1、第8章 控制系统的状态空间分析第第8 8章章 控制系统的状态空间分析控制系统的状态空间分析8.1 状态空间法的基本概念8.2 由传递函数导出状态方程8.3 线性定常系统状态方程的解8.4 可控性和可观测性习题第8章 控制系统的状态空间分析在前面几章中讨论了经典控制理论的有关基本理论与基本方法。经典控制理论是基于传递函数和频率特性的形式来描述控制系统的，虽然方法简单、概念清晰，分析与计算简便，易于被工程技术人员所理解与接受，但是也存在如下的局限性：（1）传递函数描述的是系统输出与输入间的关系，不涉及系统内部状态信息，因而这种基于传递函数的描述并不完善。第8章 控制系统的状态空间分析（2）传递函数
2、只适用于零初始条件下的单输入、单输出线性定常系统，它无法表示时变系统、非线性系统以及非零初始条件下的线性定常系统。（3）以传递函数表征系统数学模型的经典设计法，如频率响应法和根轨迹法，实质上是一种试凑法，因而不可能使系统获得在某种意义下的最优性能。第8章 控制系统的状态空间分析本章介绍表征控制系统数学模型的另一形式状态空间表示法。由于这种方法通过输入、状态变量和输出来描述系统，因而克服了上述用传递函数描述系统的不足。状态空间方法通常是把系统的高阶微分方程或传递函数改写为一阶微分方程组，后者称为系统的状态方程。由于一阶微分方程组可以用向量和矩阵的形式来表示，因而使系统的数学模型变得简单，且便于运
3、算。在设计系统时，除了采用传统的输出反馈外，还能充分利用系统内部众多的状态变量进行反馈，在一定的条件下，使系统的闭环极点能得到任意配置。第8章 控制系统的状态空间分析此外，用状态变量描述系统的另一优点是不论被描述的系统多么复杂，阶次多么高；也不论是定常系统，还是时变系统；不论是子系统，还是总的系统；不论是开环系统，还是闭环系统，它们动态方程式的形式都完全相同。由于用状态变量法描述系统有上述的优点，因而在现代控制理论中被广泛地应用，并成为该理论的基础知识。本章主要讨论线性定常系统状态方程式的建立、状态方程式的求解、控制系统的可控性和可观测性等内容。第8章 控制系统的状态空间分析8.1 状态空间法
4、的基本概念状态空间法的基本概念一、状态与状态变量一、状态与状态变量图8-1为一小车行走系统。设小车与地面间的摩擦力为零，由牛顿第二定律得 )(d)(d)(1d)(dtvttxtFmttv第8章 控制系统的状态空间分析图8-1 小车行走系统第8章 控制系统的状态空间分析式中，F(t)为作用在小车上的外力；x(t)为小车的位移；m为小车的质量。由上述两式求得 由于x(t0)和v(t0)表征系统在t=t0时刻的状态，因此称它们为初始状态变量。对于tt0的任意时刻，小车的状态是由其状态变量x(t)和v(t)来确定的。ttttttFmtvtttxtxFmtvtv00d)(d1)()()()(d)(1)(
5、)(0000第8章 控制系统的状态空间分析不难看出，如果已知x(t0)、v(t0)和外力F(t)，则可以计算出任意时刻tt0的x(t)和v(t)。状态对系统的过去行为具有记忆作用，t=t0时的状态能记忆系统在t0之前输入对系统所产生的影响。显然，如果已知系统的初始状态和tt0时的输入，就能唯一地确定系统未来的行为(状态)。第8章 控制系统的状态空间分析由上述的讨论可知：动力学系统的状态是表征系统全部行为的一组相互独立的变量，组成这个变量组的元素称为状态变量。状态变量为分量组成的向量称为状态向量。令x1(t)，x2(t)，,xn(t)为系统的一组状态变量，则相应的状态向量为x(t)=x1(t)x
6、2(t)xnt)T。以x1(t)，x2(t)，,xn(t)为坐标轴所构成的欧氏空间称为状态空间。第8章 控制系统的状态空间分析状态空间中的每一个点都代表了一组特定的状态变量，即表征系统一个特定的状态。如果给定了t0时刻的初始状态x(t0)，即状态空间中的一个初始点，在输入量u(t)的作用下，随着时问的推移，系统的状态x(t)会连续地变化，从而在状态空间中形成一条轨迹，通常称它为状态轨线。显然，这条轨线的具体形状是由x(t0)、u(t)和系统的动力学特性所确定的。第8章 控制系统的状态空间分析二、状态空间表达式二、状态空间表达式状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量间的数学表达式称为状态方程。由
