解释。第2章 系统的数学模型但是，由于目前非线性系统的理论和分析方法还不很成熟，因此对于某些非本质的非线性系统，在一定条件下可进行线性化处理，以简化分析。线性化是指将非线性微分方程在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程。一般的线性化方法是在工作点附近用切线来代替，即将非线性函数在工作点附近展开成台劳级数，并略去高于一次的项，可得近似的线性差分方程。上述线性化是以变量偏离预定工作点很小的假定条件为基础的，即偏差为微量，所以有时也把上述线性化称之为小偏差线性化。小偏差线性化的几何意义是：在预期工作点附近，用通过该点的切线近似代替
18、原来的曲线。第2章 系统的数学模型例例2-5 设有一滑阀与油缸组合的液压伺服机构，如图2-6所示。试列写以x为输入，y为输出的线性化方程。图中符号的意义为：q为负载流量，即为在活塞带动负载时进入或流出油缸的流量；P1、P2为活塞两端单位面积上的压力；A为活塞面积；f为粘性阻尼系数；x，y分别为阀芯的位移和活塞的位移。第2章 系统的数学模型图2-6 液压伺服系统第2章 系统的数学模型解解：该液压伺服系统的工作原理是：当阀芯右移时，高压油进入油缸左腔，低压油与右腔连通，故活塞推动负载右移；与此相反，当阀芯左移时，活塞推动负载左移。活塞两侧的压力差为P=P1P2由物理知识可知，q是x和P的函数。一般
19、地说，变量q，x，P可用非线性方程表示，即q=q(x,P)第2章 系统的数学模型将此非线性方程在平衡工作点，即x=x0，P=P0点的邻域内展开成台劳级数，得0000000000000022200022202 ()()()2()()().x xx xP PP Px xx xP PP Px xP Pqqq xPq xPxxPPxPqqxxxxPPx PxqPPP(，)(，)第2章 系统的数学模型当偏差很小时，可以略去偏差的高次项，仅保留一次项，有令q=q(x,P)，q0=q(x0,P0)，则上式变为00000000 ()()x xx xP PP Pqqq xPq xPxxPPxP(，)(，)000
20、00 x xx xP PP PqqqqxPPx 第2章 系统的数学模型式中，x=(xx0)、P=(PP0)。上式可进一步写为q=KqxKPP式中，0000qPx xx xP PP PqqKKxP，第2章 系统的数学模型注意到系统的平衡点对应于q0=0，x0=0，P0=0，因此，上式可写为q=KqxKPP 将代入上式，得 设动力活塞产生的力为F，则有qAy1qPPK xAyK（）qPAFA PAPK xAyK()第2章 系统的数学模型当活塞受油压作用而带动负载m运动时，负载的动力学方程为即整理后,得以x为输入，y为输出的线性化方程为 m yf yF qPAm yf yK xAyK()2qPPAK
21、AfmyyxKK第2章 系统的数学模型2.2 系统的传递函数系统的传递函数控制系统的微分方程是在时间域内描述系统动态性能的数学模型。对控制系统的微分方程进行求解，特别是借助于计算机，可以迅速准确地得到在确定初始条件及外部作用下系统的输出响应。这种方法直观、准确，但是当系统阶次较高时，微分方程的求解计算非常复杂，有时甚至不可能求解。另外，如果系统中的某个参数变化或者结构形式改变时，就必须重新列写并求解微分方程，因此不便于对系统分析和设计。第2章 系统的数学模型传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型之一。对线性常微分方程进行拉氏变换，即可以得到系统在复数域中的数学模型传递函数。传递函数
22、不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。在古典控制理论中，广泛使用的分析设计方法中的频率法和根轨迹法，就是基于传递函数进行分析的。第2章 系统的数学模型一、传递函数的概念一、传递函数的概念为了说明传递函数的概念，以如图2-7所示的无源滤波电路为例，首先建立其微分方程，根据克希荷夫定律有io1()d1()du tiRitCu titC第2章 系统的数学模型图2-7 无源滤波电路第2章 系统的数学模型消去中间变量i，得系统的微分方程为假定初始值ui(0)=0，对微分方程进行拉氏变换，则有RCsUo(s)+Uo(s)=Ui(s)式中：Uo(s)为输出电压uo