7、于一个n阶系统应有n个独立的状态变量，因而对应的状态方程是n个联立的一阶微分方程组。设单输入线性定常系统的状态变量为x1(t)，x2(t)，,xn(t)，则其状态方程的一般形式为)()()()()()()()()()()()()()()(221222221212112121111tubtxatxatxatxtubtxatxatxatxtubtxatxatxatxnnnnnnnnnnnn第8章 控制系统的状态空间分析把上述方程组写成向量矩阵形式为式中，A称为系统的系数矩阵；b为n1维向量。(8-1)()()(tuttxbAxnnnnnnnnnbbbaaaaaaaaaxxxxxx212122221
8、112112121,bAxx第8章 控制系统的状态空间分析系统的输出量与状态变量、输入变量间的数学表达式称为输出方程。单输出线性定常系统输出方程的一般形式可表示为y(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t)+du(t)这是一个代数方程，它表示系统的输出由两个部分所组成：一部分是状态变量的线性组合；另一部分是输入的直接传输。把上式写成向量矩阵形式为 y(t)=cx(t)+du(t)(8-2)第8章 控制系统的状态空间分析式中，c为系统的输出矩阵，对于单输出系统，c为1n维行向量；d为输入直接影响输出的传输系数。状态方程与输出方程合在一起称为系统的状态空间表达式，又称为系统的动态方程。
9、图8-2所示为式(8-1)、(8-2)所描述的单输入单输出线性定常系统的状态模型图。图中，双线箭头表示所传递的信号是向量，以区别于用单线箭头表示的标量信号。对于多输入、多输出的线性定常系统，它的状态方程和输出方程仍具有式(8-1)和(8-2)相同的形式，即(8-3)()()()()()(ttttttDuCxyBuAxx 第8章 控制系统的状态空间分析图8-2 单输入、单输出系统的状态图第8章 控制系统的状态空间分析式中,x为n维状态向量;y为m维输出向量；u为r维控制向量；A为nn维系数矩阵；B为nr维控制矩阵；C为mn维输出矩阵；D为mr维直接传递矩阵。它们的值分别为nxxx21xmyyy2
10、1yruuu21unnnnnnaaaaaaaaa212222111211Anrnnrrbbbbbbbbb212222111211B第8章 控制系统的状态空间分析图8-3所示为式(8-3)所述线性定常系统的状态图。必须注意，在向量与矩阵的乘法运算中，相乘的前后次序不能颠倒。mnmmnnccccccccc212222111211Cmrmmrrddddddddd212222111211D第8章 控制系统的状态空间分析图8-3 多输入多输出线性定常系统的状态图第8章 控制系统的状态空间分析例例8-1 已知一RLC电路如图8-4所示，ui和uo分别为电路的输入、输出量。试选择两组状态变量，写出它们对应的
11、动态方程。解解：由基尔霍夫定律得(8-4)tiCutiCtiLiRud1d1ddoi第8章 控制系统的状态空间分析图8-4 RLC电路第8章 控制系统的状态空间分析设状态变量则式(8-4)可改写为ixtiCux2o1d1iuLxLRxLxxCx11121221第8章 控制系统的状态空间分析写成向量形式为(8-5)iuLxxLRLCxx101102121第8章 控制系统的状态空间分析输出方程为 若设则由式(8-4)求得状态方程为21o0 1xxuyixtix21diuLxLRxLCxxx1121221第8章 控制系统的状态空间分析输出方程为把上述方程写成向量的形式为1o1xCuyiuLxxLRL
12、Cxx101102121210 1xxCy第8章 控制系统的状态空间分析由此可知，系统状态变量的选择不是唯一的。显然，对应于不同的状态变量选择，所得到的动态方程也是不同的，但它们都描述了同一个系统。下面讨论上述所选的两组状态变量间的内在关系。设x1=uo，x2=i，则得写成向量矩阵形式为 (8-6)tixd1ix 22211,1xxxCxxPx 第8章 控制系统的状态空间分析式中其中，P为非奇异矩阵。式(8-6)表明，通过非奇异矩阵P的变换，可将状态变量x1和x2变换为一组新的状态变量和。若变换矩阵P为任意的非奇异矩阵，则可变换出无数多组状态变量和相应的动态方程，从而进一步说明了状态变量选择的
13、非唯一性。为了应用上的方便，通常总优先考虑那些能被量测的物理量为状态变量。1001,2121CxxxxPxx1x2x第8章 控制系统的状态空间分析必须指出，系统状态变量的选择虽不是唯一的，但选择一组状态变量也是有条件的。它必须具备下述的性质：（1）在t时刻的状态向量x(t)是由初始状态向量x(t0)和tt0时的输入u(t)唯一确定的。（2）在t时刻的输出y(t)是由该时刻的状态向量x(t)和输入u(t)唯一确定的。第8章 控制系统的状态空间分析例例8-2 由质量块m、弹簧k、阻尼器c组成的双输入三输出机械位移系统如图8-5所示，系统的输入为力F和阻尼器气缸速度v，输出量为质量块的位移x，速度和
14、加速度。试列写该系统的动态方程。解解：质量块m所受的力有：外作用力F、惯性力、阻尼力和弹簧恢复力kx。根据力的平衡关系，可得系统微分方程为x x xm)(vxfFkxvxcxm)(第8章 控制系统的状态空间分析图8-5 双输入三输出机械位移系统第8章 控制系统的状态空间分析这是一个二阶系统，若已知质量块的初始位移和初始速度，系统在输入作用下的解便可唯一确定。选择质量块的位移和速度作为状态变量，设系统有三个输出量，设于是由系统微分方程可以写出系统状态方程为xxxx21,xyxxyxxy 32211,Fkxvxfmxxxx12221)(1 第8章 控制系统的状态空间分析写成向量矩阵形式为vFmfm
15、xxmfmkyyyvFmfmxxmfmkxx10000100110010213212121第8章 控制系统的状态空间分析综上所述，用状态变量描述系统具有如下的特点：（1）系统的状态变量描述是系统输入、状态、输出诸变量间的时域描述。由于这种描述涉及到系统的全部信息(包括输入和输出)，因而比经典控制理论中的输入/输出描述显得更为完善。（2）输入引起系统内部状态的变化是一个动态过程，在数学上用向量微分方程式描述。由状态变量和输入确定系统输出的变化是一个量的变换过程，因而输出方程是一个代数方程。用向量矩阵形式表示状态方程和输出方程，对于多变量系统特别适用。第8章 控制系统的状态空间分析（3）一个系统的
16、状态变量选择不是唯一的，选择不同的状态变量，就得到不同的状态变量描述。但是不论选择哪一组状态变量，一个n阶系统，只能有n个状态变量，不能多也不可少。（4）由于状态方程是一阶微分方程组，因而非常适用于用计算机求其数值解，或用计算机对系统进行分析研究。（5）对于结构和参数已确定的系统，需要研究如何把已建立的微分方程或传递函数转变为相应的动态方程式。第8章 控制系统的状态空间分析三、系统的传递函数矩阵三、系统的传递函数矩阵在零初始条件下，对线性定常系统的动态方程式(8-3)进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数矩阵定义为(8-7)(8-8)()()()()()(11ssssssUDBAICYBUAIX
17、DBAICUYG1)()()()(ssss第8章 控制系统的状态空间分析例例8-3 已知系统动态方程为试求系统的传递函数矩阵。2121212121100110012010 xxyyuuxxxx第8章 控制系统的状态空间分析解解：由已知的系统动态方程可得则0,1001,1001,2010DCBA210)2(11201)(11sssssssAI第8章 控制系统的状态空间分析于是系统的传递函数矩阵为210)2(111001210)2(111001)()(1ssssssssssDBAICG第8章 控制系统的状态空间分析8.2 由传递函数导出状态方程由传递函数导出状态方程设线性定常系统微分方程式的一般形
18、式为(8-9)ubububububyayayayaynnnnnnnnnnn01)2(2)1(1)(01)2(2)1(1)(第8章 控制系统的状态空间分析式中，y为系统的输出量，u为系统的输入量。在零初始条件下，对式(8-9)取拉氏变换，求得系统的传递函数为(8-10)121210121210121210121210()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnY sb sbsbsb sbG sU ssasasa sasssbsasasa saN sbD s第8章 控制系统的状态空间分析式(8-10)为传递函数的一般形式。式中，bn是联系输入、输出的前馈系数，当G(s)的分母阶数大于分子阶
19、数时，bn=0;是严格有理真分式，其分子各次项的系数分别为(8-11)()()N sD s000111111nnnnnnba bba bbab第8章 控制系统的状态空间分析一、传递函数无零点一、传递函数无零点设传递函数为 对应的微分方程为(8-12)(8-13)0121210nnnnnY sbG sU ssasasa sa()(1)(2)12100nnnnnyayaya ya yb u第8章 控制系统的状态空间分析 令则式(8-13)改写为下列的一阶微分方程组121 nnxyxyxy12231011210 nnnnnxxxxxxxa xa xaxb u 第8章 控制系统的状态空间分析系统的输出