23、(t)的拉氏变换，Ui(s)为输入电压ui(t)的拉氏变换。由上式求出输出电压uo(t)的拉氏变换式表达式为ooid()()()du tRCu tu ttoi1()()1UsUsRCs第2章 系统的数学模型这是一个以s为变量的代数方程，上式表明，当输入电压ui(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uo(s)完全由所确定，将上式改写成如下形式所以，当初始电压为0时，无论输入电压是多少，电路输出响应的象函数与输入电压的象函数之比，是一个只与电路结构参数有关的函数。令11RCs oi()1()1UsU sRCs1()1G sRCs第2章 系统的数学模型则输出的拉氏变换式可写成Uo(s)=G(s)Ui(
24、s)可见，如果Ui(s)给定，则输出Uo(s)的特性完全由G(s)决定。G(s)反映了系统（网络）自身的动态特性。称G(s)为系统的传递函数，它是一个复变量函数，对任意元、部件或系统，传递函数的具体形式各不相同，但都可看做是在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。RC无源滤波电路的传递函数即为oi()1()()1UsG sU sRCs第2章 系统的数学模型图2-8 传递函数方框图第2章 系统的数学模型输出、输入与传递函数三者之间的关系，还可以用如图2-8所示的方框图形象地表示。对具体的系统或元、部件，只要将其传递函数的表达式写入方框图的方框中，即为该系统或该元、部件的传递函数方
25、框图，又称结构图。根据上述说明，可以对传递函数作如下定义：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换Xo(s)与输入量的拉氏变换Xi(s)之比称为系统的传递函数，记为(2-22)oiXsG sX s()()()第2章 系统的数学模型线性定常系统的运动微分方程可以用如下n阶微分方程来描述(2-23)1ooo110o11110i1ddddddddd )dddnnnnnnmmiiimmmmx tx tx taaaa x ttttx tx tx tbbbb x tnmttt()()()()()()()=()(第2章 系统的数学模型式中，xo(t)为系统输出量，xi(t)为系统输入量，a0，a1，an
26、及b0，b1，bm是由系统结构参数决定的实常数。在零初始条件下，即在满足（k=0，1，n1），(k=0，1，m1）条件下，对式(2-23)左右两端进行拉氏变换，得(2-24)o0=0 x(k)()i0=0 x(k)()1110o1110i()()nnnnmmmma sasa saXsb sbsb sbX s()()第2章 系统的数学模型按上述传递函数的定义，则得式(2-23)的传递函数为式中，D(s)=ansn+an1sn1+a1s+a0，称为系统的特征多项式，一般将D(s)=0称为系统的特征方程，将特征方程D(s)=0的根称为G(s)的极点；M(s)=bmsm+bm1sm1+b1s+b0，一
27、般将方程M(s)=0的根称为G(s)的零点。(2-25)1oo1101ii110mmmmnnnnx tXsb sbsb sbM sG sx tX sD sa sasa sa()()()()()()()LL第2章 系统的数学模型必须注意，传递函数是在零初始条件下定义的。零初始条件一方面是指作用于系统的输入是在t=0时刻之后才作用于系统的，因此系统输入量及其各阶导数在t0时均为零；另一方面是指输入作用于系统之前，系统是“相对静止”的，即系统输出量及其各阶导数在t0时的值也为零。大多数实际工程系统都满足这样的条件。零初始条件的规定不仅能简化运算，而且有利于在同等条件下比较系统性能。第2章 系统的数学
28、模型二、传递函数的性质二、传递函数的性质由传递函数的定义不难看出，传递函数具有如下主要特点：(1)传递函数是复变量s的有理分式，它具有复变函数的所有性质。传递函数是从拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性变换，因此传递函数只适用于描述线性定常系统。传递函数是在零初始条件下定义的，所以它不能反映非零初始条件下系统的自由响应运动规律。(2)传递函数只取决于系统的结构参数，与外作用无关。传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。第2章 系统的数学模型(3)传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应，因此传递函数能反映系统运动特性。所谓脉冲响应，是指系
29、统在单位脉冲函数(t)输入下的响应，也称为脉冲过渡函数。因为单位脉冲函数的拉氏变换式为1（即Xi(s)=L(t)=1），所以有显然，系统的脉冲响应w(t)与系统传递函数G(s)有单值对应关系。(2-26)o111oi()()()()()XsG sXsw tX sLLL第2章 系统的数学模型(4)实际物理系统总是存在惯性的，且能源功率有限，因此实际系统传递函数中，分子的阶次不会大于分母的阶次，即nm。(5)传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。(6)物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。(7)传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性
30、进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。第2章 系统的数学模型三、传递函数的求法三、传递函数的求法传递函数是由微分方程在初始条件为零时，通过拉普拉斯变换得到的，因此也是系统的一种数学模型形式。在求出系统（或环节）的微分方程式后，只要把方程式中各阶导数用变量s的相应阶次方代替，就可很容易地得到系统（或环节）的传递函数。传递函数的具体求法分如下几步：（1）写出系统或元、部件的微分方程；（2）假设全部初始条件为零，取微分方程的拉氏变换；（3）求输出量与输入量的拉氏变换之比。第2章 系统的数学模型例例2-6 求如图2-1所示机械平移系统的传递函数。解解：（1）在例
31、2-1中已求得系统的微分方程为22d()d()()ddx tx tmckx tf ttt()第2章 系统的数学模型（2）对上式两端取拉氏变换，得若初始条件为零，即x(0)=0，则得(ms2+cs+k)X(s)=F(s)（3）求输出量的拉氏变换X(s)与输入量的拉氏变换F(s)之比，即求系统的传递函数：0 x()=02000m s X ssxxc sX sxkX sF s()()()()()()()kcsmSFsXsG21)()()(第2章 系统的数学模型例例2-7 求如图 2-3所示的RLC电路的传递函数。解解：（1）根据克希荷夫第二定律，可得如下方程组(2-27)iod1 d d1 d iL
32、RiitetCiteC第2章 系统的数学模型（2）在零初始条件下，对上式两端取拉氏变换，得由式(2-29)得I(s)=CsEo(s)，并将其代入式(2-28)，得LCs2Eo(s)+RCsEo(s)+Eo(s)=Ei(s)(2-30)(2-28)(2-29)i1 1 LsI sRI sI sE sC s()()()()o1 1I sE sC s()()第2章 系统的数学模型（3）由式(2-30)求出输出量与输入量的拉氏变换之比，即系统的传递函数为o2i11E sG sE sLCsRCs()()()第2章 系统的数学模型从例 2-6、例 2-7可看出它们的传递函数具有相同的形式，通常把这两个系统
33、叫做相似系统。相似系统这一概念，在实践中很有用，因为一种系统可能比另一种系统更容易通过实验来处理。例如可以通过构造一个与机械系统相似的电系统来代替对机械系统的研究。因为一般来说，电系统总是比机械系统成本更低，且更容易通过实验进行研究。特别地，如果能够用模拟机或用数字计算机来模拟机械系统或其他物理系统，就更加方便了。第2章 系统的数学模型四、传递函数的标准形式四、传递函数的标准形式传递函数通常表示成式(2-25)所示的有理分式。根据系统分析的需要，也常表示成如下两种形式。1 零、极点形式零、极点形式系统的传递函数G(s)是以复变数s为自变量的函数，将式(2-25)的分子、分母作因式分解，并将最高