20、为y=x1把上述方程用向量矩阵形式表示为(8-14)uy xAxbcx第8章 控制系统的状态空间分析式中121,nnxxxxx0121010000100001naaaaA000,0bb1 00c第8章 控制系统的状态空间分析不难看出，矩阵A和b具有如下特征：矩阵A对角线上方的一个元素都为1，最后一行元素是由原微分方程系数的负值构成的，其余元素均为零；矩阵b除最后一个元素不为零外，其余的元素均为零。由这种形式的矩阵A和b组成的状态方程称为能控标准型。根据矩阵A和b的上述特征，一般只要通过对微分方程式或传递函数的观察，就能直接写出矩阵A和b及对应的动态方程。图8-6为式(8-14)所描述的能控标准
21、型系统状态图。第8章 控制系统的状态空间分析图8-6 传递函数无零点时的状态图第8章 控制系统的状态空间分析例例8-4 已知一系统的传递函数为试写出能控标准型的状态空间表达式。解解：根据矩阵A和b的特征，直接写出该系统能控标准型的表达式为112233010000102985xxxxuxx 1231 0 0 xyxx325()892G ssss第8章 控制系统的状态空间分析二、传递函数有零点二、传递函数有零点当传递函数有零点的时候，对应的微分方程中就含有控制量u(t)的导数项，因而就不能用上述的方法去设置状态变量。此时需要把式(8-14)所示的传递函数分解为两个组成部分，并引入中间变量z,如图8
22、-7所示。将串联分解为两部分，有()()N sD s()1)110nnnzaza za zu（1)110nnyzzz（第8章 控制系统的状态空间分析图8-7 串联分解第8章 控制系统的状态空间分析取状态变量则状态方程为(1)12,nnxzxzxz1223(1)01101121 nnnnnxxxxxa za zazua xa xaxu 第8章 控制系统的状态空间分析输出方程为y=0 x1+1x2+n1xn写在矩阵形式为(8-15)uyxAxbcx第8章 控制系统的状态空间分析式中0121010000100001naaaaA0001 b0121nc第8章 控制系统的状态空间分析矩阵A、b和c具有以
23、上形状时，矩阵A称为友矩阵，相应的状态方程(8-15)称为可控标准型。图8-8所示为式(8-15)所示系统的状态图。前面已经指出，系统的状态方程并不是唯一的，现在我们来构造系统另外一种形式的状态方程。为叙述简单起见，先研究一个三阶系统，设其传递函数为 221032210Y sssU ssa sa sa第8章 控制系统的状态空间分析图8-8 传递函数有零点时的可控标准型状态图第8章 控制系统的状态空间分析传递函数是在零初始条件下定义的，即由下述的微分方程经拉氏变换后求得的。现对上式在非零初始条件下再取拉氏变换，求得210210ya ya ya yuuu 221023232210210222121
24、1000000000ssY sU syssa sa sasa sa saya yusya ya yuu第8章 控制系统的状态空间分析上式等号右方的第一项为零状态响应；第二项为零输入响应。如果该式右方第二项大括号中s2、s和s0项的系数均为已知，则一组初始条件确定后，对于任意的输入u(t)，都能唯一地确定相应的输出。基于这些项的系数都是初始条件y(0)、和、u(0)的线性组合，选择这些项的系数作为状态变量，即令 0y 0y 0u 32223232121212131xyxya yuxa xuxya ya yuuxa xu第8章 控制系统的状态空间分析于是得写作矩阵形式(8-16)103021131
25、322323xa xuxxa xuxxa xuyx uyxAxbcx第8章 控制系统的状态空间分析式中 将上述结论推广到n阶系统，即具有如下传递函数的系统 0120 01 00 1aaaA012b0 0 1c 121210121210nnnnnnnnnY ssssG sU ssasasa sa第8章 控制系统的状态空间分析根据式(8-16)中各矩阵的元素与传递函数分母和分子多项式各项系数的关系，就能写出n阶系统的动态方程为(8-17)uyxAxbcx第8章 控制系统的状态空间分析式中0122100001000010000000001nnaaaaa A01222nn b0 0 00 1c第8章