34、次项（首项）系数均化为1，则传递函数G(s)可以写成如下的一般形式:第2章 系统的数学模型（K*为常数）(2-31)式(2-31)称为传递函数的零、极点形式。式中，z1,z2,z为传递函数分子多项式等于零的根，为传递函数的零点；p1,p2,pn为传递函数分母多项式等于零的根，为传递函数的极点。*112121()()()()()()()()()mjjmnniiKszKszszszG sspspspsp第2章 系统的数学模型2 典型环节形式典型环节形式式(2-25)的分子、分母作因式分解后，将最低次项（尾项）系数均化为1，表示为如下形式：(2-32)121222112211(1)(21)()(1)
35、(21)vmmkllklnnijjijsssG sKsTsT sT s第2章 系统的数学模型式(2-32)称为传递函数的典型环节形式。因为式中每个因子都对应一个典型环节。这里，K称为系统的放大系数或增量。K与K*的关系为 传递函数的这两种形式各有不同的适用范围，可以相互转换，在不同的场合需要用不同的标准形式。(2-33)*1001mjjniiKzbKap第2章 系统的数学模型2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数控制系统是由若干元件按一定方式组合而成的，不同的元件具有不同的结构和功能。控制系统的运动情况取决于所有各组成元件的动态特性及连接方式。在研究控制系统的运动特性时，首先研究组成系统
36、元件的运动特性是必要的。描述元件运动特性的基本单元称为环节，如比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节、延时环节等。这样，控制系统也可说是由若干环节按一定方式组合而成的，逐个研究和掌握这些典型环节的特性，就不难进一步综合研究整个系统的特性。第2章 系统的数学模型一、比例环节一、比例环节比例环节又称放大环节，凡是输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟而是按比例地反映输入的环节称为比例环节。其微分方程为xo(t)=Kxi(t)(2-34)式中，K为比例环节的放大系数或增益。对式(2-34)两端求拉氏变换可得比例环节的传递函数为(2-35)oi()()()XsG sKX s第2章 系统的数
37、学模型式(2-35)表明，比例环节的输出量与输入量成正比，动态关系与静态关系都一样，不失真也不迟延，所以比例环节又称为“无惯性环节”。比例环节的特征参数只有一个，即放大系数K。工程上，无弹性变形的杠杆传动、电子放大器检测仪表、比例式执行机构等都是比例环节的一些实际例子。第2章 系统的数学模型图2-9 齿轮传动副第2章 系统的数学模型例例2-8 图 2-9所示为齿轮传动副，xi、xo分别为输入、输出轴的转速，z1、z2分别为输入齿轮和输出齿轮的齿数。如果传动副无传动间隙、刚性无穷大，则一旦有了输入xi，就会产生输出xo，且xiz1=xoz2此方程经拉氏变换后，得传递函数为式中，K为齿轮传动比，也
38、就是齿轮传动副的放大系数。o1i2()()()XszG sKX sz第2章 系统的数学模型二、积分环节二、积分环节积分环节的动力学方程可表示为其传递函数为(2-36)(2-37)oi1dx tx ttT()=()oi()1()()XsG sX sTs第2章 系统的数学模型式中，T为积分环节的时间常数。式(2-37)表明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成正比地无限增加。积分环节具有记忆功能，当输入信号突然除去时，输出总要变化下去。在控制系统设计中，常用积分环节来改善系统的稳态性能。积分环节的方框图如图2-10所示。第2章 系统的数学模型图2-10 积分环节的方框图第2章