26、控制系统的状态空间分析式(8-17)所示的动态方程称为可观测标准型，它的状态图如图8-9所示。比较式(8-17)和式(8-15)可知，可控标准型的系数矩阵A与可观测标准型的系数矩阵A互为转置，可控标准型的输入矩阵b恰好是可观测标准型输出矩阵c的转置，而可控标准型中的输出矩阵c又是可观测标准型中输入矩阵b的转置。当系统的传递函数只含有相异的实极点时，动态方程除了可化为可控标准型或可观测标准型外，还可化为对角型动态方程。设D(s)可分解为 D(s)=(s1)(s2)(sn)()()()N sG sD s第8章 控制系统的状态空间分析图8-9 传递函数有零点时的可观测标准型状态图第8章 控制系统的状
27、态空间分析式中，1，2，n为系统的单实极点，则传递函数可展开成部分分式之和，即式中 由式(8-18)得(8-18)1()()()()niiiY sN scU sD ss()()()iiisN scsD s 1niiicY sU ss第8章 控制系统的状态空间分析若令状态变量则得其反变换结果为1()()iiX sU ss iiisXsXsU s1()()niiiY sc X s1()()()()()iiiniiix tx tu ty tc x ti=1,2,，n第8章 控制系统的状态空间分析展开得其向量矩阵形式为(8-19)11 12221 122 nnnnnxxuxxuxxuyc xc xc
28、xuyxAxbcx第8章 控制系统的状态空间分析式中 式(8-19)所表述的状态变量如图8-10所示。12,nxxxx1200nA11,1 b12 ncccc第8章 控制系统的状态空间分析图8-10 对角型动态方程状态变量图第8章 控制系统的状态空间分析若令状态变量满足则进行反变换并展开有()()iiicX sU ss1()()niiY sX s11 11222212 nnnnnxxc uxxc uxxc uyxxx第8章 控制系统的状态空间分析其向量矩阵形式为式中(8-20)uyxAxbcx12,nxxxx1200nA12,ncccb1 11c第8章 控制系统的状态空间分析其状态变量图如图8
29、-11所示。显然，式(8-19)与式(8-20)存在对偶关系。由式(8-19)与式(8-20)可知，这种状态变量描述有如下两个特点：（1）矩阵A对角线上的元素为传递函数的极点，其余元素全为零，各状态变量间没有耦合，彼此是独立的。（2）矩阵b是一列向量，式(8-19)中，其元素均为1，式(8-20)中，其元素为G(s)极点的留数；矩阵c是一行向量，式(8-19)中，其元素为G(s)极点的留数，式(8-20)中，其元素均为1。第8章 控制系统的状态空间分析图8-11 对角型动态方程状态变量图第8章 控制系统的状态空间分析例例8-5 已知一系统的传递函数为试求标准型动态方程。解解：由已知传递函数，可
30、求得传递函数的极点为1=1，2=2，3=3，据此得对应极点的留数为 3266116Y sG sU ssss13216136116scssss23226266116scssss 33236336116scssss第8章 控制系统的状态空间分析根据对角标准型特点，直接写出系统的动态方程式为或1 00102 010031xxu 36 3yx1 00302 060033xxu 1 1 1yx第8章 控制系统的状态空间分析若传递函数G(s)除含有相异的实极点之外，还含有相同的实极点，则不仅可化为可控标准型或可观测标准型，还可化为约当标准型动态方程，其A矩阵是一个含约当块的矩阵。设1是G(s)的r重极点，
31、其余均为相异的实极点，则D(s)可分解为D(s)=(s1)r(sr=1)(sn)则传递函数可展开成为下列部分分式之和，即111()()()()()nriiiik rY sN sccG sU sD sss 第8章 控制系统的状态空间分析则式中 令i=1,2,rk=r+1,r+2,n 111nrikkik rcU sc U sY sss 1d1lim!dir irir iscsG sris limkkkscsG s第8章 控制系统的状态空间分析 11211121111 111 1,2,rrrrkkXsU ssXsU ssXsU ssXsU ssXsU skrrns第8章 控制系统的状态空间分析于是