39、系统的数学模型例例2-9 图2-11所示的有源积分网络，输入量为ui(t)，输出量为uo(t)，有传递函数为式中，。显然，有源积分网络是一个比例环节和一个积分环节串联组成的。oiddu tu tCRt()()oi()1()()UskG sU sRCss 1kRC 第2章 系统的数学模型图2-11 有源积分网络第2章 系统的数学模型三、微分环节三、微分环节输出正比于输入的微分的环节称为微分环节，其动力学方程为微分环节的传递函数为(2-38)(2-39)oix tTx t()=()oi()()()XsG sTsX s第2章 系统的数学模型式中，T为微分环节的时间常数。理想微分环节的输出与输入量的变
40、化速度成正比。在阶跃输入作用下的输出响应为一理想脉冲（实际上无法实现）。由于微分环节能预示输出信号的变化趋势，因此常用来改善系统的动态特性。第2章 系统的数学模型例例2-10 试写出图2-12所示的机械液压阻尼器的传递函数。图中，A为活塞右边的面积；k为弹簧刚度；R为节流阀液阻；P1、P2分别为油缸左、右腔单位面积上的压力；xi为活塞位移；xo为油缸位移。解解：（1）首先确定系统的输入量和输出量，本例中输入量为活塞位移xi，输出量为油缸位移xo。第2章 系统的数学模型图2-12 机械液压阻尼器第2章 系统的数学模型（2）油缸的力平衡方程式为A(P2P1)=kxo通过节流阀的流量为由上两式得21
41、()ioPPqA xxRo2iokxxxA R第2章 系统的数学模型因此故得传递函数为令得ooi2()()()kXssXssX sA Ro2i()()()XssG sX sA Rsk2,A RTkoi()()()1XsTsG sX sTs第2章 系统的数学模型可见，该机械液压阻尼器由惯性环节和微分环节串联组成，仅当Ts1时，G(s)Ts。实际上，可实现的微分环节都具有一定的惯性，理想的微分环节只是数学上的假设。第2章 系统的数学模型四、惯性环节四、惯性环节惯性环节又称为一阶惯性环节，其动力学方程为如下的一阶微分方程：上式两端求拉氏变换可得其传递函数为式中，T为惯性环节的时间常数。惯性环节的方框
42、图如图2-13所示。(2-40)(2-41)ooiddx tTx tx tt()+()=()oi()1()()1XsG sX sTs第2章 系统的数学模型图2-13 惯性环节的方框图第2章 系统的数学模型例例2-11 图2-14所示为弹簧阻尼系统，已知xi(t)为输入量，xo(t)为输出量，根据牛顿定律有两边取拉氏变换后得csXo(s)+kXo(s)=kXi(s)所以系统的传递函数为式中，T=c/k为该弹簧阻尼系统的时间常数。ooid()()()dx tckx tkx ttoi()1()()1XskG sX scskTs第2章 系统的数学模型图2-14 弹簧阻尼系统第2章 系统的数学模型从上例
43、与无源滤波电路的传递函数可知，不同的物理系统可以有相同的传递函数，即可以用相同的数学模型来描述，因此，无源滤波RC电路和弹簧阻尼构成的机械系统是相似系统。在微分方程或传递函数中占相同位置的物理量称为相似量，如无源滤波电路中的RC与例2-9中的阻尼系统中的c就是相似量。这里所说的相似只是就数学形式而言。第2章 系统的数学模型五、振荡环节五、振荡环节振荡环节的微分方程为其传递函数为(2-42)2oo22nnoni2d()d()2()()dx tx tsx tx tdtt(2-43)2on22inn()()()2XsG sX sss第2章 系统的数学模型或写为 式中，n为振荡环节的无阻尼固有频率；T
44、为振荡环节的时间常数，T=1/n；为振荡环节的阻尼比，01。振荡环节的方框图如图2-15所示。(2-44)o22i()1()()21XsG sX sT sTs第2章 系统的数学模型图2-15 振荡环节方框图第2章 系统的数学模型例例2-12 图2-16所示为LRC电路，其中，ui为输入电压，uo为输出电压。根据克希荷夫定律，有 而ioddLiuLuto1 dRCuRiitCLCRiii第2章 系统的数学模型由以上三式得系统的微分方程为上式两边做拉氏变换，得系统的传递函数为式中，。上式表明，图2-16所示的LRC电路为二阶振荡环节。oooiLLCuuuuR2on222inn()1()()21Us