32、得 12123111111 11rrrXsXssXsXssXsXssXsU ss 1111 1,2,kknir ikki rk rXsU skrrnsY sc Xsc Xs 第8章 控制系统的状态空间分析上述方程取拉氏亦换后为11 122123111111211122 ,1,2,rrrrrkkkrrrrrrrnnxxxxxxxxxxxuxxu krrnyc xcxc xcxcxc x第8章 控制系统的状态空间分析如用向量矩阵形式表示，则为 式中(8-21)uyxJxbcx第8章 控制系统的状态空间分析T0 01 11b第r个元素 111rrrnccc cccnrJ000000000000000
33、0000010000000100000011111第8章 控制系统的状态空间分析这里的系数矩阵J称为约当标准型矩阵，它具有下列特点：（1）矩阵J主对角线上的元素为G(s)的极点。（2）主对角线下方的元素均为零。（3）当主对角线上某些相邻元素相等时，如元素1有r个，则主对角线右上方有r1个1的元素存在。式(8-21)对应的约当型动态方程状态变量图如图8-12所示。第8章 控制系统的状态空间分析图8-12 约当型动态方程状态变量图第8章 控制系统的状态空间分析例例8-6 求具有下列传递函数的约当标准型动态方程，并画出它的状态图。解解：G(s)有s=2的三重极点，故 232512ssG ss 332
34、lim219scsT s 322dlim213dscsT ss 23122d1lim222!dscsT ss第8章 控制系统的状态空间分析根据约当标准型的特点，可知该系统的动态方程为图8-13为该系统的状态图。1111112 1 000 2 100 0 21xxxxuxx 12319 13 2xyxx第8章 控制系统的状态空间分析图8-13 约当标准型实现的状态图第8章 控制系统的状态空间分析三、基于三、基于MATLAB的系统模型转换的系统模型转换利用MATLAB提供的函数tf2ss()可以实现系统模型由传递函数转换为状态方程，而函数ss2tf()则实现其逆变换，即由系统的状态方程变换为传递函
35、数。将系统的传递函数写为函数tf2ss()就可给出状态空间表达式，其格式为A，B，C，D=tf2ss(num，den)dennum的分母多项分s含的分子多项分s含)()()(sUsYsG第8章 控制系统的状态空间分析应当注意，任何系统的状态空间表达式都不是唯一的。对于同一个系统，可以有许多个状态空间表达式，函数tf2ss()给出的是其中一种可能的状态空间表达式。如果已知状态空间方程，要得到系统的传递函数，可以采用函数ss2tf()，其格式为num，den=ss2tf(A，B，C，D，iu)对于多输入系统，必须给出iu的值。例如，如果系统有三个输入（u1，u2，u3），则iu必须指定为1、2或3
36、，其中1表示u1，2表示u2，3表示u3。如果系统只有一个输入，则iu可以省略。第8章 控制系统的状态空间分析考虑以下传递函数:以下MATLAB程序将其转换为状态空间方程式，然后又将状态空间方程式转换回传递函数形式。num=10 1;%输入分子多项式den=1 6 5 10;%输入分母多项式A,B,C,D=tf2ss(num,den)%转换为状态空间模型32101()6510sG ssss第8章 控制系统的状态空间分析A=6 5 10 1 0 0 0 1 0B=100C=0 10 1第8章 控制系统的状态空间分析D=0num,den=ss2tf(A,B,C,D);%转换为传递函数printsy
37、s(num,den)num/den=2.6645e015 s2+10 s+1 -s3+6 s2+5 s+10第8章 控制系统的状态空间分析8.3 线性定常系统状态方程的解线性定常系统状态方程的解设线性定常系统的状态方程为 为了得到系统的时域响应，必须对式(8-22)进行求解。下面首先考虑齐次方程的求解，然后分析非齐次方程的解，最后对转移矩阵的性质及其计算方法进行论述。(8-22)00tttxAxBuxx第8章 控制系统的状态空间分析一、齐次方程的解一、齐次方程的解在式(8-22)中，令u(t)=0，得到对应的齐次方程为 在对式(8-23)进行求解前，首先分析一阶标量齐次微分方程(8-23)(8
38、-24)00ttxAxxx 00 x tax txx第8章 控制系统的状态空间分析的解。在解该方程时，设其解为x(t)=a0+a1t+a2t2+aktk+(8-25)将式(8-25)代入式(8-24)，得a1+2a2t+3a3t2+kaktk1+=a(a0+a1t+a2t2+aktk+)比较上式等号两边t同次幂的系数，求得1022103320011221133!1!kkaaaaaaa aaaaa aaa ak第8章 控制系统的状态空间分析当t=0时，x(0)=x0，代入式(8-25)得a0=x(0)=x0于是式(8-24)的解可以表示为 2 2001112!k katx tata ta txk
39、e x第8章 控制系统的状态空间分析现在来求式(8-23)的解，设式(8-23)的解具有与式(8-25)相类似的形式，即x(t)=a0+a1t+a2t2+aktk+(8-26)式中，a0，a1，ak为n1维向量系数。将式(8-26)代入式(8-23)，则得 a1+2a2t+3a3t2+kaktk1+=A(a0+a1t+a2t2+aktk+)第8章 控制系统的状态空间分析比较上式等号两边t同次幂的系数，可得1022103320011221133!1!kkkaAaaAaA aaAaA aaA a第8章 控制系统的状态空间分析当t=0时，x(0)=x0，代入式(8-23)中得于是式(8-23)的解便
40、表示为(8-27)000axx 2 200112!k ktttttkeAxIAAAxx第8章 控制系统的状态空间分析式中，称为矩阵指数函数。由式(8-27)可知，如果已知t=0时的初始状态向量x0，就能求出t为任何时刻的状态向量x(t)。由于这种状态的转移是通过矩阵指数函数来实现的，因而称eAt为状态转移矩阵，并记为(t)=eAt。2 211e2!tk ktttkAIAAA第8章 控制系统的状态空间分析二、非齐次方程的解二、非齐次方程的解当输入u(t)0时，状态方程式就成为式(8-22)所示的非齐次方程。现把该式改写为 用eAtA左乘上式等号的两边，则有(8-28)tttxAxBu第8章 控制
41、系统的状态空间分析经积分求得或写作(8-29)deeedttttttttAAAxAxxBu 00ee dttAAxBu第8章 控制系统的状态空间分析式中,(t)=eAt(t)。上式等号右边第一项是零输入响应；第二项是对输入的响应，又称零状态响应，正是由于这一项的存在，才有可能通过u(t)的控制作用，使系统状态在规定的时间内转移到期望的位置上去。若已知t0时刻的初始状态向量x(t0)，则对应的状态转移矩阵变为(tt0)=eA(tt0)，式(8-29)和式(8-30)分别可以改写为第8章 控制系统的状态空间分析(8-31)(8-32)00()0ee dttt ttttAAxxBu 000 dttt
42、ttttxxBu第8章 控制系统的状态空间分析三、状态转移矩阵的性质三、状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵的性质如下：（1）(0)=eA0=I。（2）。证：tttAA第8章 控制系统的状态空间分析 2 23 323 24 32 23 311e2!3!112!3!11e2!3!ttttttttttttttAAIAAAAAAAA IAAAAA第8章 控制系统的状态空间分析或故有：2 23 311e2!3!ttttttAIAAAAAA tttAA第8章 控制系统的状态空间分析（3）1(t)=(t)。证证：(t)=eAt用eAt右乘上式，得(t)eAt=(t)(t)=I对上式等号两边左乘1(t)，则有e
43、At=1(t)第8章 控制系统的状态空间分析于是得出(t)=eAt=1(t)由这个性质可得到下述的一个有趣的结论。把式(8-27)改写为x(0)=(t)x(t)由上式可知，状态转移过程在时间上可视为是双向的，这就是说，状态在时间上转移可发生在任何方向。第8章 控制系统的状态空间分析（4）(t1+t2)=(t1)(t2)=(t2)(t1)。证证：而所以 122121eettttttAA 121221tttttt 12121212eeettttttttAAA第8章 控制系统的状态空间分析（5）对于任意的t0、t1、t2，有(t2t1)(t1t0)=(t2t0)证证：这一性质表示一个状态的转移过程可
44、以分解为一系列相继连续的转移。211020211020eeettttttttttttAAA第8章 控制系统的状态空间分析（6）(t)k=(kt)，其中k为整数。证证：(t)k=eAteAteAt（共k项）=ekAt=(kt)（7）若AB=BA，则e(A+B)t=eAteBt=eBteAt第8章 控制系统的状态空间分析例例8-7 已知状态转移矩阵为试求1(t)和A。解解：根据状态转移矩阵的运算性质有22222eeee()2e2ee2ettttttttt221222eeee()()2e2ee2etttttttttt222202e2ee2e01(0)232e4ee4etttttttttA第8章 控制