45、G sU sLssLCssRn11;2LLCRC第2章 系统的数学模型图2-16 LRC电路第2章 系统的数学模型六、延时环节六、延时环节延时环节也称为迟延环节，是输出滞后输入时间，但能不失真地反映输入的环节。其输出与输入之间有如下关系：xo(t)=xi(t)(2-45)由式(2-45)可得延时环节的传递函数为 延时环节的方框图如图2-17所示。(2-46)oi()()e()sXsG sX s第2章 系统的数学模型图2-17 延时环节第2章 系统的数学模型延迟环节在单位阶跃输入作用下的输出响应为xo(t)=1(t)即输出完全复现输入，只是延迟了时间。为延迟环节的特征参数，称为“延迟时间”或“滞
46、后时间”。第2章 系统的数学模型例例2-13 图2-18所示为轧钢时的带钢厚度检测系统。带钢在A点轧出时，产生厚度偏差h1，但是这一厚度偏差在到达B点时才为测厚仪所检测到。测厚仪检测到的带钢厚度偏差h2为其输出信号xo(t)。若测厚仪距机架的距离为L，带钢速度为v，则延迟时间为=L/v。故测厚仪输出信号h2与厚度偏差这一输入信号h1之间有如下关系:h2=h1(t)第2章 系统的数学模型上式表示，在t1时，闭环传递函数Gf(s)0，也就是说，此时扰动对系统输出的影响被抑制。另一方面，当G1(s)G2(s)H(s)的增益增大时，闭环传递函数GB(s)趋近于。这表明，当|G1(s)G2(s)H(s)
47、|1时，闭环传递函数GB(s)与G1(s)和G2(s)无关，而只与H(s)成反比关系。因此，G1(s)和G2(s)的变化不影响闭环传递函数GB(s)，这是闭环系统的另一个优点。1()H s第2章 系统的数学模型2.5 用用MATLAB求串联、并联和求串联、并联和反馈反馈(闭环闭环)传递函数传递函数MATLAB是一套高性能的数值分析和可视化仿真软件，它集数值计算、矩阵运算和图形显示于一体，具有友好的用户界面，在控制系统计算机分析与设计方面获得了广泛的应用。本节将首先介绍线性系统的MATLAB表示方法，然后讨论利用MATLAB求串联、并联和反馈(闭环)传递函数的方法。第2章 系统的数学模型一、线性
48、系统的一、线性系统的MATLAB表示表示控制系统的传递函数是用多项式来表示的，如何在MATLAB中处理多项式是首先需要解决的问题。在MATLAB中，多项式由行向量组成，如多项式p(s)=s3+4s2+3在MATLAB中表示为P=1 4 0 3第2章 系统的数学模型这些行向量包含了降幂排列的多项式系数。但必须注意，即使多项式的某一项系数为0，如上述多项式中一次项s的系数为0，它也一定要包含在行向量中。矩阵乘法在MATLAB中由函数conv()完成。如果要把两个多项式相乘合并成一个多项式，例如要计算如下多项式n(s)=(s3+4s2+3)(s+1)第2章 系统的数学模型则相应的MATLAB程序为p
49、=1 4 0 3;%输入多项式s3+4s2+3q=1 1;%输入多项式s+1n=conv(p+q)%多项式相乘n=%计算结果 1 5 4 3 3所以计算结果为 n(s)=(s3+4s2+3)(s+1)=s4+5s3+4s2+3s+3第2章 系统的数学模型在MATLAB中，系统的传递函数可以用两个行向量来表示，每一个行向量由相应的多项式系数组成，并且以s的降幂排列。考虑如下传递函数分子行向量和分母行向量分别可以表示为 num=0 3 25，den =1 4 25则在MATLAB中求系统的传递函数的过程为2325()425sG sss第2章 系统的数学模型num=0 3 25;%输入分子多项式de
50、n=1 4 25;%输入分母多项式gs=tf(num,den)%求传递函数%MATLAB给出的传递函数计算结果Transfer function:3 s+25-s2+4s+25第2章 系统的数学模型其中，tf(num，den)为MATLAB求传递函数的函数，其输入为分子和分母行向量，输出为传递函数。若传递函数以零、极点的形式给出，如：则在MATLAB中，可以用函数zpk(z，p，K)给出零、极点形式的传递函数。这里z=z0,z1,zm，表示零点向量；p p0,p1,pn，表示极点向量；KK，为系统增益。1212()()()()()()()mnK szszszG sspspsp第2章 系统的数学