45、系统的状态空间分析四、四、eAt的计算方法的计算方法1.应用拉氏变换计算应用拉氏变换计算对式(8-23)所示的齐次方程两端取拉氏变换后得sX(s)x0=AX(s)移项得(sIA)X(s)=x0用(sIA)1左乘上式两端，可得X(s)=(sIA)1x0第8章 控制系统的状态空间分析对上式两端作拉氏反变换，求得式(8-23)的解为x(t)=L1(sIA)1x0 (8-33)比较式(8-33)和式(8-27)，可知eAt=L1(sIA)1第8章 控制系统的状态空间分析2 利用对角标准型或约当标准型矩阵计算eAt（1）矩阵A有相异的特征值。令，式中,P为非奇异矩阵。经非奇异变换后，式(8-23)变为式
46、中 (8-34)ttxPx ttxAx121000000nAP AP 第8章 控制系统的状态空间分析式(8-34)的解为即故有(8-35)e0tt Axx 11e0ttAPxPx 1e0ttAxPPx第8章 控制系统的状态空间分析比较式(8-35)和式(8-27)，可知式中(8-36)1eettAAPP第8章 控制系统的状态空间分析2 23 3231112322223232311122211e2!3!00001 00000 10001100002!3!00 100000011102!3!1112!3tnnnttttttttAIAAA 1113223!11012!3!000000tttnnnte
47、ee 第8章 控制系统的状态空间分析（2）矩阵A有多重特征值。不妨设矩阵A在1处有三重特征值，其余的特征值4，5，n均为相异的。经线性非奇异变换后，式(8-23)变为式中(8-37)1tttxP APxJx11114100001000000000000n JP AP 第8章 控制系统的状态空间分析展开式(8-37)，得(8-38)nkttttttkkk,5,4 )()()()()()(3133222211xxxxxxxxxx第8章 控制系统的状态空间分析由上述最后两式求得 把式(8-39)代入式(8-38)的第二式，得(8-39)k=4,5,n 133e0txtx e0ktkkxtx 1212
48、3e0txtxtx第8章 控制系统的状态空间分析求解该微分方程，得 同理，把式(8-40)代入式(8-38)的第一式，求得 于是,式(8-37)的解可用下式表示：(8-40)11223e0e0ttxtxtx 111211231e0e0e02!tttx txtxtx第8章 控制系统的状态空间分析 1111111221eee002!0ee0000e000000e00000e11002!0 1000 0100 e00 00100 0001 e0uttttttttttttttttttAAxxxQx 第8章 控制系统的状态空间分析因为因此，上式两端左乘P，得 比较式(8-41)和式(8-27)，求得(8
49、-41)11e0tttAPxQPx 1e0tttAxPQPx 1eetttAAPQP第8章 控制系统的状态空间分析式中 211002!0 1000 01000 00100 0001ttttQ ttttttne00000e00000e00000e00000ee4111A第8章 控制系统的状态空间分析把上述的结论推广到一般，如设特征值1为q重根，则齐次方程的解可用下式表示:式中，1e0tttAxPQPx第8章 控制系统的状态空间分析 212111002!1!10 1002!0 00000 001000 000100 00001qqtttqttqttQ 第8章 控制系统的状态空间分析ttttttni
50、e00ee0e000ee1111A第8章 控制系统的状态空间分析3 基于凯勒基于凯勒哈密顿定量的计算方法哈密顿定量的计算方法如果能将eAt的展开式简化为一个有限项之和，则其计算的工作量就大为减少。根据下述的凯勒哈密顿定理，就能实现上述简化的目的。凯勒-哈密顿定理：设A为nn维矩阵，其对应的特征方程为f()=n+a1n1+a2n2+an1+an=0则矩阵A亦满足于上述方程，即有f(A)=An+a1An1+a2An2+an1A+anI=0第8章 控制系统的状态空间分析证证:因为而|IA|=n+a1n1+a2n2+an1+an设伴随矩阵adj(IA)=B1n1+B2n2+Bn1+Bn 1adjIAI
